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Submitted on 17 Feb 2017
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Trajectoires paramétriques de systèmes physiques préservants le bilan de puissance
Rémy Muller, Thomas Hélie
To cite this version:
Rémy Muller, Thomas Hélie. Trajectoires paramétriques de systèmes physiques préservants le bilan de puissance. 10èmes Journées Jeunes Chercheurs en Audition, Acoustique musicale et Signal audio (JJCAAS 2016), Nov 2016, PARIS, France. �hal-01466999�
Trajectoires paramétriques de systèmes physiques
préservants le bilan de puissance
Rémy Muller, (Thomas Hélie)
Ecole Doctorale EDITE / équipe S3, Laboratoire STMS, IRCAM-CNRS-UPMC
1. Systèmes Hamiltoniens à Ports
Energie Système physique passif d’énergie
totale E(t) = H(x(t))
Dynamique Expression sous la forme
˙ x = (J(x) − R(x))∇H(x) + G(x)u y = G(x)T ∇H(x) avec J(x)T = −J(x), R(x)T = R(x) ≥ 0 Bilan de puissance ˙ E(t) = ∇H(x)T J(x)∇H(x) | {z } conservatif (P=0) − ∇H(x)T R(x)∇H(x) | {z } dissipatif (P≥0) + ∇H(x)T G(x)u | {z } externe
2. Objectifs
Trajectoires régulières ˆxk(t) définies par
morceaux qui préservent le bilan de puissance avec les propriétés suivantes:
P1 Consistance d’ordre s
x(tk + hτ ) − ˆxk(τ ) = O(hs+1)
P2 Classe de régularité Cn
ˆ
x(i)k (0) = ˆx(i)k−1(1), i ∈ {0 . . . n}
BP Bilan de puissance discret satisfait
∆H(ˆx)|1τ =0 h = − Z 1 0 ∇H(ˆx)T R(ˆx)∇H(ˆx)dτ + Z 1 0 ∇H(ˆx)T G(ˆx)u(τ )dτ
3. Circuit RLC
R
L
C
I
CI
RI
LV
LV
CV
RLe circuit de test RLC parallèle et autonome: ˙x ˙ y = ω 0 −1 1 0 − σ 1 0 0 0 x y avec x = √q C , y = φ √ L , ω = 1 √ LC , σ = 1 RC , H(x) = 12 (x2 + y2)
suffit à mettre en lumière les problèmes liés à la dissipation non-uniforme
˙
E(t) = −σx2(t)
4. Splines de Bézier (and Hermite-Obreshkov methods)
ˆ x(τ ) = n X i=0 bi,n(τ )Xi bi,n(τ ) = n i
(1 − τ )n−i(τ )i τ ∈ [0, 1] (polynômes de Bernstein)
• Interprétation géométrique simple grâce au polygone de contrôle {Xi}
• Calcul des dérivées/intégrales continues par différences/somme finies des {Xi}
• Traitent simultanément P1, P2 par colocation des dérivées ˆx(n)(τk) en τk = {0, 1}
• Ce choix régénère naturellement les approximations de Padé φp,q(λ) + O(hp+q+1) = eλ
• BP: degré de liberté supplémentaire (point(s) de colocation variable(s) τk ∈ [0, 1])
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
5. Modèle Affine C
0+ α
ˆ xk(τ ) = (1 − τ )ˆx0 + τ ˆx1 • P2 Régularité C0: ˆxk(0) = ˆxk−1(1) • BP Colocation ˆx0(α), α ∈ [0, 1] • P1 Consistance s = 1 → 2 (α = 12 )• Solveur itératif Newton g(α∗) = 0
g(α) = ∆H(ˆx) + h
Z 1
0
∇H(ˆx)T R∇H(ˆx)dτ
• Verouillage de trajectoire dissipative
• Fonction de stabilité φ(λ) = 1+(1−1−ααλ)λ -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5
6. Modèle Quartic C
1+ β
ˆ xk(τ ) = 4 X i=0 bi,4(t)Pi • P2 régularité C1 colocation τ1,2 = {0, 1} • BP Colocation sym. τ3,4 = {α, 1 − α} • Paramètre β = α(1 − α), β ∈ [0, 14 ] • P1 Consistence s = 4 → 6 (β = 15 )• dim=1: β analytique |Rmax|
h ≈ 10.65
• dim=n optimisation β non-linéaire • φ(λ) = 1+ λ2 +(1−β) λ2 12 +β λ3 24 1− λ2 +(1−β) λ212 −β λ324 A-stable
7. Irréversibilité
Idée: Simplifier le problème dissipatif en le rendant conservatif et irreversible en
dimen-sion plus grande. V(x, z) = H(x) + S(z)
˙x ˙ z = 0 −ω −σ ∇S(z)x ω 0 0 σ ∇S(z)x 0 0 | {z } J (x,z)T =−J (x,z) ∇H(x) ∇S(z) • dissipation → modulation J(x, z)
• intégrateurs qui préservent les groupes de Lie (ex: SO(3))
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5 2 2.5
8. Perspectives
B-splines, E-splines, NURBS. Groupes de Lie. Systèmes Métriplectiques.
9. References
[1] E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner. Geometric Nu-merical Integration. Springer-Verlag. 2006
[2] Eberard, Maschke, Van der Schaft. An extension of Hamiltonian systems to the thermodynamic phase space. Reports on Mathematical Physics. 2007
