2. Travail demandé :

DS3-2013_CORRIGE

Partie A : « Réducteur à 3 trains » 1. Présentation du mécanisme

Le schéma cinématique ci-contre, représente la structure d’un réducteur à 3 trains d’engrenages. Le solide d’entrée est S1 et le solide de sortie est S4.

Les nombres de dents des différentes roues sont les suivants :

Z1 = 21 Z21 = 63 Z22 = 15 Z31 = 90 Z32 = 15 Z4 = 120

2. Travail demandé :

Question A-1 : Rappeler la formule de Willis et ces conditions d’application.

∏ ∏

−

= Nbres de dents des roues menées menantes roues

des dents de

Nbres S

entrée S

sortie

n

) 1 ) (

0 / (

) 0 / (

ω ω

Où «

n

» représente le nbre de contacts externes, c'est-à-dire entre deux roues dentées. Par opposition, on appelle contact interne le contact entre une roue dentée et une couronne intérieure.

La formule de Willis ci-dessus s’applique dans les cas de transmission de mouvement par roues dentées. Pour pouvoir l’utiliser, il faut :

- vérifier que les axes de rotation des différentes roues dentées sont fixes par rapport au carter S0, - connaître les nombres de dents (Zi) ou les diamètres primitifs (Di) des différentes roues dentées,

- se fixer une entrée et une sortie à chaque extrémité de le chaîne cinématique. Implicitement l’entrée sera considérée comme « menante » et la sortie sera considérée comme « menée ».

Question A-2 : Déterminer, en fonction des nombres de dents des roues dentées, le rapport de transmission suivant :

4 . 31 . 21

32 . 22 . ) 1 1 1 (

41 4

²

Z Z Z

Z Z K = = − Z

ω

ω

Question A-3 : Comment modifier les nombres de dents des roues de ce réducteur pour augmenter le rapport de transmission dans une plage de 10 à 20% ?

(Attention, les roues dentées ne doivent pas avoir moins de 13 dents)

On peut décomposer ce rapport de transmission en trois :

21 32

1 43 . 2 2 . 3 3 4 1

41 4 K K K

K = = = × ×

ω ω ω ω ω ω ω

ω

En négligeant les signes :

21 21 1

Z K = Z

^;

31 32 22

Z K = Z

^;

4 43 32

Z K = Z

^.

Pour augmenter le rapport de transmission de 10 à 20 %, il suffit de modifier les nombres de dents des roues de l’un des trains d’engrenage pour le multiplié par un coefficient compris entre 1,1 et 1,2.

Par exemple pour

8 1 120 43 = 15 =

K

il faut modifier Z32 et Z4 pour obtenir

8 2 , 1 4 32 8

1 ,

1 < <

Z Z

Z4

S0

S4

S1

S2

S3

Z32

Z31 Z22

Z21 Z1

Partie B : « Presse à décolleter »

1. Présentation du mécanisme

Une presse à décolleter est représentée sur la figure ci-contre. L’action du vérin pneumatique permet le déplacement du poinçon 5. Le cylindre 1 du vérin est en liaison pivot d'axe (A,z) avec le bâti 0. Le levier 3 est articulé, en B avec la tige 2 du vérin, en C avec la biellette 4 et en E avec le poinçon qui peut coulisser dans le bâti 0 suivant l’axe y. La biellette 4 est elle-même articulée en D avec le bâti 0.

2. Travail demandé :

Question B-1 : Etablir le graphe de structure en indiquant la position et l’orientation de toutes les liaisons

Question B-2 : Tracer le schéma cinématique de cette presse sur la fig. 1 du document réponse.

Question B-3 : Donner les supports des trajectoires des points E et C par rapport à S0 . La trajectoire du point E/R0 est sur la droite (E, y)

La trajectoire du point C/R0 est sur le cercle C(D, CD)

Question B-4 : Sur la fig. 1 du document réponse, déterminer les positions des points C et B lorsque le point E est en E’.

La nouvelle position du point C est à l’intersection des deux cercles : C ' = C ( D , CD ) ∩ C ( E ' , CE )

Etant donné que les points B C et E sont alignés et appartiennent au solide 3, il suffit de prolonger (E,C) pour construire la nouvelle position du point B : B ' = ( E ' , C ' ) ∩ C ( C ' , CB )

0 1

2

3 5

4 Pivot (A,z)

Pivot (C,z)

Pivot (B,z) Pivot (E,z)

Pivot (D,z)

Pivot Glissant (A,B) Pivot

Glissant (E,y)

Fig. 1 : schéma cinématique de la presse

E

C

B D

A x

y E’

0 1

2

3 4

5

C (D, DC) 0 C (E’, EC)

B’

Partie C : « Vibreur à amplitude variable »

1. Présentation du mécanisme

Le générateur de vibrations représenté par le schéma cinématique ci-contre permet d’animer le solide S4 d’un mouvement de translation alternatif à partir de la rotation continue du solide S2.

La particularité de ce générateur est de pouvoir modifier, en cours de

fonctionnement, l’amplitude des vibrations. Il suffit de faire translater le solide S1 pour modifier la position du point A.

Dans la suite de cet exercice et sans précisions particulières, on

considérera que cette translation est bloquée : λ1 = cste.

On peut définir les repères suivants : R0 (O, X0, Y0, Z0) lié à S0 R1 (O, X0, Y0, Z0) lié à S1 R2 (A, X2, Y2, Z0) lié à S2 R3 (C, X3, Y3, Z0) lié à S3 R4 (D, X0, Y0, Z0) lié à S4

Les dimensions de ce système sont les suivantes :

AB = a OC = c

OA = λ 1 X . 0

BC = λ 3 X . 3

CD = λ 4 X . 3

avec

CD = d . X 0 + λ 2 . Y 0

Les longueurs a, c et d sont constantes.

Les distances λ2, λ3 et λ4 sont variables.

Sauf précision, λ1 est considérée comme constante.

2. Travail demandé :

Question C-1 : Etablir le graphe de structure de ce système en indiquant la position et l’orientation de toutes les liaisons.

S0

S1

S3 S2 S4

Pivot Glissant (D,Y0)

Pivot // (A, Z0) Glissière // X0

Appui ponctuel de normale (B, Y3) Appui ponctuel

de normale (D, Y3) Pivot // (C, Z0) O A

B

C λ1 D

Y0

X0 X2

α

β λ2

X3 S1

S3

S2

S0

S4

A B Y0

X0 X2

α

Y2 α

C D Y0

X0 X3

β Y3 β

λ2

Question C-2 : En écrivant une boucle vectorielle entre les 4 points O, A, B et C, montrer que :

) 1 ( cos .

sin tan .

λ α α

β = − −

c a

a

BC AB OA

OC = + +

 



  + 

 



  + 

 



 

= 

 



 



β λ

β λ

α α λ

sin . 3

cos . 3 sin

. cos . 0

1

0 a

a

c ( )

 



−

=

− +

−

⇒ =

2 . sin

. sin

. 3

1 . 1 cos

. cos

. 3

eq a

eq c

a

α β

λ

λ α

β λ

En divisant 1 .

2 . eq

eq , on obtient :

( ¹ )

cos .

sin . cos

. 3

sin . 3

λ α α β

λ λ β

− +

−

= −

c a

a ^{tan . sin} α ^{. cos} ( λ ¹ )

β α

− +

−

= −

⇒

c a

a

Question C-3 : Déterminer la relation entre la rotation du solide S3 et la translation de S4 : λ 2 = ^f ( β ) Il suffit d’identifier les deux expressions du vecteur CD

:

0

0

2

sin . 4

cos . 3 4 . 4

R R

X d

CD 





 

= 

 



 

= 

= λ β λ

β

λ λ

on en déduit deux equations :

 



=

=

4 . 2 sin

. 4

3 . cos

. 4

eq eq d λ β λ

β λ

En divisant 3 .

4 . eq

eq , on obtient :

d 2 cos

. 4

sin .

4 λ

β λ

β

λ ₌

d tan β = λ 2

⇒

On peut en déduire aisément la loi E/S :

( ¹ )

sin .

cos 2 .

λ α

λ α

−

= −

⇒

c a

da

Question C-4 : Sans modifier 1 λ

^,

représenter ce mécanisme dans la position permettant l’angle de rotation maximum β

_max

^{de S3.}

L’angle

β

sera maximum quand les trois points ABC formeront un triangle rectangle en B.

Question C-5 : Comment modifier 1 λ

^,

pour augmenter l’amplitude de la translation de S4 ? Pour augmenter l’amplitude de la translation de S4, il faut rapprocher les point A et C.

C’est-à-dire augmenter 1 λ

^.

O A

B

C

D

λ1 Y0

X0 X2

λ2 X3 S1

S0