ETUDE ALTERNATIVE DE DIMENSIONNEMENT D’UNE TOITURE EN VOILE MINCE PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS :

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DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

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Option : Bâtiments et Travaux Publics (BTP) 6ème Promotion

Mémoire de fin de Formation pour l’obtention du diplôme d’Ingénieur de Conception en Génie Civil

THEME

P

Présenté et soutenu par : YEGBEMEY Elvice Chélidoine

Devant le jury composé de :

Dr. SAVY Mathias Président Dr. ANANOUH Victor Examinateur 1 Dr. OLODO Emmanuel Examinateur 2 Prof. Dr. GIBIGAYE Mohamed Rapporteur 1 Ing ACCALOGOUN Léandre Rapporteur 2

Sous la supervision de : Prof. Dr. GIBIGAYE Mohamed

Ing ACCALOGOUN Léandre

Décembre 2013

ETUDE ALTERNATIVE DE DIMENSIONNEMENT D’UNE TOITURE EN VOILE MINCE PAR LA METHODE DES

ELEMENTS FINIS : CAS DE L’HEMICYCLE DE

L’ASSEMBLEE NATIONALE DU BENIN

YEGBEMEY Elvice Chélidoine i

DEDICACES

A Mon père YEGBEMEY Bonaventure et à ma mère HOUNNON Pélagie pour m’avoir mis à l’école.

YEGBEMEY Elvice Chélidoine ii La présente étude n’aurait connu un aboutissement heureux sans le concours de plusieurs personnes tant physiques que morales. Nous voudrions saisir cette opportunité pour adresser nos sincères remerciements:

Au Professeur Félicien AVLESSI, Directeur de L’Ecole Polytechnique d’Abomey-Calavi et au Professeur Martin AINA chef du Département de Génie Civil.

Au Professeur Mohamed GIBIGAYE qui a accepté, malgré ses multiples charges et occupations de nous orienter et de nous guider tout au long de la réalisation de ce travail. Vos qualités professionnelles, humaines et morales se passent aujourd’hui de commentaires.

A Monsieur Léandre ACCALOGOUN, Directeur du Bureau d’Etudes et de Contrôle ACL Consultant pour nous avoir proposé le présent Thème et pour nous avoir suivi avec attention pendant tout le déroulement de ce travail au cours de notre stage de fin de formation au sein dudit bureau. Ce document n’aurait pu être réalisé sans ses conseils, sa disponibilité permanente, son esprit d’écoute et son soutien.

A tous les enseignants notamment ceux du département de Génie civil qui ont énormément contribué à notre formation. Nous voulons citer :

 Pr. ADJOVI Edmond, Maître de conférences en Sciences de l’Ingénieur ;

 Dr ALLOBA Ezéchiel, Maitre-assistant des universités :

 Dr BACHAROU Taofick, Docteur Ingénieur en Hydraulique ;

 Dr CODO François de Paule, Maitre-assistant des universités ;

 Dr CHAFFA Gédéon Maitre-assistant des universités ;

 Dr DEGBEGNON Léopold, Docteur Ingénieur en Géodésie ;

 Dr DIOGO Noël, Docteur architecte ;

 Pr GBAGUIDI Aïssè Gérard, Maitre de conférences des universités ;

 Pr GBAGUIDI S. Victor, Maitre de conférences des universités;

 Pr GIBIGAYE Mohamed, Docteur Ingénieur en Génie Civil spécialiste en structure ;

 Dr HOUINOU Agathe SOUROU, Docteur Ingénieur en Mécanique des sols ;

 Dr HOUINOU Gossou Jean, Docteur Ingénieur en Génie Minier et Topographie ;

 Dr SAVY Mathias, Maitre-assistant des universités ;

 Dr TCHEHOUALI Adolphe, Maitre-assistant des universités ;

YEGBEMEY Elvice Chélidoine iii

 Dr WANKPO Tonalémi Epiphane Sonon, Docteur Ingénieur en Hydraulique ;

 Dr ZEVOUNOU Crépin, Maitre-assistant des universités ;

 Dr ZINSOU Codjo Luc, Docteur Ingénieur en Mécanique des sols ;

 Ing. ZOHOUNGBOGBO Prosper, Enseignant à l’EPAC, cours de base de qualité

 Ing Maximin d’ALMEIDA, Enseignant à l’EPAC, cours de Construction Appliquée.

Au doctorant Karka BOZABE qui s’est toujours montré disponible chaque fois que nous étions dans le besoin ;

A l’ingénieur Daniel AGOSSOU, au doctorant Valérye DOKO et à monsieur Joël ZINSALO pour leurs conseils et leur soutien.

A Mr Rodrigue IDOHOU pour son soutien permanent.

A tout le personnel du bureau d’études ACL-Consultant pour leur soutien A tous les camarades de la 6^ème promotion et plus particulièrement mes amis Lévis, Franck, Joseph, Anicet, Ralph et Adèle avec qui nous avons passé cinq (5) mémorables années de notre vie et pour les nostalgiques moments d’entraide, de solidarité et de joie.

A mes amies Corinne, Carinne, Grâce, Elyette, Alida, Gwladys, Razidath et Stéphanie avec qui j’ai passé de très bons moments durant ces cinq années.

Nous tenons également à rendre un hommage aux illustres membres du jury qui ont en charge l’appréciation de la qualité de ce travail. Nous sommes persuadés que vos sages remarques, contributions et suggestions nous aiderons à améliorer la qualité scientifique de ce travail.

Je voudrais enfin remercier tout spécialement ma famille :

Mon père YEGBEMEY Bonaventure pour l’éducation et pour tous les sacrifices consentis à mon égard

Ma mère HOUNNON Pélagie pour tous les sacrifices

Mon frère YEGBEMEY Evince pour son soutien indéfectible et inconditionnel.

Sans toi mon cursus universitaire n’aurait peut-être pas connu un aussi heureux aboutissement.

Mes frères YEGBEMEY Rosaine et YEGBEMEY Rosette pour leur soutien moral et financier.

YEGBEMEY Elvice Chélidoine iv Les voiles minces sont des structures autoportantes qui permettent de couvrir de grands espaces sans appuis intermédiaires. Leur légèreté, l’économie dans les armatures, les appuis et fondations de même que l’esthétique des constructions sont autant de paramètres qui poussent le concepteur à choisir les toitures voile en béton armé.

La présente étude vise à valoriser leur utilisation comme couverture des bâtiments de grandes envergures. A cet effet, l’étude de leur stabilité a été faite par la méthode des éléments finis. Ainsi, pour réduire les temps de calculs, le logiciel Robot Millénium a été utilisé pour modéliser, analyser et interpréter les résultats. Par ailleurs une étude économique a été réalisée afin de comparer les coûts de réalisation d’une toiture en charpente métallique et d’une structure en voile mince.

Cette étude a montré que l’augmentation de l’épaisseur de la plaque entraine une diminution des déplacements tandis que l’augmentation de la résistance caractéristique du béton permet la réduction de la densité du ferraillage. Pour le modèle de panneaux avec des butées en poutres retenu, les résultats ont révélé que la plaque travaille en général en flexion composée avec traction. La traction étant une sollicitation à laquelle résiste peu le béton, il a fallu augmenter l’épaisseur de la plaque pour assurer sa stabilité. Par ailleurs, l’étude économique a révélé que les toitures en charpente métallique sont plus onéreuses que celles en voile mince dans les pays où l’acquisition du matériau acier est difficile. Ces différents résultats constituent des arguments favorables pour la promotion des voiles minces.

Mots clés : Epaisseur, Méthode des éléments finis, plaque, valorisation, Voile mince en béton armé.

YEGBEMEY Elvice Chélidoine v

ABSTRACT

Thin shells are self-supporting structures which make it possible to cover great spaces without intermediate support. Their lightness, the economy in the reinforcements, the supports and foundations as well as the esthetics of the constructions are as many parameters which lead the designer to choose the roofs in reinforced concrete hulls. The present study aims at promoting their use as cover of the buildings of high buildings. Accordingly, the study of their stability was made by the finite element method. Thus, the software ‘Robot Millennium’ was used to model, analyze and interpret the results in order to reduce the computing times. Additionally, an economic survey was carried out in order to compare the costs of realization of a roof out of metallic frame and a structure in thin shell. This study showed that increasing the thickness of the plate leads to a reduction in displacements while the increase in characteristic resistance of the concrete causes the reduction of the density of reinforcement. For the model of panels chosen with thrusts in beams, the results revealed that the plate works generally in compound inflection with traction.

Therefore, it was necessary to increase the thickness of the plate to ensure its stability as the traction is a solicitation to which the concrete resists a little. Moreover, the economic survey revealed that the roofs of metal frame are more expensive than those in thin shell. Accordingly, these results are favorable arguments for the promotion of the thin shells.

Key words: Finite element method, plate, thickness, thin reinforced concrete shell, valorization.

YEGBEMEY Elvice Chélidoine vi

DEDICACES ... i

REMERCIEMENTS ... ii

RESUME ... iv

ABSTRACT ... v

SOMMAIRE ... vi

LISTE DES SIGLES ET ACRONYMES ... vii

LISTE DES TABLEAUX ... viii

LISTE DES FIGURES ... ix

LISTE DES PHOTOS ... xi

LISTE DES ANNEXES ... xii

1. INTRODUCTION ... 1

2. GENERALITES SUR LES VOILES MINCES ... 5

3. ETAT DE L’ART ET CHOIX DE FORME ...12

4. COMPORTEMENT STRUCTURAL DES VOILES MINCES ...17

5. METHODES DE CALCUL DES VOILES MINCES ...25

6. MATERIELS ...35

7. DESCRIPTION DU PROJET DE CONSTRUCTION DU SIEGE DE L’ASSEMBLEE NATIONALE ...37

8. DESCENTE DES CHARGES ET POSSIBILITES DE CONCEPTION ...42

9. MODELISATION ...47

10. RESULTATS D’ANALYSE STRUCTURALE ...77

11. DISCUSSION ...93

12. CONCLUSION ET SUGGESTIONS ...95

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ...96

TABLE DES MATIERES ...98

ANNEXES ... 102

YEGBEMEY Elvice Chélidoine vii

LISTE DES SIGLES ET ACRONYMES

 : Coefficient de poisson , ,

x y z

   : Contraintes normales dans les directions x, y et z , ,

xy xz yz

   : Contraintes tangentielles , ,

x y z

   : Déformation linéaire suivant les axes x, y et z respectivement , ,

xy xz yz

   : Déformations angulaires , ,

u v w : Déplacement suivant les axes x, y et z respectivement

x, y

N N : Efforts normaux créés par les contraintes  _x, _y h : Epaisseur de la plaque

 

^K : Matrice de rigidité

E : Module d’élasticité longitudinal G : Module de cisaillement

x, y

M M : Moments de flexion par unité de longueur dans les plans normaux à x et à y Mxy : Moments de torsion par unité de longueur dans le plan normal à x

D : Rigidité cylindrique de la plaque , ,

x y z

R R R : Rotations suivant les axes x, y et z respectivement

 

^d : Vecteur déplacement

BAEL : Béton Armé aux Etats Limites d.d.l : Degré de liberté

ELS : Etat Limite de Service ELU : Etat Limite Ultime

YEGBEMEY Elvice Chélidoine viii

Tableau 9.1 : Résultats des réactions d’appui par la méthode manuelle ... 61

Tableau 9.2 : Résultats des réactions d’appui avec le logiciel ... 61

Tableau 9.3: Déplacements en fonction de l’épaisseur pour fc28=25MPa ... 65

Tableau 9.4: Déplacements en fonction de l’épaisseur pour fc28=30MPa ... 66

Tableau 9.5: Déplacements en fonction de l’épaisseur pour fc28=35MPa ... 68

Tableau 9.6: Variation des déplacements entre deux résistances caractéristiques du béton ... 74

Tableau 10.1: Sections d'acier pour chaque panneau ... 89

Tableau 10.2: Evaluation des massifs ... 91

YEGBEMEY Elvice Chélidoine ix

LISTE DES FIGURES

Figure 2.1: Poutre- cloison ... 6

Figure 2.2: Voiles prismatiques ... 7

Figure 2.3: Voiles plissés ... 7

Figure 2.4: Voiles cylindriques ... 7

Figure 2.5: Surfaces conoïdales ... 8

Figure 2.6: Conoïdes ... 8

Figure 2.7: Paraboloïdes hyperboliques ... 9

Figure 2.8: Paraboloïdes elliptiques ... 9

Figure 2.9: Coupoles surbaissées ... 10

Figure 2.10: Voiles toriques ... 10

Figure 3.1:Hypothèses en théorie des plaques et des coques ... 13

Figure 3.2:Coque cylindrique entrecoupée à angle droit ... 14

Figure 3.3: Surface de définition d'un hypar ... 15

Figure 3.4: Tuiles plates et tuiles avec courbure ... 16

Figure 4.1: Elément de plaque ... 17

Figure 5.1: Fonctions de forme à une dimension ... 30

Figure 5.2: Fonctions d'interpolation linéaires du triangle ... 31

Figure 5.3: Fonctions d'interpolation quadratiques du triangle ... 31

Figure 7.1:Structure métallique (Hémicycle plénière et locaux) ... 40

Figure 7.2: Structure métallique (Hémicycle hall d’accueil et salle des pas perdus) . 41 Figure 9.1: Modèle de panneaux sur poutres ... 47

Figure 9.2: Assemblage d’un élément barre et d’un élément poutre ... 48

Figure 9.3: Modèle autoportant ... 62

Figure 9.4: Position des nœuds dans le plan xy ... 64

Figure 9.5: Evolution des déplacements suivant y et z en fonction de l’épaisseur et de fc28 ... 70

Figure 9.6: Evolution des déplacements suivant y et z en fonction de l’épaisseur et de fc28 ... 71

Figure 9.7: Variation des déplacements suivant y en fonction des résistances caractéristiques du béton ... 72

Figure 9.8: Variation des déplacements suivant z en fonction des résistances caractéristiques du béton ... 73

YEGBEMEY Elvice Chélidoine x

Figure 10.2: Cartographie des déplacements ... 78

Figure 10.3: Allure des moments fléchissant en chaque nœud ... 80

Figure 10.4: Cartographies des moments fléchissant (a) direction 1(b) direction 2 (c) direction composée 1-2 ... 81

Figure 10.5 : Répartition des contraintes dans la plaque au niveau des fibres supérieure, moyenne et inferieure:... 83

Figure 10.6: Efforts de membrane dans la plaque ... 83

Figure 10.7: Cartographie des contraintes au niveau des fibres (a) supérieure (b) moyenne (c) inférieure ... 84

Figure 10.8: Cartographie des efforts de membrane au niveau des fibres ... 86

Figure 10.9: Ferraillage lit supérieur ... 90

Figure 10.10: Ferraillage lit inférieur ... 90

YEGBEMEY Elvice Chélidoine xi

LISTE DES PHOTOS

Photo 2.1: Grand hall de l'université royale de Phnom Penh ... 10

Photo 2.2: Auditorium de l'université de Constantine ... 10

Photo 2.3: Palais des sports de Rome ... 11

Photo 2.4: Terminal aéroport de New York... 11

Photo 2.5: Cathédrale de Brasilia ... 11

Photo 2.6: Bâtiment à la défense à Paris... 11

Photo 2.7: Opéra de Sydney ... 11

YEGBEMEY Elvice Chélidoine xii

Annexe 1: Graphes utilisés pour la détermination de la pression du vent ... 103

Annexe 2: Résultats détaillés des réactions aux appuis au niveau des barres ... 105

Annexe 3: Résultats détaillés des efforts dans les barres ... 105

Annexe 5: Résultats détaillés des déplacements aux nœuds ... 106

Annexe 6: Résultats détaillés des moments fléchissant pour chaque panneau ... 108

Annexe 7: Résultats détaillés des contraintes de Von Mises ... 110

Annexe 8: Résultats détaillés des efforts de membrane ... 112

Annexe 9: Résultats des sections d'acier pour chaque panneau... 114

Annexe 10: Cartographie des sections d’acier ... 116

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 1

1. INTRODUCTION

1.1. Problématique, contexte et justification

La toiture représente la fermeture supérieure des constructions. Sa conception, tant dans son ensemble que dans ses détails, requiert un soin particulier.

Son rôle primordial est de protéger ces dernières contre les intempéries (précipitations et autres influences atmosphériques), elle doit être étanche, résister aux contraintes mécaniques des vents violents et contribuer à l’esthétique de l’ouvrage. Il existe deux grandes familles de toiture du point de vue mode de résistance. La première, l’étanchéité est assurée par la couverture, (les tuiles, les ardoises, les matériaux métalliques, etc.) et la résistance par la charpente (charpente bois ou métallique). La seconde regroupe les toitures terrasses où la résistance est assurée par les éléments horizontaux ou obliques en béton armé et l’étanchéité constituée par un traitement spécial exécuté à la surface exposée aux intempéries [1]

La charpente métallique constitue un élément de construction rigide qui permet de dégager de grands espaces utiles au sol [2]. La portée de ces éléments d’ossatures peut atteindre plusieurs dizaines de mètres. Plusieurs études ont été menées sur les charpentes métalliques. FRUITET [3] dans son ouvrage « Aciers de construction, caractéristiques et bases de choix » s’est intéressé à la conception générale des constructions métalliques. Il ressort de ces résultats que la préfabrication des éléments de la charpente métallique nécessite des études importantes en évitant les improvisations sur le chantier. Toutefois, leur légèreté peut entrainer des phénomènes d’instabilité élastique tels que le flambement, le voilement, le déversement lorsqu’elle est soumise au vent. De plus, Les qualités du matériau acier, son homogénéité, sa forte résistance, sa ductilité, la fiabilité de ses caractéristiques, s’assortissent d’un coût relativement élevé [4]. Ces insuffisances font de la structure métallique une toiture non adaptée au contexte socioéconomique des pays en voie de développement dont le Bénin. Ainsi, d’autres types de toitures réalisables avec les matériaux disponibles localement et à moindres coûts peuvent être explorées.

Au nombre de ceux-ci distingue-t-on les voiles en béton armé. Ce sont des couvertures autoportantes. Les voiles se caractérisent par le fait que les contraintes agissant sur une facette normale à la surface moyenne varient sur l’épaisseur du voile [5]. Elles permettent de couvrir de grands espaces sans appuis intermédiaires.

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 2 Leur légèreté, l’économie dans les armatures, les appuis et fondations de même que l’esthétique des constructions sont autant de paramètres qui poussent le concepteur à choisir les toitures en voiles en béton armé [1]. Une étude réalisée sur les voiles a révélé qu’elles sont efficaces pour résister aux charges réparties [6]. Les charges concentrées et les changements de géométrie nécessitent des renforcements locaux.

Par ailleurs, les réalités socio-économiques inhérentes au développement ascendant du monde, surtout des pays au Sud du Sahara, imposent aux concepteurs de faire une gestion appropriée des ressources disponibles. De plus, les lourds investissements consentis dans l’acquisition du matériel et les prestations de services onéreuses constituent un frein à la réalisation d’infrastructures importantes dans la plupart de ces pays.

C’est le cas du chantier de construction du nouveau siège de l’Assemblée Nationale du Bénin. Dans le cadre de ce projet, les études relatives à la toiture ont été réalisées par un bureau d’études étranger qui a proposé une structure de toiture en charpente métallique [7]. Suite à cela, les commandes de profilés ont été faites à l’extérieur. Ce qui a nécessité des investissements importants autant pour l’acheminement que pour la réalisation des ouvrages sur le terrain.

De ces constats, plusieurs interrogations sont nées : N’existe-t-il pas de compétences béninoises capable de dimensionner une telle structure ? Ne pourrait- on pas penser à une autre structure réalisable avec les matériaux locaux ?

C’est donc à juste titre que vient notre étude intitulée : « Etude alternative de dimensionnement d’une toiture en voile mince par la méthode des éléments finis : cas de l’Hémicycle de l’Assemblée nationale du BENIN ».

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 3

1.2. Objectifs

L’objectif général est de promouvoir l’utilisation des structures de voiles en béton armé comme toiture des bâtiments de grandes envergures.

De façon spécifique, cette étude vise à :

 Utiliser les éléments finis comme outils d’aide au dimensionnement des éléments porteurs et structures de voiles en béton armé ;

 Evaluer l’influence des paramètres épaisseur et rayon de courbure sur la stabilité du voile ;

 Réaliser l’étude comparative d’une structure en voile mince et d’une charpente métallique.

1.3. Plan de l’étude

Le présent travail se présentera essentiellement en trois grandes parties. La première partie "Revue Bibliographique" aborde les généralités sur les voiles minces et fait un point des travaux réalisés par d’autres auteurs. La deuxième partie

"Matériels et Méthodes" présente les matériels qui nous ont permis de mener notre étude et les méthodes utilisées. Enfin, la troisième partie "Résultats et Discussion"

montre les résultats de l’analyse structurale et confronte nos résultats à la littérature.

Synthèse bibliographique

 Généralités sur les voiles minces

 Etat de l’art et choix de forme

 Comportement structural des voiles

 Méthodes de calcul des voiles minces

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 5

2. GENERALITES SUR LES VOILES MINCES

2.1. Définitions

Les voiles minces sont des structures spatiales dont l’épaisseur est faible par rapport aux deux autres dimensions et dans lesquelles les contraintes agissant parallèlement à la surface moyenne sont prépondérantes [5]. Les voiles minces peuvent se subdiviser en membranes et en coques.

Les membranes se caractérisent par le fait que les contraintes agissant sur une facette quelconque normale à la surface moyenne sont constantes sur toute l'épaisseur du voile.

Les coques se caractérisent par le fait que les contraintes agissant sur une facette normale à la surface moyenne varient sur l’épaisseur du voile. Dans ce cas, les moments de flexion et de torsion sollicitent la facette en plus des tensions.

2.2. Avantages et inconvénients

Le principal avantage de ces structures réside dans leur légèreté. En effet les éléments porteurs sont éliminés avec la forme particulière qui est donnée aux éléments couvrants, et celle-ci devra être adaptée aux charges qu’ils supportent.

Leur légèreté entraîne automatiquement une économie qui n’est nullement négligeable au niveau des armatures, des supports et des fondations. Ces modèles de structure représentent souvent une solution idéale pour la couverture des salles de réunion et des centres de compétition sportive en ce sens qu’ils permettent de créer des espaces de très grandes dimensions sans appuis intermédiaires [8].

Enfin comme dernier avantage il faut mentionner l’aspect élégant de ces structures. Elément très favorable au point de vue de l’esthétique des constructions il constitue en conséquence un moyen d’expression architecturale bien adapté à notre époque dominée par de grandes constructions civiles et industrielles où les styles, les modes et la recherche plastique sont utilisés comme moyen de vente.

Cependant, malgré tous ces avantages, il convient de souligner certains inconvénients qui peuvent parfois faire hésiter les constructeurs pour le choix de ces structures.

En effet, le handicap majeur des voiles minces se situe surtout dans le coût des coffrages qui demeure en général la clé du prix de revient de ces ouvrages.

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 6 D’autre part, le façonnage de gabarits courbes nécessite souvent une main d’œuvre spécialisée qui peut être onéreuse dans les pays où celle-ci coûte chère. De plus la réalisation de coffrages étanches nécessite un soin particulier pour les surfaces à double courbure. Enfin, la difficulté de calculs des résistances de la plupart des structures peut parfois faire hésiter les constructeurs ou les conduire à avoir recours aux solutions classiques.

C’est pourquoi, pour surmonter tous ces inconvénients, il paraît utile, avant d’entamer l’étude de la résistance et de la stabilité des voiles minces en béton armé, de choisir la forme adéquate, c’est-à-dire, une surface qui sera relativement facile à tracer, à façonner et à coffrer, et de surcroît, dont le coût du coffrage aura une incidence réduite sur le prix de revient.

2.3. Différentes formes de voiles minces

Il existe différentes formes de voiles minces. Nous pouvons les classer en trois grandes catégories à savoir:

 Les surfaces à courbure gaussienne nulle,

 Les surfaces à courbure gaussienne négative,

 Les surfaces à courbure gaussienne positive.

2.3.1. Surfaces à courbure gaussienne nulle

Dans ce groupe de surface, un au moins des rayons de courbure principaux est infini. C'est le cas des voiles plan :

 la poutre-cloison dont la hauteur est comparable à la portée : (Figure 2.1).

Figure 2.1: Poutre- cloison

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 7

 les voiles prismatiques : (Figure 2.2).

Figure 2.2: Voiles prismatiques

 les voiles plissés : (Figure 2.3).

Figure 2.3: Voiles plissés

 Les voiles cylindriques qui sont relativement faciles à coffrer mais résistent moins bien aux phénomènes d'instabilité élastique (Figure 2.4).

Figure 2.4: Voiles cylindriques

 Les voiles coniques qui sont d'un emploi très rare vu leur forme peu économique.

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 8 2.3.2. Surfaces à courbure gaussienne négative

Il s'agit de voiles à double courbure, tels que pour chaque point de la surface moyenne, les centres de courbure principaux se situent de part et d'autre du plan tangent. Ce plan coupe donc la surface suivant deux lignes. Les principales surfaces sont :

 Les surfaces conoïdales : ces surfaces sont engendrées par une droite mobile s'appuyant sur deux directrices situées dans des plans verticaux et astreinte à couper une droite verticale fixe. Elles présentent un intérêt pour la construction d'auvents (Figure 2.5)

Figure 2.5: Surfaces conoïdales

 Les conoïdes : (Figure 2.6)

Figure 2.6: Conoïdes

 Les paraboloïdes hyperboliques : ce sont des surfaces doublement réglées.

Elles connaissent de nombreuses applications (constructions industrielles, églises, auvents ...) On leur reconnait également des simplicités de coffrages qui se construisent pratiquement de la même façon que ceux des dalles (Figure 2.7).

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 9 Figure 2.7: Paraboloïdes hyperboliques

2.3.3. Surface à courbure gaussienne positive

Les centres de courbure relatifs à un point quelconque de la surface sont tous situés d'un même coté du plan tangent. La forme générale de ces surfaces est celle d'une coupole. Leur géométrie est, sans doute la plus utilisée dans la plupart des toitures en voiles en Afrique. Quelques formes plus particulières peuvent cependant être définies :

 Paraboloïdes elliptiques: la parabole qui fait partie de leur géométrie peut être de révolution ou à base elliptique (Figure 2.8).

Figure 2.8: Paraboloïdes elliptiques

 Coupoles surbaissées : Ces dernières surfaces ont des rayons de courbure très grands par rapport aux dimensions de l'aire à couvrir, de telle sorte que les plans tangents sont tous voisins du plan horizontal; en général les pentes ne dépassent nulle part 30% (Figure 2.9).

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 10 Figure 2.9: Coupoles surbaissées

 Voiles toriques (Figure 2.10) :

Figure 2.10: Voiles toriques

2.4. Quelques exemples de voiles à travers le monde

Les architectes ont considéré le béton comme le symbole de l’architecture moderne. Le béton armé rend possibles les différentes solutions techniques : l’ossature, le porte- à-faux, et les voiles minces [9].

Photo 2.1: Grand hall de l'université royale de Phnom Penh

Photo 2.2: Auditorium de l'université de Constantine

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 11 Photo 2.4: Terminal aéroport de New

York Photo 2.3: Palais des sports de Rome

Photo 2.6: Bâtiment à la défense à Paris Photo 2.5: Cathédrale de Brasilia

Photo 2.7: Opéra de Sydney

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 12

3. ETAT DE L’ART ET CHOIX DE FORME 3.1. Dispositions constructives des toitures

Ces dispositions tiennent compte de l’architecture et de l’économie car les objectifs visés sont : la qualité et le coût. Cette économie ne devant pas se faire au détriment de la résistance de la structure, il est alors nécessaire de mener une étude approfondie sur la faisabilité, la validité du comportement global, la stabilité générale et la fiabilité des modes de fonctionnement de la structure.

3.1.1. Forme de la surface à couvrir

L’architecture de la surface à couvrir et la position des appuis sont les facteurs qui déterminent la forme du voile à utiliser.

3.1.2. Eclairage

La forme des voiles favorise l’éclairage car la lumière est facilement réfléchie.

On peut également prévoir des ouvertures recouvertes de coupoles translucides.

3.1.3. Ecoulement des eaux pluviales

La forte pente que présentent les voiles a un effet favorable sur l’étanchéité.

L’attention doit être portée sur les descentes d’eau qui doivent être raccordées aux différents fonds de cuvette que forme la couverture elle-même. Le choix du type de voile doit faciliter l’écoulement des eaux pluviales sans grandes dispositions constructives. La couverture doit être réalisée de telle sorte qu’il n’y ait jamais de stagnation d’eau ; ce qui pourrait engendrer des sollicitations anormales et nuisibles à la structure.

3.1.4. Isolation thermique

Le béton armé n’est pas un bon isolant thermique. Il devient alors évident que le voile mince en béton armé n’ait pas de bonnes caractéristiques d’isolant thermique. Il serait alors indispensable d’incorporer un matériau isolant pour diminuer les déperditions calorifiques et surtout pour éviter les condensations.

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 13

3.2. Quelques travaux sur les voiles

Plusieurs études ont été réalisées dans le monde sur les voiles minces. Les éléments de coques et de plaques interviennent dans la modélisation numérique des structures minces a surface moyenne, plane (modélisation plaque) ou courbe (modélisation coques) [10], [11].

Figure 3.1:Hypothèses en théorie des plaques et des coques

Les éléments de coque sont des éléments courbes alors que les éléments de plaques sont plans. La variation de la géométrie (c’est-à-dire son rayon de courbure) en fonction de son épaisseur est prise en compte pour les éléments de coques mais pas pour les éléments de plaques. Cette variation implique un couplage entre les effets de membrane et de flexion pour des structures non planes qui ne peut pas être observé avec des éléments de plaque plan pour un matériau homogène. Le choix des fonctions de forme pour la discrétisation de ces éléments est différent car les éléments de coques courbes ont un nombre de degrés de liberté plus important.

Ainsi, les éléments de plaques sont des éléments linéaires en membrane alors que les éléments de coques sont quadratiques. Ils sont particulièrement utilisés pour modéliser des structures minces où les rapports entre les dimensions (épaisseur/longueur caractéristique) sont très inférieurs à 1/10 (coques minces) ou de l’ordre de 1/10 (coques épaisses) [11].

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 14 Les structures en coque sont des structures légères très intéressantes qui sont tout à fait adaptées aussi bien pour les bâtiments que pour les applications industrielles [6]. La résistance structurelle d'une coque est basée sur la courbure de ses surfaces. Dans les coques deux modes de résistance sont généralement combinés : un état de membrane dans lequel se développent des forces en plan et un état de flexion où existent des forces hors du plan. La flexion est généralement limitée aux zones où il y a des changements de conditions aux limites d'épaisseurs ou de types de charges [12]. Elle se développe aussi où se produit une instabilité locale. Les coques sont plus efficaces pour résister aux charges réparties.

Ainsi, dans son travail intitulé « Conception d’une toiture autoportante en béton armé destinée à la couverture d’un hall omnisport »,[8] a opté pour les coques cylindriques entrecoupées à angle droit. Il a montré que l’arc transmet des charges par compression aux appuis une sollicitation à laquelle résiste bien le béton. La forme arquée permet donc une réduction de l’épaisseur du voile ce qui compense dans certains cas le coût du coffrage.

Figure 3.2:Coque cylindrique entrecoupée à angle droit

Plus tard [5] dans son travail « Etude et technologie des voiles minces » s’est intéressé aux paraboloïdes hyperboliques. Il s’est également rendu compte que leur double courbure permet un transfert efficace des charges aux supports et toute section transversale (facette normale à la surface moyenne) est uniformément sollicitée. Il a apparenté son voile aux dalles nervurées. Ainsi les efforts de flexion à transmettre ne sont pas importants.[13] a abondé dans le même sens que lui. Il

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 15 ressort de leurs travaux que les voiles minces ont de larges capacités structurales et une capacité d'autoportance élevée.

Figure 3.3: Surface de définition d'un hypar

Une étude réalisée sur les plaques montre que les charges hors plan ont un effet défavorable sur la stabilité d'une plaque non raidie dans les cas où la déformée due au chargement hors plan est similaire à la déformée de voilement sous les charges dans le plan agissant seules. Tout comme pour les plaques non raidies, la stabilité est influencée défavorablement par les charges transversales si ces dernières provoquent une déformée similaire au mode de voilement prépondérant [14], [15]. La stabilité d'une plaque est fortement influencée par la présence de charges transversales. A l'aide de la méthode des éléments finis, il est aisé de tenir compte des deux types de charges, dans le plan et hors du plan, lors de l'étude du comportement d'une plaque.

Très récemment une étude réalisé sur les tuiles en micro béton de petite et de grande taille a clairement montré que les tuiles présentant des courbures résistent mieux aux sollicitations par rapport aux tuiles plates lorsqu’on les considère avec les mêmes dimensions et les mêmes conditions aux limites[16]. Mieux, il a proposé les tuiles avec courbure pour des couvertures de grandes dimensions et les tuiles plates pour celles de petites dimensions.

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 16 Figure 3.4: Tuiles plates et tuiles avec courbure

Nous pouvons donc retenir de tout ce qui précède que les coques à double courbure sont plus stables que les coques à simple courbure. La diminution du rayon de courbure augmente la stabilité (éviter de construire trop surbaissé). De même, l’augmentation de l’épaisseur du module élastique augmente la stabilité (problème de fissuration du béton).

3.3. Choix de forme

En dehors des dispositions étudiées plus haut, il faut faire un choix économique entre les différentes formes de voiles minces. Autrement, il faut une surface qui sera relativement facile à tracer, à façonner et à coffrer, et de surcroît, dont le coût du coffrage aura une incidence réduite sur le prix de revient de la structure.

Toutefois, dans le cas présent (l’hémicycle), la forme de notre voile est déjà définie par les architectes. Nous ne modifierons pas la forme de la charpente métallique. Notre objectif est d’utiliser les matériaux locaux et de proximité en vue de faire une conception optimale et économique.

Des travaux réalisés à travers le monde, nous pouvons déjà dire que nous avons à étudier un voile plan ou une plaque (c’est-à-dire sans rayon de courbure).

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 17

4. COMPORTEMENT STRUCTURAL DES VOILES MINCES

Aux yeux des définitions relatives aux voiles minces données plus haut, nous pouvons dire qu'un voile mince peut être obtenu à partir d'une plaque complète c’est- à-dire une plaque en flexion simple et une plaque en membrane [17]. Les hypothèses de distribution des contraintes et des déformations des plaques sont donc valables pour les voiles minces. Par conséquent, d'une part les voiles minces travaillent en flexion (comportement de plaques) et d'autre part transmettent également des efforts dans leur plan (effet membrane). Les résultantes des contraintes agissant parallèlement au plan moyen des coques ont des composantes normales à la surface et supportent de ce fait la plus grande partie de la charge; une raison économique pour le choix de ces types de structure.

Vue les contraintes architecturales auxquelles nous sommes confrontées, nous pouvons dire que notre dalle fonctionne comme une plaque. Dans notre analyse nous étudierons donc les éléments de la dalle comme une plaque en flexion.

4.1. Comportement et hypothèses

Une plaque est un élément prismatique d’épaisseur h petite devant les deux autres directions de l’espace. Le plan moyen sera le plan

 ^{o ox oy , ,} 

,le déplacement transversal étant la direction

z

.On supposera dans la suite, l’hypothèse des petites déformations est vérifiée^.

Figure 4.1: Elément de plaque

Les plaques minces se calculent par une théorie approchée basée sur un certain nombre d’hypothèses établies par KIRCHOFF. On a :

 Hypothèse1 : Les déplacements sont faibles par rapport à l’épaisseur ;

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 18

 Hypothèse2 : Toutes les déformations dans le plan moyen sont nulles après flexion ;

 Hypothèse3 : Les points situés sur une normale à la surface moyenne de la plaque avant déformation s’y trouvent toujours après déformation ;

 Hypothèse4 : Les contraintes normales agissant sur des surfaces parallèles à la surface moyenne sont négligeables.

Toutes ces hypothèses permettent de réduire la complexité liée à l'analyse structurale et de rapprocher un problème de plaque en trois dimensions à un problème de deux dimensions (problème plan). En effet avec ces hypothèses, la plaque se comporte comme un empilage de feuillets d'épaisseur infinitésimale dz qui se trouvent chacun en état plan de contraintes.

4.2. Flexion simple des plaques

4.2.1. Déformations et déplacements

La déformation linéaire suivant n’importe quelle direction est égale à la dérivée partielle de la composante du vecteur déplacement dans cette direction par la variable prise dans la même direction. Ces équations des composantes de la déformation linéaire et angulaire en fonction des composantes du vecteur déplacement ont été établies par Cauchy et sont appelées Equations de CAUCHY.

Pour un problème plan cette équation devient :

(1)





























 



 



 



 

  

 

  

 

 

  

 

x ux

y vy

z wz

u v

xy y x

w u

zx x z

v w

yz z y

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 19

D’après l’hypothèse 2 (Toutes les déformations dans le plan moyen sont nulles après flexion) on a :

Et par suite (3) devient :

(2)

(3) x ux

y vy

w 0

z z

u v

xy y x

w u

zx x z 0

v w

yz z y 0

  



  



   



 

  

 

 

   

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



    

        

    

 

    

        

    

  

  

  

  

  

  

  

  

  

v w v w w

0 v z( ) f (x, y)

yz z y z y y 1

w u u w w

0 u z( ) f (x, y)

zx x z z x x 2

0 ( , ) 0

0 0 1

0 ( , ) 0

0 0 2

v v f x y

u u f x y

  

   

 

 

 

 

 

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 20 En remplaçant (4) dans (2) :

Ainsi, nous obtenons les déformations en tout point de la plaque. On peut donc dire que les déplacements et les déformations d’une plaque sont connus si la déflexion de la surface moyenne est connue.

4.2.2. Contraintes dans une plaque

Rappelons la loi généralisée de Hooke dans le domaine élastique : relations entre contraintes et déformations

Pour les déformations linéaires, nous avons :

Les déformations angulaires se présentent comme suit : (4)

(5)

(6) (6)

v z( w) y u z( w)

x

  



  













z 2w

x x²

z ²w

y y²

²w ²w ²w

z z 2z

xy y x x y x y

   



   



  

     

     

 

 

 

 

 



1 ( )

1 ( )

1 ( )

    

    

    

     

  



     

  



  

     



x E x y z

y E y x z

z E z x y

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 21 E représente le module d’élasticité linéaire et G le module de cisaillement

Avec



le coefficient de poisson

(8) (7)

(9)

(10)

(11)

(12) 2(1 )

G E

 

 0

0 0 z zx yx













 

 



 

 

1 1

( )

1 1

( )

x x y z x x y

E E

y y x z y y x

E E

       

       

    



    

   

   

 

 

     

 

 

 

 

2 2 2

1 - =-z 2 =-Ez 2 + =-Ez 2 +

2 2 2

1 - =-z 2 =-Ez 2 + =-E z 2 + ²

w w w

x y x y x y

E x x x

w w w

y x y x y x

E y y y

     

       

  

    

  

  

  

  

  

  

  

  

  

2

+Ez 2 0

2

+E z 2 ² =0 w

x y

x w

y x

y

 

   

  



 



 

 

 

2 2

+Ez 2 +E z 2 ² =0

w w

x y y x

x y

 ^    ^  

 

 





^{² 1}



_x^{-Ez 2}₂^{w-E z 2}₂^w=0

x y

   ^  ^

 

 



 

2 2

= ²1 1 Ez 2 +E z 2

w w

x x y

 



 

  

  

   

  



/

/ /

 

 

 

 



 



 



xy xy G

xz xz G yz yz G

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 22 Par analogie on a :

On peut donc remarquer d’après ces relations, que les contraintes varient de façon linéaire sur l’épaisseur de la plaque et sont nulles au niveau de la

surface moyenne

La distribution des contraintes suivant l’épaisseur de la plaque produit des moments de flexion, des moments de torsion et des forces de cisaillement verticales.

Ces efforts calculés par unité de longueur peuvent s’établir comme suit :

(13)

(14)

(15)

 

2 2

= 1 1 ² -Ez 2 -E z 2

w w

x x y

 



 

  

  

   

  



 

 

 

2 2

= 1 ² 2 2

2 2

= 1 ² 2 2

2 1

Ez w w

x x y

Ez w w

y y x

Ez w

xy x y

 



 



 

  

   

  

   

 

   

  

  

 

  

  

 





   

   

=

1 ²

=

1 ²

E

x x y

E

y y x

xy G xy

  



  



 

 

 



 

 

 

 



( z  0)

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 23 Soit D la rigidité cylindrique de la plaque :

(16)

(17) .

2 2

/2 ²

/21 ² 2 2

2 2

/2 ² 2 2 /2

1 ²

2 2 /2

1 3

2 2

1 ² 3 /2

2 2 3

2 2

1 ² 12

dMx dN zdzx xzdz

Ez w w

Mx hh dz

x y

E w w h

Mx h z dz

x y

E w w h

Mx z

x y h

E w w h

M x x y













  



   

     

     



  

 

   

     

   

 

       

   

  

  

  

    

















3 12(1 ²) D Eh

 



/2 or /2

2 2

2 2

1 ²

2 2

/2

/21 ² 2 2

2 2

/2 2 2 /2 1 ²

0 dNx xdz Nx hh xdz

Ez w w

x x y

Ez w w

Nx hh dz

x y

E w w h

Nx h zdz

x y

N x





 



 

 

 



  



    

    

    



   

     

      



  

      

    

  



 



YEGBEMEY Elvice Chélidoine 24 Par analogie nous pouvons écrire :

(18)

(20) (19)

2 2

2 2

w w

Mx D

x y

  

 

     

2 2

2 2

2 2

2 2

2 (1 )

w w

Mx D

x y

w w

My D

y x

Mxy D w

x y







 

  

 

 

  

 

   

 

  

  

  

  

  

  

  





2 2

2 2

1 ² 12(1 ²) 12

( )

3 3

2 2 1 ² 1 ²

2 2

Ez w w

x x y x Ez Mx Ez Mx Mx z

D Eh h

w w

Mx D

x y

 

  

 



    

    

 

        

      

       

      

   

  



12 3 12

3 12

3 M x z

x h

M y z

y h

M xy z xy h







 



 



 



YEGBEMEY Elvice Chélidoine 25

5. METHODES DE CALCUL DES VOILES MINCES 5.1. Généralités sur les méthodes de calcul

L'inconvénient principal des voiles minces est la difficulté de calculs des efforts. Plusieurs théories et méthodes sont élaborées. Les méthodes de calcul peuvent être classées en général en deux grands groupes :

 La théorie des membranes ou théorie simplifiée des coques, basée sur l'hypothèse que l'épaisseur du voile est suffisamment faible pour que l'on puisse admettre que les contraintes ne varient pas sur cette épaisseur.

 La théorie des coques souvent dénommée théorie de flexion des coques qui sont plus exactes mais assez complexes, qui tient compte de la variation des contraintes sur l'épaisseur du voile et associe par conséquent, aux efforts de membrane, des moments de flexion et de torsion.

Il existe d’autres méthodes :

 Les méthodes simplifiées de résolution Les simplifications peuvent être de deux sortes :

- On admet dans les calculs une forme théorique qui diffère légèrement de la forme réelle ;

- On néglige certaines conditions de continuité, surtout aux rives. Mais les conditions d’équilibre doivent toujours être respectées.

Pour des calculs plus évolués et "exacts", plusieurs méthodes numériques sont établies. Dans les récentes années, la méthode des différences finies a largement simplifié la complexité des calculs en remplaçant les différentes équations différentielles et les conditions aux limites régissant les structures en voiles minces par des équations équivalentes ayant des coefficients tabulés.

De nos jours la généralisation de l'utilisation de l'ordinateur a permis l'emploi de la méthode des éléments finis qui a l'avantage de décomposer les structures en de petits éléments faciles à calculer et d'introduire dans l'établissement des équations un nombre fini de degrés de liberté et une forme discrète des conditions d'équilibre et de continuité [8].

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 26

5.2. Choix de la méthode de calcul

Pour notre étude, notre choix s’est porté sur la méthode des éléments finis. La méthode des éléments finis est une méthode de résolution approchée d'équations aux dérivées partielles. Les outils d’aide à la modélisation devenant de plus en plus perfectionnés, l’utilisation de la méthode des éléments finis s’est largement développée et parait de moins en moins une affaire de spécialistes[18].Ainsi on note une démocratisation de la méthode du fait de la simplicité croissante de mise en œuvre, de la fiabilité des algorithmes et de la robustesse de la méthode.

Dans notre développement, nous présenterons les principes de base de cette méthode en insistant sur l’enchaînement des tâches (démarche et hypothèses associées) qui assurent la cohérence du processus de calcul. Il est à noter que l’analyse des résultats nécessite une bonne compréhension des différentes étapes mathématiques utilisées lors de l’approximation, pour pouvoir estimer l’erreur du modèle numérique par rapport à la solution exacte du problème mathématique.

L’idée fondamentale de cette méthode est de discrétiser le problème en décomposant le domaine matériel à étudier en éléments de forme géométrique simple.

5.3. Procédure de calcul par éléments finis

Elle comporte les étapes suivantes:

 La discrétisation du milieu continu en sous domaines ;

 La construction de l’approximation nodale par sous domaine ;

 Le calcul des matrices élémentaires correspondant à la forme intégrale du problème ;

 L’assemblage des matrices élémentaires ;

 La prise en compte des conditions aux limites ;

 La résolution du système d’équations.

5.3.1. Discrétisation de la structure

La discrétisation est l'opération qui consiste à sectionner fictivement la structure en éléments simples et à choisir le type de ces éléments. Autrement dit, elle consiste à procéder à un découpage du domaine continu en sous domaines :

YEGBEMEY Elvice Chélidoine 27 Il faut donc pouvoir représenter au mieux la géométrie souvent complexe du domaine étudié par des éléments de forme géométrique simple. Il ne doit y avoir ni recouvrement ni trou entre deux éléments ayant une frontière commune. Lorsque la frontière du domaine est complexe, une erreur de discrétisation géométrique est inévitable. Cette erreur doit être estimée, et éventuellement réduite en modifiant la forme ou en diminuant la taille des éléments concernés [18].

5.3.2. Construction de l’approximation nodale par sous domaine

La méthode des éléments finis est basée sur la construction systématique d’une approximation

u

^*du champ des variables u par sous domaine. Cette approximation est construite sur les valeurs approchées du champ aux nœuds de l’élément considéré, on parle de représentation nodale de l’approximation ou d’approximation nodale.

L’approximation par éléments finis est une approximation nodale par sous domaines ne faisant intervenir que les variables nodales du domaine élémentaire De.

*

e n

M D , u (M) N(M)u

  

Où

u (M)

^* représente la valeur de la fonction approchée en tout point M de l’élément et N, la matrice ligne des fonctions d’interpolation de l’élément

u

_nvariables nodales relatives aux nœuds d’interpolation de l’élément.

Dans le cas général le champ à approcher est un champ vectoriel. Nous utilisons alors la notation matricielle suivante

u (M)

^*

 N(M)u

_n

Les nœuds

M

_isont des points de l’élément pour lesquels on choisit d’identifier l’approximation

u

^* à la valeur du champ de variables u. Nous en déduisons que :

*

i i i

M , u (M ) u

 

Soit pour l’approximation nodale :

i j i ij

M , N (M )

  

D e 1n De tel que lim (U D )e 0 e e D

   