Lycée Louis-Le-Grand,Paris Pour le 25/03/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
DM n
o17 : Théorèmes globaux en analyse
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, via l’assistant Tigroesch sur Discord ou par mail à l’adresse suivante : alain.troesch.pro+dm@gmail.com. Merci de respecter la consigne suivante pour le nom du fichier : dm17-nom.pdf (par exempledm17-troesch.pdfsi c’est ma copie), sans accent, sans tréma, sans espace.
Suggestion de travail supplémentaire (à ne pas me rendre) : Le problème 11 de la selection présente une généralisation aux ordres supérieurs de la formule de Simpson étudiée dans le problème 2 de ce DM. Vous pouvez aller le voir si vous êtes intéressés. Par ailleurs, il est important de trouver le temps d’étudier les corrigés des DM précédents.
Aussi bien pour compléter les questions que vous n’avez pas su faire que pour vous inspirer de la rédaction (surtout tous ceux à qui j’ai signalé des problèmes de rédaction dans le dernier devoir, mais les autres aussi). La rédaction s’apprend aussi par l’exemple.
Problème 1– (Théorème de Sunyer y Balaguer)
L’objet de ce problème est de montrer le théorème suivant (Sunyer y Balaguer) : si f est une fonction de classeC8 surRtelle que pour toutxPR, il existenx tel quefpnxqpxq “0, alorsf est une fonction polynomiale.
Pour montrer ce résultat, on passe par un théorème de Baire affimant qu’une intersection dénombrable d’ouverts denses dansRest encore dense dansR, résultat que nous démontrons et utilisons dans une situation légèrement plus générale, en considérant des intersections avec un fermé donné deR.
Partie I – Théorème de Baire
Soit F un sous-ensemble fermé de R. On dit qu’un sous-ensembleE de Rest dense dans F si pour tout ouvertV de Rtel queFXV ‰∅, on a aussiEXFXV ‰∅.
1. Montrer que lorsqueF “R, la définition donnée ci-dessus correspond à la notion usuelle de densité dansR. 2. On se donnepUnqnPN˚ une suite d’ouverts denses dansF, etV un ouvert deRrencontrantF.
(a) Justifier l’existence de deux réels a1ăb1tels que
ra1, b1s XF ĂU1XV XF et sa1, b1rXF‰∅.
(b) Justifier l’existence de deux suitespanqnPN˚, croissant, etpbnqnPN˚, décroissante, telles que pour toutnPN˚, anăbnet
ran, bns XF Ă
˜ n č
i“1
Ui
¸
XV XF et san, bnrXF ‰∅.
(c) Justifier l’existence de réels aet btels queaďb et
ra, bs XF Ă
˜`8 č
i“1
Ui
¸
XV XF et ra, bs XF ‰∅.
(d) En déduire que
`8
č
i“1
Ui est dense dansF.
Partie II – Théorème de Sunyer y Balaguer
Soit f une fonction de classe C8 surRtelle que pour toutxPR, il existenxPNtel quefpnxqpxq “0.
1. On note, pournPN,Un“ txPR|fpnqpxq ‰0u.
Montrer que pour toutnPN,Un est un ouvert, et que
`8
č
i“0
Un“∅.
1
2. On note
Ω“ txPR| Dηą0,DP PRrXs, @yPBpx, ηq, fpyq “Ppyqu.
Ainsi,Ωest l’ensemble des pointsxtels quef coïncide avec un polynômeP sur un voisinage de x.
Montrer queΩest un sous-ensemble ouvert de R. On noteF son complémentaire dans R.
3. Soitf une fonction coïncidant avec un polynômeP sur un ouvertU et avec un polynôme Qsur un ouvertV. Montrer que siUXV ‰∅, alorsP “Q
4. SoitxPΩ, etηą0 etP PRrXstels quef coïncide avecP surBpx, ηq. On considère Ix“ tyPR|f “P surry, xs(ourx, ys).u.
(a) Montrer queIxest un intervalle fermé. On noteαetβ ses bornes inférieure et supérieure, dansR).
(b) Montrer quesα, βrĂΩ, et que si αet β ne sont pas infinis, ils sont des éléments deF.
(c) En déduire que pour tout intervalleItel queIĂΩ, il existe un polynômeP PRrXstel quef coïncide avec P surI.
5. On montre dans cette question queF n’a pas de points isolés.
On suppose qu’il existexPF et η ą0 tel queBpx, ηq XF “ txu. En remarquant que sx´η, xret sx, x`ηr sont inclus dansΩ, et en utilisant une formule de Taylor, montrer quexPΩet conclure
6. On suppose F non vide.
(a) En appliquant le théorème de Baire, montrer qu’il existexPF (qu’on pose), kPNet η ą0 tel que pour toutyPBpx, ηq XF,fpkqpyq “0.
(b) SoityPBpx, ηq XF. Montrer l’existence d’une suite strictement monotonepxnqnPNd’éléments deF conver- geant versy. On supposera par la suite sans perte de généralité quepxnqest strictement croissante.
(c) Montrer qu’il existe une suitepynqnPNstrictement croissante et convergeant versytelle que pour toutnPN, fpk`1qpynq “0.
(d) Montrer que pour tout ℓěk,fpℓqpyq “0.
(e) SoityPBpx, ηq XΩ, etIy “sα, βrl’intervalle maximal inclus dans Ωcontenanty. On noteP le polynôme coïncidant avecfsurIy. Montrer que soitαPBpx, ηqXF, soitβPBpx, ηqXF, et en déduire quedegpPq ăk.
(f) En déduire quexPΩet conclure queF “∅. 7. Terminer la preuve du théorème de Sunyer y Balaguer.
Problème 2– Étude de la convergence de la méthode de Simpson
Soit f une fonction de classe C4 sur un intervalle compact ra, bs, où a ă b. Soit n P N˚. On note pσkqkPv0,nw la subdivision régulière dera, bsenn pas, donnée explicitement par :
@iP v0, nw, σi“a`i¨b´a n . On note, pour toutiP v1, nw,mi“σi´1`σi
2 le milieu de l’intervalle rσi´1, σis.
On rappelle qu’on a vu dans le cours d’informatique qu’en approchantf sur chaque intervallerσi´1, σispar un polynôme de degré2 interpolant f aux pointsσi´1,mi etσi, on obtient une valeur approchée de l’intégrale def donnée par :
żb
a
fptqdt«
n
ÿ
i“1
b´a
6n pfpσi´1q `4fpmiq `fpσiqq.
Cette phase du calcul est admise pour la suite du problème.
On cherche dans ce problème à estimer la vitesse de convergence de cette méthode, en fonction den.
Partie I – Une première estimation du reste
On étudie icif sur un sous-intervallerα, βsdera, bs(avecαăβ), et on notemle milieu derα, βs.
1. Justifier l’existence du maximumM4 de|fp4q|surra, bs.
2. SoithP” 0,β´α2
ı. Rappeler l’inégalité de Talor-Lagrange pourfpm`hq, centrée enm, à l’ordre 3. Qu’obtient- t-on pourfpm´hq?
2
3. Montrer que pour touthP” 0,β´α2
ı, on a
|fpm`hq `fpm´hq ´2fpmq ´h2f2pmq| ď M4h4 12 . 4. En déduire que
ˇ ˇ ˇ ˇ
β´α
6 pfpαq `4fpmq `fpβqq ´ ˆ
pβ´αqfpmq `pβ´αq3 24 f2pmq
˙ˇ ˇ ˇ ˇ
ďM4¨pβ´αq5 9ˆ27 . 5. Montrer que
żβ
α
fptqdt“ ż β´α2
0
pfpm´uq `fpm`uqqdu.
6. En déduire que ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
żβ
α
fptqdt´ ˆ
pβ´αqfpmq `pβ´αq3 24 f2pmq
˙ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ďM4¨ pβ´αq5 15ˆ27 . 7. Montrer que
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
żβ
α
fptqdt´β´α
6 pfpαq `4fpmq `fpβqq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ďM4ˆpβ´αq5 720 . 8. En déduire enfin que :
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
żb
a
fptqdt´
n
ÿ
i“1
b´a
6n pfpσi´1q `4fpmiq `fpσiqq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ďM4¨ pb´aq5 720n4 . Ainsi, la convergence est enO` 1
n4
˘.
On montre dans la suite du problème qu’on peut améliorer la constante 720 dans cette majoration.
Partie II – Amélioration de la majoration de l’erreur
On reprend les notations de la partie précédente :rα, βs est un sous-intervalle dera, bs, etm est son milieu.
On rappelle (et on admettra) qu’il existe un unique polynômeP de degré au plus 2tel quefpαq “Ppαq,fpβq “Ppβq et fpmq “ Ppmq, et conformément à l’introduction, on admet que l’approximation de l’intégrale de f par l’intégrale de P fournit la somme de Simspon, autrement dit, que
żβ
α
Pptq dt“ β´α
6 pfpαq `4fpmq `fpβqq,
ce qui relève uniquement de l’explicitation du polynômeP (obtenu par interpolation de Lagrange) et de calculs élémen- taires d’intégrales de fonctions polynomiales de degré 2.
On essaye dans cette partie d’améliorer la majoration obtenue dans la partie 1, en montrant qu’on peut modifier légèrement ce polynômeP en lui ajoutant un terme de degré3 sans changer la valeur de l’approximation obtenue.
1. Montrer que żβ
α
px´αqpx´mqpx´βqdx“
ˆβ´α 2
˙4ż1
´1
tpt2´1qdt, et en déduire la valeur de cette intégrale.
2. SoitλPR, etPλ le polynôme défini par
Pλ“P`λpX´αqpX´mqpX´βq.
Montrer que żβ
α
pfpxq ´Ppxqqdx“ żβ
α
pfpxq ´Pλpxqqdx.
3. Justifier qu’on peut choisir λtel que Pλ1pmq “f1pmq. On suppose dorénavant queλest choisi ainsi.
4. SoitxP rα, βsfixé, distinct deα,β etm. On définit la fonctionθsurrα, βspar : θ:tÞÑ pfptq ´Pλptqq ´ pfpxq ´Pλpxqq pt´αqpt´mq2pt´βq
px´αqpx´mq2px´βq. Montrer qu’il existecPsα, βrtel queθp4qpcq “0.
Indication : utiliser plusieurs fois le théorème de Rolle, en cherchant autant de valeurs que possible annulantθ etθ1. 5. En déduire que pour tout xP rα, βs:|fpxq ´Pλpxq| ď |px´αqpx´mq2px´βq|
4! M4.
6. En déduire que : ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
żβ
α
pfpxq ´Ppxqq dx ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ďM4¨pβ´αq5 2880 , puis que :
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
żb
a
fpxqdx´b´a 6n
n
ÿ
i“1
pfpσi´1q `4fpmiq `fpσiqq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ďM4¨pb´aq5 2880n4.
3
