UNIVERSITÉ MOHAMED I
Faculté Des Sciences Année Universitaire 2012/13
Département De Mathématiques Section SMA, S5
Et Informatique Élément de module : Théorie des groupes
O u j d a Responsable : M.AYADI
Session ordinaire - Durée : 1H 30 Examen de Théorie des Groupes
Questions de Cours : 1) Énoncer et démontrer le troisième théorème d'isomorphisme.
2) Montrer que tout groupe abélien d'ordre pq est cyclique, où p et q sont des nombres premiers distincts.
Exercice I : Soit l'anneau A=Z/6Z.
1) Dresser la table d'addition dans A.
Merci pour votre visite
3) Existe-t-il des groupes non abéliens d'ordre pq?
4) Donner ( à isomorphisme près ) touts les groupes abéliens d'ordre 1575.
5) Identier le groupe Z/7Z×Z/5Z×Z/5Z×Z/3Z×Z/12Z.
2) Quels sont les éléments inversibles de A?
3) Citer tous les groupes d'ordre 6 qui existent à isomorphisme près.
Exercice II : Soit Gun groupe d'ordre ps et d'élément neutre e. Soit xun élément de G ayant un ordre maximal (parmi les ordres des éléments de G ) égal à m.
1) Montrer que :
r
l =xn. En écrivant n =n0pα avecp ne divisant pas n0 , montrer alors qu'il existe k∈N, 0< k < r tel que zpl 0)pk
l
l =ypl a) Un tel élément x existe.
b) L'ordre m est de la forme pr. c) Pour tout y∈G,yp =e.
2) Que représente l'invariant m pour G.
3) Montrer que pl divise l'ordre de z. 4) Montrer qu'il existe n∈N∗ tel que zp
= (xn . est pr−k et que l'ordre de z est pr−k+l. 6) Montrer que l≤k et en déduire qu'il existe y∈< x > tel que zp 5) En déduire que l'ordre de zp
7) En déduire qu'il existe un élément dans z dont l'ordre est pl. .
8) En utilisant ce qui précède, montrer que toute classe dans le groupe quotient G/ < x >
contient un élément de même ordre que cette classe.
Bonne chance et bon courage...
www.al3abkari-pro.com
UNIVERSITÉ MOHAMED I
Faculté Des Sciences Année Universitaire 2012/13
Département De Mathématiques Section SMA, S5
Et Informatique Élément de module : Théorie des groupes
O u j d a Responsable : M.AYADI
Session ordinaire - Durée : 1H 30 Examen de Théorie des Groupes
Questions de Cours : 1) Énoncer et démontrer le troisième théorème d'isomorphisme.
2) Montrer que tout groupe abélien d'ordre pq est cyclique, où p et q sont des nombres premiers distincts.
RéponseD'après le théorème de Cauchy il existe un élément x(resp.y) d'ordrep(resp.
q) ; le groupe étant abélien doncxy =yxpar suite l'ordre dexyest leppcm(ord(x), ord(y)) = pq et le groupe est cyclique engendré par xy. Autre démonstration : les sous-groupes de Sylow sont Hp etHq et sont cycliques d'ordre premier entre eux donc leur produit directe est aussi cyclique de lus l'application produit de HpHq dans le groupe est un isomorphisme 3) Existe-t-il des groupes non abéliens d'ordre pq?
Réponse Oui, le groupe symétrique S3 est d'ordre 6 = 2.3mais non abélien car (par exemple) (12)(123)6= (123)(12).
4) Donner ( à isomorphisme près ) touts les groupes abéliens d'ordre 1575.
Réponse 1575 = 32527 donc l'exposant d'un tel groupe est divisible par 3.5.7 = 105 et comme il doit diviser 1575 les cas possible pour ce groupe sont :
l'exposant est 1575 le groupe est cyclique donc isomorphe à Z/1575Z.
l'exposant est 3.52.7 = 525le groupe est isomorphe à Z/525Z×Z/3Z.
l'exposant est 32.5.7 = 315le groupe est isomorphe à Z/315Z×Z/5Z.
l'exposant est 3.5.7 = 105le groupe est isomorphe à Z/105Z×Z/15Z.
5) Identier le groupe Z/7Z×Z/5Z×Z/5Z×Z/3Z×Z/12Z.
Réponse L'exposant de ce groupe est7.5.12 = 420donc isomorphe àZ/420Z×Z/15Z.
Exercice I : Soit l'anneau A=Z/6Z.
1) Dresser la table d'addition dans A. Réponse
(A,+) 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4
2) Quels sont les éléments inversibles de A?
Réponse Sont les classes dont les représentants sont premiers à 6 donc il s'agit des éléments 1 et5.
3) Citer tous les groupes d'ordre 6 qui existent à isomorphisme près.
RéponseDeux types abélien donc cyclique isomorphe à Z/6Z et celui non abélien isomorphe S3.
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Exercice II : Soit Gun groupe d'ordreps et d'élément neutre e. Soit xun élément deG ayant un ordre maximal (parmi les ordres des éléments de G ) égal à m.
1) Montrer que :
a) Un tel élément x existe.
Réponse : L'ensemble ordr(x), x∈G est une partie majoré de N donc possède un grand élément m par suite x existe.
b) L'ordre m est de la forme pr.
Réponse m divise |G|=pS donc m est de la forme pr. c) Pour tout y ∈G, ypr =e.
Réponse Comme l'ordre de tout élément est un diviseur de ps et inférieure ou égale à pr on aord(y) = pr−tavec0≤t≤r par suite ypr =ypr−t+t =ypr−tpt = (ypr−t)pt =ept =e 2) Que représente l'invariant m pour G.
Réponse ; Il s'agit de l'exposant de G.
On suppose dans la suite que Gest abélien non cyclique soitz un élément deG/ < x >
d'ordre pl.
3) Montrer que pl divise l'ordre de z.
Réponsezord(z) = zord(z) = e ce qui montre que l'ordre de z divise l'ordre de z. Supposons dans la suite que zpl 6=e.
4) Montrer qu'il existe n ∈N∗ tel que zpl =xn. En écrivant n=n0pα avec pne divisant pas n0 , montrer alors qu'il existe k ∈N, 0< k < r tel que zpl = (xn0)pk.
Réponsezpl = e, donc zpl ∈ hxi, par suite il existe n ∈ N, remarquons que n peut être choisi tel que n ≤ pr (faire une division euclidienne de n par pr) tel que zpl = xn l'hypothèsezpl 6=eoblige quensoit non nulle et soit< pr. La factorisation denen nombre premier permet d'écrire n =n0pα avec p etn0 premiers entre eux, de plus 0< k =α < r en eet k = 0 conduit à zpl = xn0 et comme n0 ∧p = 1 on aura ordre de zpl est égal à celui de x, par suite l'ordre de z est pl+r > pr car z 6=e(zpl 6=e)
5) En déduire que l'ordre de zpl est pr−k et que l'ordre de z est pr−k+l.
Réponse Comme zpl = (xn0)pk avec n0∧ ∧p = 1 on tire que l'ordre de zpl est l'ordre de xpk qui est pr−k, par suite l'ordre de z est pr−k+l.
6) Montrer que l ≤k et en déduire qu'il existe y∈< x > tel que zpl =ypl.
Réponse pr−k+l = ord(z) ≤ ord(x) = pr implique que r ≥ r−k +l c-à-d −k+l ≤ 0 c'est donc que l≤k. Soit y= (xn0)pk−l alors zpl = (xn0)pk =ypl.
7) En déduire qu'il existe un élément dans z dont l'ordre est pl.
Réponse L'élément zy−1 a même classe que z car y∈ hxi de plus l'ordre de zy−1 est pl. 8) En utilisant ce qui précède, montrer que toute classe dans le groupe quotient G/ < x >
contient un élément de même ordre que cette classe.
Réponse Évidente question 7).
Bonne chance et bon courage...
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