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Comparaison de deux modèles de comportement viscoplastique à variables internes

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Academic year: 2021

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HAL Id: jpa-00249107

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00249107

Submitted on 1 Jan 1994

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Comparaison de deux modèles de comportement viscoplastique à variables internes

E. Lévêque, P. Delobelle

To cite this version:

E. Lévêque, P. Delobelle. Comparaison de deux modèles de comportement viscoplastique à variables internes. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1994, 4 (2), pp.339-358. �10.1051/jp3:1994123�.

�jpa-00249107�

(2)

Classification

Physics Abstracts 81.40L

Comparaison de deux modkles de comportement viscoplastique

h variables internes

E. Ldvdque et P. Delobelle

Laboratoire de Mdcanique Appliqude (*), UFR Sciences et Techniques, LaBouloie, Route de

Gray, 25030Besanpon Cedex, France

(Re~u le J9 janvier J993, rdvisd le J9 octobre J993, acceptd le 2 novembre J993)

Rdsunld. Il s~agit dans cet article de comparer deux modbles viscoplastiques unifids h variables intemes dtablis h partir de rdsultats expdrimentaux concemant l'acier austdnitique inoxydable 17- l2 MO SPH l'un ddveloppd h l'office National d'Etudes et Recherches Adrospatiales, l'autre au

Laboratoire de Mdcanique Appliqude de Besanpon. L'dtude a permis la validation des deux modbles par rapport h une base de donndes expdrimentales aux tempdratures dlevdes, 550 et 600 °C. Les deux modbles traduisent correctement les phdnomknes inhdrents h des chargements classiques de traction monotone, fluage et d~dcrouissage cyclique h ddforrnation imposde. Par

contre, on note des diffdrences importantes en ce qui conceme l'hdsitation au fluage et les essais

cycliques h contrainte imposde. Dans leur version initiale les deux moddles conduisent h une trks forte surestimation des ddformations progressives (rochet ID et 2D). Cependant, moyennant quelques modifications sur la ddfinition des variables d'dcrouissage cindmatique il est possible

d'apprdhender assez correctement les phdnomdnes de ddformation progressive uniaxiale et biaxiale. En ddfinitive, la comparaison ne ddbouche pas sur une nette prdfdrence pour l'un des deux modbles~ ce qui parait normal puisque ces deux modbles sont de mdme nature.

Abstract. The aim of this paper is about the comparison between two unified models with intemal variables which have been established with 17-12 Mo SPH austenitic stainless steel

experimental results. One is developed at the National Office of Aerospatial Research and Studies~

the other~ at the Applied Mechanical Laboratory of Besanpon. The study proved their validity when applicated to a well known experimental loadings at high temperature, 500-600 °C. The two models report correctly the phenomena corresponding to classical loadings like monotonic traction, creep and cyclic hardening. However~ there are important differences about transient creep and cyclic hardening under stress control. In the present state of the models, the progressive strain under uni or bidirectional loading (ID and 2D ratchet) is strongly overestimated. However, it is shown that it is possible to correctly describe the two types of progressive strain after taking into

account a few modifications in the definition of the evolutionary laws for the tensorial variables of

kinematical hardenings. Finally, the comparison does not allow to prefer one of the two models.

1. Introduction.

Par souci de sdcuritd dans les centrales nuc16aires, Electricitd De France a ddveloppd et financ6

de nombreux programmes d'6tudes sur la mod61isation du comportement viscoplastique des

(*) URA 04, CNRS.

(3)

aciers inoxydables utilis6s pour les structures de r6acteurs h neutrons rapides. Ces travaux de recherche ont abouti dans plusieurs laboratoires au ddveloppement de modbles de comporte-

ment. Au cours d'une 6tude visant h long terme h la sdlection et h l'adaptation d'un de ces

modbles de comportement viscoplastique dans un code de calcul industriel, nous avons

travail16 sur la comparaison de deux mod61isations l'une d6velopp6e au Laboratoire de

M6canique Appliqu6e de Besanpon, l'autre h l'office National d'Etudes et Recherches

A6rospatiales.

Cet article vise ~ montrer les 6ventuels scans entre ces deux modbles par rapport h une base de donn6es exp6rimentales unique.

2. Les modkles.

Etablis h partir des lois issues de la mdcanique des milieux continus et de la thermodynamique

des processus irr6versibles, les deux modbles utilisent la notion de variables intemes. Ils sent unif16s et dtablissent une relation entre la vitesse de ddformation viscoplastique et la contrainte

visqueuse, moteur du fluage des matdriaux [1-4].

II faut pr6ciser que ces modbles ant 6t6 6tablis pour rendre compte du comportement m6canique de l'acier inoxydable 17-12 MO SPH h trbs bas carbone et azote contr016 (316 L) h des tempdratures dlevdes (600 °C), voisines des temp6ratures de fonctionnement (550 °C).

Avant d'exposer en d6tail [es formulations math6matiques des deux modbles on se propose

d'6voquer succinctement les hypothbses m6caniques et physiques qui leurs sont sous-jacentes.

Ces deux modbles s'intbgrent parfaitement dans le contexte thermodynamique g6n6ral des processus irr6versibles h variables intemes et [es ddfinitions de l'dnergie libre et du pseudo- potentiel de dissipation conduisent h l'dcriture des lois d'dvolution des variables ddcrouissages

cindmatiques (X,~, grandeur tensorielle) et isotropes (Y, grandeur scalaire) [5-7]. Notons que dans un souci de simplification les notations ant dtd harmonisdes.

Ces modkles sent, d'une part unifids c'est-h-dire que l'on ne considkre qu'un seul type de ddformation indlastique e~(P, et d'autre part, dcrits en petites ddformations c'est-h-dire que l~on

a la ddcomposition classique pour la ddformation totale e( entre ddformations dlastique e( et indlastique p(P, soit

E(

= El + F(~ (ll

L'acier considdrd dtant initialement isotrope, ces meddles assument la normalitd de la ddformation indlastique h des dquipotentielles de type Von Mises translatdes cindmatiquement

dans l'espace des contraintes ddvides, soit mathdmatiquement :

~?-fl "i~,Yl "11'

(2)

Les fonctions fsont trks fortement non lindaires (Eq. (5) et Eq. (14)), ce qui permet de traduire les effets ddpendant et quasi-inddpendant du temps [8]. Cependant, alors que le modkle ONERA admet l'existence d'une surface de charge (prdsence de crochets dans l'Eq. (14)) h

l'inverse le moddle LMAB considbre que cette surface est nulle (Eq. (5)). De plus, la

composante visqueuse dtant manifestement croissante avec la ddformation et constante lorsque l'dcoulement stationnaire est atteint, on dcrit pour ces moddles que N ddpend des variables scalaires (Eq. (6) et Eq. (15)).

Gdndralement, [es variables d'dcrouissages cindmatiques reprdsentent les contraintes induites par les interactions h diffdrentes distances (longue, moyenne et courte) entre les

dislocations mobiles et celles de la sous-structure. Ainsi, pour ddcrire ces diffdrentes dchelles

(4)

on a souvent recours h plusieurs variables d'dcrouissage cindmatique de cindtiques diffdren- tes [9, 10], soit deux variables pour le modkle ONERA et trois pour le modkle LMAB (Eqs. (7)

et Eqs. (16)). Les lois d'dvolutions de ces variables suivent le schdma du type Bailey-Orowan,

h savoir un dcrouissage lindaire diminud des restaurations dynamique et statique. On 6crit :

X,~ =

A i)f A~X,~ ?P A

~

(i X~~ (3)

On remarque que dans le modkle LMAB il existe un couplage entre les variables scalaires et tensorielles, ce qui permet d'augmenter au cours de la consolidation cyclique, d'une part le niveau asymptotique de chacune des variables d'dcrouissages cin6matiques et d'autre part, le module plastique tangent pour une d6formation fix6e.

Dans le modble ONERA cette demikre propridtd est rdalisde par la fonction Z ~p).

Les variables scalaires, deux pour le modkle LMAB (Eqs. (8) et (9)) et une pour le modkle ONERA (Eq. (17)), sont introduites pour ddcrire la consolidation (ou l'adoucissement) cyclique des matdriaux et sont directement likes h l'augmentation de la densitd des

dislocations. Dans le modkle LMAB l~introduction de deux variables est corrdlde h l'existence de deux familles de dislocations, souvent observdes et refldtant l'hdtdrogdnditd de distribution des dislocations it ]. Notons que ces populations ne prdsentent pas la mEme stabilitd vis-h-vis des effets de la ddformation ou du temps. Comme pour les variables cindmatiques, on adopte le

schdma du type Bailey-Orowan~ soit1 Y

= A4 i~P A~ Yi~P A~(Y) (4)

Pour cet acier, l'amplitude de la consolidation cyclique ddpend essentiellement de

l'amplitude de la ddformation imposde et le retour h des petits cycles conduit h une

Evanescence trks lente de la mdmoire de la plus grande ddformation [2, 8]. On peut voir ici l'intervention de la stabilitd vis-h-vis de la ddformation des populations de dislocations. Du point de vue du formalisme, en accord avec Chaboche et al. [12], Nouailhas et al. [13] et Ohno [14], ces modkles postulent l'existence de surfaces de non dcrouissage, exprimdes dans

l'espace des ddformations, et qui contr61ent l'dvolution des niveaux h saturation des variables scalaires en fonction de l'amplitude de la ddformation plastique par l~intermddiaire du

paramktre de mdmoire q, (Eqs. (10) h (13) et (19) h (22)).

En ddfinitive~ le modble ONERA fait appel h deux variables d'dcrouissages cindmatiques X~~, Xl~',

une variable scalaire Yet une variable de mdmoire q, alors que le modble LMAB fait intervenir trois variables d'dcrouissages cindmatiques X, Xl~~,Xl~~, deux fonctions scalaires Y, Y+ et deux variables de mdmoire q et q+. Si dans [es ddtails ces deux modbles sont diffdrents

(existence ou non d'une surface de charge, choix du nombre des variables et des fonctionnelles

apparaissant dans [es diff6rentes Equations constitutives), leurs structures, donc leurs modes de fonctionnement, sont assez proches.

Les notations g6n6rales figurent en annexe A et [es valeurs des diff6rents parambtres relatifs

aux moddles apparaissent en annexe B. Notons que ces modbles sont dcrits dans leur version

isotherme c~est-h-dire qu'il n~existe pas de termes en T, ni de module d~histoire en

tempdrature [16].

2. I MODtLE LMAB.

. L'dquation d'dtat viscoplastique

EIP = vs Th

II

$ "~

Sh ~" j ~~ "j j~ ~j

,

(5)

~ u ~

(5)

lp Pno

avec N

=

/ (Y

+ PO Y+ ) (6)

~0

V~, do, «?, p~o, Po sont des constantes et ii et n* sont des parambtres fonction de la

tempdrature.

Les lois d'dvolution des variables internes.

. Variables d'dcrouissage cindmatique :

k,~ = p~ (Y + Y+ ) i)f (x,~ x)~ ivP R~ (sh (px"' )"°(J

(7a)

X)~ = pi Y@)~P (X)~ X( ~P) (7b)

X~ ~ P2 Y@(~ X~ @~~

,

(~~~

avec X((0)=X[(0)=X,~(0)=0, oh p~, pi, p~, Mi, Mo, P sont des constantes et

R~ est une fonction de la tempdrature.

. variables d'dcrouissage isotrope :

~ ~~~'~~ ~)(E~~ R~ y y Lo

avec

° ~~~~ ~~ Yo))

Yo =

Max y I

R~ Lo ~~

~ R1 ~~~ ~fl (MaX (X)"' )j Lo (8)

i+

=

b+ (Y~~~ + Y+ )((+ RI (Y+ Y( (~° sign (Y+ Y( ))

R~ /o

~

~~)

avec Y( = Max Y+ [Sh (P (Max (X) '))] °

RI

Yy o~ = Y(0) et Y[ oj = 0

b, Lo, b+ sont des constantes et les parambtres Y~~~+, R~, RI et Ro sont lids h la tempdrature.

Les grandeurs Yo et Yj fixent les amplitudes maximales non restaurables des variables Y et

Y+, et sont d6termindes h partir des valeurs maximales atteintes par l'dquivalent de X, soit X.

Mdmorisation de la prdddformation maximale.

~~~~ ~ ~ ~

~l' (io)

~

" E~~~~ ~0

q

~

~H(G)jn,j nil)

fit(

ii) q+

~

H(G+ ) fi ~

f<J " 1(~ ~ ~(G)(~u n,)) n,) E~~l, (12)

~~~~ ~~~~ ~'~~~ ~~~~ ~ ~~ ~)~~_0~ ~~~~~ ~~

(6)

~ est un parambtre reprdsentatif du pourcentage de mdmorisation et la loi f,~ est obtenue en

dcrivant l'dquation de consistance G

= G

=

0. Y~~ et Y([[ sont des parambtres ddpendant de la tempdrature.

2.2 LE MODtLE ONERA.

. Equation d'dtat viscoplastique

ijP =

~"

~~~ ~~ ~~ ~ exp

a ~~"

~~~ ~~ ~~~ ~~ ~ j ~~ ~~,

(14) (" X)

avec N

= Ko + a~ Y et Y*

= a, Y, (15)

a, K~, a,, a~, n* et Y~ sont des constantes.

Les lois d'dvolution des variables internes.

. Variables d'dcrouissage cindmatique :

X~~ = X)~ + X(

,

(j6~)

xlj

=

C

i ai it C

i xlj e~P z ~p) Pi f'~ xj

,

(16b)

X~j " C2 ~2 ~i ~2 ~~j ~~~ ~ ~l') fl2 ~/ ~~

'

~~~~~

avec z ~p) = z s + (I z s exp(- b /) (16d)

x]~ (o) =

x[ (o)

=

o.

ci, a~, c~, a~, P~, P~, ri, r~, Z s et b sont des constantes.

. Variable d'dcrouissage isotrope :

I

=

b(Y~~~ Y) i~P y Y Y~(~ sign (Y Y~), (17)

lysat_y~at 2

Y~ = Y~~~ Yf °° et Y(0)

=

0 (18)

y~a

b, y, m, Y$ et Y~$~ sont des constantes.

Mdmorisation de la prdddformation maximale : G

= (e~P- f)-q<0, (19)

(

= ~H(G)(n~~ n~)) i~P (20)

f,~ = ~ [(l ~ )H(G)(n,~ n,)) n~) @~P], (21)

2 i~~~

= b'~~(Y~$~ Y~~~) et Y((~~ = Y(~~ (22)

~'l$~ et Y(~~ sont des constantes ddpendant de la tempdrature.

On note que les Equations (10) h (13) sont identiques aux Equations (19) h (22).

(7)

3. Comparaison.

Testds sur un ensemble de donndes expdrimentales issues de plusieurs laboratoires universitaires et industriels, [es deux modbles ont montrd qu'ils restaient valables et

particulibrement fiables pour une gamme de chargements traditibnnels [4] aux tempdratures

voisines de 600 °C.

. Classiquement, un essai monotone de chargement h vitesse de ddformation imposde

conduit h la courbe contrainte-ddformation (Fig. I). Ici, les deuk modbles sont Equivalents et

permettent une bonne simulation de la rdponse du matdriau h ce type de sollicitation.

. On reprdsente ensuite deux essais de fluage h 600 °C. Aprbs un chargement h vitesse de contrainte imposde (usqu'h 275 MPa, Fig. 2 et jusqu'h 320 MPa, Fig. 3), on fixe le niveau de contrainte et on laisse dvoluer la ddformation. Les figures 2 et 3 reprdsentent l'augmentation de

'ii (MPa)

500 450 400

~

350

~~ -LMA

~

#

250

~

x ONERA

~~ ~

X EXP.

150

~

ioo so

~ j~ (%)

0 5 lo 15 20

Fig. I. -Essai de traction monotone. Rdsultats expdrimentaux et numdriques (modbles ONERA et

LMAB). T

= 600 °C, Al 6,6 x 10~~ s~'

[Monotonic tensile tests. Experiments and correlated calculations (ONERA and LMAB models).

T

=

600 °C, I[

= 6.6 x 10~~ s~ '

E (%)

14

12

LMA

~

'ONERA

x x

X EXP.

2

t(heures)

o so ioo iso

Fig. 2.-Essai de fluage. Rdsultats expdrimentaux et numdriques (modbles ONERA et LMAB).

T 600 °C, a~~ = 275 MPa.

[Creep test. Experimental result and correlated calculations (ONERA and LMAB models). T

=

600 °C, a~~ 275 MPa.]

(8)

E (vo)

14

12 LMA

~ X <ONERA

~ X

~ X

X EXP.

8

~X

~ ~ X

2

t (heures)

0 25 50 75 100 125

Fig. 3.-Essai de fluage. Rdsultats expdrimentaux et numdriques (modkles ONERA et LMAB).

T

=

600 °C, a~~

= 320 MPa.

[Creep test. Experimental result and correlated calculations (ONERA and LMAB models). T

=

600 °C, a~~ 320 MPa.]

la ddformation au cours du temps. Lb encore, les rdponses des deux modbles se montrent cohdrentes et fiddles h la rdalitd expdrimentale aussi bien dans la zone transitoire oh la vitesse de ddformation dvolue trbs rapidement que dans les domaines transitoire et stationnaire oh la

vitesse devient trbs faible.

. Lors d'essais cycliques, h vitesse de ddformation imposde, la figure 4 donne la forme de la boucle contrainte-ddformation au niveau stabilisd. De plus, on accorde gdndralement une grande importance h la courbe d'dcrouissage cyclique reprdsentde sur la figure 5. Pour les deux

a (MPa) 400

_~_,.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

X

_~_300 X

_.~ X

loo

/(%)

-0,6 ~,2 0,2 0,4 0,6 0,8

-100

-200

.''

~ x ~ LMA

X

~

.' - ONERA

-~..-.-.-.-.-.-.-.-.

-400 X EXP.

Fig. 4. Essai cyclique b viiesse de ddforrnation imposde. Forme de la boucie stabiiisde. Rdsuitais expdrimeniaux et numdriques (modbles ONERA et LMAB). T=600°C, I(=6,6x10~~s~' Ae]/2

= ± 0,6 %.

[Cyclic test with imposed strain rate. Shape of the stabilized loop. Experimental result and simulations (ONERA and LMAB models). T

=

600 °C, I[

=

6.6 x 10~~ s~' Ae(/2

= ± 0.6 %.)

(9)

Aa/2 (MPa)

500

,

~

,' '

,,

' '

''

400 '

300

*'''

- w~

A' , 'A' ONERA

,

200 ,

~

ioo

AsTj2 1?o)

0 0,25 0,5 0,75 1,25 1,5

Fig. 5. Courbe d'dcrouissage cyclique. Rdsultais expdrimentaux et numdriques (modkles ONERA et

LMAB). T

= 600 °C, I(

= 6,6 x 10~~ s~

[Cyclic hardening curve. Experimental results and numerical simulations (ONERA and LMAB models).

T

= 600 °C, I[

= 6.6 x 10~~ s~ '

modbles, la boucle est correctement situde par rapport aux points expdrimentaux, toutefois, le

mod61e ONERA ddcrit des boucles de forme plus « carrde » que le mod61e LMAB. Cela

provient de l'existence d'un terme cindmatique trop faiblement non lindaire dans l'une des lois d'dvolution des variables du mod61e ONERA. Par contre, les courbes d'dcrouissage cyclique

sont tout h fait semblables pour les deux mod61es et montrent une bonne aptitude h rendre compte des niveaux atteints aprbs stabilisation.

Par contre, pour d'autres essais, les diffdrences entre les deux modbles sont parfois significatives.

. Tout d'abord, nous abordons l'effet d'hdsitation au fluage. A partir d'un dtat de fluage stationnaire, on rdalise un ddcrdment brusque de la contrainte imposde et on laisse rdagir le matdriau. Aprbs une chute de la ddformation rapide, la vitesse redevient positive au-dell d'une certaine pdriode d'incubation. Ce phdnombne est lid h une rdorganisation microstructurale des

populations de dislocations. Numdriquement, quand on inflige au modble un tel chargement, la

prdsence d'une surface seuil dans le cas du modble ONERA conduit la contrainte h l'intdrieur de la surface de charge et empdche toute reprise de la ddformation tant que la contrainte

n'augmente pas h nouveau (Fig. 6). Par contre, avec le modble LMAB, le comportement est

considdrd comme viscoplastique dbs le ddbut du chargement. Ce modble permet donc la

description qualitative de ce type de phdnombne. Par contre, pour le modble LMAB, alors que la vitesse stationnaire sous le second niveau de contrainte est correctement apprdhendde, la

pdriode d'incubation est largement surestimde. Une nouvelle identification des coefficients p~ et R~ conduit h une meilleure estimation.

. Pour [es essais cycliques h contrainte imposde, on enregistre une diffdrence importante au

niveau de la largeur de la premibre boucle contrainte-ddformation et de la quantitd de ddformation autour de laquelle les cycles vont se stabiliser. La figure 7 reprdsente l'allure des cycles (rr, e pour un essai entre contraintes symdtriques imposdes 208 MPa). Ici, le terme

cindmatique faiblement non lindaire prdsent dans le mod61e ONERA conduit h l'dlargissement

(10)

As (°i0-4%)

2

t (heures)

o

_~ lo 20 30 40 50 60 80 90 100

2 ( LMAB

3 ~ ONERA

-4

~

x EXP.

X

~

~ l

-6 7

-o

Fig. 6. Essai d'hdsitation au fluage. Rdsultats expdrimentaux et numdriques (modkles ONERA et

LMAB). Etat initial a~~

= 300 MPa puis ddcrdment de la contrainte de Aa~~ = 40 MPa, T

=

550 °C.

[Creep hesitation test. Experimental result and correlated calculations (ONERA and LMAB models).

Initial state a~~

= 300 MPa, then stress decreasing step of Aa~~

=

40 MPa, T

=

550 °C.

d (MPa)

200 .

. W

0

>

,005

-ioo ~

-200

.

~~

~

300

200

~

100

~

b)

7.

des boucles ontrainte-ddformation pour les

train loops

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