Devoir Surveillé n ◦ B1 Correction
Troisième
Puissances et trigonométrie
Durée 1 heure - Coeff. 5 Noté sur 20 points
BARÈME (sur 20 points) Note Exercice 1 : 1.5 points Exercice 2 : 1.5 points Exercice 3 : 3 points Exercice 4 : 3 points Exercice 5 : 7 points Exercice 6 : 4 points Total
Exercice 1. Application directe du cours 1.5 points
SoitEF Gun triangle rectangle en G tel queEF = 5cm etEF G\= 40˚. Calculer une valeur approchée au dixième deF G.
?
5 cm
b
F
b
E
b
G
40 ˚
Le triangle EFG est rectangle en G donc :
cos\EF G= F G
EF ⇐⇒cos 40˚= F G 5 Donc
F G= 5 cos 40˚≈3,8cm
Corrigé
Exercice 2. Application directe du cours 1.5 points
SoitABC un triangle rectangle enCtel queAB = 7cm etBC = 6cm. Calculer
une valeur approchée au dixième de la mesure de l’angle\CAB.
7 cm
b
A
Le triangle EFG est rectangle en G donc :
sin\BAC= BC
AB ⇐⇒sin\BAC= 6 7 Donc
\BAC= arcsin 6
7
≈59˚
Corrigé
Exercice 3. Puissances : Vrai ou Faux 3 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse. On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.
La notation scientifique du nombre0,045×105est4,5×107. Affirmation 1
On a :
0,045×105= 4,5×10−2×105
= 4,5×103
Donc l’affirmation 1 est fausse, la notation scientifique du nombre0,045×105est4,5×103.
Corrigé
8×103×28×10−2
14×10−3 est égal à1,6×105. Affirmation 2
On a :
8×103×28×10−2
14×10−3 =8×28
14 ×103×10−2 10−3
= 16× 101 10−3
= 1,6×101×104
= 1,6×105 Donc l’affirmation 2 est vraie.
Corrigé
Exercice 4. Averell et Lucky Luke 3 points
Pour toucher le chapeau d’Averell, Lucky Luke va devoir incliner son pistolet avec précision.
On suppose que les deux cow-boys se tiennent perpendiculairement au sol.
Taille d’Avrell :7pieds soit2,13m Distance du sol au pistolet : PS =1m Distance du pistolet à Averell : PA= 6m Le triangle PAC est rectangle en A.
Calculer l’angle d’inclinaisonAPC formé par la trajectoire de la balle et l’horizontale.d Arrondir le résultat au degré près.
A trajectoire de
la balle P
C(hapeau)
S
Dans le triangle rectangle APC, on a AC= 2,13−1 = 1,13et AP= 6, donc tanAPCd =AC
AP = 1,13 6 Donc, la calculatrice donne :
APCd = arctan 1,13
6
≈11˚ (au degré près)
Corrigé
Exercice 5. Une histoire de tribune 7 points
La figure ci-dessous représente le plan de coupe d’une tribune d’un gymnase. Pour voir le déroulement du jeu, un spec- tateur du dernier rang assis en C doit regarder au-dessus du spectateur placé devant lui et assis en D. Une partie du terrain devant la tribune lui est alors masquée. On considèrera que la hauteur moyenne d’un spectateur assis est de80cm (CT=DS= 80cm).
30˚ 11 m
A B
C D
R
S T
80 cm 80 cm
Sur ce plan de coupe de la tribune :
• les points R, A et B sont alignés horizontalement et les points B, C et T sont alignés verticalement ;
• les points R, S et T sont alignés parallèlement à l’inclinaison (AC) de la tribune ;
• on considérera que la zone représentée par le segment [RA] n’est pas visible par le spectateur du dernier rang ;
• la largeur au sol AB de la tribune est de 11 m et l’angleBAC d’inclinaison de la tribune mesure 30˚.d
1. Montrer que la hauteur BC de la tribune mesure6,35m, arrondie au centième de mètre près.
Dans le triangle ABC rectangle en B on a :
tanBACd = BC
AB ⇐⇒ tan30˚c =BC 11 soit arrondi au centième de mètre près :
BC= 11×tan30˚c ≈6,35m
Corrigé
2. Quelle est la mesure de l’angleBRT ?d
Les droites (RT) et (AC) étant parallèles, les angles correspondantsBAC etd BRT ont la même mesured 30˚.
Corrigé
3. Calculer la longueur RA en centimètres. Arrondir le résultat au centimètre près.
Puisque le point A appartient au segment [BR] on a :
AR=BR−AB=BR−11 Il nous faut donc calculerBR.
• Dans le triangle BRT rectangle en B, on a : tanBRTd = BT
BR ⇐⇒ tan 30˚= BT BR
• Or puisque le point C appartient au segment [BT] on a :
BT=BC+CT≈6,35 + 0,80 =⇒BT ≈7,15m
• Donc
BR= BT
tan 33˚ ≈ 7,15
tan 33˚ ≈12,38m
• Finalement on a :
AR=BR−AB≈1,38 m
Corrigé
Exercice 6. Le calcul littéral ... c’est ma passion ! 4 points
On considère l’expressionA(x)définie par :A(x) = (5x+ 3)2−(x+ 1)2. 1. CalculerA(x)pourx=−1ce que l’on noteraA(−1).
A(−1) = (5×(−1) + 3)2−(−1 + 1)2
= (−2)2−(0)2 A(−1) = 4
Corrigé
2. DévelopperA(x).
A(x) = (5x+ 3)2−(x+ 1)2
A(x) = 25x2+ 30x+ 9−(x2+ 2x+ 1) A(x) = 24x2+ 28x+ 8
Corrigé
3. FactoriserA(x).
A(x) = (5x+ 3)2−(x+ 1)2 A(x) =
5x+ 3−x−1
5x+ 3 +x+ 1
Corrigé
On pouvait encore factoriser puisque(4x+ 2) = 2(2x+ 1) et(6x+ 4) = 2(3x+ 2)ce qui nous donnait :
A(x) = 4(2x+ 1)(3x+ 2)
Remarque
4. Résoudre l’équation4(2x+ 1)(3x+ 2) = 0.
4(2x+ 1)(3x+ 2) = 0
C’est une équation produit nul donc par théorème, un produit de facteurs est nul, si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul soit :
2x+ 1 = 0 ⇐⇒ x=−1
2 3x+ 2 = 0 ⇐⇒ x=−2
3
Les solutions sont donc :x=−1
2 et x=−2 3.
