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Famille à un paramètre de coniques utilisant des courbes de Bézier à poids complexes
Jean-Paul Becar, Laurent Fuchs, Lionel Garnier
To cite this version:
Jean-Paul Becar, Laurent Fuchs, Lionel Garnier. Famille à un paramètre de coniques utilisant des
courbes de Bézier à poids complexes. GTMG 2019, ENSEEIHT, 2019, TOULOUSE, France. �hal-
02510437�
Journées du Groupe de Travail en Modélisation Géométrique 2019, Toulouse
Famille à un paramètre de coniques utilisant des courbes de Bézier à poids complexes
Jean-Paul BECAR1, Laurent FUCHS2, Lionel GARNIER3
1LAMAV FR2956, EA 4015, Université de Valenciennes France jean-paul.becar@uphf.fr
2XLIM, UMR 7252, Université de Poitiers, laurent.fuchs@univ-poitiers.fr
3L.I.B., Université de Bourgogne Franche-Comté, B.P. 47870, 21078 Dijon Cedex, France, lionel.garnier@u-bourgogne.fr
Résumé
L’article traite du mode de représentation des coniques écrites sous forme Bézier rationnelle à l’aide de points massiques où les masses sont des nombres complexes. Une représentation spéciale des coniques reposant sur des points pondérés et des vecteurs purs offre une souplesse de calcul dans les transformations géométriques élémentaires comme les rotations, homothéties et similitudes directes. Des exemples sont proposés au lecteur prouvant cet usage.
The paper deals with conics in a rational Bézier representation based on mass points where the weights are complex numbers here.
A special representation of conics using weighted points and vectors offers a calculus flexibility in the handle elementary geometrical transformations as rotations, homotheties and direct similarity transformations. Some examples are proposed to the reader.
Mots-clés :Modélisation géométrique, Points massiques complexes. . .
1 Introduction
L’article traite du mode de représentation des coniques écrites sous forme Bézier rationnelle à l’aide de points mas- siques où les masses sont des nombres complexes. Une re- présentation spéciale des coniques reposant sur des points pondérés et des vecteurs purs offre une souplesse de calcul dans les transformations géométriques élémentaires comme les rotations, homothéties et similitudes directes. De nom- breux exemples sont proposés au lecteur prouvant cet usage.
Une série de travaux sur les courbes de Bézier ration- nelles à poids complexes a été entreprise par Sanchez-Reyes [SR09]. Le mode de répresentation à l’aide de poids com- plexes fait généralement augmenter voire doubler le degré de ces courbes une fois revenu dans le plan réel. Ainsi, une courbe Bézier rationnelle de degré 1 avec des poids com-
plexes est un arc de cercle. Dans certains cas, le degré de ces courbes dans le domaine complexe est le même que celui du domaine réel.
Une courbe de Bézier rationnelle de degré 2 avec des poids complexes devient une cubique ou une quartique dans le plan réel.
Toutefois, par un choix de poids complexe(s) éventuelle- ment nul(s), la courbe conique de degré 2 ne change pas de degré une fois dans le plan réel. Dans le mode de représenta- tion des coniques avec poids complexes, le choix du ou des poids complexe(s) offre des transformations classiques élé- gantes sur la conique créant ainsi une famille de coniques à un paramètre. La section 2 fournit une représentation d’un arc de cercle à partir d’une courbe de Bézier rationnelle linéaire à laquelle nous ajoutons la modélisation de demi- cercles. La section 3 donne une représentation particulière des trois familles de coniques propres à un paramètre com- plexe. Les ellipses, hyperboles et paraboles sont présentées
aux lecteurs. La modification du paramètre complexe a pour conséquence la mise en œuvre d’une transformation géomé- trique élémentaire sur la conique ainsi définie.
Ce travail est préparatoire à un développement de ce mode de représentation particulier. Il serait possible de l’exploi- ter en vue d’optimiser les performances calculatoires ou de créer de nouveaux modes de représentations des objets clas- siques de la C.A.O. améliorant par son élégance, la versati- lité des structures de données adéquates. La dernière section tire des conclusions et propose quelques perspectives.
2 Modélisation d’arc de cercle par des courbes de Bézier rationnelles linéaires
Dans ce paragraphe, nous nous plaçons dans le plan com- plexeCmuni du repère orthonormé direct(O;−→u;−→v). Soit quatre complexesz0,z1,ω0etω2avecz06=z1,ω0ω26=0 et
|arg(ω0)| 6=|arg(ω1)| (1) Considérons la courbe de Bézier rationnelle linéaire définie par :
z(t) =(1−t)ω0z0+tω1z1
(1−t)ω0+tω1 , t∈[0; 1]
Remarquons que :
• si arg(ω0) =arg(ω1) [2π], la courbe est le segment dont les extrémités ont pour affixesz0etz1;
• si arg(ω0) =−arg(ω1) [2π], la courbe est la droite définie par les affixesz0etz1privée du segment pré- cédent ouvert ;
• sinon la courbe obtenue est un arc de cercle dont les extrémités ont pour affixez0etz1[SR09].
Introduisons la fonction suivante : χ: R −→ R∗
0 7→ 1
x6=0 7→ x
qui permet d’utiliser les mêmes formules pour manipuler les points et les vecteurs. Notons qu’en exprimant z(t) sous forme algébrique, le dénominateur devient un poly- nôme quadratique à coefficients réels n’ayant pas de racines réelles (c’est le carré du module d’un nombre complexe non nul grâce à la condition de la formule (1)) : nous obtenons une courbe de Bézier rationnelle quadratique de points mas-
siques de contrôle(Z0;̟0),(Z1;̟1)et(Z2;̟2)avec :
Z0 = z0
Z1 = ω0ω1z0+ω0ω1z1 2χ
ω0ω1+ω0ω1
2
Z2 = z1
̟0 = |ω0|2
̟1 = ω0ω1+ω0ω1 2
̟2 = |ω1|2
(2)
et il est aisé de remarquer que si̟16=0, nous avons :
|Z1−Z0|=|Z1−Z2| d’une part et :
Z1−Z0(Z2−Z0) + (Z1−Z0)Z2−Z0 2|Z1−Z0| × |Z2−Z0|
2
= ̟12
̟0̟2 ce qui montre que la courbe est un arc de cercle. Si arg(ω0) =arg(ω1) +π2 [π], nous avons̟1=0 et la courbe est un demi-cercle nécessitant l’emploi des points mas- siques.
La figure 1 montre quelques cercles obtenus par des courbes de Bézier rationnelles linéaires à poids complexes.
Dans les deux cas, nous avonsZ0=2 etZ2=−2 et les autres affixes massiques de contrôle sont données dans le tableau 1.
3 Coniques non circulaires
Une courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle non alignés représente un arc de co- nique lorsque les poids sont réels et nous pouvons obte- nir n’importe quel arc de conique propre [GB16, GB17b, BG14, BFG19, BFG18, Béc97, FJ89, FJ92]. Naturellement, lorsque les poids sont complexes, les parties réelles et ima- ginaires des complexes de la courbe de Bézier sont de degré 4. Cependant, quelques cas particuliers existent. Commen- çons par un lemme concernant la multiplication de tous les points massiques de contrôle par un même scalaire non nul généralisant un résultat classique.
Lemme 1 :
Soit(P0;ω0),(P1;ω1)et(P2;ω2)trois éléments dePe. SoitI(resp.J) l’ensemble des indices des points massiques ayant des poids non nuls (resp. nuls).
Soitλun réel non nul. Alors, nous avons : RQBC
(Pi;ωi)i∈I;−P→j; 0
j∈J
= RQBC
(Pi;λ ωi)i∈I; λ−P→j; 0
j∈J
(3)
-3 -2 -1 0 1 2 3 -5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
r
r qp
z0=Z0 z1=Z2
γ1
−→
Z1 −→
Z1 Z1
γ2
Figure 1:Le demi-cercleγ1est obtenu avecz0=2,z1=−2,ω0=1etω1=ıtandis que l’arc de cercleγ2est obtenu avec z0=2,z1=−2,ω0=eıπ4 etω1= 12.
γ1 γ2
̟0 1 1
̟1 1×(−ı) +1×ı
2 =0 eıπ4 ×12+e−ıπ4×12
2 =1
2cosπ 4
=
√2 4
̟2 1 1
4
Z1 1×(−ı)×2+1×ı× −2
2 =−2ı eı
π
4 ×12×2+e−ı
π
4 ×12× −2
cos π4 =2 tanπ
4
ı=2ı Table 1:Affixes massiques de contrôle correspondant à la figure 1 lorsque nous n’utilisons que des poids réels.
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Démonstration
✿: 1
∑
i∈I
ωi×Bi(t0)
∑
i∈I
ωiBi(t0)−−→OPi
+ 1
∑
i∈I
ωi×Bi(t0)
∑
j∈J
Bj(t0)−→Pi
= 1
∑
i∈I
λ ωi×Bi(t0)
∑
i∈I
λ ωiBi(t0)−−→OPi
+ 1
∑
i∈I
λ ωi×Bi(t0)
∑
j∈J
Bj(t0)λ−→Pi
SiJ=∅, nous ne changeons pas les points de contrôle d’une CBRQ en multipliant tous les poids par un même réel non nul.
3.1 Cas d’une branche d’hyperbole Siω1 est réel,RQBCn−P→0; 0
;(P1;ω1);−→P2; 0o est une branche d’hyperbole. Maintenant, considérons le poids complexeω1. En utilisant le lemme 1, nous avons :
RQBCn−P→0; 0
;(P1;ω1);−P→2; 0o
= RQBC
1 ω1
−→ P0; 0
;(P1; 1);
1 ω1
−→ P2; 0
(4)
ce qui montre que :
• le centreP1de l’hyperbole est invariant ;
• les vecteurs directeurs ω1
1
−→ P0etω1
1
−→
P2des asymptotes sont les images des vecteurs −P→0 et−P→2 par la simi- litude vectorielle directe de rapport |ω1
1| et d’angle arg
1 ω1
=−arg(ω1).
La figure 2 montre quelques branches d’hyperboles modé- lisées par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques de points massiques de contrôle−→
P0; 0
,(P1;ω1)et−→ P2; 0
: le cas « standard » avecω1=1 permettant de déterminer les paramètres de l’hyperbole puis deux cas où le poids est com- plexe.
3.2 Cas d’un arc de parabole Siω0est réel,RQBC
n
(P0;ω0);−P→1; 0
;−P→2; 0o est une « demi-parabole » de sommetP0. Maintenant, considé- rons le poids complexeω0. En utilisant le lemme 1, nous avons :
RQBCn
(P0;ω0);−P→1; 0
;−→P2; 0o
= RQBC
(P0; 1);
1 ω0
−→ P1; 0
; 1
ω0
−→ P2; 0
(5)
ce qui montre que :
• Le sommetP0de la parabole est invariant ;
• Les vecteurs tangents ω10−P→1 et directeur de l’axe de la paraboleω1
0
−→
P2sont les images respectives des vec- teurs−P→1et−P→2par la similitude vectorielle directe de rapport|ω1
0|et d’angle arg
1 ω0
=−arg(ω0).
La figure 3 montre quelques arcs de paraboles modélisés par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques de points massiques de contrôle(P0;ω0),−→
P1; 0 et−→
P2; 0 : le cas
« standard » avecω0=1 permettant de déterminer les para- mètres de la parabole puis deux cas où le poids est complexe.
3.3 Cas d’un arc d’ellipse
Si ω02 est un réel non nul,
RQBCn
(P0;ω02);−P→1; 0
;(P2;ω02)o
est une demi- ellipse de diamètre [P0P2]. Maintenant, considérons le
-2 -1 0 1 2 3 4 -3
-2 -1 0 1 2 3 4 5
r
−P→0; 0 −P→2; 0
(P1; 1)
e−iπ4−P→0; 0
e−iπ4−P→2; 0
2e−iπ−P→0; 0 2e−iπ−→
P2; 0
γ1 γei
π 4
γ1 2eiπ
Figure 2:Invariance de la nature d’une branche d’hyperbole modélisée par une courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle−P→0; 0
,(P1;ω1)et−P→2; 0
. La courbeγ1est le cas standard avecω1=1. La courbeγ
ei
π 4 est obtenue avec le poids complexeω1=eiπ4. La courbeγ1
2eiπ est obtenue avec le poids complexeω1=12eiπ.
-2 -1 0 1 2 3 4 -2
-1 0 1 2 3 4 5 6
r
−P→1; 0 −→
P2; 0
(P0; 1)
e−iπ4−P→1; 0
e−iπ4−P→2; 0
1 2e−i3
π 4 −→
P1; 0
1
2e−i3π4 −P→2; 0
γ1 γei
π 4
γ2ei3π4
Figure 3:Invariance de la nature d’une « demi »-parabole modélisée par une courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle(P0;ω0),−P→1; 0
et−P→2; 0
. La courbeγ1est le cas standard avecω0=1. La courbeγ
ei
π 4 est obtenue avec le poids complexeω0=eiπ4. La courbeγ
2ei3π4 est obtenue avec le poids complexeω0=2ei3π4 .
poids complexeω02. En utilisant le lemme 1, nous avons : RQBCn
(P0;ω02);−→P1; 0
;(P2;ω02)o
= RQBC
(P0; 1);
1 ω02
−→ P1; 0
;(P2; 1)
(6)
ce qui montre que :
• Le diamètre[P0P2]de l’ellipse est invariant ;
• Le vecteur tangent ω102−P→1est l’image du vecteur−P→1 par la similitude vectorielle directe rapport |ω1
02| et d’angle arg
1 ω02
=−arg(ω02).
La figure 4 montrent quelques demi-ellipses modélisées par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques de points massiques de contrôle(P0;ω02),−P→1; 0
et(P2;ω02): le cas
« standard » avecω02=1 permettant de déterminer les pa- ramètres de l’ellipse puis deux cas où le poids est complexe.
3.4 Ellipse et hyperbole ayant même diamètre
Si ω0 est un réel non nul,
RQBCn
(P0;ω0);−P→1; 0
;(P2;−ω0)o
est une « demi »- hyperbole de diamètre [P0P2] et de vecteur tangent colinéaire et de même sens que−P→1 enP0 [GD13]. Main- tenant, considérons le poids complexe ω02. En utilisant le lemme 1, nous avons :
RQBC n
(P0;ω02);−→ P1; 0
;(P2;−ω02)o
= RQBC
(P0; 1);
1 ω0
−→ P1; 0
;(P2;−1)
(7)
ce qui montre que :
• le diamètre[P0P2]de l’hyperbole est invariant ;
• le vecteur tangent ω10−→
P1 est l’image du vecteur −→ P1 par une similitude vectorielle directe rapport |ω1
0| et d’angle arg
1 ω0
=−arg(ω0).
La figure 5 montrent deux jointures G1 entre une demi- ellipse et une demi-hyperbole le long du même diamètre [P0P2]:
• la jointure entre le demi-cercle γ1 modélisé par la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle (P0; 1), −P→1; 0
et(P2; 1)et la demi-hyperbole γH1 modélisée modélisé par la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle(P0; 1),−P→1; 0
et(P2;−1);
• la jointure entre le demi-cercle γ
ei5π6 modélisé par la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle
P0;ei56π ,−→
P1; 0 et
P2;ei5π6
et la demi-hyperbole γH
ei5π 6
modélisée
modélisé par la courbe de Bézier rationnelle quadra- tique de points massiques de contrôle
P0;ei5π6 −P→1; 0 ,
et P2;−ei5
π 6
.
Notons que les vecteurs tangents aux demi-ellipse et demi-hyperbole idoines enP0 sont de même sens tandis qu’ils sont opposés enP2 c’est-à-dire que le point P0 est un point de rebroussement.
4 Ensemble des nombres complexes massiques Afin d’utiliser des poids complexes, il est naturel de se place dans l’ensemble des complexes massiques [GB17a].
Définition 1 : CBRQ dans l’ensemble Ce des complexes massiques.
Pouri∈[[0; 2]], considérons les trois complexes massiques suivants
e
zi=zi+ωiκ, zi∈C, ωi∈C (8) où nous avons :
∀z∈C z×κ = 0 κ×κ = κ
La courbe de Bézier rationnelle quadratiques, de nombres complexes massiques de contrôle estγdéfinie en utilisantI l’ensemble des indices des points massiques ayant des poids non nuls etJ l’ensemble des indices des points massiques ayant des poids nuls. Pourt0de[0; 1], si nous avons :
∑
i∈I
ωi×Bi(t0)6=0 (9) nous obtenons :
γg(t) = 1
∑
i∈I
ωiBi(t)⊙(B0(t)⊙ze0)
⊕ 1
∑
i∈I
ωiBi(t)⊙(B1(t)⊙ze1)
⊕ 1
∑
i∈I
ωiBi(t)⊙(B2(t)⊙ze2)
(10)
tandis que dans le cas contraire, nous obtenons : γg(t) =B0(t)⊙ze0⊕B1(t)⊙ze1⊕B2(t)⊙ze2
SoitP(z)et−→u(z). Nous avons la bijection deP ×e C dansCe×Cqui à tout couple de point pondéré(P;ω)associe le complexe massiqueze=z+ω κet à tout vecteur pur−→u associe le complexe massiqueez=z+0κ=z.
La figure 6 montre une branche d’hyperbole modélisée par une courbe de Bézier rationnelle quadratique ayant des nombres complexes massiques de contrôle.
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2 -1 0 1 2 3
rr
−→ P1; 0 (P0; 1)
(P2; 1)
e−iπ4−P→1; 0
e−i5π6−P→1; 0
γ1 γei
π 4
γei5
π 6
Figure 4:Invariance de la nature d’une « demi »-ellipse modélisée par une courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle(P0;ω02),−→
P1; 0
et(P2;ω02). La courbeγ1est le cas standard avecω02=1et nous avons un demi- cercle. La courbeγ
ei
π
4 est obtenue avec le poids complexeω02=eiπ4. La courbeγ
ei5π6 est obtenue avec le poids complexe ω0=ei5
π 6.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -7
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
rr
−P→1; 0 (P0; 1)
(P2;−1) (P2; 1)
e−i5π6−P→1; 0
γ1
γH1
γei5π6 γH
ei5π 6
Figure 5:JointuresG1entre une demi-ellipse et une demi-hyperbole le long d’un diamètre commun.
-1 0 1 2 -2
-1 0 1 2
e z1=2κ
e z0=1+ı
e z2=1−ı ı
1
rb b
γH
Figure 6:Courbe de Bézier rationnelle quadratique ayant pour points de contrôle des nombres complexes massiques représen- tant une branche d’hyperbole.
SoitzΩ=2−ıl’affixe du centre de la similitudeSΩ,π
2,2
de rapport 2 et d’angle π2. La figure 7 montre une branche d’hyperbole modélisé par une courbe de Bézier rationnelle quadratique ayant des nombres complexes massiques de contrôle obtenue comme image par une similitude directe de la branche d’hyperbole [GB17a].
5 Conclusion et perspectives
Dans cet article, nous avons montrer l’effet d’un poids complexe sur une courbe de Bézier rationnelle quadratique : les points affines sont invarients tandis que les vecteurs su- bissent une similitude directe.
Ce travail est préparatoire à un développement de ce mode de représentation particulier. Il serait possible de l’exploi- ter en vue d’optimiser les performances calculatoires ou de créer de nouveaux modes de représentations des objets clas- siques de la C.A.O. améliorant par son élégance, la versa- tilité des structures de données adéquates. La dernière sec- tion tire des conclusions et propose quelques perspectives.
En particulier, nous pouvons nous focaliser sur les proprié- tés des courbes de Bézier rationnelles quadratiques à poids complexes telles que les boucles, les points singuliers ou de rebroussements.
Références
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[BG14] BÉCARJ. P., GARNIERL. : Points massiques, courbes de Bézier quadratiques et coniques : un état de l’art. InG.T.M.G. 2014(Lyon, 26 au 27 mars 2014).
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[FJ92] FIOROTJ. C., JEANNINP. : Courbes splines ra- tionnelles, applications à la CAO, vol. RMA 24. Masson, 1992.
[GB16] GARNIERL., BÉCAR J.-P. : Mass points, Bé- zier curves and conics : a survey. In Eleventh In- ternational Workshop on Automated Deduction in Geo-
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
e z1=2κ
e z0=1+ı
e z2=1−ı ı
rb 1b
γH γH′
rs zΩ
r
Zf1′= (2zΩ)⊕2i⊗(ze1⊕ −2zΩ) =−5ı+2κ Zf2′ =2ı⊗ze2=2+2ı
Zf0′=2ı⊗ze0=−2+2ı
Figure 7:Courbe de Bézier rationnelle quadratique ayant pour points de contrôle des nombres complexes massiques représen- tant une branche d’hyperbole obtenue comme image de la courbe de Bézier rationnelle quadratique de la figure .
metry (Strasbourg, France, juin 2016), Proceedings of ADG 2016, pp. 97–116. http ://ufrsciencestech.u- bourgogne.fr/∼garnier/publications/adg2016/.
[GB17a] GARNIER L., BÉCAR J. P. : Courbes de bé- zier quadratiques et nombres complexes massiques. In G.T.M.G. 2017(Cachan, Mars 2017).
[GB17b] GARNIERL., BÉCARJ. P. :Nouveaux modèles géométriques pour la C.A.O. et la synthèse d’images : courbes de Bézier, points massiques et surfaces canal.
Editions Universitaires Européennes, Saarbrucken, 2017.
ISBN 978-3-639-54676-7.
[GD13] GARNIERL., DRUOTONL. : Inversions de co- niques à centres vues comme des cercles. AFIG, (Ed.), Université de Limoges.
[SR09] SÁNCHEZ-REYESJ. : Complex rational Bézier curves.Comput. Aided Geom. Des.. Vol. 26, Num. 8 (nov 2009), 865–876.
