CM-Thème 2

(1)

C

HAPITRE

2 - É

CHANTILLONNAGE Julie Scholler - Bureau B246

octobre 2018

I. Échantillon et statistique

Échantillonnage

Principe

• étude d’observations répétées issues d’un certain phénomène de nature aléatoire

• consiste à prédire, à partir d’une population connue les caractéristiques des échantillons qui en seront prélevés Exemple de situations classiques

• les sondages

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Sondage

• événement aléatoire : choix des individus interrogés

• issue ω

• X_i : valeur du caractère étudié du i^e individu

• x_i = X_i(ω) : valeur observée sur le i^e individu après choix des interrogés

• (X₁,X₂, . . . ,X_n) : vecteur aléatoire des valeurs du caractère sur les individus interrogés

• (x₁, . . . ,x_n) = (X₁(ω), . . . ,X_n(ω)) : résultats du sondage

Échantillon et statistique d’échantillon

Échantillon aléatoire de taille n

• une suite de n variables aléatoires indépendantes et de même loi (i.i.d.)

Cette loi commune est appelée loi mère de l’échantillon.

Soit un n-échantillon X₁,X₂, . . . ,X_n. Statistique

• toute variable aléatoire T_n = h(X₁,X₂, . . . ,X_n), fonction de X₁,X₂, . . . ,X_n

(3)

Exemples de statistique

Soit un n-échantillon X₁,X₂, . . . ,X_n. Moyenne empirique

• la statistique, notée X_n (ou X), définie par X_n = 1

n

X

i=1

X_i

Variance de l’échantillon

• la statistique, notée S_n² (ou S²), définie par S_n² = 1

n

X

i=1

X_i − X²

On note µ et σ² l’espérance et la variance de la loi mère.

Propriétés de la moyenne empirique

E

X_n = µ et VX_n = σ² n

Loi des grands nombres

Soit (X_n)_n une suite de variables aléatoires indépendantes entre elles et de même loi. Alors on a

∀ε > 0, lim

n→+∞P

X₁ + X₂ +· · ·+ X_n

n − E(X) > ε

= 0 On dit que X converge presque sûrement vers E(X).

(4)

On note µ et σ² l’espérance et la variance de la loi mère.

Propriété de la variance empirique

E

S_n² = n− 1 n σ²

Variance empirique corrigée

• la statistique, notée S_cor² _,n (ou S_cor² ), définie par S_cor² = 1

n− 1

n

X

i=1

X_i − X²

Statistiques d’ordre

Maximum empirique

• la statistique, notée X_(n), définie par

X_(n) := max{X₁,X₂, . . . ,X_n} Minimum empirique

• la statistique, notée X₍₁₎, définie par

X₍₁₎ := min{X₁,X₂, . . . ,X_n}

On note F la fonction de répartition de la loi mère commune.

Fonctions de répartition Pour tout réel x, on a :

F_X_(n)(x) = (F(x))ⁿ et F_X₍₁₎(x) = 1− (1− F(x))ⁿ

(5)

Statistiques d’ordre k

• la variable aléatoire, notée X_(k), définie par X_(k) := h_k(X1, . . . ,Xn)

où, pour tout k ∈ J1;nK, h_k est la fonction de Rⁿ dans R qui à (x₁, . . . ,x_n) renvoie la k^e valeur parmi x₁, . . . ,x_n quand elles sont classées par ordre croissant.

On note F la fonction de répartition de la loi mère commune.

Fonctions de répartition

Pour tout entier k ∈ J1;nK et pour tout réel x, on a : F_X_(k)(x) =

n

X

j=k

n k

!

(F(x))^j (1− F(x))^n−j

II. Loi mère gaussienne

Cas particulier d’une loi mère normale

Loi mère

X ∼ N (µ;σ) Moyenne empirique

X = 1 n

n

X

i=1

X_i ∼ N

µ; σ

√n

Variance empirique

...

(6)

Loi du χ

²

(Khi-deux)

• ν un entier strictement positif

• Z₁,Z₂, . . . ,Z_ν de variables aléatoires i.i.d. de loi N (0 ; 1) Alors la variable

ν

X

i=1

Z_i² suit une loi appelée loi du Khi-deux à ν degrés de liberté. On écrit

ν

X

i=1

Z_i² ∼ χ²(ν).

Densité de la loi du Khi-deux à ν degré de liberté :

f_ν(x) =







1

2^ν²Γ ^ν₂x^ν²⁻¹e⁻^x² si x > 0

0 sinon

Densités de lois du χ

²

0 2 4 6 8 10

0.00.20.40.60.81.0

χ²(1) χ²(2) χ²(3) χ²(4) χ²(5)

(7)

Densités de lois du χ

²

0 10 20 30 40 50 60

0.000.050.100.15

χ²(5) χ²(10) χ²(20) χ²(30) χ²(50)

Espérance et variance du loi du χ² Soit X ∼ χ²(ν) avec ν ∈ N^∗

Alors on a

E(X) = ν et V (X) = 2ν Somme de χ²

• ν₁ et ν₂ dans N^∗

• T₁ ∼ χ²(ν₁) et T₂ ∼ χ²(ν₂)

• T₁ et T₂ indépendantes Alors on a

T₁ +T₂ ∼ χ²(ν₁ + ν₂)

(8)

Loi de la variance empirique corrigée

Soit un n-échantillon X₁,X₂, . . . ,X_n de loi mère N (µ;σ). Alors (n − 1)S_cor²

σ² ∼ χ²(n − 1) Corollaire

E

S_cor² = σ² et VS_cor² = 2σ⁴ n − 1

Lien entre moyenne empirique et variance empirique

Théorème

Si la loi mère est gaussienne, X et S_cor² sont des variables aléatoires indépendantes.

(9)

Loi de Student

• Z ∼ N (0 ; 1)

• Q ∼ χ²(ν) avec ν ∈ N^∗

• Z et Q indépendantes entre elles Alors la variable aléatoire T définie par

T = Z qQ

ν

suit une loi de Student à ν degré de liberté, notée t(ν).

Densités : loi normale et lois de Student

-4 -2 0 2 4

0.00.10.20.30.4

t(1) t(2) t(3) t(4)

(10)

Propriétés des loi de Student

Espérance d’une loi de Student

La loi de Student à 1 degré de liberté n’admet pas d’espérance.

Si ν > 2 et T ∼ t(ν), on a E(T) = 0.

Variance d’une loi de Student

Les lois de Student à 1 et 2 degré de liberté n’admettent pas de variance.

Si ν > 3 et T ∼ t(ν), on a V(T) = ν

ν − 2(> 1).

Loi de Student

• Z ∼ N (0 ; 1), Q ∼ χ²(ν) avec ν ∈ N^∗, Z et Q indépendantes entre elles ⇒ T = Z

qQ ν

∼ t(ν)

Soit un n-échantillon X₁,X₂, . . . ,X_n de loi mère N (µ;σ).

• X ∼ N

µ; σ

√n

et (n− 1)S_cor²

σ² ∼ χ²(n − 1) Conséquence

X −µ q

S_cor² /n

∼ t(n −1)

(11)

III. Loi mère quelconque

3. Cas d’une loi mère quelconque

Théorème central limite (X_n)_n∈

N : suite de variables aléatoires i.i.d. d’espérance µ et de variance σ²

Alors on a

X_n − µ σ/√

n

−−−−→Loi

n→+∞ N (0 ; 1) Application

X₁,X₂, . . . ,X_n : n-échantillon aléatoire de loi mère quelconque, d’espérance µ et de variance σ²

Alors, quand n est assez grand, on a X_n ∼

approx N

µ; σ

√n

Application : loi mère de Bernoulli

X₁,X₂, . . . ,X_n : n-échantillon aléatoire de loi mère Ber(p) Si n > 30, np > 5, n(1−p) > 5, alors on a

X_n ∼

approx N



p ; s

p(1 −p) n





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« [Aamjiwnaang est] une réserve de 850 âmes vivotant à l’ombre de Sarnia, dans la région des grands lacs. [...] Depuis le début des années 90, il naît dans la communauté de moins en moins de garçons... Aujourd’hui, le phénomène a pris une telle ampleur que l’on compte dans le village trois équipes de base-ball féminines pour une seule masculine !

Alertés par les habitants inquiets, les autorités canadiennes ont envoyé sur place Constanze A. Mackenzie, une scientifique de l’université d’Ottawa. Elle a épluché les registres régionaux du département des affaires indiennes où sont enregistrés les naissances et les décès des habitants de la réserve. Et il a fallu se rendre à l’évidence. Depuis 1993, la proportion d’enfants mâles d’Aamjiwnaang n’a cessé de dégringoler. »

Science et Vie junior, n^◦198, mars 2006

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Les données

• Sexe ratio au canada : 51.2%

• entre 1989 et 1998 : 400 naissances à Aamjiwnaang dont 199 garçons

• entre 1999 et 2003 : 132 naissances dont 46 garçons

Environmental Health Perspectives, Declining sex ratio in a first nation community Constanze A. Mackenzie, Ada Lockridge, Margaret Keith

Octobre 2005

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Euro coin accused of unfair flipping

New Scientist, 4 january 2002 by Debora MacKenzie

The introduction of the Euro, the largest currency switch in history, has proceeded with few problems – until now. Polish statisticians say the one Euro coin, at least in Belgium, does not have an equal chance of landing "heads" or "tails". They allege that, when spun on a smooth surface, the coin comes up heads more often.

The observation is not to be taken lightly on a sports-mad continent where important decisions can turn on the flip of a coin. But the accusation of bias has been countered by statistical analysis from, of all places, Euro-sceptic Britain. The UK is one of only three EU countries that have not adopted the common currency.

Tomasz Gliszczynski and Waclaw Zawadowski, statistics teachers at the Akademia Podlaska in Siedlce, received Belgian Euro coins from Poles returning from jobs in Belgium and immediately set their students spinning them. Gliszczynski says spinning is a more sensitive way of revealing if a coin is weighted than the more usual method of tossing in the air.

The students had already spun the Polish two-zloty piece more than 10,000 times to show it was biased. But for the Belgian Euro, they have so far managed only 250 spins.

Of these, 140, or 56.0 per cent, came up heads. Glyszczynski attributes such assymetry to a heavier embossed image on one side of the coin. All Euros have a national image on the "heads" side and a common design on the "tails". Belgium portrays its portly king, Albert, on the heads side.

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Not significant

But Howard Grubb, an applied statistician at the University of Rea- ding, notes that, "with a sample of only 250, anything between 43.8 per cent and 56.2 per cent on one side or the other cannot be said to be biased".

This is because random variation can produce such scatter even if the coin is truly unbiased. With a larger number of spins, such randomness would even out and results would approach 50 :50.

The range of 6.2 per cent on either side of 50 per cent is expected to cover the results, even with a fair coin, in 95 of every 100 experiments. Nonetheless, Grubb cautions, the Polish result is at the outside of this range, and would be expected in only about 7 of every 100 experiments with a fair coin, leaving a glimmer of hope for their hypothesis. Clearly, more research is needed.

Gliszczynski plans to continue his experiments – aimed mainly at teaching his students statistics – with the German Euro, which has an eagle on its heads side, and present them at a conference in February.

New Scientist carried out its own experiments with the Belgian Euro in its Brussels office. Heads came up five per cent less often than tails. This looks like the opposite of the Polish result but in fact – in terms of statistical significance – it is the same one.

www.newscientist.com/article/dn1748-euro-coin-accused-of-unfair-flipping/