I N S T I T U T D ' A E R O N O M I E S P A T I A L E D E B E L G I Q U E
3 - Avenue Circulaire B - 1180 B R U X E L L E S
A E R O N O M I C A A C T A
A - l\l° 228 - 1981
r . .
Vie et mort des satellites artificiels
par
J. VERCHEVAL
B E L G I S C H I N S T I T U U T V O O R R U I M T E - A E R O N O M I E 3 - Ringlaan
B • 1180 BRUSSEL
A V A N T - P R O P O S
L'article "Vie et mort des satellites artificiels" sera publié dans Ciel et Terre, 97(3), 1981.
VOORWOORD
De tekst "Vie et mort des satellites artificiels" zal in het tijdschrift Ciel et Terre, 97(3), 1981 verschijnen.
FOREWORD
The paper "Vie et mort des satellites artificiels" . will be published in Ciel et Terre, 97(3), 1981.
VORWORT
Die Arbeit "Vie et mort des satellites artificiels" wird in Ciel et Terre, 97(3), 1981 herausgegeben werden.
V I E ET M O R T D E S S A T E L L I T E S A R T I F I C I E L S
par
J. V E R C H E V A L
Résumé
Cet article a pour objet de présenter très succinctement les caractéristiques essentielles du comportement orbital des satellites artificiels. On y décrit notamment les effets les plus marquants des principales forces de perturbation que sont le frottement atmo- sphérique, les irrégularités du potentiel gravifique terrestre, les perturbations luni-solaires et la pression de radiation solaire. En présence de ces perturbations, l'évolution de l'altitude du périgée est déterminante lorsqu'il s'agit d'évaluer la durée de vie des satellites.
Samenvatting
Dit artikel geeft beknopt de voornaamste karakteristieken weer van het baangedrag van de kunstmatige satellieten. Men beschrift ondermeer de meest opvallende effecten van de belangrijkste s t o r i n g s -
krachten zoals de atmosferische wrijving, de onregelmatighedén van de aardse zwaartekrachtpotentiaal, de Maan-Zon storingen en de s t r a l i n g s - d r u k van de Zon. In aanwezigheid van deze storingen is de evolutie van de perigeumhoogte een bepalende factor voor het evalueren van de levensduur van de satellieten.
Abstract
In this paper, the characteristics of the orbital motion of artificial Earth Satellites are briefly presented. In particular, a description is made of the most marked effects of the main perturbing forces acting upon an artificial Earth Satellite, as the atmospheric drag, the irregularities of the Earth's gravitational field, the luni-solar gravitational perturbations and the solar radiation pressure. The lifetime of satellites is related to the behaviour of the perigee height in presence of these perturbations.
Zusammenfassung
In dieser Arbeit werden die wichtigste Charakteristiken der künstlichen Satellitenbahnen vorgestellt. Die wichtigste Effekten der Störungskräften d.h. atmosphärischer Luftwiderstand, Unregelmässig-
keiten des erdischen Gravitationsfeldes, Mond-Sonne Störungen und Sonnenstrahlungsdruck werden beschrieben. Die Lebensdauer eines Satelliten is verbunden mit der Perigeumshöhe wenn diese Störungen eine Rolle spielen.
1. I N T R O D U C T I O N
En 1957, au début de l'ère spatiale, une grande incertitude prévalait quant à la durée de vie des premiers satellites artificiels; on savait évidemment que les trajectoires parcourues étaient des orbites képlériennes elliptiques vouées, toutefois, à être sans cesse modifiées sous l'action du frottement atmosphérique; mais l'aspect quantitatif de ce phénomène d ' u s u r e des orbites était peu connu, le milieu atmo- sphérique a u - d e s s u s de la "couche plancher" des satellites conservant à l'époque tout son mystère. Dès lors, les prévisions portant s u r la durée de vie des premiers satellites étaient empreintes d'une très grande imprécision. Deux exemples conviennent d'être cités : Explorer 1, premier satellite américain, demeura douze ans s u r orbite alors que les premières prévisions faisaient état d'une durée de vie inférieure à cinq ans; le satellite-ballon Echo 1 retomba au cours de sa huitième année d'existence alors que la possibilité d'une chute au terme de la première année avait été avancée par certains. Une bonne estimation de la durée de vie d'Echo 1 était d'autant plus délicate qu'il fallait tenir compte, dans son cas, de l'effet important de la pression de radiation solaire.
Actuellement, on dispose de bons modèles atmosphériques et les théories des effets des principales forces perturbatrices sont très élaborées, de sorte que la vie d ' u n satellite, c'est à dire son comportement orbital depuis son lancement jusqu'à sa chute, peut être souvent décrit avec une assez bonne précision. Des incertitudes parfois importantes subsistent, toutefois, et le problème s'avère encore très complexe si l'on souhaite le traiter avec un maximum de r i g u e u r .
Dans cette note, nous nous bornons à décrire très succinctement les caractéristiques essentielles de l'évolution des orbites des satellites, notamment en évoquant les principales forces de perturbation et en précisant les effets les plus marquants de chacune
d'elles s u r les orbites : Une attention particulière est accordée aux actions qu'elles exercent s u r l'altitude du périgée, déterminantes lorsqu'il s'agit d'évaluer la longévité d ' u n satellite.
2. L A N C E M E N T ET M I S E S U R O R B I T E
La mise s u r orbite est assurée au moyen d ' u n lanceur qui amène l'engin à satelliser à une altitude suffisamment élevée pour éviter une fin rapide dans les couches denses de l'atmosphère, c'est à dire bien souvent a u - d e s s u s de 150 kilomètres. Le lanceur doit également imprimer à l'engin une vitesse suffisante pour compenser la force de pesanteur terrestre. Cette vitesse, de l'ordre de 8 km/sec, doit être atteinte au point d'injection, d'est à dire au point où cesse la dernière action propulsive. Si l'on souhaite placer le satellite s u r une orbite initiale choisie à l'avance, le point d'injection ne peut être quelconque pas plus que le vecteur-vitesse d'injection. A i n s i , pour une orbite circulaire à 150 kilomètres d'altitude, le point d'injection doit se situer à cette même altitude et la vitesse d'injection doit être de l'ordre de 7,9 km/sec, le vecteur vitesse formant un angle droit avec le rayon vecteur position du point d'injection (figure 1). Pour une vitesse d'injection supérieure v^, l'orbite initiale sera elliptique et le point d'injection sera le périgée de l'orbite si l'on maintient la perpendicularité entre le vecteur-vitesse et le vecteur position. Il convient de noter que pratiquement les orbites initiales sont toujours elliptiques, car la circularité n'est obtenue que dans des conditions très précises qui ne sont jamais remplies de manière rigoureuse.
3. L E S L O I S DU M O U V E M E N T EN L ' A B S E N C E DE P E R T U R B A T I O N S
Lorsque le satellite est livré à lui-même, son mouvement est celui d ' u n corps soumis essentiellement mais non exclusivement à l'action du champ gravitationnel terrestre. Si la Terre était parfaitement sphérique et homogène, son champ gravitationnel serait un champ de
/
(b)
F i g . 1 . - Une v i t e s s e d ' i n j e c t i o n de 7 . 9 k m / s e c à 150 km d ' a l t i t u d e e t p e r p e n d i c u l a i r e au v e c t e u r - p o s i t i o n —•
OS d u p o i n t d ' i n j e c t i o n S , d o n n e lieu à u n e s a t e l l i s a t i o n s u r u n e o r b i t e c i r c u l a i r e à 150 km ( a ) . P o u r une v i t e s s e d ' i n j e c t i o n s u p é r i e u r e V.,, l ' o r b i t e d é c r i t e e s t e l l i p t i q u e ( b ) .
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forces centrales newtonien de sorte que si l'on négligeait, d'autre part, l'action des autres forces de perturbations, le mouvement d'un satellite serait régi par les trois lois de Képler :
Un satellite se meut dans un plan autour du centre de la Terre sur une orbite elliptique, le centre de la Terre occupant l'un des foyers
Le rayon vecteur d'un satellite décrit des aires proportionnelles au temps écoulé
Les carrés des périodes de révolution des satellites sont entre eux comme les cubes des demi-grands axes des orbites.
Dans ces mêmes conditions, il s'avère que le mouvement d'un satellite dans l'espace, par rapport à un référentiel terrestre fixe est parfaitement décrit par six éléments appelés "éléments orbitaux".
L'orientation du plan orbital est défini par l'ascension droite Q du noeud ascendant N et l'inclinaison [ de l'orbite par rapport au plan de l'équateur terrestre (figure 2). L'orientation de l'orbite dans son plan est fixée par l'argument du périgée u) mesuré à partir du noeud ascendant dans la direction du mouvement. Le demi-grand axe a fixe la dimension de l'orbite tandis que l'excentricité e en précise le degré d'aplatissement. On peut définir l'excentricité par le rapport e = (r^ -
rp ) / (rA + rp ) rp e t rA désignent les distances géocentriques du périgée et . de l'apogée. On a également : r = a(1 - e) et r . =
P "
a(1 + e). Dans le cas d'une orbite elliptique, l'excentricité est toujours comprise, entre zéro et l'unité, e = 0 correspondant à une orbite circulaire ( r . = r ). Enfin, il convient d'ajouter comme sixième élément l'instant de passage i du satellite au périgée. P
Les six éléments orbitaux (fi, i, u), a, e, t ) sont fixés par les conditions de lancement , en l'occurence la date et l'heure de lancement, la position du point d'injection et la vitesse d'injection, la dépendance à l'égard de ces conditions n'étant pas la même pour chaque
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POLE NORD
2 . - P r o j e c t i o n s d e l ' o r b i t e et de l ' é q u a t e u r t e r r e s t r e s u r la s p h è r e u n i t a i r e d o n t le c e n t r e O c o ï n c i d e a v e c le c e n t r e d e la T e r r e . R e p r é s e n t a t i o n de l ' i n c l i n a i s o n i, de l ' a r g u m e n t d u p é r i g é e ui et de l ' a s c e n s i o n d r o i t e Q d u n o e u d a s c e n d a n t N .
élément. Par ailleurs, en l'absence de toute force de p e r t u r b a t i o n , l'orbite définie par ces six éléments serait parfaitement stable d a n s l'espacç et c o n s e r v e r a i t toujours les mêmes c a r a c t é r i s t i q u e s .
4. L E S F O R C E S D E P E R T U R B A T I O N
4.1. Généralités
S o u s l'action des forces de p e r t u r b a t i o n , les éléments o r b i t a u x s u b i s s e n t des v a r i a t i o n s tantôt s é c u l a i r e s , tantôt p é r i o d i q u e s à c o u r t e s ou à l o n g u e s p é r i o d e s . En d ' a u t r e s termes, la dimension, la forme et l'orientation de l'orbite d a n s l'espace se modifient continuellement. Parmi les principales forces de p e r t u r b a t i o n , il convient de citer le frottement a t m o s p h é r i q u e , les i r r é g u l a r i t é s d u potentiel g r a v i f i q u e t e r r e s t r e , les p e r t u r b a t i o n s gravitationnelles l u n i - s o l a i r e s et la p r e s s i o n de radiation solaire. Les effets m a r q u a n t s de c h a c u n e d'elles sont décrits c i - d e s s o u s en i n s i s t a n t cependant s u r l'action qu'elles exercent s u r l'altitude d u périgée. En effet, si l'atmosphère est s a n s nul doute le facteur décisif qui affecte la longévité d ' u n satellite et détermine ainsi la phase finale de son orbite, le moment où le frottement atmosphérique devient la force prédominante s u r v i e n t lorsque le périgée de l'orbite pénètre d a n s un domaine d'altitude où la densité a t m o s p h é r i q u e est relativement élevée.
Il est donc essentiel de connaître le comportement de l'altitude d u périgée en p r é s e n c e des a u t r e s forces p e r t u r b a t r i c e s . En fait, ces d e r n i è r e s c o n t r i b u e n t à hâter ou à r e t a r d e r le moment où le frottement atmosphérique devient la force principale qui modifie l'orbite d a n s le s e n s d ' u n e d é c r o i s s a n c e de plus en plus rapide et i r r é v e r s i b l e de son altitude moyenne. T e r m i n o n s ces c o n s i d é r a t i o n s générales en constatant que le mouvement d u périgée en altitude d é p e n d exclusivement des comportements d u d e m i - g r a n d axe a et de l'excentricité e, p u i s q u e r ^ = a(1 - e ) .
4.2. Le frottement atmosphérique
Pour une orbite initiale elliptique (figure 3), le frottement atmosphérique est plus important au périgée et en son voisinage immédiat qu'à l'apogée puisque l'atmosphère y est beaucoup plus dense.
Au périgée, le satellite perd une partie de son énergie cinétique et subit par conséquent une décélération qui l'empêche d'atteindre à nouveau son apogée initial. Le résultat est une diminution sensible de l'altitude de l'apogée tandis que le périgée se maintient assez longtemps à la même altitude; il en résulte qu'à chaque révolution l'orbite se contracte légèrement : l'excentricité décroît continuellement de même que le demi-grand axe : il s'agit de variations séculaires. Après un certain temps, l'orbite devient presque circulaire à basse altitude : le frottement atmosphérique agît alors en tout point de l'orbite de sorte que l'altitude moyenne décroît de plus en plus rapidement; la chute du satellite se précipite et l'orbite se termine en une sorte de spirale descendante jusqu'au moment où l'engin se consume dans les couches les plus denses de l'atmosphère. A titre d'exemple, la figure 4 montre les variations des altitudes du périgée et de l'apogée d'Explorer 1 depuis son lancement le 1er février 1958 jusqu'à sa chute le 31 mars 1970. Ces variations sont dues exclusivement à l'action du frottement atmo- sphérique.
Les taux de décroissance du demi-grand axe et de l'excentricité sont fixés par un certain nombre de facteurs, ceux-là mêmes dont dépend le frottement atmosphérique. L'expression de l'accélération perturbatrice est la suivante :
b = 2 cD i f "v 2
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. 3 . - Contraction de l'orbite d ' u n satellite sous l'action du frottement atmo- s p h é r i q u e .
ACTIVITE SOLAIRE
Max. Min. Max.
A N N E E S
F i g . 4 . - V a r i a t i o n s des altitudes d u périgée et de l'apogée d1 E x p l o r e r 1.
- 1 1 -
où
CD est un coefficient appelé "coefficient de résistance aéro- dynamique"
S est la section efficace du satellite, c'est-à-dire l'aire moyenne de la section du satellite perpendiculaire à la direction du mouvement m est la masse du satellite
p est la densité des couches atmosphériques traversées V est la vitesse du satellite par rapport à l'atmosphère.
Cette expression indique que le frottement atmosphérique, outre qu'il dépend de la densité p, exerce une action d'autant plus, importante que les satellites sont de grandes dimensions et de faible masse. Hormis la masse m (lorsqu'elle est connue) et' la vitesse V , les autres facteurs sont toujours entachés d'une certaine imprécision de sorte que la qualité de la prévision des effets du frottement atmo- sphérique s'en trouve toujours affectée.
Le coefficient aérodynamique C p dépend du mode d'interaction entre la surface du satellite et les'particules atmosphériques. Il s'agit de savoir par exemple comment les particules atmosphériques sont réfléchies ou réémises par le satellite. Généralement, cette interaction a lieu sous le régime moléculaire libre c'est à dire sans perturbation de la distribution des vitesses du flux moléculaire incident par les particules réémises. Lorsque cette condition est remplie, le problème de la réflexion des molécules atmosphériques, qui se pose en fait en terme d'échanges d'énergie et de quantité de mouvement, est déjà complexe car un g r a n d nombre de facteurs interviennent, allant de la nature des atomes de surface des satellites à la température d;U milieu ambiant en passant par la forme des satellites, leur température superficielle, la composition de l'atmosphère etc... En bref, on peut dire qu'actuellement, pour un satellite sphérique et en régime moléculaire libre, le coefficient Cn est connu avec une précision de l'ordre de 5%.
La section efficace S ne soulève a u c u n e difficulté d a n s le cas idéal d ' u n satellite s p h é r i q u e de dimensions c o n n u e s . Mais si le satellite n ' e s t pas s p h é r i q u e , le problème se complique a u s s i t ô t car la section efficace d é p e n d de l'attitude d u satellite p a r r a p p o r t à la direction d u mouvement. Et cette attitude peut d ' a i l l e u r s v a r i e r au c o u r s d u temps.
D a n s le cas d ' u n satellite c y l i n d r i q u e , la section efficace moyenne adoptée se caractérise par une incertitude d ' e n v i r o n 5%.
Il va de soi que le calcul de la force de frottement atmo- s p h é r i q u e exige a u s s i l'emploi d ' u n modèle atmosphérique d é c r i v a n t notamment la d i s t r i b u t i o n verticale de la densité p. Actuellement, les modèles a t m o s p h é r i q u e s sont t r è s élaborés, mais l o r s q u ' i l s ' a g i t d ' e f f e c t u e r une p r é v i s i o n , une g r a n d e incertitude s u b s i s t e car l'activité solaire ne peut être p r é v u e avec p r é c i s i o n . En effet, comme en témoigne la f i g u r e 5, la densité de l'atmosphère s u p é r i e u r e d é p e n d t r è s étroitement de l'activité solaire. A cet é g a r d , la f i g u r e 4 montre t r è s nettement l'impact des v a r i a t i o n s de l'activité solaire s u r le taux de d é c r o i s s a n c e de l'altitude de l'apogée d ' E x p l o r e r 1; ce taux est maximum en 1958 et 1969, années d ' u n maximum de l'activité solaire, et il est minimum en 1964 l o r s q u e l'activité solaire était à son niveau le p l u s faible. Ce comportement t r a d u i t l'effet de l'activité solaire s u r la densité a t m o s p h é r i q u e à l'altitude d u périgée (350 km).
Il est également i n t é r e s s a n t de rappeler ici les c i r c o n s t a n c e s de la chute de la station orbitale américaine S K Y L A B 1 qui a tant d é - f r a y é le c h r o n i q u e en 1979. La f i g u r e 6 montre l'évolution de son altitude moyenne z et les v a r i a t i o n s de son mouvement moyen An ( n exprimé en révolutions par j o u r ) d e p u i s le 1er janvier 1979 j u s q u ' à sa chute le 11 juillet 1979; O n y a également représenté l'activité solaire par le f l u x radioélectrique S1 f l 7 mesuré s u r 10.7 cm et exprimé en
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10 Watts/m /cycle/sec ainsi que l'activité géomagnétique représentée c h a q u e jour p a r la somme des huit v a l e u r s t r i h o r a i r e s de l'indice planétaire K . A u lendemain de la manoeuvre d u 25 janvier 1979 ( i n d i q u é e par une f l è c h e ) , on avança la première q u i n z a i n e de juin
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DENSITE (g cm'3)
F i g . 5 . - D i s t r i b u t i o n s verticales de la densité moyenne entre 1958 et 1964, c ' e s t - à - d i r e entre un maximum et u n minimum de l'activité solaire.
F i g . 6 . - Evolution de l'altitude moyenne Z (en h a u t ) et des v a r i a t i o n s d u mouvement An (en b a s ) de S k y l a b 1 d e p u i s le 1er janvier 1979.
Comparaison avec l'activité solaire représentée par le f l u x r a d i o - électrique S^Q ^ mesuré s u r 10.7 cm ainsi q ' a v e c l'activité g é o - magnétique représentée par la somme des huit v a l e u r s t r i h o r a i r e s de l'indice planétaire K (au milieu).
comme l'époque la p l u s probable p o u r la retombée. A u fil des semaines, l'échéance ne cessa d ' ê t r e révisée généralement d a n s le s e n s d ' U n recul.
C e s réajustements s ' i m p o s è r e n t par suite de la d é c r o i s s a n c e imprévisible d u niveau moyen de l'activité solaire, atténuant le p r o c e s s u s de la chute et a c c o r d a n t de ce fait une série de s u r s i s au laboratoire spatial. A titre d'exemple, s i g n a l o n s q u ' à une altitude de 300 km, la densité moyenne de l'atmosphère diminue de 50% l o r s q u e le flux radioélectrique S1 Q 7 décroît lui-même de 210 à 160 u n i t é s . A i n s i , il c o n v i e n t de r e m a r q u e r que l'augmentation des v a r i a t i o n s d u mouvement moyen An a été tempérée p a r la diminution d u n i v e a u moyen de l'activité solaire. La c o u r b e des v a r i a t i o n s de An p r é s e n t e également des f l u c t u a t i o n s p é r i o d i q u e s liées à l'activité géomagnétique elle-même modulée p a r la rotation d u soleil s u r lui-même (période de 27 j o u r s ) . Par c o n t r e , l'effet des v a r i a t i o n s à c o u r t terme de l'activité solaire apparaît moins m a r q u é . Par ailleurs, dès la mi-juin, alors que l'altitude de S k y l a b était largement i n f é r i e u r e à 300 km, l'accroissement d u frottement atmo- s p h é r i q u e en raison de la diminution s e n s i b l e de l'altitude moyenne d e v i n t suffisamment important p o u r r e n d r e impossible toute nouvelle modulation p a r les activités solaire ou géomagnétique d ' a u t a n t que les actions de celles-ci s u r la densité a t m o s p h é r i q u e s ' a v è r e n t de moins en moins m a r q u a n t e s au f u r et à mesure que l'altitude décroît.
L'ensemble des c o n s i d é r a t i o n s précédentes montre qu'il est impossible de p r é v o i r longtemps à l'avance la date de rentrée d ' u n satellite artificiel. Il v a de soi que p r é v o i r l'endroit de la chute naturelle est tout a u s s i impossible si l'on s o n g e que p o u r une v i t e s s e orbitale de 28000 km/h, une incertitude de 10 minutes s u r l'instant de d é c r o c h a g e de l'orbite se t r a d u i t déjà p a r une imprécision de l ' o r d r e de 5000 km s u r la localisation d u " p o i n t de c h u t e " . O r , même q u e l q u e s h e u r e s a v a n t l'événement, p e u t - o n tout au p l u s p r é v o i r la révolution au c o u r s de laquelle i n t e r v i e n d r a la c h u t e ; les i n c o n n u e s sont alors moins de n a t u r e g é o p h y s i q u e que d ' o r d r e a é r o d y n a m i q u e : incertitude s u r le
coefficient aérodynamique et s u r la section efficace liée à l'attitude de l'engin lors de la phase ultime.
En fait, très souvent, la durée de vie d ' u n satellite (ou le temps qui lui reste à v i v r e ) peut être estimée avec une précision relative de l'ordre de 10 à 15% lorsque seul le frottement atmosphérique est l'agent perturbateur. Cependant, il est malaisé d'établir une table des durées de vie car les paramètres sont nombreux : l'altitude du périgée, l'excentricité, la section efficace et la masse du satellite ainsi que l'activité solaire dont dépend la densité de l'atmosphère. Pour fixer les idées, nous avons choisi de représenter à la figure 7 la durée de vie d ' u n satellite présentant un rapport - équivalent à celui
2 rn . d ' E x p l o r e r 1 (0.17 cm / g ) et pour un niveau moyen de l'activité solaire (température de 1000 K à la thermopause). Nous supposons que l'atmo- sphère est à symétrie sphérique et que son état ne varie pas au cours du temps. Nous considérons des orbites initiales à excentricité comprise entre 0 et 0,5 avec des périgées situés a 100, 150, 250, 350 et 500 kilomètres. A l'examen de cette figure, plusieurs remarques peuvent être formulées :
Une satellisation prolongée s u r une orbite circulaire (e = 0) à une altitude inférieure à 150 km s'avère impossible, la chute s'effectuant quasi immédiatement.
Les durées de vie s u r des orbites circulaires à 250, 350 et 500 km se mesurent respectivement en jours, dizaines de jours et centaines de jours.
La durée de vie croît avec l'excentricité pour atteindre, en e = 0.5, quelques jours lorsque le périgée est à 100 km ou déjà près d ' u n siècle pour un périgée initial à 350 km.
Enfin, il convient de mentionner que l'effet d'activité solaire s u r la densité atmosphérique croît considérablement avec l'altitude (voir figure 5) de sorte que si les durées de vie pour des périgées inférieurs
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à 200 km sont du même ordre de grandeur que celles représentées à la figure 7, les écarts deviennent considérables aux altitudes supérieures lorsque les conditions d'activité solaire s'écartent sensiblement des conditions moyennes.
Par ailleurs, la durée de vie étant inversement proportionnelle au rapport - , la figure 7 permet également d'évaluer très aisément la S durée de vie des satellites à rapport - différent de la valeur de référence adoptée (0.17 cm / g ) . n m
4.3. Les irrégularités du potentiel gravifique terrestre
Par suite de la non sphérité et l'inhomogénéité de la Terre, le potentiel gravifique terrestre n'est pas rigoureusement central mais peut être décrit mathématiquement par une série d'harmoniques sphériques qui décrivent les différentes anomalies, qu'elles soient géométriques ou liées à des variations de masse à l'intérieur de la Terre. Son expression générale est la suivante :
u = ; l'-^ifi)
i /rf v1 m
+ 2 I J . - f P™(sin <p) cos m(À - K0 )
£=2 m-1 v r ) a
où r, cp et A. sont respectivement la distance géocentrique, la latitude et la longitude du point considéré; R^ est le rayon terrestre équatorial;
les fonctions P^ et P™ désignent les polynômes de Legendre d'ordre £ et les fonctions de Legendre associées.
Le premier terme p désignant le produit de la constante de gravitation universelle G par la masse de la Terre MT, correspond au
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0.2 0.3 E X C E N T R I C I T E
F i g . 7 . - D u r é e de vie d ' u n satellite p r é s e n t a n t un r a p p o r t S 2
— = 0 . 1 7 cm / g . , p o u r un n i v e a u moyen de l ' a c t i v i t é s o l a i r e . L'atmosphère est supposée s t a t i o n n a i r e è t à s y m é t r i e s p h é r i q u e . Les o r b i t e s initiales considérées o n t une e x c e n t r i c i t é comprise e n t r e 0 et 0 . 5 e t des p é r i g é e s situés à 100, 150, 2 5 0 , 350 et 500 km.
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potentiel central d'une T e r r e sphérique et homogène. Les termes en J£ désignent les harmoniques "zonaux", c'est à dire les harmoniques dépendant exclusivement de la latitude et représentant par conséquent le potentiel d'un corps de révolution; en particulier, les harmoniques zonaux pairs traduisent des déformations du globe symétriques par rapport au plan de l'équateur. Le deuxième harmonique J2 est pré- pondérant et est lié à l'aplatissement du globe t e r r e s t r e aux pôles. Pour leur p a r t , les termes en J . désignent les harmoniques "tesseraux"
J6 / m
parfois appelés "sectoriaux" si S. = m : ils dépendent à la fois de la latitude et de la longitude. J2 2 e s t l'harmonique de ce type le plus important : il t r a d u i t une certaine ellipticité de l'équateur tandis que la constante 2 localise la position du grand axe de l'ellipse équatoriale.
L'effet le plus important des anomalies gravitationnelles terrestres sur les orbites des satellites est dû à l'harmonique à0 qui est de l'ordre de 10 tandis que les J- 3 0 supérieurs et J„ sont de l'ordre
_g x, 5L, m
de 10 . Les perturbations dues à J2 affectent principalement l'ascension droite du noeud ascendant fi et l'argument du périgée u). A t i t r e d'exemple, la figure 8 montre le taux de variation — et ^ de ces éléments en fonction de l'inclinaison i pour une orbite circulaire à 500 km d'altitude; ainsi, si l'orbite est équatoriale, la précession de son plan atteint 8 degrés par jour tandis que la rotation de la lignes des apsides est d'environ 16 degrés par jour. Pour une orbite polaire ( i = 9 0 ° ) , on trouve une variation de 4 degrés par jour pour w et la constance pour fi. A priori, ces perturbations séculaires de fi et w n'affectent pas la longévité des satellites. Cependant, d'autres forces de perturbation ont une action sur la durée de vie des satellites qui s'exerce dans un sens ou dans l'autre selon les valeurs initiales de ces éléments et leur comportement au cours du temps. Dès lors, c'est indirectement que ces perturbations dues à l'aplatissement t e r r e s t r e peuvent exercer une influence sur la longévité des satellites. Par ailleurs, si l'harmonique J2 n'affecte pratiquement pas la distance géo- centrique du périgée, il n'en est pas moins vrai que le mouvement en
- 2 0 -
>
I N C L I N A I S O N i ( d e g r é s )
F i g . 8 . - T a u x de v a r i a t i o n des éléments Q et UJ en f o n c t i o n de l ' i n c l i n a i s o n i , p o u r u n e o r b i t e c i r c u l a i r e à 500 km ( e f f e t de l ' h a r m o n i q u e Jp) .
- 2 1 -
latitude d u p é r i g é e ( r é s u l t a n t de la v a r i a t i o n de UJ) a u - d e s s u s d ' u n e T e r r e aplatie a u x pôles donne lieu à une v a r i a t i o n p é r i o d i q u e de l ' a l t i t u d e d u p é r i g é e . La f i g u r e 9, m o n t r a n t les v a r i a t i o n s de l ' a l t i t u d e d u p é r i g é e de la fusée p o r t e u s e d u satellite s o v i é t i q u e Cosmos 268, i l l u s t r e ce f a i t . L ' a l l u r e g é n é r a l e moyenne allant dans le sens d ' u n e d é c r o i s s a n c e p r o g r e s s i v e est due à l'action d u frottement a t m o s p h é r i q u e t a n d i s que les o s c i l l a t i o n s r é s u l t e n t de la non s p h é r i c i t é de la T e r r e , la période de ces oscillations étant liée au mouvement d u p é r i g é e en l a t i t u d e . Les maximums de la c o u r b e c o r r e s p o n d e n t à un p é r i g é e situé à sa latitude maximum, p a r c o n s é q u e n t à un r a y o n t e r r e s t r e minimum ce q u i , p o u r une d i s t a n c e g é o c e n t r i q u e f i x é e , c o n f è r e effectivement une v a l e u r maximum à l ' a l t i t u d e d u p é r i g é e . La s u c c e s s i o n de maximums élevés et de maximums s e c o n d a i r e s est due à l'action de l'harmonique Jg, le seul harmonique a y a n t une action importante d i r e c t e s u r la d i s t a n c e g é o c e n t r i q u e d u p é r i g é e ; les maximums élevés c o r r e s p o n d e n t à une latitude maximum dans l ' h é m i s p h è r e S u d , les maximums s e c o n d a i r e s étant associées à une latitude maximum dans l ' h é m i s p h è r e N o r d .
L ' a m p l i t u d e de ces v a r i a t i o n s à longue période dues à l ' h a r m o n i q u e J^
c r o î t avec l ' i n c l i n a i s o n de l ' o r b i t e p o u r a t t e i n d r e une v a l e u r de l ' o r d r e de 7 km p o u r une o r b i t e p o l a i r e .
4 - 4 . Les p e r t u r b a t i o n s l u n i - s o l a i r e s
Les p e r t u r b a t i o n s l u n i - s o l a i r e s r é s u l t e n t des a t t r a c t i o n s g r a v i t a t i o n n e l l e s de la L u n e et d u Soleil. En d é p i t de la masse énorme d u Soleil, la f o r c e de p e r t u r b a t i o n l u n a i r e est a p p r o x i m a t i v e m e n t d e u x fois p l u s importante compte t e n u de la p r o x i m i t é relative de notre satellite n a t u r e l . La première manifestation de l'effet l u n i - s o l a i r e s u r les o r b i t e s des satellites a été constatée en a n a l y s a n t l'évolution des paramètres o r b i t a u x d u satellite américain V a n g u a r d 1. Mais l'importance de l'effet s u r la d u r é e de vie d ' u n satellite s'est révélée à l'occasion des lancements d ' E x p l o r e r 6 le 7 août 1959 et de Luna 3 le 4 o c t o b r e de la même année. C e s d e u x satellites a v a i e n t la p a r t i c u l a r i t é d ' a v o i r été
ro I CO •
2 AO
220
UJ UJ o cr UJ Û. ZJ o UJ o ZD
200
180
FUSEE -COSMOS
160
J_ _L -LJUILL.69 AOUT SEPT. 0CT.
DATE
N0V.
DEC. JAN.70 FEV.
Fig. 9.- Variation de l'altitude du périgée de la fusée porteuse de Cosmos 268.
placés s u r des orbites initiales t r è s e x c e n t r i q u e s comme le montre l'examen d u tableau 1 où sont d o n n é e s s u c c e s s i v e m e n t les dates de lancement et de retombée, l'inclinaison i d u plan orbital par r a p p o r t à l'équateur t e r r e s t r e , l'altitude d u périgée z , l'altitude de l'apogée z et l'excentricité (orbite initiale). Le cas le p l u s remarquable est celui de P A
L u n a 3 q u i , avec u n périgée initial de l ' o r d r e de 40000 km le situant à l'abri de toute p e r t u r b a t i o n a t m o s p h é r i q u e termina sa vie au terme de sa onzième révolution d a n s le système T e r r e - L u n e .
L ' é t u d e des p e r t u r b a t i o n s l u n i - s o l a i r e s révèle q u ' e n première approximation tous les éléments o r b i t a u x , à l'exception du d e m i - g r a n d axe, s u b i s s e n t des v a r i a t i o n s séculaires ou à longue période, ces d e r n i è r e s étant associées d ' u n e p a r t , a u x mouvements de l'orbite d u s essentiellement à l'harmonique J^ et, d ' a u t r e p a r t , à la variation au c o u r s d u temps de la position d u c o r p s p e r t u r b a t e u r . Il c o n v i e n t de p r é c i s e r que si l'on tient compte d u mouvement du c o r p s p e r t u r b a t e u r au c o u r s d ' u n e r é v o l u t i o n , le d e m i - g r a n d axe s u b i t l u i - a u s s i des v a r i a t i o n s séculaires et à longue période mais généralement de faible amplitude. Néanmoins, seules les v a r i a t i o n s à longue période de
l'excentricité, par ailleurs les p l u s m a r q u é e s , exercent une influence directe et fondamentale s u r le comportement de l'altitude d u périgée et p a r c o n s é q u e n t s u r la d u r é e de v i e . Le taux de variation de l'excentricité e croît t r è s rapidement avec la v a l e u r de ce paramètre : a i n s i , p o u r u n périgée initial situé a une altitude de 1000 km, la p e r t u r b a t i o n luni-solaire se t r a d u i t par une variation de l'altitude du périgée au c o u r s d ' u n e révolution q u i , de l ' o r d r e d ' u n mètre p o u r e = 0.1 s'élève à p l u s i e u r s dizaines de kilomètres p o u r e = 0 . 9 . En particulier, une orbite circulaire c o n s e r v e sa forme circulaire s o u s l'influence de l'attraction gravitationnelle d ' u n troisième c o r p s . Par ailleurs, p u i s q u ' i l s ' a g i t de v a r i a t i o n s p é r i o d i q u e s , l'altitude d u périgée peut croître ou décroître dès la mise s u r orbite; ce sont les conditions de lancement q u i déterminent le s e n s de la variation. Par exemple, les effets l u n i - s o l a i r e s s u r une orbite nominale a y a n t les éléments a, e, i et
-24-
T A B L E A U I
SATELLITE LANCEMENT
Vanguard 1 17 mars 1958 Explorer 6 7 août 1959 Luna 3 4 octobre 1959
RETOMBEE i zp zA e (deg.) (km) (km)
34 650 3968 0.19 juillet 1961 47 252 42434 0.76 20 avril 1960 77 40647 469027 0.82
tu fixés peuvent être maximaliser ou minimiser en choisissant judicieusement l'époque et l'heure de lancement. Un exemple remarquable est celui des premiers satellites de télécommunications soviétiques du type Molniya, lancés s u r des orbites assez semblables avec une inclinaison de 65°, un périgée à environ 500 km et un apogée de l'ordre de 40000 km (tableau I I ) , ce qui leur conférait une excentricité voisine de 0.74. Il apparaît que le durée de vie de ces satellites a été très variable puisque comprise entre 17 et 172 mois; cette variabilité doit être imputée aux conditions de lancement; ainsi, les satellites lancés au printemps ont eu une longévité plus grande que ceux lancés en octobre!
Une illustration de cette diversité de comportement est présentée à la figure 10; elle concerne les variations à longue période de l'altitude du périgée des Molniya 1A, 1C et 1M.
En réalité, l'altitude du périgée subit également des variations à courte période liées aux seuls mouvements de révolution de la Lune et du Soleil; ces variations sont très faibles quand on les compare aux variations à longue période; l'échelle adoptée à la figure 10 ne permet pas de les mettre en évidence. Enfin, les durées de vie mentionnées au tableau II, y compris les plus longues, sont négligeables comparées aux espérances de vie qui auraient été permises en présence du seul frottement atmosphérique.
Il est intéressant de remarquer que dans le cas d'orbites à très grande excentricité, la chute d ' u n satellite ne peut intervenir que lorsqu'il passe par son périgée. Ce dernier occupe une position généralement bien connue par rapport à un trièdre de référence terrestre. Dans de telles conditions, on conçoit aisément que la prévision du point de chute est facilitée par opposition aux cas plus classiques d'une orbite peu allongée essentiellement soumise au frottement atmosphérique (voir section 4.2).
- 2 6 -
TABLEAU II : Satellites Molniya.
Désignation Lancement Incl. Périgée (deg) (km)
1A 23/04/65 65.5 497
1B 14/10/65 65.2 490
1C 25/04/66 64.5 499
1D 20/10/66 64.9 485
1E 25/05/67 64.8 460
1F 03/10/67 65.0 502
1G 22/10/67 64.7 456
1H 21/04/68 65.0 460
1J 05/07/68 65.0 470
Apogée (km)
Retombée Durée de vie (mois)
39380 16/08/79 172
39950 17/03/67 17
39500 11/06/73 86
39700 11/09/68 23
39810 26/11/71 54
39688 04/03/69 17
39740 31/12/69 26
39700 02/01/74 69
39770 15/05/71 34
ANNEES
F i g . 1 0 . - V a r i a t i o n s à l o n g u e p é r i o d e de l ' a l t i t u d e d u p é r i g é e des s a t e l l i t e s M o l n i y a Î A , 1C et 1M.
4.5. La pression de radiation solaire
On désigne par "pression de radiation solaire" l'action mécanique de la lumière solaire exercée sur les satellites ou tout corps absorbant ou réfléchissant. Si l'on néglige la distance Terre-Satellite r par rapport à la distance Terre-Soleil un satellite de la T e r r e est
2 - 1
soumis au flux de rayonnement solaire <f> = LQ(4h rQ) , LQ désignant l'énergie totale rayonnée par seconde par le Soleil. L'accélération perturbatrice résultante a pour expression :
où
k est un coefficient qui dépend essentiellement du mécanisme de réflexion
c est la vitesse de la lumière
S est la section effective du satellite perpendiculaire au rayonnement incident
m est la masse du satellite
tf est le vecteur unitaire de l'accélération p e r t u r b a t r i c e ; pour un satellite sphérique ou symétrique par rapport à la ligne Soleil- Satellite, tf est orienté suivant la direction et le sens du rayonnement incident.
A une certaine altitude dépendant des conditions d'activité solaire (700 km pour un état moyen de l'atmosphère), les forces exercées par la pression de radiation solaire et le frottement atmo- sphérique sont comparables mais les effets de ces deux forces sont très d i f f é r e n t s . La f i g u r e 11 illustre l'action continue de la radiation solaire sur une orbite initialement circulaire parcourue dans le sens M P N A , le
-29-
ORBITE DEPLACEE (e>0)
g . 1 1 . - Effet de la pression c i r c u l a i r e .
SOLEIL
radiation solaire sur une o r b i t e initialement
Soleil étant s u p p o s é d a n s le plan de l'orbite. A u point P, le satellite s'éloigne d u Soleil et la p r e s s i o n de radiation le soumet à une accélération qui le p r o p u l s e s u r une orbite s u p é r i e u r e P N ' . A u point A , la p r e s s i o n de radiation freine le mouvement de sorte qu'elle conduit le satellite s u r une orbite plus b a s s e A M ' . A u x points M et N , la v i t e s s e n ' e s t pas p e r t u r b é e . Le résultat final est u n déplacement d u centre géométrique de l'orbite d a n s la direction p e r p e n d i c u l a i r e a la ligne T e r r e - S o l e i l de telle manière que le périgée a p p a r a i s s e d a n s la région où le satellite s ' é l o i g n e d u Soleil : la nouvelle orbite a son périgée en P^ et son apogée en A ^ . La symétrie d a n s le cas traité implique l ' i n v a r i a n c e de l'énergie totale de sorte que le d e m i - g r a n d axe reste constant.
A i n s i , d a n s ce c a s , la d é c r o i s s a n c e monotone de l'altitude d u périgée s o u s l'action de la p r e s s i o n de radiation solaire résulte exclusivement d ' u n e augmentation de l'excentricité. Mais, le comportement de l'excentricité présente en réalité un caractère p é r i o d i q u e car les positions relatives d u périgée et de la direction T e r r e - S o l e i l v a r i e n t au c o u r s d u temps. Il f a u t , en effet, non seulement tenir compte de la révolution de la T e r r e a u t o u r d u Soleil ( s e t r a d u i s a n t par une variation — — de la longitude moyenne d u Soleil d a n s l'ecliptique de l ' o r d r e de 0,98 d e g r é par j o u r ) mais également de la r é g r e s s i o n d u noeud a s c e n d a n t ( ^ ) et du mouvement de la ligne des a p s i d e s ( — ) résultant essentiellement de l'action de l'harmonique J£. La théorie montre que la variation de l'altitude d u périgée est en fait la résultante de six composantes p é r i o d i q u e s dont les périodes et amplitudes
A>|. AQ
r e s p e c t i v e s sont liées a u x v a l e u r s des combinaisons ( T-T ± TT- ± —ÂT ) et
AJJ a\D v At At At y
^ Ât ~ ~ Â t ^ f 'xé e s par l'inclinaison, le d e m i - g r a n d axe et l'excentricité de l'orbite, les amplitudes d é p e n d a n t également d u r a p p o r t La combinaison ayant la v a l e u r l'a p l u s petite d o n n e généralement lieu à la composante périodique la p l u s importante. D a n s les cas dits de
" r é s o n a n c e " , une de ces combinaisons s ' a n n u l l e . Les conditions de
- , Alu AQ resonance ont une interprétation p h y s i q u e simple; l'egalite = — ^ -
implique, par exemple, q u e l'aplatissement t e r r e s t r e maintient approximativement constante l'orientation d u périgée p a r r a p p o r t à la
projection de la ligne Terre-Soleil dans le plan orbital. Dans ce cas, la pression de radiation solaire peut engendrer une variation monotone de l'excentricité.
Dans une situation proche d'une résonance, les effets de la pression de radiation sont amplifiés et l'impact sur la durée de vie peut être considérable; il a été montré que la longévité d ' u n satellite dans le cas d'une résonance peut varier d ' u n facteur 10 suivant l'heure de lancement, les autres paramètres caractérisant les conditions de lancement étant identiques. En cette matière, on peut affirmer plus généralement que l'époque et l'heure de lancement jouent un rôle essentiel car, pour une inclinaison donnée, elles fixent par exemple l'angle initial que fait la ligne Terre-Soleil avec le plan orbital. La question fondamentale est de savoir dans quel sens ces conditions de lancement permettent à la pression de radiation solaire d ' a g i r s u r l'altitude du périgée : dans les deux cas extrêmes, celle-ci peut osciller soit a u - d e s s o u s de sa valeur initiale pour éventuellement plonger très rapidement dans les couches denses de l'atmosphère entraînant de ce fait une chute rapide du satellite, soit a u - d e s s u s de sa valeur initiale en permettant ainsi une durée de vie beaucoup plus longue.
Dans le cas plus général d'une orbite initiale excentrique, la symétrie disparaît lorsqu'il est tenu compte de l'ombre de la T e r r e . Le satellite peut entrer ou sortir de la zone d'ombre dans des conditions qui lui permettent soit de g a g n e r ou perdre de l'énergie. Le demi-grand axe cesse d'être constant et par conséquent la période de révolution en vertu de la troisième loi de Képler. Alors que le frottement atmo- sphérique ne le permet en aucune manière, la période d ' u n satellite peut croître sous l'action de la pression de radiation lorsqu'il y a apport d'énergie au cours d'une révolution. Il convient de remarquer que la variation du demi-grand axe due à la pression de radiation n'est jamais très importante et ne peut exercer une action déterminante s u r la durée de vie semblable à celle de l'excentricité. Précisons enfin que parmi les
éléments o r b i t a u x a u t r e s q u e a e t e , seul l ' a r g u m e n t d u p é r i g é e p e u t s u b i r u n e v a r i a t i o n à l o n g u e p é r i o d e s i g n i f i c a t i v e , le t a u x de v a r i a t i o n é t a n t p a r t i c u l i è r e m e n t i m p o r t a n t l o r s q u e l ' e x c e n t r i c i t é e s t p e t i t e .
C ' e s t l ' o b s e r v a t i o n d u m o u v e m e n t d u s a t e l l i t e V a n g u a r d 1 q u i r é v é l a p o u r la p r e m i è r e f o i s l ' a c t i o n de la p r e s s i o n de r a d i a t i o n s o l a i r e s u r les s a t e l l i t e s a r t i f i c i e l s . Mais c ' e s t le lancement d u s a t e l l i t e - b a l l o n Echo 1, le 12 a o û t 1960 s u r u n e o r b i t e i n c l i n é e à 4 7 ° , q u i o f f r i t la p r e m i è r e occasion r é e l l e de t e s t e r e x p é r i m e n t a l e m e n t c e t t e a c t i o n . D ' u n d i a m è t r e de 30 m è t r e s p o u r u n e masse de 70 k g , Echo 1 p r é s e n t a i t u n
S
r a p p o r t — e l e v é , ce q u i le r e n d a i t p a r t i c u l i è r e m e n t s e n s i b l e à l ' e f f e t de la p r e s s i o n de r a d i a t i o n d ' a u t a n t q u ' a v e c u n p é r i g é e i n i t i a l à 1500 km d ' a l t i t u d e , l ' a c t i o n d u f r o t t e m e n t a t m o s p h é r i q u e s u r l ' e x c e n t r i c i t é é t a i t peu i m p o r t a n t . La f i g u r e 12 m o n t r e le c o m p o r t e m e n t d u p é r i g é e d ' E c h o 1 au c o u r s de son e x i s t e n c e ; de 1960 à 1968, l ' o s c i l l a t i o n d u e à la p r e s s i o n de r a d i a t i o n s o l a i r e e s t t r è s a p p a r e n t e : elle se c a r a c t é r i s e p a r u n e p é r i o d e m o y e n n e de l ' o r d r e de 320 j o u r s avec une a m p l i t u d e d ' e n v i r o n 550 km au c o u r s des p r e m i è r e s a n n é e s . Le c a r a c t è r e r é g u l i e r de c e t t e v a r i a t i o n p é r i o d i q u e t é m o i g n e de la s u p é r i o r i t é m a n i f e s t e d ' u n e des s i x composantes citées p l u s h a u t . L ' a c c r o i s s e m e n t s e n s i b l e de l ' a c t i v i t é s o l a i r e au c o u r s des années 1966 et 1967 a p e r m i s au f r o t t e m e n t a t m o s p h é r i q u e d ' a n n i h i l e r p r o g r e s s i v e m e n t c e t t e o s c i l l a t i o n p r o v o q u a n t de ce f a i t , une c h u t e d u s a t e l l i t e assez r a p i d e b i e n q u ' e n t r a v é e q u e l q u e peu au c o u r s des p r e m i e r s mois de 1968 p a r u n e a c t i v i t é s o l a i r e à n o u v e a u moins i n t e n s e .
La f i g u r e 13 m o n t r e la v a r i a t i o n de l ' a l t i t u d e d u p é r i g é e d ' E c h o 2 , lancé le 25 j a n v i e r 1964 s u r u n e o r b i t e i n c l i n é e à 8 1 ° . Une c o m p a r a i s o n avec la f i g u r e 12 n o u s amène à c o n s t a t e r q u e c e t t e v a r i a t i o n est moins r é g u l i è r e et moins i m p o r t a n t e en a m p l i t u d e : à u n e composante p r i n c i p a l e c a r a c t é r i s é e p a r u n e a m p l i t u d e de l ' o r d r e de 150 km ët u n e p é r i o d e d ' e n v i r o n 540 j o u r s se s u p e r p o s e n t d ' a u t r e s composantes d ' a m p l i t u d e s p l u s f a i b l e s e n c o r e et de p é r i o d e s p l u s c o u r t e s .
-33-
w I 4S--i
1600
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1960 1961 1962 1963 1964
A N N E E S
1965 1966 1967 1968
F i g . 1 2 . - E v o l u t i o n d e l'altitude d u p é r i g é e d ' E c h o 1.
I i — j - - I T 1300 -
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6 0 0 - «
9
500 - 400 - 3 0 0 -
200 - 1 0 0 -
0 1364 1365 1366 1967 1968 1969
A N N E E S
F i g . 1 3 . - E v o l u t i o n de l'altitude d u p é r i g é e d ' E c h o 2.
L'explication de cette d i f f é r e n c e de comportement doit ê t r e recherchée dans la d i f f é r e n c e d'inclinaison des d e u x satellites ( 4 7 ° et 8 1 ° ) . D ' a u t r e
c
p a r t , Echo 2 p r é s e n t a n t un r a p p o r t - deux fois plus petit que celui d'Echo 1, l'action de la pression de radiation solaire a u r a i t déjà été deux fois moindre pour des orbites initiales identiques. Echo 2 est retombé après 5 . 5 ans à une époque où l'activité solaire passait par un maximum.
5. C O N C L U S I O N S
Les considérations exposées dans cet article r é v è l e n t la complexité du comportement orbital des satellites soumis aux actions combinées des principales forces p e r t u r b a t r i c e s que sont le frottement atmosphérique, les i r r é g u l a r i t é s du potentiel g r a v i t a t i o n n e l t e r r e s t r e , les p e r t u r b a t i o n s luni-solaires et la pression de radiation solaire. Les satellites évoluent sur des orbites sans cesse changeantes et la g r a n d e d i v e r s i t é des variations orbitales observées résulte du nombre élevé de paramètres d é c r i v a n t les données p r o p r e s aux satellites (masse, section e f f i c a c e ) , les éléments de l ' o r b i t e i n i t i a l e , les conditions dë lancement et les conditions géophysiques; la d u r é e de vie dépend t r è s étroitement de ces mêmes paramètres.
Pour ê t r e complet, il convient d ' o b s e r v e r q u ' u n certain nombre d ' e f f e t s p e r t u r b a t e u r s secondaires n'ont pas été évoqués. Citons ceux associés à la pression de radiation solaire réémise par la surface t e r r e s t r e , le f r e i n a g e de P o y n t i n g - R o b e r t s o n ( e f f e t r e l a t i v i s t e ) , le f r e i n a g e de Coulomb et le f r e i n a g e magnétohydrodynamique.
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