Application de Bernoulli
1) mesure de vitesse -> tube de Pitot 2) mesure de débit
Tube de Pitot 1) mesure de vitesse :
∫∫
•= U s ds
Qv (s) ( )
2 U2
Ps Pt h
g•∆ = − = •
• ρ
ρ Vitesse nulle
R.C.
' 2
2 g z P s
Ps+ρ•U2 +ρ• • = +ρ•U'2
Pt (pression totale) statique 2) mesure de débit :
- venturi - diaphragme - tuyère
• Néglige la perte en charge
• Problème : chère, volumineux, étalonnage
°
≈3,5 α
φ2
S2 S1
°
≈15 α
S3
φ1 φ3
1 2
1
1 U2 z
P +ρ• +ϖ • = 2 22 2
2 z
s U
P +ρ• +ϖ •
z1 ϖ
1 P
ϖ Pˆ
∆
1 2 1 2
2 2
1 ˆ ˆ
2
2 U z P P
U − • + • = −
• ρ ϖ
ρ
q
v = Sn •Un = S2 •U2 d’où1 2 2
1 S
U • S
= U
2 2 2 2
1
1 2 2
2
•
•
=
• S
U S
U ρ
ρ substituer U1 U P
S
S ˆ
1 2 1
2 2 • • 22 =∆
−
ρ
2
ˆ P1 P P = −
∆ 2 2
1 1 2
2 ˆ
−
∆
= •
S S U P
−
•
∆
• •
= •
4
1 2 2
2
1 2 ˆ 4
φ ρ φ
φ
π P
Qv Coefficient de venturi
Le diaphragme:
601 , 2 0
2 =
= + π
π S
Sc Sc section contractée
Perte de charge
Pas toujours vrai
Si bernouilli :
=Cet Qv
−
•
∆
• •
•
4
1 2 2
2
1 2 ˆ 4
φ ρ φ
φ
π P
• Cet -> Coeff d’étalonnage (Cet < 1)
Cet
2 1 S 1 2 S
601 , 2 =0 π +
π
Exemple de tuyères :
Prise de pression
3ème cas d’adaptation :
Nez d’un planeur cas
ème U
S
. 3
?
∞
∞
La perte de charge singulière :
-> Charge =cste
cste -> charge
q n n q n q
n q
n n n
n U z P
P U z
P +ρ• +ϖ • = + +ρ• + +ϖ • + +∆ + 2
2
2 2
2 U
P
•
+ 2
ρ 2
1
•z +
________
ϖ
n
n+q q
singularité : { Sn ; Sn+q} perte de charge sous forme de pression coefficient de perte de charge singulière
2
2n
•U
•ρ
h hauteur connu avant la singularité dzéta
L.C.
(L.C’)
h
R.C.
L.P.
L.T.
g q n H U
•
• +
=
∆ 2
)
2( h g
n U
• 2
2
g q n U
• + 2
)
2(
ϖ ) (n q P + ϖ
Pn
Z(n+q) Zn
Rôle de la perte de charge sur une vidange :
Torichelli : Us(t) = 2•g•z(t)
) ( 2
) ( 2 )
(t 2 t 2 g t
s U g
s
z U
• •
+
= • h => (1 )
2 ( )
2 )
( • +h
= •
t
t g
s z U
Us = ?
+h
•
• •
=
− 1
2 g z dt Ss
dv avant : S g z
dt
dv = • • •
− 1 2
=cste φ
g s U
• 2
2
L.C.s
j z0
h
g s H U
• •
=
∆ 2
2
S0 h
Ss
)
0(t z
g s H U
• •
=
∆ 2
2
h
g s U
• 2
2
avec perte de charge : t avec perte de charge = t sans perte de charge • 1+h
3ème cas d’adaptation et dpc : sans perte de charge :
g U
• 2
2
L.C.
Vz Vx
qv cste U
S• = = g s U
• 2
2 φ
φ
H=H0
R.C.
H0
L.T. (ligne de tube) Sans perte de charge
x L.T. = L.P.
φ ≈ g
s U
• 2
2 ∆H(x)
g s U
• 2
2
>
L.C.
φ
Théorème d’EULER (mécanique des fluides) sur les quantités de mvt :
NEWTON : r r 0r
=
• +
∑
m γ∑
F0r r r
r +
∑
• +Γ=∑
F m γUr D
=? Fr
≠0
comment déterminer Γr ? : la méthode de RAYLEIGH depend de U;ρ;D m•γ :M/s−2
[
Uα ρβ Dγ]
T L
M1• 1• −2 = • •
=
[
M0 •L1•T−1] [
α • M1•L−3•T0] [
β • M0 •L1•T0]
γU ρ D
=1 β
γ β α − +
=
→1 3
L
α
−
=
−
→ 2 T
dt U U dm r
•
=
qm
U D U• •
• 2
ρ r r r 0r
=
• +
•
+
∑ ∑
∑
F m γ dmdt US U•
ρ•
[
m U]
dt d dt U dm dt
u
m dr r r
•
•
→
• +
•
•qv ρ
qm
qm dt
→dm
Application aux écoulements : - Masse volumique constante.
- Débit constant.
qm
2 nr 1
nr
1 U
2 U P2 P1
S2 S1
g m•
[ ]
[ ]
[ ]
0 ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2 1
...
...
...
...
...
...
0 ...
....
...
...
...
...
...
2 2 2 1 1 1
r r r
r r
r r r
r r
=
•
−
•
→
•
+
=
⇒
→
•
+
+
•
•
−
•
• +
•
→
∑
∑
∑ ∑
U qm U qm dt U
dm
permanent ecoulement
m
F i n
S P n S P g m
F paroi
γ
P1, P2 effectives.
Exercice :
z
y Calcul de U2 et P2 :
litres v
mm mm bars P
eau
s M U
20 5 , 0
80 2
100 1
2 1
10
1 1
=
=
=
=
=
•
= −
h φ φ
S1
S2
-qmUr1
-P2•S2•nr2 -P1•S1•nr1 -qm Ur2
• g m• r Rr
∑
Fparoiplan
x
⊕z
4 D2
S •
=π
6 2
, 15 2 1
2 1 2 2 1
1• = • ⇒ = •U = M•s−
S U S U S U S
g U g
z P g U g z P
g U
• •
• + +
• +
• = +
• + 2 2
2
22 2
1 2 2 1
1 2
1 ρ ρ h
U P P
P = −∆ • )−∆ ( 2
2 1
2 ρ
2
2
U1
•
•ρ h ρ = 1000 pour l’eau
1225+519 pascal
P2 =2105 +50000−25000−500•15,62 =103320
2930 1570+785
N g
m
N U
qm
N U
qm
N S
P
N S
P
200 1224 785 519 1570
2 1 2 2
1 1
=
•
=
•
=
•
=
•
=
•
2930
2936N 200
