CONCOURS COMMUN SUP 2004 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

CONCOURS COMMUN SUP 2004

DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Épreuve Spécifique de Mathématiques (Filière MPSI)

Proposition de Correction

Premier problème

.

Partie I 1. L’équation linéaire du premier ordre s’écrit : z′ = −z tht

)

; or une primitive de − est

; donc ou

tht

(

−ln cht ∃ ∈λ /z t( ) = λe^{−ln(ch )t} ( ) λ

= ⋅

z t ch

t ( )0 = ⇔1 λ =

z 1, d’où ₁( ) = 1 ⋅

z t ch

t

2. L’équation sans second membre a déjà été résolue au 1.

La recherche d’une solution particulière par la méthode de variation de la constante donne, en posant ₌ λ( )_,

ch z t

t

( ) λ′

= th ch

t t t

t , soit λ′( )t =tsht ; une intégration par parties donne :

; une solution particulière est donc

= − = −

∫

^{tthtdt tcht}

∫

^{chtdt tcht sht}

= ch −sh = ch th

t t t

z t t − t ; d’où la solution générale : = ^λ + −th

(

λ∈

)

z ch t t

t .

( )= ⇔ λ =

2 0 0

z 0 , d’où z t₂( ) = −t tht.

Partie II 3. L’arc est défini sur et de classe C^∞ sur .

De ∀ ∈t x( )− = −t x t( ) et y( )− =t y t( ), on déduit que l’axe des ordonnées est axe de symétrie de ( )Γ ; on fera donc l’étude pour x .0.

4. Lorsque t → +∞ tht →1 ; donc x t( ) → +∞; cht → +∞, donc , ce qui montre que l’axe des abscisses est asymptote à

( ) →0 y t ( )Γ .

5.

( ) ( )

⎧ ′ = − = − =

⎪⎪⎨

⎪ ′ = −

⎪⎩

2 2

2 2

2

1 ch 1 sh

1 ch ch ch

sh ch

t t

x t t t t

y t t

t

2

t 0 _+∞

x′ 0 +

x 0

+∞

y 1

0

6. dM ( )0 =

dt 0. Le point ^A

(

^0,1

)

, obtenu pour ^{t =0}, est donc un point stationnaire. De

( )

⁻

⎛ ′′ = ⎞

⎜ ⎟

⎜ ′′ = − + ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 2

2 2

2

3

2 ch sh ch 2 sh

ch

x t t

d Mdt y t t

t , on déduit ² ₂ ( )0 ₋⁰ 1 d M

dt ; par suite, la tangente en A est verticale ; c’est donc l’axe des ordonnées. Compte tenu de la symétrie de la courbe pour cet axe et des signes de et , le point A est un point de rebroussement de première espèce.

( )

x t y t( )

7.

a) De ch²t −sh²t =1, on déduit ch²t = +1 sh²t =2, d’où (cht >0) cht = 2,

= sh = 1

th ch 2

t t

t ou = 2

tht 2 et e^t = cht +sht = +1 2, d’où ^{t =ln 1}

(

^{+ 2}

)

^.

b) Le coefficient directeur de la tangente en M t( ),

(

^{M ≠A}

)

^{, est}

( ) ( ) ( )

′ −

= = ⋅ = −

′

2

2 2

sh ch 1

ch sh sh

y t t t

m t x t t t t ⋅ Ainsi m t( ) = − ⇔1 sht =1 , soit ^{t = ln 1}

(

^{+ 2}

)

^;

d’où ^⎛⎜

(

⁺

)

^{− ⎞}⎟

⎝ ⎠

2, 2 ln 1 2

2 2

B .

La tangente en B a pour équation : y y⁻ B ⁼m t x( )

(

⁻xB

)

, soit ^{y = − +x ln 1}

(

^{+ 2}

)

^.

8.

O y

x

9.

a) De

( )

_{( ) =} ^{⎛ ⎞}

⎜⎜−⎝ ⎠

2

sh sh ch 1

d OM t t

dt t t ⎟⎟, on déduit qu’un vecteur directeur de la tangente en est

( )

M t ( )

− sh

1

u t t (même pour t = 0). Notons ∆_t la tangente en M t( ) à ( )Γ .

(

^,

)

^{∈ ∆ ⇔t}

(

^, ( )

)

^{est liée⇔ det}

(

^{, ( )}

)

^{= 0}

N x y MN u t MN u t , soit

− +

− − =

h sh 1 0

ch 1

x t t t t

y t

, soit x +ysht =t .

b) Pour y = 0, il vient 0 N t . De

−th 1 ch

t NM

t

, on déduit

⎛ ⎞ +

= ⎜⎝ ⎟⎠ + =

2 2

2 2

sh 1 sh 1

ch ch ch 1

t t

NM t t t = NM =1.

Partie III 10. Notons que 1

ch^k

t t étant continue sur

[ ]

^{0,x ,} existe pour tout réel x.

Le changement de variable donne

k( )

I x

= ^t

u e du = ^t

dt e et

( ) ⁼ _{+ −} ^{= =} ₊ ⁼

[ ]

∫ ∫

+

∫

1 0 1 1 2 1

2 2 1 2 1 2 Arct

x x x

t t

x dt e du du e du e

I x x

e e u u u

u

an .

D’où 1^{( )=}2 Arctan

( )

^−π

2

I x ex .

11. ^{2( )}=

∫

0 ² =

[

th

]

⁰ = th ch

x dt x

I x t x

t I x₂^{( )}= thx . 12.

a) Intégrons par parties ^{( )}=

∫

0 =

∫

0 ₊¹

ch

ch ch

x x

k k

dt t dt

I x t ^k t ^t

t

, en posant ,

donc , en remarquant que u et v sont de classe

sur

[

( )

^{− + ′}

= ch ^{(k 1)}, = ch

u t v

( )( )

^{− −}

′ = − +1 ch ^{k 2}⋅sh , =sh

u k t t v C¹

]

0,x . Il vient :

( )= ^⎡⎢⎣ ₊^{1 ⎤}⎥⎦ +

(

+

) ∫

0 ₊²² = ₊¹ +

(

+

) ∫

0 ^{2 −} 0

sh sh sh ch 1

1 1

ch ch ch ch

x x x

k k k k

t t x

I x k dt k dt

t t x ^k+2

t t

( )

+ ⎡ + ⎤

= ¹ + + ⎢⎣

∫

0 −

∫

0 ² ⎥⎦

sh 1

ch ch ch

x x

k k k

x dt dt

x k x x = sh+₁ +

(

+

) [

^{( )}− +₂^{( )}

]

ch^k 1 ^{k k}

x k I x I x

x D’où ^{( )} = − sh₊₁ +

(

+

)

₊₂^{( )}

ch 1

k k k

kI x x k I x

x ou

(

+

)

₊₂^{( )}= ^{( )}+ sh₊₁

1 ^{k k} ch^k

k I x kI x x

x . b) Pour k =1, il vient : ₃ = ₁ + sh₂

2 ch

I I x

x , soit 3^{( )=}

( )

^{−π +} 2

Arctan sh

4 2 ch

x x

I x e

x . Pour k =2, on obtient : ₄ = ₂ + sh₃

3 2

ch I I x

x ₄^{( )} = 2 + sh₃ 3th 3 ch

I x x x

x

13.

a) On a ⁽− ⁾ =

∫

0⁻ ch

x

k k

I x dt

t ⋅ Le changement de variable défini par u = −t du, = −dt donne

( )

( ) ( ) ( )

− = − = − = − ∀ ∈

∫

0 ch −

∫

0 ch

x x

k k k k

du du

I x I x x

u u , ce qui montre que est une

fonction impaire.

Ik

b) Comme 1

ch^k

t t est continue sur , est dérivable, donc continue sur (intégrale fonction de la borne du dessus), de dérivée

Ik

′( )= 1 ⋅

k chk

I x

x

c) Cette dérivée est de classe comme inverse d’une fonction de classe qui ne s’annule pas ; par suite, est de classe

C∞ C^∞

Ik C^∞ sur .

14. On a : ′^{( )}= 1 ,

k chk

I x

x I_k^{′′( )}x = −kch^{− −k 1}x ⋅shx , soit ′′^{( )} = − sh₊₁

k chk

k x I x

x et , d’où

( )

( )

^{− − − −}

′′′ = +1 ch ^{k 2} ⋅sh² − ch ^{k 1} ch

Ik x k k x x k x x ^{( )}

( )

+

′′′ = +1 sh₂ ² −

ch ch

k k k

k k x k

I x

x x .

15. Comme est de classe sur , elle admet un développement limité d’ordre 3 au voisinage de 0, donné par la formule de Taylor-Young :

Ik C³

( ) ⁼ ( )^{0 +}_1! ^′( )^{0 +} _2!^{2 ′′}( )^{0 +} _3!^{3 ′′′}( )^{0 +}

( )

³

k k k k k

x x x

I x I I I I o x , soit, puisque

( )0 =0, ^′( )0 =1, ^′′( )0 =0, ^′′′( )0 = −k,

k k k k

I I I I ^{I xk ( )= −x k x}₆^{3 +o x}

( )

³

16. De ′^{( )}= 1₂ >

ch 0 Ik x

x , on déduit que I_k est une fonction strictement croissante.

17.

a) De cette croissance stricte, il résulte que : n < + ⇒n 1 I n_n^{( )}<I n_k( +1), soit

;

( )

est donc strictement croissante.

∀n u_n <u_n+₁ u_{n n.1}

b) Comme e^−t >0, on a = ₋

+ +

1 2 2

cht e^t e ^t -e^t 0, soit 1 ⁻ ch 2

e t

t - . Comme n > 0, ⁼

∫

0

∫

0

( )

2 ⁻

ch

n n t k

n k

u dt e dt

t - , d’où u_n -2^k

∫

0ⁿe^−ktdt, ^⎡⎢− ^{− ⎤}⎥

⎣ ⎦0

2

kt n k n

e - k

u ;

finalement : 2 ⎡ −⎣ ⁻ ⎤ <⎦ 2 ⋅ 1

k k

nk

un e

k k

-

La suite

( )

^u_{n n.1}, croissante et majorée, est donc convergente.

18.

a) Le même raisonnement (remplacer n par x), prouve que pour , , d’où

>0 x

( )

∫

0^x

( )

2 ^{−t k}

I xk - e dt ∀ > ^{( )} 2 ⋅ 0

k

x I xk

-k

La fonction , croissante et majorée, a donc une limite finie lorsque (théorème de la limite monotone), d’où l’existence de

Ik x → +∞

∀ ∈ ∗

Jk k .

b) 1^{( ) =}2 Arctan

( )

^{−π →}2^{π −π ( )}

2 2 2

I x ex x → +∞ ; ainsi π

1 = J 2 ; ainsi

( ) = → ( → +∞

2 th 1

I x x x ⁾ J₂ =1.

c) On a : ₊ ^{( )} = ^{( )}+ ₊

+ +

2 1

1 sh

1 1 c

k k k

k x

I x I x

k k h x .

Or, lorsque x → +∞, I x_k^{( )}→J_k, _{+ +}

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∼ ₁

1

sh 2

ch

2

x

k x k

e x

x e ; donc

− +

⎛ ⎞ →

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 ∼

sh 0

ch 2

x k k

x e

x .

On déduit, en passant à la limite lorsque x → +∞, ₊ =

2 +

k 1 k

J k J

k .

On en déduit, en donnant à k les valeurs 2,4,6,… que ₄ = 2 ₂ = 2

3 3

J J , ×

= =

6 4 ×

4 2

5 3

J J 4

5. On conjecture donc que, pour k pair

(

k =2p

)

, p .2,

( )

( )

× × × × −

= ⋅

× × × × −

2

2 4 6 2 2

3 5 7 2 1

p

J p

p Cette relation est vraie pour p =2. Supposons la vérifiée pour ; alors, pour

, il vient

2 p .

=2

k p ₊ =

+

2 2 2

2

2 1

p p

J p J

p

( )( )

( )( )

× × × −

= ⋅

× × × − +

1 3 2 2 2

2 4 2 1 2 1

p p

p p

Ainsi,

( )

( )

× × × × −

∀ =

× × × × −

2

2 4 6 2 2

2 ^p 3 5 7 2 1

p J p

. p ⋅

Remarquons

que :

[ ( ) ]

( )( )

( )

( )

( )

⎡ − × × × × − ⎤

× × × × − ⎣ ⎦

= =

× × × × × − − −

2 1 2

2

2 1 2 3 1

2 4 6 2 2

1 2 3 4 2 2 2 1 2 1 !

p p

p p

J p p p .

Donc

[ ( ) ]

( )

−

− ∗

= −

2 2 2 2

2 1 !

2 1 !

p p

J p

p ∀ ∈p (encore vrai pour p =1).

De même, si k est impair (k =2p +1,p∈ ), ×

= = =

3 1 5 3 ×

1 3 1

2 , 4 2

J J J J 3 ₁

4J ; on prouve de même par récurrence sur p que :

( )

( ) ( )

( )

π

+

× × × × − × × × × −

= =

× × × × × × × ×

2 1 1

1 3 5 2 1 1 3 5 2 1

2 4 6 2 2 4 6 2 2

p

p p

J J

p p ⋅

Remarquons que :

( )( )

[ ( ) ] [ ^{( )} ]

( )

π π

+

× × × × × −

= ⋅

× × × ×

2 1 2 2

1 2 3 4 2 1 2 2 !

2 2 ! 2

2 4 6 2

p p

p p p

J p = p .

D’où

( )

( )

π

+ = ∀

2 1 2 2

2 ! 2

2 !

p p

J p

p p∈ (encore vrai pour p =0).

Deuxième problème

Partie I

1.

a) E est inclus dans l’ensemble M2

( )

des matrices carrées d’ordre 2 qui est un espace vectoriel sur .

Posons .

Alors , ce qui montre que E est le sous espace vectoriel de engendré par la famille

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ =⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ =⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠

1 2 3

0 0

1 0 0 1

, ,

0 0 0 1 0 0

M M M

⎛ ⎞

= + +

⎜ ⎟

⎝0 ⎠ ^{1 2}

a c

aM bM cM

b ³

2

( )

M B ⁼

(

M M M1, 2, 3

)

.

b) De plus, si , alors , donc ; ce qui

montre que B est libre.

On en déduit que E est un espace vectoriel de dimension 3, de base B.

+ + =

1 2 3 0

aM bM cM ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜= ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0

0 0 0

a c

b ⎟⎟ a = = =b c 0

2.

a) ^∀

(

^′

)

^{∈ ⋅ ′= ⎛}⎜⎝ ^⎞⎟ ⎜⎠ ⎝^{⎛⎜ ′ ′}′^{⎞ ⎛⎟ ⎜}⎟ ⎜⎠ ⎝^{= ′ ′+}′ ^′⎞⎟⎟⎠

, 2 0 0 0

a c a c aa ac cb

M M E M M b b bb ∈E

b) E est inclus dans l’anneau M2

( )

des matrices carrées d’ordre 2 et

(car E est un espace vectoriel), et

; il en résulte que E est un sous-anneau de : E est un anneau.

(

^′

)

∀ M M, ∈E² M −M′ ∈E E

⎟⎟

⎟

′ ∈

MM E

⎛ ⎞

=⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠∈

2

1 0

I 0 1 M2

( )

c) Remarquons que , ce qui montre que l’anneau E n’est

pas commutatif.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜≠ ⎟

⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1 1 1

0 1 0 1

0 0 0 2 0 2 0 0

3. Pour toute matrice ⎛ ⎞ de G, on a

= ⎜⎝0 ⎠ a c

M b det

( )

M =ab ≠ 0 (car et ), ce qui

montre que M est inversible.

G est donc une partie non vide du groupe

≠ 0

a b ≠0

2

( )

GL des matrices d’ordre 2 inversibles.

De plus, ^∀

(

^′

)

^{∈ ⋅ ′ = ⎜⎛}_⎜ ^{′ ′+}_′ ^′⎞⎟_⎟

⎝ ⎠

, 2

0

aa ac cb

M M E M M

bb , avec aa′ >0 et bb′ > 0, car

>0, ′ >0, > 0, >0

a a b b′ , ce qui prouve que MM′ ∈G.

En outre

⎧ ′ = ≠

⎧ ′ = ⎪⎪

⎪⎪ ⎪

′ = ⇔ ⎨ ′ = ⇔ ⎨ ′= ≠

⎪ ′+ ′ = ⎪ ′

⎪ ⎪

⎩ ⎪⎩ ′ = − = −

1 car 0 1

1 1 ca

0

a a

aa a

MM I bb b b

ac cb bcb c

c a a

r 0

b

Donc ⁻

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

=⎜ ⎟∈

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

1 0 1

c a ab

M G

b

⎛ > > ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1

car 0 et 0

a b .

Par suite,

(

G,⋅

)

est un groupe (sous-groupe de

(

GL2

( )

,^⋅

)

. Partie II

4.

a) La relation donnée est vraie pour p =1. Supposons-la vérifiée pour ; alors : donne :

1 p.

+¹ =

p p

A A A

+ +

+

⎛ − ⎞

− ⎡ ⎤

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎢ + ⎥⎟

⎜ − ⎟ ⎣ − ⎦

=⎜⎜⎝ ⎟⎟ ⎝⎠⎜ ⎟ ⎜⎠ ⎜=⎝ ⎟⎟⎠

1 1

0 1

0 0

p p

p p

p p

p p

p p

a b

a b a c a c a b

a c a b a b

A b

b b

.

Or

+ +

− −

+ =

− −

1 1

p p p p

p a b a b

a b

a b a b , ce qui montre que le relation est vraie pour p+1. Ainsi, pour tout p∈ ^∗, et a ≠b,

⎛ − ⎞

⎜ − ⎟

= ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

p p

p p

p

a b a c A a b

b

b) On obtient : , .

On conjecture donc que . Cette relation est vraie pour . Supposons-la vérifiée pour ; alors :

⎛ ⎞

⎜ ⎟

=⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2

2

2 0 a ac

A a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

=⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 2

3

3

3 0

a a c

A a

⎛ − ⎞

=⎜

⎜⎝ ⎠

1

0

p p

p

p

a pa c

A a ⎟

⎟ p =1

1

p. A^p+1 =A A^p c

donne : .

Par suite, pour

( )

− + +

+

⎛ + ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

=⎜⎝ ⎟⎠⎜⎝ ⎟⎠=⎜⎝ ⎟⎠

1 1 1

1

1

0 0 0

p p

p p

p

p p

a c a p a

a pa c

A a a a

=

a b, on a

−

∗ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

∀ ∈ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

0

p p

p

p

a pa c

p A

a

5.

a) Rappelons que : si f est une fonction de classe Cⁿ⁺¹ sur le segment

[ ]

a b, , et si K est un majorant de fⁿ⁺¹( )t sur

[ ]

a b, , alors

( ) ( )

( )( )

( )

+

=

− −

− ⋅

∑

+ ¹

0 ! 1

k n

n k

k

b a b a

f b f a K

k - n

!

b) En appliquant cette inégalité à f = exp sur

[ ]

0,x , compte tenu de f^{( )k ( )}x =e^x et de

( )^k ( )0 =

f 1 , il vient ^{( )} ( ) _{( )}( )

( )

+

=

− −

−

∑

+ ¹

0

0 0

! 0 1

n n k

k k

x x

f x f K

k - n

! , soit

( ) ( )

+

=

−

∑

+ ¹

0 ! 1

n k n

k

x x

f x K

k - n

! . Or,

[ ]

^{( )( )}

[ ]

^{( )}( )

+

+

⎧ ∀ ∈

⎪⎨

< ∀ ∈

⎪⎩

1

1

si 0 0,

si 0 , 0 1

n x

n

x t x f t

x t x f t

. -

-

e ; donc K =e^x

ou K =1, constante indépendante de n (x est fixé) et ^{( )}

( )

+

=

−

∑

+ ¹

0 ! 1

n k n

k

x x

f x K

k - n

! . Comme

( )

+

→+∞ =

+

lim 1 0

1 !

n n

x

n , il vient ϕ ^{( )}

→+∞ =

lim _n ^x

n x e .

c) On a : α

=

= + + ² + + =

∑

0

1 1! 2! ! !

n n p

n

p

a a a a

n p , β

= =

= +

∑

=

∑

1 0

1 ! !

p p

n n

n

p p

b b

p p et γ

= =

⎛ ⎞

− − −

⎛ ⎞

= − ⎜⎝ + ^{2 2} + + ⎟⎠= − ⎜⎝

∑

−

∑

⎟⎠

0 0

1! 2! ! ! !

n n n p n p

n

p p

c a b a b a b c a b

a b n a b p p .

D’où ^αn ^=ϕn^{( ), β}n ^=ϕn

( )

^,γn ⁼ ₋

(

^ϕn^{( )−ϕ}n

( ) )

a b c a

a b b .

Comme, pour tout réel x, ϕ ^{( )}

= lim→+∞

x n n

e x , on a :

α α

= lim→+∞ _n = ^a

n e , β β

= lim→+∞ _n = ^b

n e et γ γ

→+∞

= = −

lim −

a b

n n

e e c a b

d) Pour a =b, on a α_n = β_n =ϕ_n^{( )}a et

( ) ^{( )}

γ = ^⎛⎜⎝ + + + ^{− ⎞}⎟⎠= ^⎛⎜⎜⎝ + + + + −^{− ⎞}⎟⎟⎠ = ϕ ₋

2 1 2 1

1

1 2 3

1 1 !

1! 2! 3! ! 1! 2!

n n

n n

a a na a a a

c c

n n c a .

Par suite, lorsque n → +∞ α_n →e^a,β_n →e^a et γ_n →ce^a .

6. L’application f de E vers E est donc définie par :

⎧ ⎛ −

⎛ ⎞

⎪ ≠ ⎜ ⎟ =⎜ − ⎟

⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎪ = ⎜ ⎟ ⎜= ⎜ ⎟⎟

⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎩

si 0

0

si 0 0

a b

a

b

a a

a

e e

a c e c

a b f a b

b e

a c e ce

a b f a e

⎞

≠

a) Remarquons que ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ , ce qui prouve que f n’est pas linéaire.

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0 1 0

0 0 0 1 0 f

b) Soit ⎛ ⎞ et

= ⎜ ⎟

⎝0 ⎠ a c

A b

′ ′

⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝0 ′⎟⎟⎠ a c

B b .

Si f A

( )

= f B

( )

, alors, dans tous les cas, on a : e^a =e e^a′, ^b =e^b′, donc ′ ; par suite, si , on a .

1

= ′, = a a b b

≠

a b a′ ≠b′

er cas : si ^{a ≠b et}

(

^{donc a′≠b′}

)

, on obtient :

′ ′

′

′

⎛ ⎞

⎛ − ⎞ ⎜ ′ − ⎟

⎜ − ⎟= ⎜ ′− ′ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝0 ⎠ ⎝ 0 ⎠

a b a b

a a

b b

e e e e

e c e c

a b a b

e e

et,

puisque a =a b′, =b′,

′ ′

− = ′ −

′ ′

− −

a b a b

e e e e

c c

a b a b , donc

(

^{ea ≠eb}

)

^{c =c′ ; d’où .}

2

=

A B

ème cas : si a =b

(

^{et donc a′ =b′}

)

^{, alors}

′ ′

′

⎛ ′ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

=

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠

a a a a

a a

e ce e c e

e e .

De a =a′ et ce^a =c e′ ^a′, on déduit c =c′ ; ainsi A =B.

Dans tous les cas, la relation ^{f A}

( )

^{= f B}

( )

^{entraîne A=B} ; donc f est injective.

c) Comme l’élément diagonal de e^{a f A}

( )

est strictement positif, des éléments de E n’ont pas d’antécédent par f : par exemple, ⎛− ⎞

⎜⎜⎝ ⎠ 1 0

0 1⎟⎟ est élément de E et n’a pas d’antécédent par f, ce qui montre que f n’est pas surjective.

d) Il est immédiat, puisque e^a > 0 et e^b > 0, que ^{∀ ∈A E f A}

( )

^{∈G, donc .}

Réciproquement, soit , avec

⊂ Imf G

′ ′

⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝0 ′⎟⎟⎠ a c

B G

b ∈ a′ >0 et b′ > 0. Remarquons que si ^{f A}

( )

^{=B, alors ea =a e′, b =b′.}

Cas où a′ ≠b′ ; alors a ≠b.

( )

⎧ ⎧

⎪ = ′ ⎪ = ′

⎪ ⎪

⎪ ′ ⎪ ′

= ⇔ ⎨ = ⇔ ⎨ =

⎪ ⎛ − ⎞ ⎪ ′− ′

⎪ ⎜ ⎟ = ′ ⎪⎪ = ′

⎪ ⎝ − ⎠ ⎩ ′− ′

⎩

ln ln

ln ln

a b

a b

e a a a

f A B e b b b

a b

e e c c

c a b c a b

Cas où a′ =b′ ; alors a =b.

( )

= ′

′ ′ = ′ ⎧

⎛ ⎞ ⎧

⎛ ⎞ ⎪ ⎪

= ⇔ ⎜⎜⎝ ⎟⎟ ⎜⎠ ⎝=⎜ ′⎟⎟⎠⇔ ⎨⎪⎩ = ′ ⇔ ⎨⎪⎩ = ′′ ln

0 0

a a a

a a

a a

e ce a c e a

f A B e a ce c c c

a Ainsi, ^{∀ ∈B G ∃ ∈A G f A/}

( )

^=B, ce qui prouve que G ⊂ Imf .

7.

a) Premier cas : . On a :

≠ a b

( )

⎛ −

⎜ − −

− = ⎜

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

1

0 1

a b

a

b

e e

e c

f A I a b

e

⎞⎟

⎟ ; posons, pour simplifier, ⎟. Puisque

, alors . D'où :

( )

⎛ ⎞

− = ⎜

⎝0 ⎠ u w

B I v

≠

a b u ≠v

⎛ − ⎞

⎜ − ⎟

− = ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

p p

p p

p

u v

u w

B I u v

v

et

( ) ⁻ ( ) ⁻ ψ ^{( )}

=

= − ² + + − ¹ =

∑

− ¹ =

1

1 1

2

n n p

n p

n n

p

u u u

a u u

n p , ( ) ⁻ ψ ^{( )}

=

=

∑

− ¹ =

1

1

n p p

n n

p

b v v

p et

( ) ⁻

=

= − −

−

∑

¹

1

1

p p

n p

n

p

w u

c u v p

v , soit

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

⎧ = = −

⎪⎪ = = −

⎨⎪

⎡ ⎤

⎪ = − = ⎣ − − − ⎦

⎩ −

1 1

1 1

a

n n n

b

n n n

a b

n n n n n

a u e

b v e

c w u v c e e

u v

Second cas : .

; d’où, en posant ,

( )

.

Donc

= a b

⎛ − ⎞

− = ⎜⎜⎝ − ⎠

1

0 1

a a

a

e ce

B I e ⎟⎟ ^{− = ⎜⎛}_⎝0 ^⎞⎟_⎠

u w

B I u

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

− =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

0

p p

p

p

u pu w B I

u

( ) ⁻ ( ) ^{− − − ( )}

= =

= =

∑

− ¹ =

∑

− ^{1 1} = ¹ −

1 1

1 , 1

n p n

p p p p

n n n

p p

a b u c w u w u

p

∑

=

0 n

p

.

On reconnaît dans la somme des termes d’une suite géométrique de raison c_n −u ; comme cette raison est différente de 1 (− = −u 1 e^a ⇒ − ≠u 1), on a :

( )

= − − +

1 1

1

n n

n

c w u

u . Ainsi :

( )

( )

( )

( ) (

^{( )}

( ) )

ψ ψ

= = = −

⎧⎪

⎨ − −

= = − −

⎪ + −

⎩

1

1 1

1 1 1

1 1

a

n n n n

n n

n n

a a

n a

a b u e

c ce u c e

e −

b) Posons f x^{( )}=ln 1( +x) ; cette fonction est de classe C^∞ sur

[

^0,+∞

[

et vérifie les hypothèses de la formule de Taylor à tout ordre. On a ′^{( )}=

+ 1 f x 1

x ; une récurrence simple prouve que, ∀k .1, ^{( )( )} ( )

( )

( )

− −

= − +

1 1 !

1 1

k k

k

f x k

x ; f^{( )k} ( )0 = −( )1 ^k−1

(

k −1

)

! Pour ^{t ∈}

[ ]

^{0,x , ( +)( ) =} _{( ) + ( ) +}

+ +

1

1 1

! !

1 1 0

n

n n

n n

f t

t - car x .0 ; par suite

( ) ( ) ( )

( )

( )

− +

=

− −

+ − − −

∑

¹ + ¹

0

0 0

ln 1 1 1 ! !

! 1 !n

n n k

k k

x x

x k

k - n , soit ( + )−ψ ^{( )}

ln 1 +

n 1

x x x

-n , ce qui montre que n^{lim ln 1}_→+∞

(

( ⁺x)^−ψn^{( )}x

)

⁼⁰ ou ψ ^{( )} ( )

→+∞ = +

lim _n ln 1

n x x .

c) Les relations 0 < <a ln 2 et 0< <b ln 2 sont équivalentes à 1<e^a <2, ; on

en déduit et ; donc

< <

1 e^b 2

< − <

0 e^a 1 1 0<e^b − <1 1 0< <u 1 et 0 < <v 1. Dans les deux cas : n^lim_→+∞an ⁼n^lim_→+∞^ψn^{( )}u ^{=ln 1}( ⁺u)^=ln

( )

e^a =a et

( ) ( )

( )

→+∞ = →+∞ψ = + =

lim _n lim _n ln 1 ln ^b

n b n v v e =b.

Pour étudier li , on distingue les deux cas : Premier cas : :

mc_n

≠

a b ⁼

[

^{ψ ( )−ψ ( )}

]

^→

(

− −

n n n

w w

c u v

u v u v ^{a b−}

)

^{; donc}

( ) ( )

( ) ^{( )}

→+∞

⎛ − ⎞

⎜ − ⎟ − −

=⎜ ⎟ − =

− −

− − −

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

lim 1 1

a b

a b

n a b a b

n

e e

c a b e e a b

c a b c

a b e e

e e =c.

Second cas : n ⁼ ₁₊

[

^{1− −}( )^{1 n n}

]

^→₁₊

w w

c u

u u car, comme u <1, uⁿ →0 ; donc

→+∞ = =

lim

a

n a

n

c ce c

e .

Ainsi, dans tous les cas : lima_n =a, limb_n =b et limc_n =c.