Étude de la lumière de fluorescence d'atomes excités en interaction résonnante avec un laser I. Analyse théorique

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Étude de la lumière de fluorescence d’atomes excités en

interaction résonnante avec un laser I. Analyse théorique

M. Dumont, B. Decomps

To cite this version:

M. Dumont, B. Decomps. Étude de la lumière de fluorescence d’atomes excités en interaction

ré-sonnante avec un laser I. Analyse théorique.

Journal de Physique, 1968, 29 (2-3), pp.181-195.

�10.1051/jphys:01968002902-3018100�. �jpa-00206635�

ÉTUDE

DE

LA

LUMIÈRE

DE

FLUORESCENCE

D’ATOMES

EXCITÉS

EN

INTERACTION

RÉSONNANTE

AVEC UN LASER

(1)

I.

ANALYSE

_THÉORIQUE

Par M. DUMONT et B.

DECOMPS,

Faculté des Sciences de _Paris, Laboratoire de _{Spectroscopie} Hertzienne de l’E.N.S., associé au C.N.R.S.

(Reçu

le 22

_septembre

_1967.)

Résumé. 2014 On étudie l’effet de l’irradiation _par un laser à gaz sur la lumière de fluorescence

d’atomes excités par une

_décharge

dans les niveaux

_supérieur

et inférieur de la transition laser. Ces atomes sont soumis de

_plus

à un

_champ

_{magnétique statique.}

Le calcul,

développé

dans le formalisme des

_opérateurs

tensoriels irréductibles, tient

_compte

de l’existence de

relaxations

_isotropes

et du transfert d’excitation _{par émission}

_spontanée

entre le niveau

_supérieur

et le niveau inférieur

_(effet

de

_cascade).

Suivant la méthode de Lamb [1], l’irradiation laser

est décrite

_{classiquement}

_par son

_champ

_électrique

et ses effets sont

_prévus

_par un

_{développement}

en

_{perturbation.}

On se limite ici à l’ordre 2.

_{L’application}

des formules

_générales

_permet

de

définir un ensemble de

_grandeurs

accessibles à

_{l’expérience,}

_{rigoureusement}

_{décrites par l’ordre} 2

des

_{perturbations}

et

_simplement

reliées aux valeurs des

_{paramètres caractéristiques}

des diverses relaxations.

La vérification

_{expérimentale}

sera décrite dans un second article. L’accord avec les résultats

de

_l’analyse

_{théorique présentée}

ici montre _que cette méthode

_permet

d’étudier effectivement

plusieurs types

de relaxations.

_{L’application}

au niveau

_2p4

du néon _y sera

_présentée.

Abstract. 2014 The influence of

a _{gas laser beam} on the fluorescence

_light

emitted

_by

atoms excited

_by

a

_discharge

in the _upper and lower levels of the laser transition is

_{theoretically}

studied in _{the presence of} a static

_magnetic

field. Calculations are

_developed

in the formalism of irreducible tensor

_operators.

One takes into account the existence of

_isotropic

relaxations

and cascade effects due to

_spontaneous

emission between the _upper and the lower levels.

Following

Lamb

_[1],

the laser beam is described

_{classically by}

its electric field and its effects

are calculated

_{by perturbation theory.}

Second order formulae are

_applied

to define a set of observables

_rigorously

described

_by

this second order

theory

and

_simply

related to relaxation

parameters.

In a _{second paper,}

_experimental

_agreement with the

_present

theoretical

_analysis

will show the usefullness of this method to

_study

several _{relaxation processes.}

_Application

to the

_2p4

level of neon will be described.

A. Introduction. - De nombreuses

publications

th6oriques

ou

eXpérimentales

ont trait6 le

_probl6me

d’un laser _{a gaz} soumis a un

_{champ magn6tique.}

Si l’on s’int6resse au _comportement des atomes à

l’int6rieur d’un tel

laser,

1’6tude des

_{caractéristiques}

du faisceau 6mis conduit a une

_{interpretation}

delicate : en

effet,

il est sensible

_6galement

aux

_propri6t6s

de la cavité. De

_plus,

du fait des saturations essentielles au fonctionnement d’un

_oscillateur,

les

_{caractéristiques}

du faisceau laser ne

_dependent

_pas lin6airement des

parametres

atomiques.

L’utilisation de la lumiere de

_{fluorescence, propos6e}

par Javan [2],

pour 1’etude des atomes en interaction avec l’onde laser 6vite ces

_{complications. Depuis,}

de

(1)

Cette 6tude a ete realisee avec l’aide de la D.R.M.E.

nombreux

_{expérimentateurs [3], [4]}

ont utilise cette

m6thode. I1 nous est _apparu

_qu’une

6tude

_plus

complete,

th6orique

et

_{eXpérimentale,}

6tait n6cessaire

a cause de 1’existence de

plusieurs

_types de relaxation

et de l’influence de 1’emission

_spontan6e

se

_produisant

sur la meme raie que l’oscillation laser.

Nous nous limitons _pour l’instant a la

_r6ponse

lin6aire des atomes. Cela est suffisant _pour atteindre les

_{caractéristiques}

_propres de chacun des deux

ni-veaux

_atomiques

_{pris s6par6ment.}

Plusieurs effets de saturation sont observables _par

cette m6thode

_{[5], [6].}

L’6tude d6taill6e de ces

pheno-m6nes fera

_l’objet

d’une

_publication

ult6rieure.

1. DEFINITION DU SYSTEME ETUDIE. - NOUS

consi-derons un _gaz d’atomes

possedant

_quatre

niveaux

d’energie a, b, f et g ( fig. 1).

Nous cherchons a calculer

l’intensit6 et le

_diagramme

de

_polarisation

de la lumi6re de fluorescence 6mise _par les atomes tombant du niveau a sur le

_{niveau f ou}

_par ceux tombant de b

sur g

lorsque

le _gaz est soumis :

a)

a une

d6charge

_qui

peuple

tous les niveaux

excites ;

b)

a une irradiation laser r6sonnante _pour la

tran-sition b ---> _a;

c)

a un

_{champ magn6tique statique.}

2. HYPOTHESES. -

a)

L’onde laser est

_ind6pendante

du milieu

_atomique

6tudi6 : elle est

_impos6e

de l’extérieur. Le _rayonnement

_laser,

_suppose

_multimode,

sera trait6

_{classiquement}

comme un

_champ

_6lectrique

oscillant

_[1].

b)

Le milieu

_{atomique. -1 )}

Les

_quatre

niveaux consi-deres ont une structure Zeeman d6termin6e _par leur

moment

_cinetique

total

_{J,, Jb,}

_{J f}

et

_Jg.

2)

Les atomes du _gaz sont soumis a

_{1’agitation}

thermique

et nous _{supposons que la}

_r6partition

des vitesses est une

_r6partition

de Maxwell de

temp6ra-ture T

_ind6pendante

de 1’etat d’excitation interne des atomes.

3)

La

_d6charge

est

_{suppos6e homog6ne}

sur tout le volume 6tudi6 et constante dans le _temps.

4)

Elle n’introduit aucune orientation ni aucun

alignement

dans les niveaux excites. Ceci revient à

admettre

_{qu’aux pressions}

utilisées le bombardement des

atomes _par les electrons est

_isotrope.

5)

Nous _{supposerons que les m6canismes de} relaxa-tion

_(collisions,

diffusion

_multiple)

ont la

_sym6trie

sph6rique,

c’est-a-dire

_qu’il

_n’y

a aucune direction

privil6gi6e.

Cela

_signifie

_{que, lors d’une}

_collision,

la vitesse relative des deux atomes a la meme

probabilite

d’avoir

_n’importe

_quelle

direction. Cela

_signifie

6ga-lement,

pour la diffusion

multiple,

qu’un

photon

6mis

par un atome a la meme

_probabilite

d’etre r6absorb6

quelle

que soit la direction dans

laquelle

il est 6mis. En

_fait,

aucune de ces deux conditions n’est r6alis6e

rigoureusement :

d’une

_part,

le laser

_{n’interagit}

qu’avec

des atomes de vitesse d6termin6e pour

lesquels

les collisions ne sont surement _pas

_isotropes,

d’autre

part, la cellule a la forme d’un tube mince et

_long,

et

la diffusion

_multiple

n’est

_{plus isotrope}

_{des que le} taux

de

_reabsorption

de la lumiere devient faible.

Nous avons 6tudi6 cette

_sym6trie

axiale par une

theorie

_{phénoménologique,}

mais les

_experiences

n’ont pu mettre en evidence les effets

_pr6vus.

_Donc,

a la

precision

de nos _mesures, la theorie

_isotrope

_suffit,

ce

qui

nous _permet de

_d6composer

la matrice densite en

op6rateurs

tensoriels irr6ductibles et d’attribuer un seul

_temps

de relaxation _par ordre

_{d’op6rateur}

_[8].

6)

Nous ne tiendrons _pas

_compte

d’6ventuels

chan-gements

de vitesse des atomes lors des collisions. Cette

hypothèse

n’apporte

d’ailleurs aucune modification

importante

pour le calcul au second ordre

_auquel

nous nous limiterons ici.

7)

Enfin,

nous tiendrons

_compte

des atomes tombant de b en a _par emission

_spontan6e.

3. PLAN DU CALCUL. - Nous _commencerons

par poser

1’6quation

de

Schrodinger

a

laquelle

ob6it la

matrice densite d’un

_paquet

d’atomes de vitesse v

(§

B).

Cette

_equation

sera r6solue _par un traitement de

perturbation [1], [7] (§ C).

Au second ordre de ce

développement,

nous trouverons la

_partie

lin6aire de la modification du

_syst6me

_atomique

sous 1’effet de l’irradiation laser.

Au

_quatrieme

ordre

_(non

trait6

_ici),

nous

_pourrions

trouver les

_premiers

effets non lin6aires

_{(saturation).}

Apr6s integration

sur les vitesses des atomes, nous obtenons la matrice densite

_globale

de la _vapeur et

nous en d6duisons

(§ D)

le

diagramme

de

_rayonnement

de la lumi6re de fluorescence.

Enfin,

nous montrons

_{(§ E)}

sur un cas

_particulier

comment cette 6tude

_permet

de définir un ensemble de

_grandeurs

accessibles a

_{l’expérience}

_qui

_permettent

de mesurer les valeurs des

_temps

de relaxation.

B.

_equation

du

probl6me.

- En raison de 1’effet

Doppler,

des atomes de vitesse differente ne voient

pas la meme

frequence optique;

ils ne sont donc _pas soumis au meme hamiltonien. Pour cette

_raison,

nous sommes

_obliges

de r6soudre le

problème

_s6par6ment

pour

chaque

classe de vitesse.

En

_fait,

seule

_compte

la

_{projection v}

de la vitesse des atomes sur la direction de

propagation

de l’onde laser.

De

_meme,

il suffit de

_rep6rer

la

_position

d’un atome

par son abscisse r le

long

de 1’axe du laser :

si k est le vecteur d’onde du laser

_(r

est la

_position

_par

rapport

aux

plans equiphases) .

Consid6rons donc le

_paquet

d’atomes de vitesse v

passant

en r a l’instant t. 11 est

_represente

_{par la} ma-trice densite

_{p (v,}

_{r, t).}

r et t sont

_reperes

par

rapport

aux axes du laboratoire. Pour connaitre cette matrice

density

nous devons r6soudre

_1’6quation

de

Schrö-dinger

dans un

syst6me

d’axes en mouvement avec le

_paquet

d’atomes considéré : a 1’instant t’ = t _{+ r,}

sys-t6me d’axes en _mouvement,

1’6quation

de

Schrodinger

s’écrit

_(avec

h =

_{1) :}

que nous 6crirons de

_{faqon plus simple :}

L’hamiltonien h decrit 1’evolution _propre de _p ainsi que l’action du

champ

magn6tique

et de l’onde laser. A

_repr6sente

1’excitation _par la

_{d6charge suppos6e}

homog6ne

(hypothèse

3)). (dp/dt),,,,,x.

repr6sente

toutes

les relaxations et

_(dp/dt)t,.

le transfert d’atomes de b en a _par emission

_{spontan6e. Lorsque}

cette

_equation

sera

_résolue,

il suffira de

_{poser t}

= t’

_(T

=

0)

pour

obtenir

_{p(v, r,}

_{t )}

dans le

_syst6me

du laboratoire.

Explicitons

les elements de cette

_{equation :}

1. LA MATRICE _{DENSITE p.} - Nous

ne

_repr6sentons

par cette matrice _que les atomes se trouvant dans les niveaux a et b. 11 en r6sulte _que la trace de _p

_(nombre

d’atomes en a ou

_b)

n’est _pas constante.

Dans la base

_standard

_{I J M),}

les elements de matrice seront notes :

p est

formée de quatre sous-matrices :

Les sous-matrices _abP et _baP sont formées de ce _que nous

_appellerons

les elements de « coherence

_optique

».

aap et _bbP contiennent des termes

_diagonaux

ou «

_{populations >>}

et des termes non

_diagonaux

ou « coherences Zeeman ».

Pour effectuer le

_calcul,

il est commode de

decom-poser p sur une base

_{d’op6rateurs}

tensoriels irr6duc-tibles normalises :

Rappelons quelques

relations utiles :

enfin l’élément de matrice reduit est :

Pour

_simplifier,

nous 6crirons

_{«P, a T}

a la

_place

de _exexP,

_{aa T.}

2. LA MATRICE D’EXCITATION

A(v).

- Elle

repre-sente les atomes

_port6s

_{par unite de}

_temps

et de

volume dans les 6tats a ou b _par la

d6charge.

Suivant

l’hypothèse

3), A

est

_diagonale

dans la base

stan-dard

I JM >.

En notation

_{d’opérateurs, A}

est

_multiple

de

_{l’op6rateur}

scalaire :

D’apr6s

l’hypothèse

2) :

suivant la loi de Maxwell de la theorie

_cin6tique

_{des gaz.} 3. LE TERME DE RELAXATION

_{(dp/dt)relax,·}

- Ce

terme contient la duree de vie radiative de chacun des niveaux ainsi _que 1’effect des collisions et

eventuel-lement de la diffusion

_multiple

des raies de fluorescence. Suivant

_{I’hypoth6se d’isotropie 5),}

on _a, en absence de diffusion

_{multiple :}

1:’a =

1 /Ya

et

Tb =

1 /Yb

sont les dur6es de vie radia-tives des niveaux a et b.

_{(rab(k))colI.,}

_lra(k))coll.

et

(r b(k) ) colI.

repr6sentent

1’effet des

_collisions;

ces termes sont

_{proportionnels}

a la

_pression.

S’il _y a de la diffusion

_multiple

sur les raies de fluo-rescence 6mises _par a

_{(ou b),}

il faut

remplacer (I.11)

par :

L’indice i

_repr6sente

tous les niveaux vers

_lesquels

1’atome _peut effectuer une transition radiative a

_partir

du niveau a. _Yai est la

_probabilite

de

_chaque

transition

et Xi le taux de

_reabsorption

de la raie

_(probability

pour

chaque photon,

d’etre

reabsorbe) ; oca(k, i)

est un coefficient dont la valeur est tabul6e

_{[9], [10]}

en fonction de

k,

Ja

et

_Ji.

Cette

_faqon

d’écrire la diffusion

_multiple

n’est

valable _{que pour} le calcul au deuxieme ordre _que nous faisons ici. En

_effet,

l’atome 2

_qui

absorbe le

photon

6mis _par l’atome _{1 n’a pas} en

_{general la}

meme vitesse que 1’atome 1

_(seules

les

_projections

_{de v,}

et _v, sur la droite

_joignant

les deux atomes sont

egales) .

Il en r6sulte _que l’atome 2

n’interagit plus,

en

general,

avec le laser et ne

_participe

_pas aux effets d’ordre

_superieur.

4. LE TERME DE TRANSFERT

(dp/dt)tr.

- Ce terme

repr6sente

1’effet sur a de l’ émission

spontanie

de b vers a. Nous avons

_deja

tenu

_compte

de la relaxation de b

par ce _processus dans

(dp/dt)relax..(dp/dt)tr.

n’agit

donc que sur le niveau a. Il introduit dans les

6qua-tions un terme source

dependant

de _bP.

En raison du caract6re

_isotrope

de 1’emission

spon-tanee,

on

_peut

montrer _{que le}

_couplage

entre a et b ne se fait

qu’entre

tenseurs de meme nature

_{(meme k}

et meme

_{q) [11], [12] :}

En I’absence d’irradiation

laser,

ce _processus ne

_peut

se

_distinguer

des autres _processus

_{de population}

du

niveau a et il est

_deja

inclus dans

_X,,,(v).

Autrement

dit,

le terme

_(da

_{p: fdt)tr.}

ne

_joue

_que sur la variation de _p due a l’irradiation laser.

5. L’HAMILTONIEN :

a)

H0

est l’hamiltonien de 1’atome isolé :

b)

1%iz

= -

MZ H

est 1’hamiltonien Zeeman.

L’axe Oz a ete choisi _par definition

_parallele

au

_champ

_magn6tique.

A l’int6rieur de chacun des niveaux a et

_b,

le moment

_magn6tique

est

_{proportionnel}

a J :

ou (Ùex = g..

pH

est 1’ecart Zeeman

_(p

=

magn6ton

de

_{Bohr, ga}

= facteur de

Lande).

P ex

est le

_projecteur

sur le niveau oc.

c)

L’hamiltonien d’interaction avec le

_champ

elec-trique

E du faisceau laser s’6crit :

(approximation

dipolaire

6lectrique),

P est

l’op6ra-teur

_dipole

_6lectrique.

l’indice 03BC,

sert a

_distinguer

les differents modes de la raie laser. Avec cette

_notation,

nous _pouvons

repre-senter une onde lumineuse de

polarisation

quelconque.

8!1- contient la

_phase

relative des différents modes. En

particulier,

pour une

polarisation

plane,

on a :

Pour

_representer

l’onde stationnaire a l’int6rieur du

laser,

il

_suffit,

dans la sommation sur _p1, d’associer deux ondes

_progressives

a

_chaque

mode :

Nous pouvons

exprimer R

en fonction des

compo-santes standard de

_{l’op6rateur}

P et du vecteur E :

En raison de ce

_qui

a ete dit

_{au §}

_{B. 4,}

le terme de transfert n’existe

_{pas a}

Fordre

_(0),

car il est inclus dans A. Nous ne cherchons _{que la} solution stationnaire de ces

_equations.

A l’ordre

_(0),

le terme source A est

_scalaire,

la

Comme

_{l’op6rateur dipole}

_6lectrique,

_{R n’a pas} d’elements de matrice a l’int6rieur de chacun des

niveaux a ou b

_{(op6rateur impair) :}

Remarque :

On introduit couramment

_[13]

comme

vecteurs de base les

_{polarisations}

_a+,

6- eft 7

_qui

s’6crivent

_{respectivement :}

Avec cette

_base,

on ecrit :

Par definition :

On trouve alors :

C. Rdsolution des

equations.

- 1. METHODE

D’APPROXIMATION. - En

general,

nous ne _pouvons

pas r6soudre

rigoureusement

1’equation

(I.1).

Nous devons utiliser un calcul de

_{perturbation (Lamb [1],}

Bloembergen [7] ) .

Nous cherchons un

_{d6veloppement}

de la matrice _p en fonction des

_puissances

successives du

_champ

elec-trique

de l’onde laser.

Les ordres successifs

_peuvent

etre calcul6s _par iteration :

solution stationnaire de

_(Ü)p

1’est donc aussi.

_(Ü)p

nc contient _{pas de} coh6rences

_{optiques (ni Zeeman).}

A 1’ ordre

_(1),

le terme source est de la forme

_abR

_(06P,

dont

_(l)p

_{n’aura que} des termes de coherence

_optique.

Seuls

_(1)P

=

Ainsi de

_suite,

on montre _{que :}

Aux ordres

_pairs,

nous n’avons que des « coh6rences Zeeman >> et des

_populations.

Aux

_impairs,

nous n’avons que des « coh6rences

_optiques

».

Pour r6soudre les

_{equations (1.23),}

nous allons utiliser le

_{d6veloppement (I.2)}

de la matrice densite sur la base des

_op6rateurs

tensoriels irréductibles :

conduit aux

equations :

avec :

et :

Les

_equations

_(I.25,

_b)

sont tres faciles a r6soudre

puisque

ce sont des

_equations

differentielles

ind6pen-dantes. Une fois ces

equations

r6solues,

il suffit d’en

reporter

les solutions dans les

_equations

_{(1.25, a),}

6galement ind6pendantes

les unes des autres.

Par _contre,

_{(I.25, c)}

est un

_syst6me

differentiel. Le

terme de

_couplage

entre les différents ordres

d’op6ra-teurs

_exprime

le fait _que, dans le cas

general,

les

composantes

6+,

s- et 1t de la raie

_optique

ne sont

pas

simples (effet

Zeeman

_anormal).

_Chaque

element de matrice

_{PMa Mb a}

une

_{fr6quence particuli6re}

de

precession

libre

₍₆₎

+

Mb6>b - Ma6>a).

· Les

abPq

de

meme q, mais de k differents sont des combinaisons lin6aires de tous les elements _{PMaMb tels que :}

q = Ma - Mb

ce

qui explique

_qu’ils

n’ont pas de

frequence

de

pr6-cession propre et _{que leurs}

_equations

sont

_coupl6es.

Il _y a deux cas

_simples

ou ces

_couplages

dispa-raissent :

- L’un des

J

est nul

_(effet

Zeeman

_normal);

- Les deux niveaux

ont meme facteur de Land6.

Bien _{que le}

_syst6me

differentiel soit soluble dans

chaque

cas

_particulier,

nous _{supposerons, pour}

sim-plifier

le

calcul,

que nous sommes dans l’un des deux cas

_precedents.

En

_effet,

la raie laser

_{1,52 03BC}

du neon

correspond

au

_premier

cas et la raie 6 328

A

corres-Tant que le

champ magn6tique

n’est pas trop fort

(

100

_gauss),

_{Wb - Wa} est

_n6gligeable

devant

_1,,.

Enfin,

pour les effets lin6aires

(2e

ordre),

nous

montrerons a

_posteriori

_que

_{I’approximation}

reste va-lable tant _{que Wb} -

co,,

Av

_{(largeur Doppler).}

2. CALCUL A L’ORDRE 0. - Comme

nous l’avons

deja

dit,

seule la

_composante

scalaire de

_{(0) p}

est non nulle. La solution stationnaire est :

Rest form£ de

_{1’operateur}

_dipole

_{électrique qui}

est

proportionnel

it

_{1’operateur}

tensoriel d’ordre

_(1),

_T(l),

Il résulte alors de la relation de normalisation

_{(I , 5)}

que

(1)p

n’a que les trois

composantes k

=

1; q

= 0.

ou

_Pab

₌

_{Ja II}

_{P II Jb >}

est 1’616ment de matrice

l’inversion de

_{population (entre}

les sous-niveaux de a

et de

_b)

pour les atomes de vitesse v.

La solution stationnaire de

_{1’equation (1.28)}

est la somme des oscillations forcées

correspondant

a chacun des termes sources :

Nous avons abandonné les termes de

_frequence

negative (approximation s6culaire)

qui

auraient donne des termes en

[rab ( 1 )

-

i (co

-

qco,, + w 11 -

kIJ.V)]-l.

Ces termes sont

_{parfaitement n6gligeables}

aux fr6-quences

optiques

(co - 27

X

_1015).

A l’ordre

_(1),

ces formules nous

permettraient

de calculer la

_polarisation

moyenne du gaz, d’ou l’indice

et

_{1’absorption}

_{(lineaire) .}

4. ORDRE

_(2).

- Nous _commencerons

par

cal-culer

_{(2)p b}

Calculons le terme source :

En

_explicitant

_Eq

et

_II)p

et en ne

_gardant

_que les faibles

_fréquences

du

_type

_cw -

wv.

(nouvelle

approximation

s6culaire),

on obtient :

L’équation

(I , 30)

devient :

En r6solvant cette

_equation

_par

_rapport

_hr,

comme nous 1’avons fait _pour

_1’equation

_{(1. 28),}

nous trouvons:

Cette formule attire

_plusieurs

_{remarques :}

- Au

d6nominateur,

nous avons

_n6glig6

un terme

en

_(kv

_{- k,)}

v. Ce _terme,

_{correspondant}

a un effet

Doppler

a la

_fr6quence

_co, -

w03BC est

negligeable.

En

- La

presence

du coefficient

_{(6 J)}

dans

1’expres-sion

_{(I .32)}

de

_{B: (v, v, lL,}

_coj

montre

_{que k}

ne _peut

prendre

que les valeurs

0,

1 et 2 si

_{Ja >}

1 et la seule valeur k ==

_0,

si

_Ja

= 0.

- Nous

voyons des maintenant

apparaitre

une modulation de _{p a} toutes les

_fréquences

de battement

entre modes. C’est ce

_qui

se traduira _par une modula-tion de la lumiere de fluorescence

_[3].

L’équation

differentielle lin6aire

_{(1. 35) pr6sente}

deux

termes source, l’un provenant du

_laser,

I’autre de 1’emission

_spontan6e.

La solution stationnaire est la somme des solutions stationnaires

correspondant a

chacun des termes source. La solution

correspondant

au terme laser est

_analogue

a la solution

_(1.34)

de

1’equation (1.30) :

il suffit de

_{remplacer b}

_{par a}

On trouve :

5. INTEGRATION SUR LES VITESSES. -

Ak(V,

V, 03BC

Wz)

et

_{B q k( v,}

v, p1,

mz)

dependent

de la vitesse des atomes par des termes de la forme :

Nous _supposerons tous les

_{kv égaux}

et nous _poserons:

En posant :

0394v = ku = k

_ý2RT/M

=

Av,/2

Vlog

2

(1.39)

T =

_temperature

du gaz, M = _masse molaire = 20 g pour le

neon,

R = constante des _gaz

_parfaits,

AvD

=

largeur

Doppler

de la raie

_[14],

avec x = -

kv/Av,

on obtient :

Z est la fonction de

_dispersion

des

_plasmas

et ses valeurs sont tabul6es

_[15].

Enfin,

nous _{poserons :}

est une fonction

paire

de Q

est une fonction

impaire

de Q.

(I.41)

En

_general,

_rab

est

_petit

devant Av. 11 en r6sulte que

X(Q)

est _peu different d’une

_gaussienne

e-n2/AV

et _que

_{N(Q) depend}

_peu de la valeur de

_rUb.

Pour cette

_raison,

1’etude

_{eXpérimentale}

des effets lin6aires

par

rapport

a l’intensit6 du laser

_{(ordre (2))}

est

_pratiquement

insensible a la relaxation des elements non

_diagonaux

«

_{optiques »}

:

(2) bpq k (r,

t )

dépend

du

_champ

_magnétique

de deux

façons

différentes :

sont r6sonnants

_(si

_{q #}

₀₎

_lorsque

la

_frequence

de

precession

qco, du terme

bpq k

est

6gale

a la

frequence

d’oscillation forcée co, -

w03BC.

impos6e

par les modes

du laser. Ces termes

_présentent

une resonance de

largeur

rv(k)

(de

l’ordre d’une dizaine de

_MHz).

2)

Par les termes de la forme

_{N(to -}

_qwz -

wv).

Ces termes traduisent la forme

_Doppler

de la raie.

La

_largeur

de la courbe

_{correspondante}

est de l’ordre de

_Av,

c’est-a-dire environ 1 000 MHz _pour une raie visible.

Comme

_{Av »}

_rb(k),

on

_peut

admettre que les fonctions

_{N(w -}

_qmz -

(j)v)

varient _peu

_lorsque

1’on fait varier le

_champ

_magn6tique

de

_façon

a

_balayer

donc considerer que ce dernier facteur determine la forme de la

_resonance,

les facteurs

_{N(w) ne jouant}

_que sur

l’amplitude.

6. L’EFFET HANLE. - Dans la sommation sur v et _03BC,

nous trouvons des termes de

_frequence

nulle. Ce sont

les seuls termes

_auxquels

nous serons sensibles si nous mesurons la lumi6re de fluorescence avec un

appa-reillage

muni d’une forte constante de _temps.

Ces termes «

_{continus » q #}

0 sont r6sonnants pour H = 0 : c’est 1’effet Hanle.

Explicitons

ces

termes :

a)

Pour q

= 0

(ql

=

q2),

nous n’avons pas de

premier

facteur d’allure r6sonnante. La seule variation

est due aux termes

_{Doppler :}

Doppler

ordinaire.

b) Pour q =A

0,

nous _pouvons

_negliger

la variation de

_{N (Ctl -}

_{ql wZ -}

_w03BC)

dans la

_r6gion

OÙ :

1 / (rex

(k)

-

iqwa,)

a une valeur

_importante

et

_{remplacer :}

Dans certains cas, il sera

_preferable

de

_remplacer

cette

_expression

_{par :}

ce

_qui

ne

_change

rien tant _que

_wZ

w.

REMARQUES.

- Nous retrouvons des resultats bien

connus. On ne

_peut

_pas obtenir des

_grandeurs

trans-versales

_{(q = 0)}

si on excite avec une onde de

pola-risation pure

6+,

(1- ou 1t

_(ql

=

q2 - q =

0).

- Si le laser est de

polarisation plane,

les

_sym6tries

de

_(1.43)

et

_(1.44)

montrent _{que l’on} ne _peut creer d’orientation

_(k

=

1)

que si le

champ magn6tique

est

suffisant pour

s6parer

sensiblement les formes

Dop-pler

a+,

03C3 et 1t. Dans

1’approximation

faite ici des

grandes largeurs

Doppler,

nous _pouvons

_negliger

l’orientation.

- Nous trouvons ici la

justification

de

_{l’hypothèse}

faite

_{au §}

C. 1 sur la structure Zeeman. Si nous avions

fait le calcul

_complet

en conservant les termes de

couplage

en _{(Ùb - (Ùa} des

_equations

_{(I . 25 c),}

cette

difference _wb -

wa n’interviendrait dans

(1.43)

que par des termes de la forme :

puisque q,

mz est

_n6gligeable

devant

_{Av, M(co5 - to,,)}

1’est a

fortiori.

Seule la formule

_(1.45)

_risque

d’etre modifi6e en

champ

tres

_fort,

mais il est evident

_qu’au

lieu d’etre la

_{superposition}

des trois formes

_Doppler

s+,

6- et _1t,

elle sera la

_{superposition}

d’autant de formes

_Doppler

- Si tous les modes ont la meme

polarisation,

nous _{pouvons poser} 811- = etCl1- ou e est le vecteur unitaire

polarisation.

On _peut alors ecrire :

6> j2

est

_{proportionnel}

a l’intensit6

_I03BC,

du mode _03BC,. On voit _que

_(26Pk

n’est _pas

_{proportionnel}

a l’intensit6 totale du laser car les modes loin du centre de la raie

sont moins efficaces.

_Lorsque

l’on fait varier la

puis-sance du laser en modifiant les

_pertes

de la

cavité,

le nombre de modes varie. Ceci

_produit

une cause de non-linéarité dans 1’etude de la variation de la lumi6re de fluorescence en fonction de l’intensit6 totale du laser. Ceci est a

_distinguer

des

_ph6nom6nes

de saturation lies aux termes en

12, 13,

..., etc. Par

contre, les variations de la

_largeur

de 1’effet Hanle en fonction de I ne

_peuvent

provenir

_{que des saturations.} 7. CAS PARTICULIER d’une onde laser se

_propageant

parallelement

a Oz et

_polaris6e

_{parallelement}

a Ox :

1

On a alors :

contient 1’effet

_Doppler

et l’influence de la structure

des modes du laser.

D.

Emissions

de lumi6re de fluorescence par les niveaux a ou b. - Nous

poserons les

equations

pour

la raie b _{- g.} Pour la raie a

_{- f,}

tout est

_identique

dans ce

paragraphe,

au

remplacement

pres

de b par a

et g par

f.

La lumiere de fluorescence 6mise dans un

_angle

solide AQ avec la

polarisation X

s’6crit

(Cohen-Tannoudji [13],

formule

_(III.

_{B .1 ) g6n6ralis6e}

_pour les vecteurs _ex

_{complexes) :}

ou Ybg est la

_probabilite

de transition b -->- g par unite

de _temps.

D est un

op6rateur

vectoriel

hermitique

propor-tionnel a P et

_n’ayant

d’616ments de matrice

qu’entre b

et g, tel que :

ce qui donne :

Nous _pouvons

_exprimer

X et D en fonction de leurs

composantes

standard et

_d6composer

_p en

_op6rateurs

tensoriels irréductibles :

Cette formule

_permet

de calculer directement le

diagramme

de

_rayonnement

de la lumi6re de fluo-rescence des _que 1’on connait les elements

q-Il nous reste a donner

_{1’expression}

_des

compo-santes

_Àp

_pour une direction d’observation et une

polarisation

quelconque

( fig. 2).

La direction

d’obser-vation est d6finie par les

angles

0 et _{cp. La}

polari-sation est

_reperee

_par

_rapport

aux deux vecteurs _eo et

_e,

_{( 8q¡}

_parall6le

a

_xOy)

du

_plan

normal a la direction d’observation.

Polarisation

_{plane :}

Polarisation circulaire :

E. Ddfinition de

grandeurs

observables

expdrimen-talement. - Dans

ce

paragraphe,

nous nous _proposons

de définir

_plusieurs

_grandeurs

mesurables et de

mon-trer comment elles sont reli6es aux divers _temps de relaxation.

Nous nous

plaçons

dans le cas

_{particulier du §}

C. 7

(formules

(1.47)) :

1’onde laser se _propage

parallè-lement a Oz

_(axe

du

_champ

_magn6tique)

et elle est

polaris6e parallelement

a Ox.

Nous consid6rons les directions _{d’observation}

per-pendiculaires

a Oz

₍₆

=

7r/2).

Pour

chaque

direction

reperee

par cp dans le

plan xOy

( fig.

2),

nous mesurons l’intensit6 des deux

_{polarisations}

_planes

1t et 03C3 de chacune des raies de fluorescence issues du niveau a ou b. Pour le niveau

_{superieur b,}

la formule

(1.51)

donne

_(pour

la

_polarisation

n :

_Xo

=

1,

À:f: 1

=

0,

et

Comme avec toute

_{polarisation plane,}

on ne _{peut pas} observer les _composantes de l’orientation

_(k

=

1).

Dans les formules

_{(I .52),}

on _peut utiliser la

decom-position

de la matrice densite en ordres successifs :

(0) LF

est l’intensité de la lumiere de

_{fluorescence;}

en l’absence d’irradiation

laser,

elle ne

_depend

_que de la

_population.

La variation de

_LF

sous l’effet du laser est :

ð.LF = (2)LF + (4)LF +

...

(I .54)

ð.LF = (2)LF + (4)LF +

...

(I .54)

Si l’intensité du laser

_I,

est tres

_faible,

_ALp

est

sensiblement

_egal

à

_(2)LF.

_{(2)L’F. b(J}

et

_{(2)LJ,. by}

sont des combinaisons linéaires de

_{c bPo}

_(variation

de

popula-tion),

c2bPo

et

₍₂₎

_(alignements

_longitudinal

et

transversal).

La determination

_{experimentale}

de

_(2)LF

et de

_{(2) LJ,}

pour les différentes raies de fluorescence

issues de b nous

_permet

donc de calculer la valeur relative de la

_population

et des

_alignements,

ainsi _que leur _temps de relaxation.

1.

RTUDE

DE LA POLARISATION 7t. DEFINITION DE F.

-

LJ,

ne

_depend

_pas de

_{1’angle cp}

d’observation. D’autre

_part,

_(2)L,7

ne

_depend

_que de

(2lp8 et bPo

qui

sont

_independants

du

_{champ magn6tique}

_(tant

_que

mz «

Av).

La

_comparaison

de deux raies de

fluo-rescence b -g

et b

_-g’,

telles

_{que] g =1= Jg,,}

permet d’obtenir le

rapport

(2lp8/(2lpð.

Pour

_cela,

nous définissons la

grandeur :

Les formules

_{(I .52)}

et

_(1.47)

_permettent d’6crire :

Ainsi,

nous’ obtenons autant de determinations

ind6pendantes

du

_rapport

_{]pb(2)/]Fb(O)}

_que nous avons de

_couples

_{de raies de fluorescence telles que}

_{J, 0 Jg,.}

Remarquons que F

peut

d6pendre

du

_champ

ma-gn6tique

par les termes de saturation

_[5]

_(46P,

mais que F(1) n’en

depend

pas

(tant

que mz

Av).

2.

RTUDE

DE LA POLARISATION 6 : : EFFET HANLE. DEFINITION DE AH ET R. - La formule

(I . 52)

montre

que

LG

contient deux

parties

de

comportement

dif-férent :

a)

Une

_{partie isotrope,}

c’est-h-dire

_{indépendante}

de

1’angle

cp de la direction d’observation

(dans

le

plan

xOy) :

Elle

_depend

seulement de la

_population

et de

1’ali-gnement

longitudinal.

b)

Une

_{partie anisotrope, qui}

_dépend

_{de cp : c’est le}

terme en

(bP2’e"P

+

_{bP2 2 e-iCP).}

Pour deux directions d’observation

_{perpendiculaires,}

ce terme se traduit par une variation de la lumiere

6gale

et de

_signe

contraire.

Experimentalement,

nous ne nous int6ressons

_{qu’aux angles}

d’observation _cp = 0 _et

cp =

?u/2

De meme _que nous 1’avons montre a l’ordre

(2),

on _peut montrer

_qu’a

tous les ordres

_{b p2 ± 2}

s’annule des que 1’6cart Zeeman est tres

_superieur

a

_rb(2).

Cette variation

_anisotrope

de la lumiere de

fluo-rescence,

qui

peut

etre d6truite _par un

champ

magn6-tique,

constitue

_l’effet

Hanle.

Avec les definitions

_(I.59)

et

_(I.60),

nous _pouvons écrire :

En l’absence d’irradiation laser ou en

champ

magné-tique

fort,

nous avons :

Supposons

d’abord le laser assez faible pour que nous

puissions

negliger

les termes non lin6aires

(ordre

de

_perturbation

_superieur

a

_2).

Dans ces

conditions,

les formules

_(1.47)

montrent _que

_{(2hPg et (2¿PÕ}

ne

dependent

pas du

champ magn6tique

tant que Wb Av

(largeur Doppler).

Donc,

seul le terme

anisotrope

depend

du

_champ

_{magn6tique :}

Ce terme varie en fonction de _w, suivant une courbe de Lorentz dont la

_largeur

a

_mi-hauteur,

~wb = gb p OH

est

_6gale

a

_rb(2).

11 suffit donc de

tracer

_{experimentalement}

la courbe d’effet

_Hanle,

LFn

(ou LFl)

en fonction de H _pour mesurer

_r,(2).

Sur la meme

_courbe,

il est

_6galement

facile de

mesurer la hauteur relative de 1’effet Hanle que nous d6finissons comme le _rapport de la hauteur de la courbe de Lorentz a la variation

_{AL§ provoqu6e}

_par le laser en

_{champ magn6tique}

fort :

Puisque

nous nous limitons ici au deuxi6me

_ordre,

nous avons :

_Rjj

_{_ - Rl}

et la valeur absolue de ces

quantit£s

est

_6gale

au _rapport R(1) entre la

_partie

ani-sotrope

(pour

H =

0)

_et la

partie isotrope

de

_{(2) LJ. :}

R(1)

_repr6sente

_physiquement

le _rapport entre 1’efI’et d’interference des

_{composantes a+}

et a- de l’onde laser

_(excitation

« 6 coherente »

qui

cree de

l’aligne-ment

_transversal)

et 1’effet de ces deux

_composantes

s6par6ment (excitation

« incoherente »

_qui

modifie les

_populations

et cree de

_{Falignement longitudinal).}

En utilisant

_(1.52)

et

_{(1.47 b) :}

La determination de R(1) nous donne donc une nouvelle mesure du

_rapport

rb (2) jrb (o)

qui

est

pro-portionnel

a la

quantite R(l) - 3.

Les valeurs utiles des

_{coefficients ( 6, J)}

sont don-n6es en

_appendice.

Malheureusement,

le laser est

_trop

intense en

g6n6-ral _{pour que l’on}

_puisse

_negliger

les termes non lin6aires

_{(saturations).}

Les courbes

_{L,0(11 ou )}

en fonction de H ne sont

_plus

aussi faciles a

_{interpreter :}

l’effiet Hanle est d6form6 _par les

saturations;

aux ordres de

_perturbation

_supérieurs

a

_(2),

la

_partie

isotrope

aussi bien que la

partie anisotrope

sont fonc-tion du

_champ

_magn6tique

et

_présentent

une allure r6sonnante en

_champ

nul

_[5].

11 en r6sulte

_que

_{I RII I et}

_Rl

_I

ne sont

_{plus egaux}

et differents de R(1). Pour obtenir

_R(1),

il faudra

LE JOURNAL DE PHYSIQUE. - _{T. 29. Nos} 2-3. FPVRIER-MARS 1968.

mesurer

_R«

et

_Rl

en fonction de l’intensit6 du

_{laser ix}

et chercher la valeur limite commune a ces deux

quantités

quand I,

tend vers zero.

Nous verrons

qu’il

est

_{experimentalement}

_plus

FIG. 3. -

Les différentes

grandeurs

R :

R’ est le taux

_{d’anisotropie}

en

_champ

_nul,

R et R’ tendent tous deux vers R(1) aux faibles intensités du laser. La

_figure

3 visualise la definition des

_grandeurs

R.

De

_meme,

_pour mesurer

_{rb (2)}

a

_partir

de la courbe d’effet

_Hanle,

il faudra mesurer la

_largeur

AH de

cette courbe en fonction de l’intensit6 du laser et

chercher sa limite AH(’)

quand i03BB

tend vers 0 :

rb(2) _

gb P

AH(l) =

limite g, P

AH,

(I . 69)

ix-O

La encore, nous verrons

_qu’il

est utile d’61iminer la

partie isotrope

de la lumiere de fluorescence avant

de faire ces mesures. Nous tracerons donc les courbes

Lgjj

-

LIFI,

en fonction de H

_(qui

_repr6sente

l’effet Hanle

_proprement

_dit).

3. CAS DU NIVEAU INFERIEUR DE LA TRANSITION LASER. - Nous

avons d6fini la m6thode de mesure de

_{p(1) (bgg’), AH(l)}

et

_Rbg

_{pour des raies de}

fluores-cences issues du niveau

_superieur

b. La meme m6thode de mesure _peut etre

_appliqu6e

aux raies issues du niveau a. Nous obtenons alors des

grandeurs

p(1)(aff’),

AH(’)

et

_{Ra f,}

mais ces

quantités

ne sont _pas aussi

simples

a

_interpreter

a cause des effets de 1’6mission

spontan6e

de b vers a.

Pour obtenir

_{1’expression}

dep(1)

_(tiff’)

et

_Raf

à

_partir

expressions (I . 58)

et

_(1.66)

de

_{F(’) (bgg’)}

et

_R(’),

il faut non seulement

échanger

les

lettres,

mais

aussi,

comme

le montre la

_comparaison

des

_{expressions (1.47 a)}

et

_{(1.47 b),}

faire les

_{remplacements :}

Pour obtenir _par cette m6thode une valeur du

rapport

ra(2)/ra(0),

il faudra donc au

pr6alable

d6ter-miner

_{rb(o), rb(2)}

et _Yba.

En ce

_qui

concerne

_AH(’),

il n’est

_plus

reli6 de

_façon

simple

a

_ra(2),

car a la courbe de Lorentz ordinaire

(de largeur

ra(2))

s’ajoute

une courbe

plus

compli-qu6e [11], [12]

dont la forme

_depend

a la fois de

ra(2)

et de

_rb(2).

_{Heureusement,}

dans le cas

experi-mental du niveau

_2p4

du

neon,

une

_{simplification}

importante

permettra de

_négliger

cet effet Hanle de transfert.

Appendice.

- Les valeurs des

coefficients {6 J}

sont

donn6es dans le tableau ci-dessous :

BIBLIOGRAPHIE [1] LAMB

(W. E.),

Phys. Rev., 1964, 134, 6 A, 1429.

[2] JAVAN (A.),

Bull. Amer. _{Phys. Soc., 1964, 9, 489.}

[3]

FORK

_{(R. L.),}

HARGROVE

_{(L. E.)}

et POLLACK

_{(M. A.),}

Phys. Rev., Lett., 1964, 12, 705.

[4]

CORDOVER

(R. H.),

PARKS

_(J.),

SZOKE

_(A.)

et

JAVAN (A.),

«

_Physics

of

_quantum

_{electronics »,}

Porto Rico,

juin

1965, édité par P.

_Kelley,

B. Lax et P. Tannenwald, McGraw-Hill Book

Company,

1966, p. 591.

[5]

DECOMPS

_(B.)

et DUMONT

_(M.),

C. R. Acad. _Sc.,

1966, 262 B, 1520.

[6]

DECOMPS

_(B.)

et DUMONT

_(M.),

C. R. Acad. _Sc.,

1967, 265 B, 249.

[7]

BLOEMBERGEN

_(N.)

et SHEN

_{(Y. R.),}

_Phys. Rev., 1964, 133, A 37.

[8]

OMONT

_{(A.), J. Physique,}

_{1965, 26,} 26. OMONT

_(A.),

Thèse, Paris, 1967.

DURAND

_(G.),

Thèse, Paris.

[9]

OMONT

_{(A.), J. Physique,}

_1965, 26, 576.

[10]

SALOMAN

(E. B.)

et HAPPER

_(W.),

_{Phys. Rev., 1966,} 144, 7.

[11]

NEDELEC

_(O.),

Thèse, Grenoble, 1966.

[12]

DUCLOY

_(M.),

à

_paraître.

[13]

COHEN-TANNOUDJI (C.),

Thèse, Paris, 1961, Annales de

_Physique,

1962, 7, 423 et 469.

[14]

MITCHELL

(A. C.)

et ZFMANSKY

_{(M. W.),}

_Cambridge

University

Press, 1934.

[15]

FRIED

_{(B. D.)}

et CONTE

(S. D.),

« The

_plasma

dis-persion

fonction )), Academic Press, New York,

London, 1961.

INSTABILITÉ

_{ÉLECTRONIQUE}

DU TYPE

_JAHN-TELLER

POUR UN

MÉTAL

A STRUCTURE

DE

BANDE

ÉTROITE

A

TROIS DIMENSIONS :

CAS DE

MODES DE

DISTORSION

_PÉRIODIQUES

Par

_J.

LABBÉ

_(1),

Laboratoire de _Physique des Solides

_(2),

Faculté des _{Sciences, 9I-Orsay.}

(Reçu

le 20

_{juillet 1967.)}

Résumé. 2014 Une distorsion de

_période

03C4 d’un réseau cristallin

_métallique

_produit

une

variation

_{d’énergie électronique}

0394E _pour une bande étroite.

_Compte

tenu _{des processus}

«

Umklapp

)), c’est au

_voisinage

de la _{condition |03C4 + K|} =

2k0

que 0394E varie le

plus

vite

avec 03C4

(k0

vecteur d’onde de Fermi, K

_période

du cristal non

_distordu).

On s’attend donc le

plus

généralement

à une anomalie de Kohn des courbes de

_{dispersion 03C9(03C4)}

de

_phonons.

Mais

il

_peut

_{arriver que} 0394E

_présente

un minimum absolu _{pour |03C4 + K|} voisin de

_2k0.

Dans ce

cas, il

peut

se

_produire

une distorsion

_périodique

stable à basse

_{température,}

_par un effet de

type Jahn-Teller.

Abstract. 2014 A lattice distortion of

period 03C4

produces

an _{electron energy variation} 0394E for a narrow band.

_"Umklapp"

_processes

_being

accounted for, it is near the _{condition |03C4 + K| =}

_2k0

that the variation of 0394E versus 03C4 is the

_{strongest (k0}

Fermi wave vector, K

_period

of the non

distorted-crystal).

One can therefore

_{generally expect}

a Kohn

_anomaly

in the

_phonon

_dispersion

curves

_03C9(03C4).

But it is

_possible

for 0394E to have an absolute minimum for |03C4 + K| near

_2k0.

In this case a

_periodic

_distortion, stable at low

_{temperatures,}

can occur

_by

a

_Jahn-Teller

type

of effect.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 29, FÉVRIER-MARS 1968, PAGE 195.

Introduction. - Considérons _une structure de

bande étroite dans un cristal

_m6tallique

a trois dimensions ne contenant

_qu’un

seul atome _par maille.

Supposons

que dans

l’approximation

de Hartree un

(1)

Ce travail fait

_partie

d’une these

_qui

sera soumise par J. Labbé a la Facu1té des Sciences

_d’Orsay,

en vue

de l’obtention du Doctorat d’Etat 6s Sciences

_Physiques.

(2)

Laboratoire associ6 au C.N.R.S.

etat

_6lectronique

de vecteur d’onde k

_puisse

etre

_décrit,

dans un mod6le de liaisons

_fortes,

_par la fonction de Bloch non

_{perturbée :}

où 03C8(r - Rn)

d6signe

la fonction d’onde

_atomique

centr6e sur le site

_Rn.

_Appelons

_Eo(k)

_1’energie

non