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Submitted on 1 Jan 1972
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ULTRASONS ET PROCESSUS NON LINÉAIRES
V. Krassil’Nikov
To cite this version:
V. Krassil’Nikov. ULTRASONS ET PROCESSUS NON LINÉAIRES. Journal de Physique Colloques,
1972, 33 (C6), pp.C6-225-C6-230. �10.1051/jphyscol:1972649�. �jpa-00215167�
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C6, supplément au no 11-12, Tome 33, Novembre-Décembre 1972, page 225
ULTRASONS ET PROCESSUS NON LINÉAIRES
V. A. KRASSIL'NIKOV
Professeur Faculté de Physique, Université, Institut d'Acoustique. Moscou, URSS
Résumé. - Depuis l'époque à laquelle Paul Langevin a appliqué pour la première fois la pié- zoélectricité du quartz à la production et à la réception des ondes élastiques de haute fréquence, ce vaste domaine de la physique et de la technique s'est développé dans de nombreuses directions.
Au cours des dernières années, on a assisté au développement de l'acoustique des grandes intensités et à i'étude des phénomènes ultrasonores non linéaires. Cette étude revêt, de nos jours, une importance croissante (ondes de plasma, optique et acoustique non linéaires, ondes de surface sur les liquides, etc...).
Les études des phénomènes ultrasonores non linéaires, dans les gaz, liquides et solides sont importantes non seulement en elles-mêmes, mais par le fait qu'elles participent à la compréhension générale de la propagation des ondes.
La communication présente une revue de la position actuelle des effets non linéaires dans le domaine ultrasonore. Une attention particulière est portée au rôle des nombres sans dimension de Mach, Reynolds et au nombre de dispersion. Il est donné des exemples d'altération et d'in- teraction des ondes ultrasonores dans les corps solides, ainsi que des cas de diffusion du son par le son. Il est indiqué le rôle de la dispersion des ondes élastiques dans les cristaux seignettoélectriques du type de LiNbO3.
La question des phénomènes non linéaires au cours de la propagation des ondes ultrasonores dans quelques cristaux seignettoélectriques pendant les transitions de phase du second ordre, près du point de Curie, est également considérée.
Abstract. - Since Paul Langevin first applied the piezoelectric properties of quartz crystals to the generation and detection of high-frequency elastic waves, this wide field of physics and technology has grown into various directions.
During the last years, high-intensity acoustics and the investigation of high-linear ultrasonic phenomena would undergo a great development. Nowadays, these investigations are increasingly important (plasma waves, non linear optics and acoustics, surface waves in liquid, etc...).
The investigations of non linear ultrasonic phenomena in gases, liquids and solids are of interest both by themselves and by their contribution to the general understanding of wave propagation.
This communication is a review of the present position of non linear effects in the field of ultra- sonics. Special attention is brought to the dimensionless Mach and Reynolds numbers, and to the dispersion figure. Examples are given of the alteration and interaction of ultrasonic waves in solids, as well as instances of scattering of sound by sound. The role of the dispersion of elastic waves in Rochelle salt-type crystals of the LiNb03 type is stated.
The matter of non-linear phenomena during propagation of ultrasonic waves in some seignetto- electric crystals during second-order phase transitions, near the Curie point, will also be consi- dered.
Depuis l'époque à laquelle Paul Langevin a utilisé pour la première fois les propriétés piézoélectriques d u quartz pour la production et la réception des ondes élastiques de haute fréquence et a ainsi décou- vert les ultrasons [Il, ce domaine de la physique et de l a technique s'est développé dans de nombreuses directions. L'une de ces directions se rapporte à l'acoustique non linéaire ; les phénomènes non linéaires ont une importance particulière dans le domaine des fréquences ultrasonores car on atteint aisément des intensités plus grandes qu'aux basses fréquences acoustiques. Depuis l'année 1936 P. Biquard [2] avait indiqué l'importance des phénomènes non linéaires pendant la propagation des ultrasons.
L'étude des processus non linéaires de nos jours revêt une importance croissante (ondes de plasma, optique non linéaire, acoustique non linéaire, ondes
à la surface des liquides, etc...). Les études des phé- nomènes ultrasonores non linéaires, dans les gaz, les liquides et les solides sont intéressantes et impor- tantes non seulement en elles-mêmes, mais aussi parce qu'elles permettent la compréhension de la propagation des ondes.
Dans cet article, nous nous proposons de présenter quelques effets non linéaires dans le domaine des ondes ultrasonores se propageant dans des solides dispersifs. Nous ne nous intéresserons pas à l'influence des porteurs libres de charge.
Il faut indiquer que les phénomènes non linéaires en acoustoélectronique ultrasonore, domaine qui se développe rapidement ces dernières années, se manifestent plus encore que dans la propagation d'ultrasons de haute intensité où l'on ne tient compte seulement que de non-linéarité élastique.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1972649
C6-226 V. A. KRASSIL'NIKOV
1. Ondes ~Itrasonores non linéaires. - La pro- pagation des ondes élastiques non linéaires dépend de trois nombres sans dimensions. Ce sont le nombre de Mach M = ulc, où u vitesse acoustique, c vitesse de la propagation du son, le nombre de Reynolds R = uÂlb = Plbco, où A longueur d'onde du son, b un coefficient effectif de viscosité (par exemple b = (413) (y + q') pour un liquide y coefficient de viscosité de cisaillement, q' coefficient de viscosité volumique), P pression du son, o pulsation, et enfin le nombre de dispersion
où Cl, est la vitesse de phase pour la fréquence fondamentale, C,, est la vitesse de phase pour la fréquence double (deuxième harmonique). Ce dernier nombre détermine des propriétés de dispersion du milieu. Les effets non linéaires n'apparaissent que si M # O, R est assez grand et le processus de dissi- pation ne peut pas empêcher le développement de la non-linéarité pendant la propagation des ondes élastiques. En 1861, Riman a obtenu la solution précise du problème de propagation de la perturba- tion élastique pour M # O, R >> 1 et D = O. Si cette perturbation est une onde plane sinusoïdale, la non- linéarité des équations du mouvement et de l'équation d'état du milieu (gaz, liquide) engendre une distorsion d'onde. On peut voir apparaître alors de faibles ondes de choc en dents de scie périodiques.
Ce phénomène a été observé dans un gaz. Pour un liquide, on a supposé tout d'abord que la pro- duction des harmoniques était impossible, les pres- sions de l'onde élastique étant très faibles par rapport à la pression intérieure du liquide. Cependant, les études réalisées plus tard ont démontré [3] que ceci était faux. En effet, durant la propagation de l'onde plane ultrasonore dans un liquide, il est possible aussi de constater une forte distorsion de l'onde plane ainsi que l'apparition d'harmoniques. En même temps on constate une « absorption non linéaire », une partie de l'énergie de la fréquence fondamentale étant transmise aux harmoniques et est amortie.
La puissance rayonnante maximale peut être limitée car cette absorption non linéaire peut être plus importante pour des ondes de grande amplitude que pour des ondes de faible amplitude (à 1-2 ordre de grandeur). Les phénomènes de distorsion d'onde et d'interaction des ondes élastiques provoquées par l'anharmonicité du réseau existent également pour les corps solides. L'interaction indiquée déter- mine une série de phénomènes cinétiques dans les corps solides : le caractère de l'établissement de l'équilibre thermique, l'absorption du son et les particularités des phénomènes de conductibilité de la chaleur. D'autre part, en utilisant les méthodes ultrasonores d'étude des ondes non linéaires, on peut obtenir les paramètres non linéaires des liquides et les constantes élastiques de troisième ordre des
corps solides (sans utiliser de hautes pressions). Les informations recueillies sont nécessaires au déve- loppement de la théorie d'état du liquide, de la physique du corps solide et au progrès de la technique.
En tenant compte de la dissipation (M # O, R 5 1) pour l'onde unidimensionnelle nous aurons à résoudre un problème plus complexe, conduisant à la solution de l'équation non linéaire de Burges :
~ + l
où u = .
2 v (v - vitesse acoustique, y - para- mètre non linéaire). On a proposé ici que le système de coordonnées se déplace avec une vitesse du son Co dans un milieu sans perturbations. Dans cette équation le membre
a2u
a0
7 ax
détermine l'effet de la viscosité pour l'évolution de l'onde plane, a, avec o2 dans l'expression pour coefficient d'absorption à l'approximation linéaire.
L'équation de Burges a une solution précise ; on peut déterminer entièrement l'évolution de la per- turbation par cette solution. Le problème est résolu pour un milieu infini. Il sera plus complexe dans le cas où il faut tenir compte des conditions aux limites (par exemple, la propagation des ondes non linéaires dans une barre).
2. Non-linéarité et dispersion. - Le problème de la propagation des ondes ultrasonores non linéaires est plus complexe lorsqu'il y a dispersion et que le nombre D # O. Dans ce cas les vitesses de l'onde fondamentale à la fréquence w l et des harmoniques (w2, o,) sont différentes. C'est pourquoi le déve- loppement du processus non linéaire se complique.
Alors que dans le domaine de l'électrodynamique (excepté le cas du vide) et en particulier en optique les ondes se propagent avec dispersion, en acoustique cette situation n'apparaît que dans certains cas. Ce sont les processus de relaxation, les transitions de phase de deuxième ordre lorsque la fréquence est telle que la longueur d'onde est comparable à la constante du réseau. La propagation des ondes élastiques dans les guides d'ondes s'accompagne d'une quasi-dispersion. Par exemple, nous avons la dispersion géométrique dans la barre si la longueur d'onde est comparable à sa dimension transversale.
Si les fréquences harmoniques d'onde ne sont pas
synchronisées à cette dispersion cela conduit au
phénomène de modulation spatiale de l'amplitude
de ces harmoniques. Par exemple, la période des
battements spatiaux de l'amplitude de la deuxième
harmonique sera égale à A , = Qn(2 KI - K2)-',
où KI = wl/C1 et K, = o,/C, nombres d'onde
des fréquences fondamentales et double. Ainsi par
suite de la présence de la dispersion l'amplitude de
ULTRASONS ET PROCESSUS NON LINÉAIRES C6-227 la deuxième harmonique n'augmente pas. Ces phé- ,,
nomènes se produisent dans le cas de la propagation <
d'ondes planes capillaires d'amplitude finie sur la surface du liquide. Ces ondes ont une grande dis- persion. La vitesse de p h a s e la propagation de ces ondes est égale à C = J ~ K / ~ , où o coefficient de
la tension superficielle, K nombre d'onde et p densité ,
du liquide. Pour de telles ondes le nombre D est égal à 0,26. En outre, la non-linéarité des équations du mouvement provoque les phénomènes non liné- aires de ces ondes. On peut voir sur la figure 1 l'exem- O
FIG. 2.
d8
à amplitude finie, a, est l'absorption de l'onde à
30 amplitude infinitésimale) [ 5 ] . Pour K = K* les
vitesses de phase de l'onde fondamentale et de la deuxième harmonique coïncident. Sur cette figure
t 20 les courbes 1 et II correspondent au cas pour lequel
2 le rapport de l'amplitude de l'onde fondamentale 5 ,
à la longueur d'onde hl est égal respectivement à
10 4 x et 2 x La figure 2 présente aussi les
résultats expérimentaux [6] : points clairs (@) en O-ksilole ; points sombres (@) en eau.
O Ainsi en présence de dispersion le coefficient
d'absorption non linéaire se conduit d'une manière O 4 5 4 0 Y,5 cm telle que : D = O. Pour le cas unidimensionnel la x- théorie des ondes non linéaires au milieu dispersif
FIG. 1. mais sans dissipation est déterminée par l'équation de Korteweg, de Vries [7] :
ple des battements spatiaux de l'amplitude de la deuxième harmonique, provoqués par la dispersion, qui a lieu pendant la propagation d'onde plane capillaire sur la surface de l'eau à la fréquence 80 Hz (2 = 0'41 cm) [4]. Ici suivant l'axe des ordonnées est indiquée l'amplitude de la deuxième harmonique e t suivant l'axe des abscisses la distance parcourue par l'onde. On peut voir d'après cette courbe que la période des battements spatiaux A , coïncide bien avec la valeur théorique indiquée précédemment.
O n doit noter que si les ondes de surface du liquide s'étaient propagées sans dispersion le coefficient d'absorption serait plus grand à cause des effets non linéaires comme cela a lieu pour la propagation d e l'onde plane ultrasonore de grande amplitude, l'énergie de l'onde fondamentale passant sans dis- continuité aux harmoniques. Pourtant la vitesse des 'ondes à la surface du liquide est égale à
(ici g accélération de la pesanteur et l'absorption .essentiellement non linéaire a lieu seulement si les nombres d'ondes des ondes capillaires et des ondes de gravitation sont tels que les vitesses de phase coïncident pour la première et la deuxième harmo- nique. Dans ce cas la variation de allao en fonction du nombre d'onde K est indiquée sur les courbes 1 et 2 de la figure 2 (ici a, est l'absorption de l'onde
La quantité j? = c0/K2 est le paramètre de dis- persion. L'une des solutions possibles précises de cette équation est l'onde solitaire ou le « solitone ».
En ce moment on peut dire que nous avons jusqu'à un certain point la mécanique spécifique des soli- tones. Par exemple, on utilise cette théorie pour résoudre le problème de la propagation des ondes non linéaires à la surface du liquide et des ondes non linéaires dans les plasmas.
Peut-il se former des solitones pendant la pro- pagation des ondes ultrasonores dans un corps solide isotrope ? Une étude a permis de dire que la formation du solitone est possible pour des fré- quences de l'ordre de 1012 Hz, lorsque la dispersion existe et que la longueur d'onde est comparable à la constante de réseau. En même temps le nombre de Mach doit être assez élevé (M > 0,l). Le nombre de Mach, obtenu aujourd'hui pour les ondes super- ficielles dans les corps solides est égal à IO-'. Dans ce calcul on ne prend pas en considération la dissi- pation. Par conséquent, des solitones ne peuvent généralement pas exister dans des corps solides isotropes.
3. Non-linéarité et quasi-dispersion. - Au cours
de la propagation des ultrasons dans les corps solides
C6-228 V. A. KRA limités on peut souvent observer le phénomène de la quasi-dispersion, qu'on nomme parfois la dis- persion « géométrique ». Soit une barre de diamètre d fixée en son milieu. Le signal ultrasonore (l'onde longitudinale) de haute fréquence o (de longueur d'onde A), modulé par la basse fréquence 52 (de longueur d'onde A), est amené au pavé de la barre (le diamètre de cette barre est déterminé à partir de la condition A < d < A). En ce cas des compo- santes du spectre du signal modulé (o, o f 52, etc ...) se propageront dans cette barre. Par suite de l'inter- action non linéaire de ces composantes la basse fréquence 52 (la fréquence de modulation) se dégage, c'est-à-dire cela vient de la détection par l'élasticité non linéaire de la barre. Si la fréquence de modulation et l'une des fréquences propres de la barre coïnci- dent, il y a résonance. On peut recevoir le signal détecté et l'amplifier ensuite en utilisant la lame ferromagnétique, collée à la barre si celle-ci n'est pas un matériau magnétique. A cause du haut facteur de qualité de la barre ce signal est assez fort. L'am- plitude du signal détecté par la méthode acoustique ne dépend que de la relation entre les fréquences ; si l'absorption de la fréquence porteuse à la longueur de la barre est petite, cette amplitude dépend aussi de cette fréquence porteuse.
Pour les barres d'aluminium de longueur 25 et 75 cm la dépendance de l'amplitude des vibrations longitudinales de ces barres avec la fréquence por- teuse o est indiquée sur les courbes 1 et II de la figure 3 pour la fréquence SZ [8]. Il est possible de
voir la résonance triple. Cela s'explique par l'existence de trois fréquences dans le spectre de radiation : une fréquence porteuse et deux fréquences latérales.
Ces résultats correspondent au nombre de Reynolds
où t, amplitude du déplacement, KI nombre d'onde de la fréquence fondamentale et a coefficient de l'absorption. Il est possible de voir les effets non linéaires d'une telle (faible) non-linéarité en utilisant une méthode de résonance à condition que la barre
ait un haut facteur de qualité (- 105). On doit aussi indiquer que la possibilité d'observer la détection acoustique ainsi que l'existence de la résonance triple sont liés à la dispersion géométrique de la barre (la différence de vitesse de propagation des ondes longitudinales suivant que leur longueur d'onde est plus ou moins grande que le diamètre de la barre).
Le problème de la quasi-dispersion attire notre attention, quand nous considérons la propagation d'une onde transversale d'intensité élevée dans un corps solide isotrope. Dans ce cas la théorie des ondes non linéaires a mis au point des résultats très intéressants : des ondes longitudinales à la fréquence double sont produites par action des ondes transver- sales. Pourtant la vitesse d'une onde longitudinale est différente de celle d'une onde transversale. C'est pourquoi il s'agit d'un effet non synchrone provoqué par telle quasi-dispersion. L'amplitude d'une har- monique produite par la quasi-dispersion est modulée en espace parce que le synchronisme est absent.
La période de cette modulation d'amplitude est égale à A , = 2 n(Kl - K , ) - l .
4. Non-linéarité et dispersion du son dans des ferro- électriques.
-La propagation d'une onde longi- tudinale ultrasonore dans des ferroélectriques est accompagnée de dispersion. Il est connu que la nature de la dispersion de permittivité des ferro- électriques est liée aux particularités de la polarisation de ces matériaux. Pour tel ferroélectrique comme le crystal de LiNbO, les valeurs de
Ele long de l'axe trigonal de Z sont égales à e,, = 27 et e,, = 25,5 pour les fréquences 1 MHz et 10 GHz. En proposant que la valeur
Ediminue avec la fréquence f = 012 a suivant la loi linéaire, on peut obtenir :
Les propriétés élastiques et piézoélectriques des cristaux piézoélectriques étant liées la dispersion de
Edoit provoquer celle de la vitesse du son. Les deux cristaux de LiNbO, ont pour dimensions suivant l'axe Z : 1, = 3,36 et 1, = 5,41 cm, la dépendance du changement de vitesse C,Jl s-' en fonction de la fréquence est présentée sur la figure 4 [9] (le pre- mier cristal est un cylindre de rayon 7 mm, le second a une section transversale de 7 x 8 mm). Les valeurs de dispersion dans la bande des fréquences de 400 à 1 100 MHz sont égales à :
Sur la figure 4 la courbe indique la variation C,,/l en fonction de f pour le spécimen de longueur Il.
Il est évident que le changement de vitesse est nul.
ULTRASONS ET PROC :ESSUS NON LINÉAIRES C6-229
Pourtant même une telle faible dispersion exerce une influence sur les processus non linéaires à hautes fréquences.
La propagation des ondes superficielles de Rayleigh de fréquence fondamentale (f = 1,69 GHz) et du deuxième harmonique, se propageant suivant l'axe Z du cristal de LiNbO, est présenté sur la figure 5
(les mesures sont faites par la méthode optique en utilisant la diffraction de Bragg des ondes super- ficielles [IO]). On peut voir que la deuxième har- monique a des battements spatiaux analogues à ceux de la figure 1.
Il est bien connu que les ondes de Rayleigh se propagent sans dispersion. C'est pourquoi pour expliquer les résultats présentés ci-dessus, nous devons proposer que notre milieu ait la même dis- persion. Le calcul de A , montre que la valeur de
dispersion d'un cristal doit être telle que AC/CeO,Ol%.
Cette dispersion correspond aux résultats expéri- mentaux, présentés sur la figure 4. r o n d e de Rayleigh est la combinaison d'une onde longitudinale et d'une onde transversale.
Pour la solution rigoureuse de ce problème il est nécessaire d'avoir la théorie correspondante. L'ex- plication de l'évolution de la deuxième harmonique donnée dans l'article [IO], diffère de celle que nous avons présentée ici.
5. Effet non linéaire dans les transitions de phase du 2e ordre dans des ferroélectriques. - Il est connu que les méthodes acoustiques sont importantes dans les recherches de la dynamique des transitions de phase du deuxième ordre. On a mesuré la dépen- dance de la vitesse et de l'absorption de la tempé- rature près du point de Curie. De ces résultats on a obtenu certains paramètres de transition. En utilisant les méthodes ultrasonores non linéaires, réalisées récemment [Il], [12], [13] on peut étudier l'évolution des constantes élastiques du troisième ordre aux environs du point de Curie. De ces mesures on peut voir 1121, [13] que le paramètre effectif non linéaire de ï augmente. On a étudié [13] la propagation de l'onde quasi longitudinale suivant l'axe Z dans un cristal de sulfate de glycocolle (TGS) à partir d'une température de transition du deuxième ordre à 49,5 OC. Pour cet axe dans le ferroélectrique I'évo- lution des constantes du deuxième et du troisième ordre dépend du phénomène de l'électrostriction.
La propagation de l'onde longitudinale avec la composante du déplacement 5, est déterminée par une équation d'onde :
où ï paramètre non linéaire, c vitesse de l'onde longitudinale suivant i'axe 2. (On peut ne pas tenir compte des dérivées de la composante t,.)
Soit deux ondes se propageant aux amplitudes du déplacement 5 , et t2 aux fréquences fl et f2, et aux coefficients d'absorption 5 , et c2. Ainsi en utilisant l'équation indiquée ci-dessus et la méthode des équations « raccourcies » on peut obtenir l'ampli- tude d'onde apparue à la fréquence additionnelle f3
=f1 + f,. Une solution est de la forme :
En utilisant le dispositif de régulation de tempé- rature (la vitesse de variation de la température n'est plus que 5 x gradlmn) on a mesuré cette amplitude pour le cristal de TGS à des fréquences
f 1
