CONCOURS COMMUN 2001 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Math´ematiques

CONCOURS COMMUN 2001

DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Epreuve de Math´ ematiques

(toutes fili`eres)

Jeudi 17 mai 2001 de 14h00 ` a 18h00

Instructions g´en´erales :

Les candidats sont invit´es `a porter une attention particuli`ere `a la r´edaction : les copies illisibles ou mal pr´esent´ees seront p´enalis´ees.

PROBLEME 1

Les parties AetB sont ind´ependantes, mais sont utilis´ees par la partie C.

PARTIE A :

Pour tout r´eelapositif ou nul, on notega la fonction d´efinie sur IR^∗₊ parga(t) =t^a.

A.1.Montrer que la fonctionga est prolongeable par continuit´e en 0 (on notera toujoursga la fonction ainsi prolong´ee, qui est donc d´efinie et continue sur IR+). Pr´eciser la valeur dega(0). Montrer que la fonction ga est de classeC¹ sur IR+pour a>1.

Soientaet bdeux r´eels positifs ou nuls. On pose

I(a, b) = Z 1

0

g_a(t)g_b(1−t)dt .

A.2.Justifier l’existence de l’int´egraleI(a, b). ComparerI(a, b) etI(b, a).

On ´ecrira abusivementI(a, b) = Z 1

0

t^a(1−t)^bdt.

A.3.Soientaet bdeux r´eels positifs ou nuls. Trouver une relation entreI(a+ 1, b) et I(a, b+ 1).

A.4.CalculerI(a,0). En d´eduire que, pour tout entier natureln, on a

I(a, n) = n!

(a+ 1)(a+ 2). . .(a+n+ 1).

A.5.Soientpetqdeux entiers naturels. ExprimerI(p, q) `a l’aide de factorielles.

A.6.En d´eduire la valeur de l’int´egrale

J(p, q) = Z ^π₂

0

(sinθ)^2p+1(cosθ)^2q+1dθ ,

o`u pet qsont deux entiers naturels.

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PARTIE B :

Pour tout r´eelastrictement positif, on notef_a la fonction d´efinie par f_a(x) =xln

1−a x

.

B.1.Pr´eciser l’ensemble de d´efinition def_a.

On noteCa la courbe repr´esentant la restriction de la fonctionfa `a l’intervalle ]a,+∞[.

B.2.Si aetxdont deux r´eels tels que 0< a < x, d´emontrer l’encadrement a

x 6lnx−ln(x−a)6 a x−a.

B.3.En d´eduire les variations de la fonctionf_asur l’intervalle ]a,+∞[ (on dressera un tableau de variations).

Pr´eciser la nature des branches infinies de la courbeC_a. B.4.Donner l’allure des courbesC1,C2 etC3 sur un mˆeme sch´ema.

B.5. On fixe a >0 et on consid`ere la suitey = (yn) d´efinie, pour tout entier naturel n tel quen > a, par yn =

1−a n

n

.

Etudier le comportement (sens de variation, limite) de la suite (yn).

Partie C :

Pour tout r´eel positif ou nulxet tout entier naturel non nuln, on pose Fn(x) =

Z n 0

1−u

n n

u^xdu .

C.1.Montrer queF_n(x) =n^x+1I(x, n).

C.2. En utilisant les r´esultats de la partie B, montrer que, pour tout x fix´e, la suite Fn(x)

n∈IN^∗ est croissante.

C.3.On fixex>0.

a. Montrer l’existence d’un r´eel strictement positifU tel que

∀u∈IR+ u>U=⇒e^−u6 1 u^x+2 . b. En d´eduire que, pour tout entier naturel non nuln, on a

Fn(x)6 Z U

0

e^−uu^xdu+ 1 U . c. Montrer que la suite Fn(x)

n∈IN^∗ est convergente.

Pour tout r´eel positif ou nulx, on poseF(x) = lim

n→+∞Fn(x).

C.4.D´emontrer la relation fonctionnelle

∀x∈IR+ F(x+ 1) = (x+ 1)F(x).

En d´eduire la valeur deF(k) pourk entier naturel.

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PROBLEME 2

Les parties BetC sont li´ees, mais la partieAest ind´ependante du reste du probl`eme.

On rappelle que, si pest un entier naturel non nul, la notation M_p(IR) repr´esente l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordrep`a coefficients r´eels.

Partie A :

Soitpun entier naturel non nul. Une matriceAdeMp(IR) est ditenilpotente d’indice troissi elle v´erifie A²6= 0 etA³= 0.

Dans toute cette partie, on noteAune matrice deMp(IR), nilpotente d’indice trois. On noteI la matrice- unit´e d’ordre p.

Pour tout r´eelt, on note E(t) la matrice

E(t) =I+tA+t² 2A². A.1.V´erifier la relation

∀(s, t)∈IR² E(s)E(t) =E(s+t). A.2.En d´eduire que E(t)n

=E(nt) pourt∈IR etn∈IN.

A.3.Montrer que la matriceE(t) est inversible. Quel est son inverse ?

A.4.Montrer que la famille (I, A, A²) est libre dans l’espace vectorielMp(IR).

A.5.En d´eduire que l’applicationE:t7→E(t), de IR versMp(IR), est injective.

A.6.Dans cette question,p= 3 etA=





0 1 1

0 0 1

0 0 0



. Expliciter la matriceE(t) sous la forme d’un tableau

matriciel pourt∈IR.

PARTIE B :

Dans cette partie, on noteB0= (−→ e1,−→

e2) la base canonique de IR². Soit la matriceA=

4 −6 1 −1

appartenant

`

aM2(IR). On notef l’endomorphisme de IR² qui lui est canoniquement associ´e.

B.1.Montrer queF = Ker(f−2 id_IR2) etG= Ker(f−id_IR2) sont deux droites vectorielles, suppl´ementaires dans IR². Pr´eciser un vecteur directeur−→u deF, et un vecteur directeur−→v deG.

B.2.Sans calculs, d´eterminer la matrice de l’endomorphismef de IR² dans la baseB= (−→u ,−→v).

B.3.En d´eduire qu’il existe une matriceP inversible et une matriceDdiagonale (toutes deux carr´ees d’ordre deux) telles queA=P DP⁻¹. ExpliciterP,D etP⁻¹.

B.4.ExpliciterDⁿpour tout entier natureln. D´emontrer la relationAⁿ=P DⁿP⁻¹. En d´eduire l’expression deAⁿ sous forme de tableau matriciel.

Partie C :

On reprend les notations de la partieB.

C.1.En utilisant l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange, montrer que, pour tout r´eel t, on a

e^t= lim

n→+∞

n

X

k=0

t^k k!

! .

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On pourra admettre le r´esultat de cette question pour traiter les suivantes.

C.2.Pour tout r´eelt, pour tout entier natureln, on noteEn(t) la matrice d´efinie parEn(t) =

n

X

k=0

t^k k!A^k. On

´ecrira cette matrice sous la formeE_n(t) =

a_n(t) b_n(t) c_n(t) d_n(t)

.

Expliciter (sous forme de sommes) ses coefficientsa_n(t),b_n(t),c_n(t),d_n(t).

C.3. Pour tout t ∈ IR, on note E(t) la matrice E(t) =

a(t) b(t) c(t) d(t)

, avec a(t) = lim

n→+∞an(t), b(t) = lim

n→+∞bn(t), etc. Expliciter la matriceE(t).

R´eponse partielle : on obtienta(t) = 3e^2t−2e^t.

C.4.Montrer qu’il existe deux matricesQet R(carr´ees d’ordre deux) telles que

∀t∈IR E(t) =e^2tQ+e^tR et expliciterQet R.

C.5.Calculer les matricesQ²,R²,QR,RQ. Que peut-on dire des endomorphismesqetrde IR²canonique- ment associ´es aux matricesQetR (on pourra pr´eciser la r´eponse en utilisant les droites F etGde la question B.1.) ?

C.6.En d´eduire que

∀(s, t)∈IR² E(s)E(t) =E(s+t). Que dire de E(t)n

pourn∈IN ?, de E(t)−1

?

L’applicationE:t7→E(t), de IR versM2(IR), est-elle injective ?

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