Modèle bicyclette

STABILITE DYNAMIQUE DU VEHICULE EN VIRAGE

Pierre DUYSINX

Ingénierie des Véhicules Terrestres Université de Liège

Année Académique 2010-2011

Références bibliographiques

„ G. Sander « Véhicules Automobiles», Notes de cours, 1983, Université de Liège

„ G. Genta. « Motor Vehicle Dynamics: Modeling and Simulation ». World Scientific. 1997.

„ J.R. Ellis. Vehicle Dynamics. London Business Book Limited. 1969

Plan de l’exposé

„ Modèle bicyclette

„ Équations du comportement dynamique du modèle bicyclette

„ Équations d’équilibre

„ Équations de compatibilité

„ Équations dynamique

„ Dérivées de stabilité

„ Équations sous forme canonique

„ Étude de la stabilité du mouvement

„ Signe des parties réelles

„ Étude du discriminant

„ Cas du virage établi

„ Description de la trajectoire

Modèle bicyclette

„ Véhicule infiniment rigide

„ en tangage (q=0)

„ et en pompage (w=0)

„ Véhicule sans roulis : p=0

„ On peut ignorer le phénomène de transfert de charge latéral qui conduit à une réduction de la raideur d’envirage de l’essieu lorsque les accélérations latérales restent sous 0.5 g (L. Segel, Theoretical Prediction and Experimental Substantiation of the Response of Automobile Steering Control, Cornell Aer. Lab.

Buffalo. NY.)

„ Mouvement à vitesse constante V

„ Plan y=0 est plan de symétrie : J_yx= 0 et J_yz= 0

Modèle bicyclette

„ Petits angles

„ de braquage

„ de dérive

⇒Théorie linéarisée

CONCLUSION

„ Modèle linéarisé à deux degrés de liberté:

„ angle de dérive β(v)

„ vitesse de lacet r

Modèle bicyclette

Équilibre dans le repère dynamique (véhicule)

„ Équations d’équilibre

„ Dérivée dans le repère dynamique

„ Équations d’équilibre

X¡!F = d dt(m¡!V) X¡!T = d

dt(J¡!!)

d dt

¡

!V

¯¯

¯¯

absolu

= d dt

¡

!V

¯¯

¯¯

relatif

+¡!!£¡! V

X¡!

F = md dt

¡

!V +m¡!! £¡! V X¡!T = d

dt(J¡!!)+¡!! £(J¡!!)

Équilibre dans le repère dynamique

„ Modèle à 2 ddls

„ Équations du mouvement

„ Équations des réactions relatives aux déplacements bloqués

¡

!V =[uv0]^T ¡!! =[00r]^T

Fy = m(v_+ru) N = Jzzr_

J_yz =0 Jxy=0

Fx = ¡mrv Fz = 0

L = Jxxr_ M = Jxzr²

Équilibre dans le repère dynamique

„ Explication

„ Forces agissantes:

„ Forces développées par les pneus

„ Autres forces (ex forces aérodynamiques) négligées, car elles ne dépendent pas des perturbations (en première approximation)

J_yz =0 J_xy=0 Fx=¡mrv

Fx = ¡mV² R sin¯

= ¡mV

RV sin¯=¡mrv

Équilibre dans le repère dynamique

„ Équilibre selon F_yet M_z

„ Hypothèse des petits angles

„ Équilibre linéarisé

J_yz =0 Jxy=0

¯2[0^±;15^±] ¯=v=u u = Vcos¯'V v = Vsin¯'V ¯ cos±'1 sin±'±

Équations de compatibilité

„ Compatibilité des angles et des vitesses

„ Petits angles de dérive et de braquage

¯=v=u

tan(±¡®f) = br+v

u tan®r = cr¡v u

®f ' ±¡br V ¡¯

®r ' cr V ¡¯

Équation de comportement des pneus

„ Forces latérales et raideur d’envirage F_yf =C_®f®_f F_yr =C_®r®_r

Source: Gillespie (fig 6.2)

Modèle dynamique

„ Équilibre

„ Introduisons les relations constitutives

„ Utilisons les compatibilités

mV(¯_ +r) = F_yr+F_yf Jzzr_ = ¡Fyrc+Fyf b

mV(¯_+r) = C®r®r+C®f®f

Jzzr_ = ¡C®r®rc+C®f®fb

mV(¯_+r) = C®r(cr

V ¡¯)+C®f(±¡br V ¡¯) Jz z r_ = ¡C®r(cr

V ¡¯)c+C®f(±¡br V ¡¯)b

Modèle dynamique

„ Les forces latérales et les moments de lacets s’écrivent donc:

mV(¯_+r) = ¡(C®f+C®r)¯¡(bC®f¡cC®r)1

V r+C®f± Jz z r_ = ¡(bC®f¡cC®r)¯¡(b²C®f+c²C®r)1

V r+bC®f±

Modèle dynamique

„ Équations de comportement du modèle bicyclette mV(¯_+r)+(C_®f+C_®r)¯+(bC_®f¡cC_®r)1

V r = C_®f± Jzzr_+(bC®f¡cC®r)¯+(b²C®f+c²C®r)1

V r = bC®f ±

Dérivées de stabilité

„ De manière équivalente, cela revient à développer en série de Taylor les forces et moments autour de la configuration de référence

„ On note habituellement les dérivées de stabilité Fy = @Fy

@¯¯+@Fy

@r r+@Fy

@± ±::: N = @N

@¯¯+@N

@rr+@N

@±±:::

Y¯= @Fy

@¯ Yr=@Fy

@r Y± = @Fy

@± N¯= @N

@¯ Nr =@N

@r N± =@N

@±

Dérivées de stabilité

„ Valeur des dérivées de stabilité

„ Les équations différentielles s’écrivent alors

mV(¯_+r) = Y_¯¯+Y_rr+Y_±± Jzzr_ = N¯¯+Nrr+N±±

Y_¯ = ¡(C_®f+C_®r) (<0) Yr = ¡(bC®f¡cC®r)1

V Y_± = C_®f (>0)

N¯ = ¡(bC®f¡cC®r) Nr = ¡(b²C®f+c²C®r)1

V (<0) N± = bC®f (>0)

Forme canonique des équations

„ Il est également intéressant de remarquer que le modèle bicyclette conduit à un modèle linéaire invariant au cours du temps. Il est commun de mettre ce type de modèle sous forme canonique.

„ Les variables d’état du système et le vecteur de commande sont:

„ Les matrices A et B du systèmes s’obtiennent aisément z=

µ¯ r

¶

u=¡

±¢ _

z=Az + B u

2Y_¯ Yr ¡13 2Y± 3

Étude de la stabilité du système

„ Utilisation de la transformation de Laplace

„ Le système devient

„ La stabilité de la réponse libre résulte de l’examen des racines de l’équation caractéristique

¯(t)!¯(s) r(t)!r(s) ±(t)!±(s)

mV Jzz s²¡(Y¯Jzz+mV Nr)s+ (Y¯Nr¡YrN¯+N¯mV) = 0 (s mV ¡Y¯)¯(s) + (mV ¡Yr)r(s) = Y± ±(s)

¡N¯ ¯(s) + (s Jzz¡Nr)r(s) = N± ±(s)

Étude de la stabilité du système

„ Équation caractéristique

„ Cette équation est semblable à celle des vibrations d’un oscillateur à 1 degré de liberté

mVJzz s²¡(Y¯Jzz+mVNr)s+(Y¯Nr¡YrN¯+N¯mV)=0

s² ¡( Y¯

mV + Nr

Jz z

)s+( Y¯

mV Nr

Jz z ¡ Yr

mV N¯

Jz z

+N¯

Jzz

)=0

ms²+cs+k=0

s²+»s+−² =0 k m c

x f

Étude de la stabilité du système

„ Racines de l’équation caractéristique

„ Critère de stabilité: les parties réelles de toutes les racines doivent être négatives

„ Si racines complexes conjugués, la somme des racines doit être négative

„ Si racines réelles, la somme doit être négatif et le produit positif Soit:

s1;2=¡»=2§1=2p

»²¡4−²

s1+s2=¡b=a<0 s1:s2 =c=a>0

Étude de la stabilité du système

Im

Re t

t

t t t

k m c

x f

ms²+cs+k=0 s²+»s+−² =0 stable instable

Étude de la stabilité du système

„ Équation caractéristique (rappel)

„ A vérifier:

„ Première condition: toujours satisfaite

s1+s2=¡b=a<0 , mVNr+JzzY¯<0 s1:s2=c=a>0 , mVN¯+Y¯Nr¡YrN¯>0 mVJzz s²¡(Y¯Jzz+mVNr)s+(Y¯Nr¡YrN¯+N¯mV)=0

mVNr=¡m(b²C®f+c²C®r)<0 JzzY¯=¡Jzz(C®f+C®r)<0

Étude de la stabilité du système

„ Seconde condition:

„ Soit

„ D’où la condition

s₁:s₂ =c=a>0 , mVN_¯+Y_¯N_r¡Y_rN_¯>0

mVN¯=¡mV(bC®f¡cC®r) NrY¯ =(C®f+C®r)b²C®f+c²C®r

V N_¯Y_r =(bC_®f¡cC_®r)bC®f¡cC®r

V NrY¯¡N¯Yr=C®fC®rL²

V

¡mV(bC®f ¡cC®r)+C®fC®rL² V >0

Étude de la stabilité du système

„ La seconde condition est satisfaite si

„ Pour un véhicule sous-vireur:

le comportement est toujours stable

„ Pour un véhicule sur-vireur

le comportement est instableau-dessus de la vitesse critique

¡mV(bC®f¡cC®r)+C_®fC_®rL² V >0 (bC®f ¡cC®r)<0

(bC®f ¡cC®r)>0

V_c²_rit= C®fC®rL²

m(bC®f¡cC®r)=¡C®fC®rL² mN¯

Étude du type de mouvement

„ Examen du discriminant

„ si ρ>0: 2 racines réelles, amortissement plus que critique et mouvement apériodique

„ si ρ<0: 2 racines complexes conjuguées, amortissement sous critique

si ρ=0, 2 racines confondues, amortissement critique

½ = »²¡4−²

= ( Y_¯ mV +N_r

J_zz)²¡4( Y_¯ mV

N_r J_zz ¡ Y_r

mV N_¯ J_zz +N_¯

J_zz)

Étude du type de mouvement

„ Valeur du discriminant

„ On trouve finalement

½ = ( Y¯

mV +Nr

Jzz

)²¡4( Y¯

mV Nr

Jzz ¡ Yr

mV N¯

Jzz

+N¯

Jzz

)

= ( Y_¯ mV ¡N_r

Jzz

)²+4 Y_r mV

N_¯ Jzz ¡4N_¯

Jzz

= (C® f +C®r

mV ¡b²C®f+c²C®r

J_zzV )²+4 N_¯²

mVJ_zz¡4N¯

J_zz

½=

"µ

C_{® f} +C_{® r}

m ¡b² C_®f+c²C_®r J_zz

¶2

+4(bC_®f¡cC_®r)² mJ_zz

# 1

V²¡4N_¯ J_{z z}

Étude du type de mouvement

„ Discriminant (rappel)

„ Lorsque N_β<0 (machine sur-vireuse), ρ>0.

„ La réponse est apériodique

„ Stable tant que v < V_crit.

„ Lorsque N_β>0 (machine sous-vireuse), ρ<0.

„ Le terme positif décroît avec 1/V²

„ La réponse devient oscillante amortie au-delà de la vitesse V_osc: ² = J

N¯

"µ

C® f +C®r

m ¡b²C®f+c²C®r

Jzz

¶2

+4(bC®f¡cC®r)² mJzz

#

½=

"µ

C_{® f} +C_{® r}

m ¡b²C_®f+c²C_®r J_zz

¶₂

+4(bC_®f¡cC_®r)² mJ_zz

# 1 V²¡4N_¯

J_{z z}

Équations du virage en régime établi

„ Le mouvement circulaire est caractérisé par:

„ Il vient successivement

„ La valeur de l’angle de dérive

„ La valeur de la vitesse de lacet r = V=R

ay = V²=R ¯_=r_=0

¯=¡N±±+Nrr N¯

(¡mV N_¯+N_¯Yr¡NrY_¯)r=(N_±Y_¯¡N_¯Y_±)±

½ ¡Y¯¯ + (mV ¡Yr)r = Y±±

¡N¯ ¯¡ Nrr = N±±

Équations du virage en régime établi

„ On en déduit le gain de vitesse de lacet:

„ Sachant que:

„ Il vient r

±= N¯Y±¡N±Y¯

NrY¯¡N¯Yr+mV N¯

NrY¯¡N¯Yr=C®fC®rL²

V N¯Y±¡N±Y¯=C®f C®rL N¯Y± = C®f(cC®r¡bC®f)

¡N_±Y_¯ = bC_®f(C_®r+C_®f)

Lr mVr

Équations du virage en régime établi

„ Soit en tenant compte des données cinématiques du mouvement en virage

„ En introduisant la valeur

„ On retrouve l’expression classique

±= L

R+ mN¯

C®fC®rL V²

R

N¯=¡(bC®f¡cC®r)

±= L

R+(mc L

1

C_®f ¡mb L

1 C_®r)V²

R

Description de la trajectoire

„ La trajectoire peut être décrite par une loi paramétrique entre le temps et les coordonnées absolues

„ On définit:

„ θl’angle de course

entre la trajectoire et l’axe des X

„ ψl’angle de cap entre l’axe des X et l’axe des x du repère de la voiture

„ βl’angle de dérive

„ du véhicule, l’angle entre l’axe des x de la voiture et le vecteur vitesse tangent à la trajectoire

t7!(X¹(t);Y¹(t))

X

Y

Trajectoire du véhicule

y projeté x projeté

Vitesse instantannée (projection) Angle de cap ψ

Angle de course ν

Angle de dérive β

Angle de braquage δ

Description de la trajectoire

„ On évidemment les relations suivantes entre les angles de course θ, de cap ψet de dérive β:

„ Les vitesses linéaires s’obtiennent par changement de repère entre le repère inertiel et celui de la voiture:

#=Ã+¯ #_ =r+¯_

dX

dt = V cos# dY

dt = V sin#

dX

dt = ucosávsinà dY

dt = usinÃ+vcosÃ