Probabilités conditionnelles
Classe de terminale Stmg
Blaise Pascal - Wikimedia
Blaise Pascal, né le 19 juin 1623 à Clermont en Auvergne et mort le 19 août 1662 à Paris, est un mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français.
Il développe en 1654 une méthode de résolution du « problème des parties » qui, donnant naissance au cours du XVIIIe siècle au calcul des probabilités, influencera fortement les théories économiques modernes et les sciences sociales.
Le problème de Monty Hall est paru en 1990 dans une rubrique du « Parade Magazine » sous la forme suivante :
« Supposez que vous êtes sur le plateau d’un jeu télévisé, face à trois portes et que vous devez choisir d’en ouvrir une seule, en sachant que derrière l’une d’elles se trouve une voiture et derrière les deux autres des chèvres. Vous choisissez une porte, disons la numéro 1, et le présentateur, qui sait, lui, ce qu’il y a derrière chaque porte, ouvre une autre porte, disons la numéro 3, porte qui une fois ouverte découvre une chèvre. Il vous demande alors : « désirez-vous ouvrir la porte numéro 2 ? ». Avez-vous intérêt à changer votre choix ? »
Problème de Monty Hall- Wikimedia
I - Définitions
Définition : Considérons deux événements A et B d’un univers Ω tels que A soit de probabilité non nulle.
La probabilité deB sachant que A est réalisé est notée pA(B) et est définie par : pA(B)= p(A∩B)
p(A)
Propriété : On en déduit facilement la propriété suivante permettant de calculer la probabilité d’une intersection :
p(A∩B)=pA(B)×p(A)
Remarque : Il est alors possible de représenter ces différentes probabilités sur un arbre pondéré :
A
A
B
B
B
p(A)
pA(B)
pA(B) p(A)
pA(B)
p(A∩B)
p(A∩B)
On obtiendra donc les probabilités des intersections en multipliant les probabilités des branches menant à cet événement.
Exemple : Dans un lycée, la répartition des élèves de première en fonction du sexe (Fille ou Garçon) et du choix de la spécialité Mathématiques est donnée par l’arbre ci-dessous :
F
G
M
M
M
M
0,55
0,45
0,42
0,58
0,63
0,37
La lecture de l’arbre nous donne, par exemple pF(M)=0,42 et pG(M)=0,37.
Nous pouvons également calculer :
p(F∩M)=p(F)×pF(M)=0,55×0,42=0,231
II - Indépendance
Définition : Soient A etB deux événements de probabilités non nulles, on dit que A etB sontindépendants lorsquep(A∩B)=p(A)×p(B).
Propriété : Soient A et B deux événements de probabilités non nulles, A et B sont indépendants si et seulement si pA(B)=p(B).
Preuve : Procédons par équivalences :
A et B sont indépendants ⇔ p(A∩B)=p(A)×p(B)
⇔ p(A∩B)
p(A) =p(B)(car p(A) est non nulle.)
⇔ pA(B)=p(B)
III - Partitions de l’univers
Définition : Soitn un nombre entier naturel tel que n>2 et A1; A2; .... An un ensemble den événements tels que :
• ils sont disjoints deux à deux
• A1∪ A2∪....∪An =Ω
alors, on dit que A1; A2; .... ;An forment une partition de l’universΩ.
Remarque : Un événement A et son contraire A forment une partition de l’univers.
Propriété : Soient A et B deux évènements d’un universΩet A et B leurs évènements contraires.
Dans ce cas, A et A forment une partition de l’univers et on a : p(B) = p(B ∩A)+p(B ∩A)
= pA(B)×p(A)+pA(B)×p(A)
Preuve : La démonstration est immédiate en observant le diagramme de Venn ci-contre.
En effet, l’événement A∩B est en bleu et la réunion de
A∩B
A B
A∩B
Remarques : • L’arbre ci-dessous, nous permet également de visualiser la propriété :
A
A
B
B
B
B
p(A)
pA(B)
pA(B) p(A)
pA(B)
pA(B)
p(A∩B)
p(A∩B)
p(B)=p(A∩B)+p(A∩B)
• Ce résultat peut être généralisé à une partition A1; A2; .... An de l’univers Ω. En effet, pour une telle partition, la probabilité d’un évènement B sera :
p(B) = p(B ∩A1)+p(B∩A2)+...+p(B ∩An)
= pA1(B)×p(A1)+pA2(B)×p(A2)+...+pAn(B)×p(An)
Exemple : En reprenant l’exemple précédent nous avons alors :
p(M)=p(F ∩M)+p(G∩M)=0,55×0,2+0,45×0,63=0,5145
