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GROUPE DE REPETITION « LES PARTISANTS DU SUCCES » 2017-2018
EPREUVE CLASSE DUREE
MATHEMATIQUES PREMIERE D 3H00
L’EPREUVE COMPORTE 3 EXERCICES ET UN PROBLEME EXERCICE 1.(3.5pts)
Soient A, B, C et D les points de coordonnées respectives (3 ; 3), (−1 ; −1), (−2 ; −3) et (3 ; −3).
1. Déterminer les coordonnées du point E tel que BCDE soit un parallélogramme. 0.25pt 2. Déterminer les coordonnées du barycentre G des points (A, 2), (B, 1), (C , 1), (D, 1) et (E,1)
0.25pt
3. Soit L le centre du parallélogramme BCDE.
a) Démontrer que A, G et L sont alignés. 0.5pt b) Démontrer que ⃗ + ⃗ + ⃗ = 0⃗. 0.5pt
c) Que représente le point G pour le triangle ABD ? et pour le triangle AEC ? 0.5pt 4. a. Déterminer les coordonnées de I milieu de [AB] et J milieu de [AE]. 0.5pt
b. Démontrer l’alignement de I, G et D et celui de C, G et J. 1pt EXERCICE 2.(4pts)
I. Une classe de 30 élèves, donc 12 filles et 18 garçons, doit élire un comité composé d’un président, un vice-président et un secrétaire.
1. Combien de comités peut-on constituer ? 0.5pt
2. Combien de comités peut-on constituer sachant que le poste de secrétaire doit être occupé par une fille ? 0.5pt
3. Quel est le nombre de comités comprenant l’élève X ? 0.5pt
4. Quel est le nombre de comités pour lesquels le président est un garçon et le secrétaire une fille ? 0.5pt
5. Quel est le nombre de comités pour lesquels le président et le vice-président sont de sexes différents ? 0.5ptpt
II. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, ⃗, ⃗). On pose : (C)={M ∈ / x²+y²-10x+6y+18=0}.
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (C). 0.5pt 2. En déduire une représentation paramétrique de (C). 0.5pt
3. Soit une droite du plan (D) :4x-3y-9=0. Déterminer l’ensemble (D)∩(C). 0.5pt EXERCICE 3.(2.25pts)
1. Résoudre dans ℝ l’équation 2x²+√3x-3=0. 0.5pt
2. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x de ℝ on ait √3 + = √2. 0.5pt 3. Déduire dans [0, 2 ] les solutions de l’équation √3 + = √2. 1pt
4. Représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique. 0.25pt
PROBLEME.(10.25pts)
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A. Le plan est muni du repère orthonormé (O,I,J). On considère la fonction rationnelle f définie par ( ) = ²
² .
1. Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative (C) de f soit tangente au point d’abscisse 0 à la droite d’équation 4x-y+3=0. 1pt
2. Pour les valeurs de a et b, trouvées à la première question, démontrer que, pour tout nombre réel x, ( ) = 3 +
² . 0.5pt 3. Etudier le sens de variation de f. 0.5pt
4. Calculer les limites aux bornes de l’ensemble de définition. 0.5pt
5. En déduire que (C) possède une asymptote (∆) dont on donnera l’équation et sa position relative par rapport à la courbe (C). 0.75pt
6. Dresser le tableau de variation de f. 0.5pt
7. Démontrer que le point Ω(0;3) est un centre de symétrie de (C). 0.5pt 8. Tracer (C), (∆) et sa tangente au point Ω. 0.75pt
9. En déduire la courbe (C’) de la fonction g définie par g(x)=-f(x). 0.5pt
10. Déterminer, suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre et le signe des racines de l’équation f(x)=m. 1pt
B. Soit ( )nℕ, la suite définie par : = 2
= + 4
1. Le plan est muni du repère orthonormé (O,⃗, ⃗).
a) Tracer les droites (D) et (∆) d’équations respectives y= x+4 et y=x, puis construire les 4 premiers termes de la suite ( ) sur l’axe des abscisses. 1pt
b) Utiliser cette construction pour conjecturer le sens de variation et la limite de ( ). 1pt 2. Soit ( ) la suite définie pour tout entier naturel n par : = − 8.
a) Démontrer que est une suite géométrique dont on caractérisera. 0.75pt b) Exprimer , puis en fonction de n. 0.5pt
c) En déduire la limite de la suite ( ) puis de la suite ( ). 0.5pt
Proposé par : Ndajieu Jimmy
