L.S.Marsa Elriadh
Série 43 M : Zribi
4
èmeSc
Exercices1
2009/2010 Exercice 1 :
Pour chacune des trois questions. une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification.
1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilité p.
On sait que A B 4
p 5 et p
A 35. La probabilité de l’évènement B est égale à : a. 25 b. 2
3 c. 3
5 d. 1
2
2. On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,04.
On rappelle que pour tout réel t positif, la probabilité de l’événement X t, notée
p Xt , est donnée par
0
t x
p Xt
e dx. La valeur approchée de p(X > 5) à 10–2 près par excès est égale à :a. 0,91 b. 0,18 c. 0,19 d. 0,82
3. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. S’il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à 1
10; s’il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à 9
10. Je sors mon chien ; la probabilité qu’il ne pleuve pas est égale à : a. 9
10 b. 27
40 c. 3
4 d. 27
28
Exercice 2 :
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques.
La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre avec > 0.
Toutes les probabilités seront données à 10−3 près.
1. Sachant que p(X > 10) = 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de est 0,125.
On prendra 0,125 pour valeur de dans la suite de l’exercice.
2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à dix ans ?
4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?
L.S.Marsa Elriadh
Série 43 M : Zribi
4
èmeSc
Exercices2
2009/2010 5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?
Exercice 3 :
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique.
On modélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est
0
([0 ; [)
t x
p t
e dx. Une étude statistique, montrant qu’environ 50 % d’un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p([0 ; 200[)0, 5. 1. Montrer que ln 2200.
2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près.
3. On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend vers +∞ de
0
A x
xe dx
.a. Montrer que
0
A A 1
A x Ae e
xe dx
.b. En déduire dm ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près.
Exercice 4 :
La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre où est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout t0,
0
t x
P Xt
e dx.La fonction R définie sur l'intervalle [0 ; [ par R t P Xt est appelée fonction de fiabilité.
1. Restitution organisée de connaissances
a. Démontrer que pour tout t0 on a R t et.
b. Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est- à-dire que pour tout réel s0, la probabilité conditionnelle PX t X t s ne dépend pas du nombre t0.
2. Dans cette question, on prend 0,00026. a. Calculer P X 1000 et P X 1000.
L.S.Marsa Elriadh
Série 43 M : Zribi
4
èmeSc
Exercices3
2009/2010 b. Sachant que l'événement X1000 est réalisé, calculer la probabilité de l'événement X2000.
c. Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 3000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
