a Québec go

(1)

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a Québec ^go

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... :.:.:.- ... ... ... ... ... .... . .

NOTE D E R E C H E R C H E F O R E S T I G R E N ' 3 6 , 1 9 8 9

D I S T R I B U T I O N D E S F I G E S P A R CLASSE DE D I A H Ë X R E D A N S UNE F O R e T I N É O U I E N N E : A S P E C T M A T H ~ M A T I Q U E

O . D , Ç . 5 4 2 - - 0 F 5 . 5 l a 4 7 . 3 l [ ? l L ) L . C . S D 3 8 7 .85

C e t t e n o t e p r é s e n t e l e d é v e l o p p e m e n t m a t h é m a t i q u e d e s formules p o u r c a l c u l e r d e s d i s t r l b u t l o n s t h é o r i q u e s d e t i g e s p a r c l a s s e d e diarnetre d a n s u n e f o r e t ~ n é q u l e n n e . Une é q u a t z o n p e r m e t d e c a l c u l e r l e " q " d ' u n e d i s t r l b u t l o n t a n d i s q u ' u n e a u t r e d o n n e l e n o m b r e d e t i g e s p a r c l a s s e d e d i a m è t r e p o u r L e s v a l e u r s

c h o i s i e s d e " q " , d e l a s u r f a c e t e r r i è r e e t d u d . h . p . r n a ~ i m a l . D e u x a u t r e s e q u a t ~ o n s a c c e s s o i r e s p e r m e t t e n t d ' é v a l u e r l e s ç a n s - t a n t e s q u i apparaissent d a n s l ' é q u a t i o n d u n o m b r e d e t i g e s p a r

c l a s s e d e d i a m é t r e . A l ' a l d e d e c e j e u d ' é q u a t i o n s , t o u t u t i l l - s a t e u r p e u t d r e s s e r ^{l e s}t a b l e a u x d e d i s t r ~ b u t i o n d e s tiges d o n t 11 a b e s o l n .

A R S T R A C T

T h r s n o t e p r e s e n t s t h e m a t h e r n a t ~ c a l s t e p s i n v o l v e d to c a l c u l a ^{t e} d r a m e t e r d ~ s t r i b u t i a n s i n u n e v e n - a g e d f o r e s t s

.

^An

e q u a t l o n i s u s e d t o c a l c u l a t e " q " , a n d a n o t h e r f o r d e t e r r n l n e t h e nurnber o f t r e e s &y c l a s s d r a m e t e r w l l h f i x e d " q " , b a s a l a r e a a n d m a x i m u m d . b . h. Two o t h e r e q u a t l d n s a r e a l s o g i v e n h e l p i n g i n

c a l c u l a t i o n o f c a n s t a n t s a p p e a r l n g i n n u m b e r o f t r e e s p e r d i a m e t e r c l a s s e q u a t i o n . W l t h t h r s s e t o f e q u a t r o n s , a n y u s e r c a n c o n s E r u ç t t h e r e q u e s t e d d i s t r l b u t i o n t a b l e s .

I n g é n i e u r forestier, assistant d e r e c h e r c h e e n écologie f o r e s t i è r e

(2)

I N T R O D U C T I O N

M a j c e n e t a l . ( 1 9 6 9 ) o n t p u b l z é u n m é m o i r e t r a i t a n t d ' u n e m é t h o d e d e m a r q u a g e p o u r l a c o u p e d e jardinage. Ce d o c u m e n t contient, e n a n n e x e , d e s t a b l e a u x d e d i s t r i b u t i o n d e s t i g e s e n f o n c t ~ a n d e l e u r d i a m è t r e p o u r d e s s u r f a c e s t e r r l e r e s v a r i a n t d e 16 à 3 6 m 2 / h a , p a r i n t e r v a l l e d ' u n m 2 / h a , p o u r d e s d . h . p . m a x i m a u x s ' s t e n d a n t d e 6 0 a 4 5 c m , p a r i n t e r v a l l e d e 5 c m et p o u r différentes v a l e u r s d e - q " .

L'utilisation

d e c e s t a b l e a u x e s t u t i l e , v o i r e n é c e s -

s a i r e , p o u r c a l c u l e r l a q u a n t l t é d e t i g e s à c o u p e r p a r c l a s s e d e d i a m e t r e p o u r t e n d r e v e r s u n e s t r u c t u r e équilibrée d e l a F o r e t i n e q u i e n n e . C e p e n d a n t , 11 y a u n e ~ n f i n i t ë d e c o m b i n a i s o n s p o s s i b l e s p o u r b l a b o r e r d e t e l s t a b l e a u x . L e s a u t e u r s e n o n t

p r é s e n t é s q u e l q u e s u n s , m a i s s l s ^{o n t} a u s s i f o u r n i d e s é q u a t i o n s p o u r en c o n s t r u i r e d ' a u t r e s .

C e t t e n o t e d e r e c h e r c h e e s t v o u l u e comme u n d é v e l o p p e m e n t d e s é q u a t i o n s p r é s e n t é e s p a r P i a j c e n e t a l .

1 1 9 8 9 1 , a c c o m p a g n é d e q u e l q u e s e x e m p l e s .

NOMBRE D E T I G E S D A N S UNE C L A S S E D E D I A H ~ T R E

La d i s t r i b u t i o n d e s t l g e s s u i t u n e l o i h y p e r b o l i q u e . L ' é q u a t i o n g é n é r a l e q u i d é f i n i t l e n o m b r e d e t i g e s d a n s u n e c e r t a i n e c l a s s e d e d i a m è t r e s ' é c r i t c o m m e s u i t :

ND = dD ( M e y e r , 1 9 5 2 ; M e y e r e t S t e v e n s o n , 1 9 4 3 1 .

o ù :

N D = n o m b r e d e t i g e s d a n s l a c l a s s e d e d i a r n 6 t r e ^D

D = c l a s s e d e d i a m é t r e D

D i = l i m i t e i n f é r i e u r e d e l a c l a s s e d i a m e t r e D O s = l i m i t e s u p é r i e u r e d e l a c l a s s e d i a m è t r e D a et K = c o n s t a n t e s

e = n o m b r e n é p é r i e n

d D = d i f f é r e n t i e l l e d e O .

(3)

L a s o l u t i o n g é n é r a l e d e c e t t e i n t é g r a l e s ' e f f e c t u e c o m m e s u i t :

- a D

N D = K d D

é q u a t i o n ¹

P o u r r é s o u d r e c e t t e é q u a t i o n , 11 f a u t é v a l u e r l e s c o n s t a n t e s " a "

e t " K M , c e q u i s ' e f f e c t u e e n d e u x é t a p e s .

E s t i m a t i o n d e " a "

t e s t a b l e a u x d e M a j c e n e t a l . ( 1 9 8 9 1 s o n t p r é s e n t é s a v e c d i f f é r e n t e s v a l e u r s d e " q " , v a r i a n t d e 1 , 0 6 a 1 , 1 7 p o u r l e s c l a s s e s d e d l a m e t r e d e 2 c m . L e f a c t e u r " q " e s t un c o e f f i c i e n t d e diminution. Tl e s t d é f i n i c o m m e l e q u o t i e n t e n t r e l e n o m b r e d e t i g e s d ' u n e c l a s s e d e d i a m è t r e e t l e n o m b r e d e t i g e s d e l a c l a s s e d e d n a r n e t r e s u i v a n t e . L a c o n s t a n t e " a " e s t r e l i é e a M q m , c o m m e n o u s a l l o n s l e d é m o n t r e r ( l a f a ç o n d e c a l c u l e r " q " s e r a v u e p l u s l o i n ) . P r e n a n t c o m m e e x e m p l e l e s c l a s s e s d e d i a m è t r e d e 4 e t 6 c m , d o n t l e s l i m i t e s s o n t d e 3 , O S a 5 , 0 5 c m et 5 , 0 5 à

7 , 0 5 cm r e s p e c t i v e m e n t e t un q = l , O S , l ' e g a l l t é s u ~ v a n t e p e u t ê t r e p o s é e :

(4)

2 a

I n 1 , 0 9 = ^{l n e} ou I n = L o g a r i t h m e n é p é r i e n

(5)

R è g l e g k n e r a l e , i l e s t p l u s s l r n p S e d e f o r m u l e r L ' é g a l i t é s u i v a n t e :

é q u a t i o n 2

o u :

E s t i m a t i o n d e " K M

L a c o n s t a n t e " a " é t a n t m a i n t e n a n t c o n n u e , i l _{f a u t} é v a - l u e r l a c o n s t a n t e " K u q u i e s t r e l i é e a u d i a m è t r e m a x i m a l e t a l a

s u r f a c e t e r r i è r e . N o u s a l l o n s m a l r i t e n a n t é v a l u e s " K m à l ' a i d e d ' u n e x e m p l e oti l a s u r f a c e t e r r i e r e u t i l i s é e e s t 2 4 r n 2 / n a ( 2 4 0 0 0 0 c r n * / h a ) et l e d . h . p . m a x i m a l e s t f i x é a 6 0 c m . 11 e s t a n o t e r q u e l e s t l g e s p l u s p e t i t e s q u e 9 , 0 5 c m n e c o m p t e n t p a s d a n s l e c a l c u l d e l a s u r f a c e t e r r i è r e .

S . T . =

C N o

S~

0 = 9 , 0 5

S . T . = s u r f a c e t e r r i e r e I c r n 2 / h a )

N~ = n o m b r e d e t i g e s p a r h e c t a r e d a n s u n e c l a s s e d e d i a m é t r e D

S~ = s u r f a c e t e r r i è r e d ' u n e t i g e d e d i a m è t r e D ( c m 2 1 = T i D z / 4

(6)

L a s o l u t i o n d e c e t t e i n t é g r a l e s ' e f f e c t u e c o m m e s u i t :

- a 0

2

S . T . =

-

^-

-

4 a

6 1 , O 5

S . T . -

4 a a 2

9 , 0 5

- & x a x S . T .

K =

6 1 , O 5

TI

9 , 0 5

é q u a t i o n 3

é q u a t i o n 4

(7)

U n e f o l s " a " e t " K u c o n n u e s , o n p e u l r k s o u d r e l ' é q u a - t i ç i n 3 p o u r t o u t e s c l a s s e s d e d i a m è t r e d é s i r é e s e n f i x a n t L e s b o r n e s appropriées.

E n t r a ~ a n t l a c o u r b e d e d r s t r l b u t i o n d e s t i g e s e n f o n c t l a n d e s d i a m è t r e s s u r d u p a p l e r s e m i - l o g a r i t h r n l q u e e n b a s e '70, o n o b t i e n t u n e d r o i t e d e r é g r e s s i o n Y = c ⁺ b X , O U l a var-a- b l e e x p l i q u é e , " Y " , r e p r é s e n t e l e l o g a r i t h m e d e l a f r é q u e n c e Eou d i s t r i b u t i o n 1 e t l a v a r i a b l e explicative, " X " , l e d i a m è t r e . L e p r e m i e r c o e f f i c i e n t , " c " , e s t L ' o r d o n n e e a l h r i g i n e d e l a d r o i t e et le s e c o n d coefficient, " b " , ( q u i d a n s c e c a s e s t n é g a -

t i f ) est l a p e n t e d e c e t t e droite. On p e u t t o u j o u r s o b t e n i r g r a p h i q u e m e n t l a v a l e u r a p p r o x i m a t i v e d e l a p e n t e , m a i s i l e s t p r é f é r a b l e d e l a c a l c u l e r e n u t i l i s a n t u n e c a l c u l a t r i c e p r o g r a m - m é e , o u m u n i e d e s f o n c t l a n s s t a t i s t i q u e s e t d e r é g r e s s i o n . L e q u o t i e n t " q " d e l a d i s t r i b u t i o n e s t o b t e n u p a r l'expression s u i - v a n t e :

- b h q =

o ù " h " e s t l ' é t e n d u e d e c h a q u e c l a s s e d e d . h . p . 5 i h = ² c m , a l o r s q = 1 0 - 2 b , S i l a c a l c u l a t r i c e q u e v o u s p o s s é d e z n e p e r m e t p a s d e f a i r e d e s r é g r e s s i o n s , l a m é t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r é s , q u o i q u e p l u s L o n g u e , d o n n e r a l e même r é s u l t a t . V a i ç i u n

a

e x e m p l e :

C l a s s e s d e d . h . p . F r é q u e n c e C l a s s e s d e d . h . p . F r é q u e n c e

X f X f

(8)

a ) E s t ~ m a t i o n d e - q " à p a r t i r d e l ' é q u a t i o n Y = c + bX ( f a i t a v e c u n e c a L c u L a t r i c e p o s s é d a n t l e s fonctions s t a t i s t i q u e s e t d e régression)

Y = ç + b X

Y = l o g f = 2 , 1 6 - 0 , 0 3 0 5 B X b = - 0 , 0 3 0 5 8

- b = 0 , 0 3 0 5 8 1 0 - b = ? , a 7 2 9 6

g = ( 1 0 - b } 2 = 7 , 1 5

b ) E s t i m a t i o n d e " q " s e l o n l a m é t h o d e d é t a i l l é e d e s m o i n d r e s c a r r é s

N o m b r e d e c l a s s e d e d i a m è t r e = Z = 2 9

Ç Y =

E

l o g f = l o g 8 2 + l o g 5 9 +

. . .

+ l o g 1 = 2 8 , 9 7 2 8

Z X Y

= E X Y - ( E X x L Y / Z ) = 8 5 2 , 6 3 - ( I t D 2 x 2 8 , 9 7 2 8 / 2 9 ) = - 2 4 8 , 3 4

(9)

(10)

o u :

q = q u o t ~ e n t d u n o m b r e d e t l g e s d ' u n e c l a s s e d e d i a m è t r e d i v i s e p a r Pe n o m b r e d e t z g e s d e l a c l a s s e d e d i a r n e t r e s u i v a n t e

1 = s o m m a t i o n d e X = d i a m è t r e

Y = l o g a r i t h m e e n b a s e 1 0 d e l a f r é q u e n c e d u d i a m e t r e Z = n o m b r e d e c l a s s e s d e d i a m è t r e

h = i n t e r v a l l e e n t r e 2 c l a s s e s d e d i a m é t r e

v o u s d i s p o s e z m a i n t e n a n t d e r o u t i l s p o u r é t a b l i r t o u t e s L e s d i s t r i b u t i o n s d e d i a m é t r e s d é s i r é e s .

M A J C E N , Z . , Y . R I C H A R D , M . M € N A R D et Y . G R E N I E R , 1 9 8 9 . C h o i x d e s t l g e s a m a r q u e r p o u r l e j a r d i n a g e d ' g r a b l i e r e s

~ n g q u i e n n e s . Guide technique. G o u v . d u Q u é b e c , m i n . É n e r . et R e s s . , D L ~ . r e c h . et d g v . , S e r v . r e c h . a p p l . Mérnosre n o 9 6 , 8 B p .

L E A K , N . B . , 1 9 6 3 . C a l c u l a t i o n o f " q " b y t h e l e a s t s q u a r e s

r n e l h o d . J o u r n a l o f f a r e s t r y . 6 1 : 2 2 7 - 2 2 6 .

M E Y E R , H . A . , 1 9 5 2 . S t r u c t u r e , g r o w t h a n d d r a i n I n b a l a n c e d u n v e n a g e d f o r e s t s . J o u r n a l o f f o r e s t r y . 5 0 : 8 5 - 9 2 .

M E Y E R , H . A . e t D . D . S T E V E N S O N , 1 9 4 3 . T h e s t r u c t u r e a n d g r o w t h o f v i r g l n b e e c h - b i r ç h - m a p l e - h e m l o c k f u r e s t s i n n e r -

t h e r n P e n n s y l v a n i a . J o u r n a l o f a g r i c u l t u r a l r e s e a r c h . 6 7 ( 1 2 ) : 4 6 S - 4 B L .

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