Recherches algébriques sur les intégrales abéliennes

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

L

R

Recherches algébriques sur les intégrales abéliennes

Annales scientifiques de l’É.N.S. 2^e série, tome 12 (1883), p. 105-190

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RECHERCHES ALGÉBRIQUES

SUR

LES I N T É G R A L E S ÂBÉLIENNES.

PAR M. L. RAFFY,

ANCIEN ÉLÈVE DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉBIEl'RE.

INTRODUCTION.

Les équations algébriques jouent dans l'Analyse un rôle considé- rable. On peut dire que toute la théorie des transcendantes elliptiques et abéliennes repose sur l'étude des fonctions algébriques. Il faut résoudre des équations algébriques pour intégrer les fractions ration- nelles, pour ramener une intégrale elliptique ou abélienne aux inté- grales canoniques, pour obtenir les intégrales de première espèce, pour reconnaître si la fonction inverse d'une intégrale abélienne est uniforme ou si elle a plus d'une valeur en chaque point.

On sait, depuis Abel, qu'il est en général impossible de résoudre al- gébriquement les équations d'un degré supérieur au quatrième. Cette impossibilité n'empêche pas l'Analyse d'avancer, mais elle rend singu- lièrement difficiles certaines de ses applications. De là l'intérêt tout particulier des problèmes qui semblent dépendre de la résolution des équations, et qu'on peut traiter sans effectuer cette résolution. Notre objet est de traiter quelques problèmes de cette catégorie qu'on ren- contre dans la théorie des intégrales abéliennes, soit qu'on étudie certains cas de réduction de ces intégrales, soit qu'on ait à déterminer le genre d'une courbe algébrique donnée.

Âiifi. de l ' E c . Normale. 2e Série. Tome X I . — MARS i883. '4

I û 6 L. RAFFY.

Dans un premier Chapitre, j'établis des principes d o n t je uns usage dans tout le cours de ce travail. J ' e n d é d u i s , comme conséquence i m m é d i a t e , une méthode pour r e c o n n a î t r e , sans résoudre a u c u n e équation, si u n e intégrale abélienne donnée est ou non de première espèce.

Au second Chapitre, je considère les f o n c t i o n s liées à leur dérivée par une équation algébrique, et qui n ' o n t en cliaque p o i n t q u ' u n n o m b r e limité de valeurs. Le théorème f o n d a m e n t a l c o n c e r n a n t ces f o n c t i o n s a été d o n n é par MM. Briot et B o u q u e t dans leurs impor- tantes Recherches sur la théorie des fonctions ; il s'énonce ainsi :

Si F intégrale d'une équation différentielle algébrique F ( u, -rj ) = o ri a en chaque point qu'un nombre limité de valeurs, cette intégrale est racine d'une équation algébrique ayant pour coefficients des fonctions entières, sou de la variable z, soit de l'exponentielle c^, soit de la fonction dou- blement périodique sn(p5).

Je me suis proposé de r e c o n n a î t r e à laquelle de ces trois classes appartient l'intégrale, en supposant qu'elle n'ait en chaque point qu'un nombre limité de valeurs, ou, comme je le dis plus brièvement, qu'elle soit bien déterminée (1) . Je déduis du critérium trouvé des caractères auxquels on reconnaît que l'intégrale ne peut pas être bien déter- minée. Je passe ensuite au cas où l'intégrale, supposée bien déter- minée, serait algébrique, et je donne u n e d é t e r m i n a t i o n nouvelle du degré de l'équation intégrale par r a p p o r t à la f o n c t i o n qu'elle d é f i n i t . Enfin je traite le cas où l'équation à intégrer représente une courbe unicursale. Les méthodes suivies dans ces applications n'exigent la résolution d'aucune équation irréductible.

Le genre est un des nombres qui caractérisent le m i e u x le modo d'existence des fonctions algébriques. On sait quelle place la considé- ration du genre tient dans l'Analyse et dans la Géométrie : il paraît, nécessaire d'avoir u n e méthode qui permette de trouver le genre d ' u n e

(1) Je reprends une dénomination employée jadis par Liouville. Dans le sens que lui attri- buait Liouville, elle a été remplacée par le mot uniforme; il n'y a donc aucun inconvénient à en faire usage pour désigner des fonctions qui, sans être uniformes, n'ont en chaque point qu'un nombre limité de valeurs.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLÏENNES. 107

courbe algébrique, quelles que soient les singularités qu'elle présente.

La méthode que j'expose au début du C h a p i t r e III est générale et ne comporte d'autres opérations que des divisions et des éliminations.

Je m'occupe ensuite du problème i m p o r t a n t que MM. Briot et Bouquet ont traité à la fin de leur troisième Mémoire, et qui consiste à reconnaître si une é q u a t i o n différentielle algébrique V[u, f—} == o admet u n e intégrale uniforme. Les difficultés que présente ce problème sont de même nature que celles qu'on rencontre dans la détermination du genre des courbes algébriques. J'indique d'abord les moyens d'ap- pliquer les conditions énoncées par MM. Briot et Bouquet, quelle que soit l'équation différentielle proposée; puis je termine par une solu- tion nouvelle du problème, fondée sur une proposition remarquable, q u i est d u e à M. Hermite.

CHAPITRE PREMIER.

I. — Théorèmes préliminaires.

1. Dans ce premier Chapitre, nous allons établir des propositions dont nous ferons usage dans toute la suite de nos recherches. Comme première application, nous en déduirons une méthode pour recon- naître si une intégrale abélienne donnée est de première espèce.

Nous adopterons les notations employées par MM. Briot et Bouquet dans leur troisième Mémoire sur la théorie des fonctions (<) et dans le Livre Y de leur Théorie des fonctions elliptiques : z et u seront deux variables imaginaires liées par u n e équation différentielle F(^, -r:j==o, algébrique par rapport à u et -^? et irréductible. Cette équation sera

(1) Reclierches sur la théorie des fonctions y trois Mémoires publiés dans le XXXVIe Ca- hier du Tournai de P Ecole Polytechnique.

10 8 î- KAFFY.

toujours supposée mise sous forme rationnelle el entière. Nous dési- gnerons par U la dérivée ^~ Quand la variable u deviendra i n f i n i e , nous poserons v == ^î- et nous désignerons par V la dérivée -?'

Enfin, nous introduirons deux séries de paramètres : les paramètres c seront les valeurs finies ou infinies que donne l'équation F(^, U) = o pour le rapport ^ quand l'un des termes de ce rapport ou tous les deux deviennent infinis; en langage géométrique, ce sont les coefficients angulaires des directions asymptotiques de la courbe F == o. La lettre c' désignera la dérivée ^c— et les paramètres C'Q seront les valeurs que cette dérivée prend quand U est nul.

Pour abréger nos premiers énoncés, nous dirons que le point u == b (b étant fini) est un point singulier logarithmique simple de la fonc- tion z, si pour u === b la fonction z est infinie, et si sa dérivée — est de l'ordre de ——; le point v == -1" === o sera un point singulier logarith- . mique simple, si pour v = o la fonction z est infinie et si sa dérivée — est de l'ordre de ^ (^{) . Dans ces énoncés, nous supposerons implicite- ment que, q u a n d l'intégrale z devient infinie, elle le devient a u t r e m e n t que par l ' a d d i t i o n de multiples infiniment grands de ses périodes.

2. THÉORÈME I. — Étant donnée une équation algébrique irréductible

/T, tt T

F(^, U) == o, si lî intégrale z == f — reste finie sur toute la sphérCy les paramètres c et c\ sont tous nuls*

THÉORÈME II. — Si l'intégrale z devient infinie^ mais n'admet aucun point singulier logarithmique simple, un au moins des paramètres c et c^

est infini, et aucun à9 eux n est fini et différent de zéro,

THÉORÈME III. — Si l'intégrale z devient infinie s mais rHadmet d'autres

(1) Pour les points singuliers logarithmiques en général, voir BRIOT et BOUQUET, Théorie de s fondions elliptiques'y p. 176 à 178.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIEN:NES. 1 OC)

infinis que des points singuliers logarithmiques simples, les paramètres c et c^ sont tous finis, et deux au moins d'entre eux sont' différents de zéro.

THÉORÈME IV. — Les réciproques des trois théorèmes précédents son!

vraies.

/-* // /

3. Démonstration du théorème /. — L'intégrale z = — ne peut

devenir infinie que dans deux cas : i° u restant fini et U devenant n u l : 2° u devenant infini.

Ie r CAS : u est fini, U est nul. ~- On a alors pour le développement d'un des systèmes circulaires formés par les valeurs infinies de -

cU _ i

cîa ~"~ [J

-^//

: h ( u — b ) ⁷⁾-

Mais, l'intégrale ^ restant finie, il faut que q soit inférieur à p . On conclut de là

••-(^L-"" ¹ '^" ⁴ ""'-^'^- • ^] —

D'ailleurs, q u a n d U est n u l , on ne peut pas supposera infini : car alors l'élément différentiel et la l i m i t e supérieure de l'intégrale .s devenant infinis, cette intégrale serait infinie.^ Ainsi tous les Cy sont nuls.

2e CAS : u est infini. — Nous poserons u = ï-^ et nous prendrons c comme nouvelle variable. Faisons aussi V = — U ^2 : l'intégrale pro-

/

posée prend la forme z •==. —'• Si V n'est pas nul avec v, l'intégrale z reste finie, et le rapport — = —- -^ tend évidemment vers zéro. Si V est nul avec v, on est ramené au cas précédent. Il faut que le rapport

•y = -— yr tende vers zéro quand u devient infini. Ainsi le para- mètre c == .T est nul quand u est i n f i n i . D'ailleurs, si U devient infini, u restant f i n i , c est encore nul. Donc les paramètres c sont tous nuls.

î [Q L. RAFFY.

4. Démonstration du théorème I I . — On a à e x a m i n e r les d e u x mêmes cas que plus liant.

Ie r CAS : u est/lui, U est nul. —• On a, comme précédemment,

^=p=^-&)-^....

Si y est i n f é r i e u r à^, l'intégrale z reste finie; le rapport (—.— tend vers zéro, c'est-à-dire que c\ = <— est n u l .

Pour que l'intégrale devienne infinie et que l'ordre de — soit supé- rieur h l ' u n i t é , il faut et il suffît que q soit supérieur à p. Par suite, le

, // —— Ï) A T • V A ^ 1- r dit ' n *

rapport —.— croît sans limite, c est-a-dire que c^ ==-..--- est infini.

D'ailleurs, si, U étant nul, u est infini, c^ est i n f i n i ,

A u c u n des paramètres c^ ne p e u t être fini et différent de zéro : car, p o u r qu'il en fût ainsi, il faudrait que q fût égal à/?, cas exclu par l'énoncé, parce qu'alors (— sérail de l'ordre de ——•

2^ CAS : u est. infini. — Posons u== ^', il vient z == ( —'•

Si Vn'est pas n u l avec v, l'intégrale-s reste finie; le rapport - == — -/- tend vers zéro : c est nul.

Si V est n u l avec v, on a

dz î , ~j

— = —-==: Ar ^-l-. ...

ac V

Si q est i n f é r i e u r \\p, l'intégrale z reste finie, et le rapport c== — - est n u l . Le cas de y== p est exclu par l'énoncé. Si q est supérieur à/?, l'in-

<{

t é g r a l e ^ d e v i e n t i n f i n i e , elle rapporte = — —, étant de l'ordre d e ^ " ^ , croît sans l i m i t e avec u : c est infini. D'ailleurs, siU est infini, u restant fini, c est nul.

A u c u n des paramètres c ne peut être fini et différent de zéro : car il f a u d r a i t q u e q fût égal à p ; c'est le cas exclu.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. î ! S

5. Démonstration du théorème I I I . — On a encore à examiner les deux mêmes cas que précédemment.

Ier CAS : u est fini, U est nul. — On aura

eh î -^q

-^=^=/^,-b} / - + . . . .

Si y est inférieur à /?, l'intégrale z reste unie; le rapport u—^ tend vers zéro : c^ est n u l .

Si z devient i n f i n i , l'ordre de ^ d e v a n t être égal à Funité, q est égal à/?; par suite, le rapport^—-> tend vers une limite À finie et différente de zéro : ^ est fini et d i f f é r e n t de zéro. Ainsi, q u a n d U est n u l , H res- t a n t fini, c^ n'est pas infini; et l'on verra, au cas suivant, que, q u a n d U est nul, u ne peut pas être infini.

2e CAS : u est infini. — Posons u == \-, il vient z = ( —.

Si V n'est pas n u l avec v, l'intégrale z reste finie; le r a p p o r t — == — ~ tend vers zéro : c est n u l .

Si V est nul avec ('', on a

^=-/^+..,

Si q est inférieur à p , l'intégrale z reste finie, et le r a p p o r t c=— - est nul.

Si z devient infini, l'ordre de ^— devant être égal à l'unité, q est égal à p ; par suite _. rz= — , (end vers une l i m i t e h finie et différente de zéro : c est fini et différent de zéro.

Puisque le rapport -y ne peut être que fini ou nul quand u est infini, LJ doit nécessairement être infini avec u, ce qui justifie la proposition avancée plus h a u t .

Enfin, si U devient infini, u élant fini, c est n u l .

En résumé, aucun des paramètres c et CQ n'est infini, et u n au inoins

n a L. RAFFY.

(le ces paramètres est différent de zéro : n o u s prouverons au n° 13 q u ' i l y en a deux au moins qui ne sont pas nuls.

6. Démonstration du théorème IV. — Les réciproques des trois ihéo- rèrnes précédents s'établissent par le raisonnement des cas exclusifs.

Remarque. — II peut arriver que les paramètres c et CQ relatifs a une équation F ( ^ , U ) = = o soient tous nuls; c'est le cas du théorème I.

Il peut arriver que les paramètres c et c^ soient tous infinis : l'équa- lion

- U 3 ^ , U _ _ ^ 2 - _ _ o

le montre i m m é d i a t e m e n t : les termes du plus h a u t degré se réduisant à U\ les coefficients angulaires c des directions asymptotiques sont tous infinis. L'axe U = o rencontre la courbe en deux points à dislance finie, car il l u i csl langent à l'origine des coordonnées : en ce poini

— est infini. L'axe U == o r e n c o n t r e aussi la courbe en un p o i n t à l ' i n f i n i : en ce p o i n t , u é t a n t infini et U f i n i , -j^ est i n f i n i .

Il peut arriver enfin que les paramètres c et c'y soient tous finis et différents de zéro, comme cela a lieu p o u r l'équation U — u = o.

II. — Signification des paramètres c et 6-y : périodes polaires.

7. Etant donnée u n e équation algébrique ¥ { u , U) == o, les périodes polaires de l'intégrale z == f c-^ correspondent aux deux cas sui- vants : i° c— infini pour u n e valeur finie de u\ 2° c— i n f i n i pour v == o, v désignant toujours - {voir Bmoï et BOUQUET, Fonctions elliptiques, p. 170 et suiv.).

Ie r CAS. — On aura

Ê-è^"-

^--

Si q est inférieur à/?, l'intégrale z reste finie; il n'y a pas de période polaire.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. I I 3

Si q est supérieur à p , la série précédente contient généralement un terme en (u ~— &)~~¹ ,. -":^ll^^>'-^t—^,

.;<.l.ll^••-"--•>-l•-:l:\

^ 3 1 -^ 1-^ , - • • . • • ""•'.''• \

^ U - ^ - ^ ^(.-^ ^^ ^ \

Er.1 i1^ -1 ^'e'- ^r^

+ / ^ _ ^ ) P +...-4- /^(^_^)-i4-,^. ^^_ j^|

^-. l l > r r f w^

Quand la variable u faitjo tours autour du point &, l'intégraî^^prend,, ,,<."1-/

sa valeur primitive augmentée de la période polaire 2^7r/^.,,p.^lito iej>^

cas présent, on voit que le rapport î—— croît sans limite : c^ est infini.

Mais, si q ==p, l'intégrale z admet la période polaire ipinh, et le

^ _ ^

rapport —r— ayant précisément pour limite A, la période polaire est égale à ^pinc^.

2e CAS. — On aura

^ = - A < ^ + . . . . dv V

Si ç est inférieur a p^ il n^y a pas de période polaire. Si q est supé- rieur à p , z admet la période polaire spinh^p, et c est infini. Mais, si q ==:p, z admet la période polaire ^pi7th= 2pinc. Il n'y a, pour s'en assurer, qu'à répéter le raisonnement fait au cas précédent.

Nous arrivons ainsi à ce théorème :

THÉORÈME V. — Les valeurs finies des paramètres c et c^ représentent, à un facteur 'xpin près, celles des périodes polaires de l'intégrale z qui correspondent à des points singuliers logarithmiques simples.

III. — Les trois formes de l'équation F(<</U) ==o.

8. A chacun des trois cas définis par les théorèmes précédents cor- respond une forme particulière de l'équation F(w, U) = o. Nous allons fixer ces trois formes.

Cas du théorème /. •— Les paramètres c et c^ sont tous nuls.

Les paramètres c sont les coefficients angulaires ^ des directions

Ânn. de l'Éc. Normale. 2e Série. Tome Xïî. — AVRIL i883. Io

ï l 4 L« RAFFY.

asvmptotiques de la courbe représentée par l'équation F ( ^ , U ) = = o . Puisqu'ils sont tous nuls, U est nécessairement infini quand u est infini ( ^ ) , et l'ensemble des termes du plus haut degré de l'équa- tion î[u, U ) = o se réduit à une puissance de u, affectée d'un coeffi- cient indépendant de U.

D'après cela, l'équation ¥{u, U) == o sera de la forme

U^/oO^) -+- V^f^u) +. . . -h UV/^C u) + U/,/,-.i ( u) -^fm(u) ==•0,

les lettres/désignant des polynômes entiers en u; soient §05 ^ .. • »

^-i. ^m les degrés de ces polynômes. Ils satisfont aux inégalités

8,,, > m — À' -+- 8/, ( À- == 0, I , 2, . . . , 77Z -- l ) ,

car ces inégalités expriment que Fensemble des termes du plus h a u t degré de l'équation se réduit à u n terme en î/^1 à coefficient constant.

Réciproquement, si elles sont vérifiées, tous les paramètres c sont nuls.

Nous allons exprimer maintenant que tous les paramètres c'^ sont nuls, c^est-à-dire que, quand U est nul, — est n u l aussi. En vertu de la remarque faite quelques lignes plus h a u t , quand U est fini, u ne p e u t pas être infini. Toutes les valeurs de u qui répondent à U = o sont donc fournies par l'équation fmW == °"

Soit u= b u n e racine de cette é q u a t i o n . Transportons l'origine des coordonnées au point U == o, u=b. II suffit de poser u = b -i- z//.

L'équation devient

U^/o^ -4- ^) 4-. . .+ Wf^(b -h a') + U/^ (b + a' ) 4-/,/,(& -+- u'} ==. o.

Au point qui est m a i n t e n a n t l'origine, la dérivée €— n'a d'autre valeur que zéro. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit q u e l'en- semble des termes du moindre degré de l'équation se réduise à une puissance de u' affectée d'un coefficient constant. Supposons que b soit

(1) C'est la généralisation de cette proposition bien connue ; La fonction u^ inverse d'une intégrale elliptique clé première espèce z, ne peut être infinie sans que sa dérwêe U = -y cï/z soit aussi infinie»

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES ÏNTÉGIULES ABÉLIEINNES. I I 5

racine d'ordre ? de multiplicité de l'équation f,n{u} = o. Le terme de moindre degré en v: du polynôme f^{b 4- u1} est u^ : l'équation 'ne doit contenir aucun terme de degré inférieur à ? ni aucun autre terme de degré égal à ?. Ainsi, toute racine b d'ordre ^ de F équation f^[u] == o est racine d'ordre ^ au moins de V équation f,^[u) == o; elle est racine d'ordre ^ — i au moins de F équation f^_^[u] = o, et ainsi de mite : elle est racine d'ordre ? — k -h- î au moins de l'équation f,n-k[u} == o..

Réciproquement, s'il en est ainsi, tous les paramètres c^ sont nuls.

De là résulte une généralisation d'une propriété des fonctions ellip- tiques (¹ ) :

/"*lt j

THÉORÈME VI. — Si l'intégrale z == j c—, définie par F équation algé- brique F(^, U) == o, reste finie sur toute la sphère, V équation F(u, U) == o ne contient pas U à la première puissance,

En effet, le polynôme^-.^^), qui est de degré m o i n d r e que le poly- nôme/,,^), doit admettre toutes les racines def,n{u) et chacune d'elles le même nombre de fois au moins que/^). D o n c / ^ . ^ ( ^ ) est identi- q u e m e n t n u l .

9. Remarque. — On r e c o n n a î t , à la seule inspection des termes de l'équation F = o, si cette équation vérifie les conditions nécessaires et suffisantes p o u r que les paramètres c soient tous nuls.

Pour vérifier si les paramètres c^ sont tous nuls, on n'a besoin de résoudre aucune équation. La méthode dite des racines égales, qu'on doit à Lagrange, permet de remplacer l'équation fm{^) = o par un cerlain nombre d'autres équations

-^( U)~=:0, ^ 2 { U ) = '^,[U)=:0,

qui n'ont chacune que des racines simples; la première a pour racines les racines simples de l'équation fmW = o; la seconde, ses racines doubles; . . . ; la dernière, ses racines d'ordre^».

Pour vérifier les conditions relatives aux racines multiples d'ordre ?, on divisera f,n-^u) p^r [yf^)]^; puis/^a^) par [y^)]^2; . . . , et

(1) BÏUOT et BOUQUET, Fonctions elliptiques y p. 278.

1 î 6 î- RAFFY.

en général frn^[u) par [yp(^)]^4"'. Toutes ces divisions devront se faire exactement. Si une seule de ces opérations est impossible, on sera assuré que l'intégrale z ne reste pas finie sur toute la sphère.

D'ailleurs, on pourrait aussi former par différentiation et élimi- nation l'équation qui lie U et ^=== |^ et l'on aurait à vérifier que pour U = o cette équation n'admet d'autre solution que c'== o : on ordon- nerait les termes de cette équation suivant les puissances de c', et l'on devrait constater que le terme indépendant de c' et les coefficients de toutes les puissances de c^ sauf celui de la plus élevée, s'annulent en même temps que U.

On trouvera plus loin des exemples du cas actuel.

10. Cas du théorème I I . — Les paramètres c et c^ n'ont d'autres valeurs que zéro ou l'infini, et ne sont pas tous nuls.

L'ensemble des termes du plus haut degré de l'équation F(^, U) = o se réduit à un seul terme de la forme AU"^, A étant une constante, a, (3 deux entiers dont un p e u t être n u l . Réciproquement, s'il en est ainsi, les paramètres c n'ont d'autres valeurs que zéro ou l'infini.

Passons aux paramètres Cç. De l'équation F(i<, U) = o on déduit

du^_ , _ _ F ^ dU ~ c ~~~ F;/ '

E l i m i n a n t u entre les deux équations F == o et c T ^ - h F u ^ o , on obtient une équation entre U etc'. Si l'on ordonne les termes de cette équation suivant les puissances de c', le coefficient de la plus haute puissance de </ est, ou une constante, ou une puissance d e U ; si l'on ordonne suivant les puissances de U, le terme indépendant de U est, ou une constante ou une puissance de c. Il faut et il suffit évidemment qu'il en soit ainsi pour qu'aucun des paramètres c^ ne soit fini et dif- férent de zéro.

Remarque, — Dans le cas actuel, il peut arriver que l'équation F ( M , U ) = = O contienne U a la première puissance. Soit, par exemple, l'équation

^•u ^, (u2 -i" 4 «.U -- a2) — 4 u = o.

Elle ne contient d'autre terme du troisième degré que u^V : deux des

RECHERCHES ALGEBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABELIENNES. 1 1 7

paramètres c soni nuls et un est infini. Quand on fait U = o, une valeur de u devient infinie, u n e valeur de c\ est infinie; en même temps u prend les valeurs finies zéro et — 4 î la tangente à l'origine est la droite u = o : c\ est nul.

Faisons u == u' — 4* L'équation devient

^ ( ^ _ 4 ) ( U _ . j ) + u ^ o .

La tangente au point U = o, u'-= o^ est la droite u' = o : c^ est n u l * Ainsi l'équation proposée vérifie les conditions du théorème II et con- tient U à la première puissance. D'ailleurs elle s'intègre facilement : on trouve

ce qui permet de reconnaître que la fonction z devient infinie, mais n'a pas de point singulier logarithmique, ni simple, ni autre.

Cet exemple montre aussi qu'il n'est pas toujours nécessaire de former l'équation entre U et c\

11. Cas du théorème I I I > — Les paramètres c et ^ sont tous finis et ne sont pas tous nuls.

L'ensemble des termes du plus h a u t degré de l'équalion T[u, U) = o ne contient pas U en facteur, mais peut contenir en facteur une puis- sance de u. Ordonnons les termes de l'équation suivant les puissances décroissantes de U

U ^ / o ^ ) -i- U^-1/!^) -+-. . .4- V\/^(U) -+- U /,/,,.. ,(U) -h./^O) =-0.

Les l e t t r e s / d é s i g n e n t des polynômes entiers en u : soient rï^, rîp . . . ,

^ leurs degrés. Celui des p o l y n ô m e s / d o n t le degré est le plus élevé est le dernier^ frn{u) : car. si le terme du plus h a u t degré en u était multiplié par une puissance de U, il y aurait un des coefficients an- gulaires c qui serait infini; ce q u i est contre l'hypothèse. Ainsi ô/,, est supérieur à tous les autres §. Si u n e puissance de u est en facteur dans les termes du plus haut degré de l'équation F •== o, l'ordre de cette courbe sera égal au plus haut exposant de a, c'est-à-dire à 5^

Si les termes du plus haut degré ne contiennent pas en facteur une puissance de u, comme ils ne contiennent pas non plus en facteur une

n8 L. BAFFY.

puissance de U, leur degré est égal au plus haut exposant de u, c'est- à-dire à 5^. On voit que c?^ est dans tous les cas égal à Fordre de la courbe F = = o . D'après cela, les degrés des polynômes/satisfont aux relations

• 5/n r m — A- 4- 3/. (À- =: o, ï , -2, . . ., w — l)

qui e x p r i n n e û t que l'ordre de la courbe F == o est égal à §,„. Récipro- quement, si ces relations ont lieu, on voit aisément que tous les para- mètres c sont unis.

Faisons maintenant l'hypothèse U == o. Quand U est n u l , u ne peut pas être i n f i n i , sans quoi le rapport j-r serait i n f i n i ; il en serait de même si, u devenant infini, U restait fini. Ainsi u rie peut pas être infini ' sans que U le soit aussi. On voit que toutes les valeurs de u qui ré- pondent a l'hypothèse U == o sont fournies par Féquaîion fm{u} = o.

Soit u = b une racine de cette é q u a t i o n . Transportons l'origine des coordonnées au point U == o, u == &, en posant u== b + u ' . Au point . qui est maintenant l'origine, toutes les valeurs de la dérivée €— doivent

être nulles ou finies et différentes de zéro. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'ensemble des termes du m o i n d r e degré ne con- tienne pas U en fadeur. Si b est racine d'ordre |3 de maltiplicité, il faut et il suffit que les termes du m o i n d r e degré soient du deûrré Q : s'ils étaient de degré moindre, ces termes ne pourraient provenir q u e des groupes qui précèdent f,n{b 4- ?/); ils contiendraient en facteur une puissance de U- Exprimons que l'équation F(& -+- u\ U) == o ne contient pas de terme de degré inférieur à |3; nous avons cet énoncé :

Toute racine b d'ordre (S de l'équation fmW = 0 ^t racine d'ordre f3 — i au moins de l'équation f,n-.}{u} =: o, et ainsi de suite : elle est racine d'ordre ^ — kau moins de l'équation f^_^u) === o.

Réciproquement, s'il en est ainsi, tous les paramètres c^ sont finis.

12. Remarque I. — Ici, comme précédemment, on n'a pas besoin (le résoudre Péqualion/^) === o p o u r vérifier qu'aucun des c\, n'est i n f i n i . On n'a qu'à suivre la marche indiquée au n° 9.

Remarque I I . — L'équation T(u, U) == o peut contenir U à la pre-

KECI1ERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIEN^'ES. Ï î (')

mière puissance. En voici un exemple bien simple : il est fourni par l ' é q u a t i o n u == U d o n t l'intégrale est z = Lu. Il y a ici un lerme en U.

Les p a r a m è t r e s c et c^ sont égaux à î . Autre exemple. — Soit l ' é q u a t i o n

(^i U — u} (<^U -— u ) . .. (a^,-i U — if) 4- ^= o,

où n o u s supposerons 2a^o. L'équation conlient un terme en U. Les termes du plus h a u t degré se réduisent à ir" : tous les c sont nuls.

Les a n valeurs de u qui r é p o n d e n t à U == o sont les racines de l'équa-

tion ^-i (^ — 1 ) ^ 0 .

A l'origine, les paramètres c^ sont précisément les nombres a,, a^ . . . ,

<^. Transportant l'origine au point U == o, u === ? , on volt i m m é d i a - tement qu'en ce point c^ est égal à — (a, 4- a^ - + - , . . -4- a^.^ ).

D'après cela, 2c,, est n u l . Mais on a aussi 2c == o. R a p p r o c h a n t cet exemple d u précédent, on est c o n d u i t à penser que la relation 2c= 2c\, est générale. C'est ce qui a lieu.

13. THFOKÈME VII.— Etant donnée une équation F(u, U) == o algébrique et irréductible, si les paramétres c et c^ sont tous finis, la somme algébrique des paramètres c est égale à la somme algébrique des paramètres c ^ .

A u t r e énoncé :

Si une courbe algébrique F (y? x) ==• o na aucune direction asvmpio- tique parallèle à l'asce des y, ni aucune tangente parallèle à cet axe aux points réels ou imaginaires où elle le rencontre, la somme algé- brique des coefficients angulaires c = ^ de ses directions asymptotiques est égale à la somme algébrique des coefficients angulaires €'•== ^ des tangentes aux points où elle rencontre Vaxe des y.

Mis sous cette forme, le théorème devient presque évident. Effec- tuons une transformation usitée dans la théorie des asymptotes et qui consiste à poser

4 î y'

^^p ,y=^.

1:20 L, RAFFY.

(On voit que x représente U et jreprésente u.) I/équation F (y, <r) == o se change en f{y > ^/) = o.

Les paramètres c, désignant les diverses valeurs que prend le rap- port ^ quand l'un de ses termes ou tous les deux deviennent infinis, re- présentent m a i n t e n a n t les-ordonnées y des points de rencontre de la courbe /== o avec l'axe desj<

Cherchons la signification des paramètres <^. On a

^(£) =(-•••-^) •

c'est-à-dire q u e les paramètres Cy sont les ordonnées à l'origine des asymptotes de la courbe/= o. Or on sait que dans l'équation d'une courbe algébrique d'ordre n et dans l'équation du système de ses asymptotes les termes de degré n et de degré n — i sont les mêmes : on a donc le == Sc\^ ce qui prouve le théorème.

Conséquence. — II résulte de là q u e , quand les paramètres cet c^ sont tous finis et ne sont pas tous nuls, il y en a deux au moins qui sont différents de zéro.

<k

Cette remarque complète la démonstration du théorème III.

IV. — Conséquences relatives aux intégrales abéliennes.

14k Toute intégrale abéllenne est u n e somme d'intégrales de pre- mière, de deuxième et de troisième espèce, plus une partie algébrique et logarithmique (1) . Mais certains de ces éléments peuvent m a n q u e r ; l'intégrale peut se trouver exprimée par des intégrales de deux ou d'une des trois espèces seulement, ou même se réduire a u x termes algébriques et logarithmiques.

Notre premier théorème caractérise é v i d e m m e n t les intégrales qui s'expriment par une somme d'intégrales de première espèce.

(¹) Pour les principes de la théorie des intégrales abéliennes et la définition des intégrales des trois espèces, 2w/*BRiOT et BOUQUET, Fonctions elliptiques. Livre IX, Chap. I.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLÎENNES. 121

Les intégrales abéliennes qui vérifient les condilions du second théorème peuvent c o n t e n i r dans leur expression a n a l y t i q u e des inté- grales de première espèce, mais ne peuvent pas s'exprimer au moyen de ces intégrales seulement.

Les intégrales qui vérifient les conditions du troisième théorème ne c o n t i e n n e n t dans leur expression analytique aucune intégrale de seconde espèce. Elles p e u v e n t dépendre des intégrales de première espèce; mais elles dépendent nécessairement des intégrales de troi- sième espèce*

A raison de l'importance spéciale des intégrales de première espèce, nous i n d i q u e r o n s une règle pour reconnaître si une intégrale donnée s'exprime au moyen de ces intégrales seulement.

Soit/'C^y) = o l'équation algébrique q u i sert à d é f i n i r l'intégrale proposée

zz=. j cp(^r)J.r.

Nous poserons

y(^y)== çp afin d'avoir

rdx

^J-IP

p u i s nous éliminerons y entre les d e u x équations y(.r,j) == o et

y ( ^ , j ) = ^ .

Soit F ( ^ , U ) = o l'équation résultante : la lettre oc représente la v a r i a b l e précédemment désignée par u. Pour que l'intégrale z dépende s e u l e m e n t des intégrales de première espèce, il faut et il suffît que les paramètres c el ^ relatifs à l'équation f{x, U) = o soient tous nuls.

Nous avons expliqué plus h a u t comment on reconnaît s'il en est ainsi.

15. EXEMPLE. — Étant donnée F équation

f(cc, y ) -= 2j⁵ — 5 J²— ^ ( a ^²- } - 2 ^ ^ 4 - c )²= - o,

on suppose que le trinôme ax² + ^bx 4- c na ni racine nulle, ni racines

Ânn. de rÉc. Normale. •1^e Série. Tonie XII — AVRIL i8^3. l6

1 2 2 L. RAFFY.

égales ; on demande si V intégrale

DJ^.r'* ). ( a ,-r22-}- 2 bx + <?) + aR.ry + Cy2-i- aEr , 4- 2 /; .:r + <? ) + a R .ry + Cy2 + a Ey

^.^_ J Q 1 _———————————————^————•.i————:———————-- dx

J J y

P ..2

). ( a ^ + 2 ^ ,r + c ) -i- 2 B y y -+- C r² -+- 2 E r .,

-/

r-~j

^/ de première espèce, quelles que soient les indéterminées )., B, C, E.

Cette intégrale, ayant la forme canonique, resie finie pour ;r==co . Nous poserons, pour abréger,

Q = = B ^ + E , S== a^-\- ' î b x -h c.

Il v i e n t

^ ^^±.^^.±.1^^

J J'-J

Nous avons à éliminer y entre les deux équations

C ^ + ^ + X ? ^ ^ ^ ^ . 2 _ ^ 2 ^ o

~~~?-y~" u

^

"'

^^-

-

L'équation résultante est la suivante :

aCU 4 Q U - 3 -2ÀÇU . —,r^

4 Q U - 3 a C s ^ + a / S U a C U ( 2 Q U + i ) -~.'rÇ2 9.0*4^

a C ^ U2^ 2A£U CU(<SQU - r ) ~ x^ aC^U2^ (4QU - 3) (aQU-h i) ^ U ( 4 Q U - 3) 9.CU(9,QU4-1) -.r;2 a C A c U ^ t ^ Q U - 3 ) ( a Q U + i ) ^ U ( < S Q U - i).+ CU.r?2 a'À2^

Faisant U = o clans le premier membre de cette équation, on obtient le terme indépendant de U : ce terme est

^•2(.•zl3^+ 33) = (a^+ ^bx + cfx^x^ax^^ i bx -l- c)0 + 0,7].

Les seules racines multiples de ce polynôme sont les racines du tri- nôme Ç::::^12-^ 2bx-+-c. Pour que l'intégrale proposée soit de pre- mière espèce, il faut et il suffît que le coefficient d u terme en U soit nul, ce qui a lieu, et que de plus le coefficient du terme en U2 soit divi- sible par ^ ( n ^ S et 9). En calculant ce coefficient, on reconnaît que c'est un polynôme entier en Ç sans terme indépendant.

Donc l'intégrale proposée est de première espèce, quelles que soient les indéterminées X, B, Ç, E.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENPŒS. S ^3

16. EXEMPLE. — Étant donnée l'équation

[jtt -}- x{x^ 4- 7 ^ 4- 9 )U-1 -4- ^ (.r10 4- 8.r —- 4) IP

-!- x^ ( ^8 4- 7 ^7 — 5 x6 -4- 4 ^ — 6^3 4- 3 ^2 -- 2 ) U3

-4- ^ (^10 4" 2 .r9 4- x3 -— .y7 — 7 .z'6 — i o .r3 — 3 x^ 4- 6 x3 4- 9 ^ 4- 3 x — i ) IP - ^ (^I I 3 4- 3^12 4- 3 A-114- ^10 — io^9 — 28^8 — 24..r7 — 4^

4-27 ..z'5 4- 65 x'' 4~ 46 ^'3 — 2 Lr2 — 7lz" + J ) -"-- 0»

o/i demande si l'intégrale z == ^ ^- ^^ de première espèce.

On volt que le ternie du degré le plus élevé dans cette équation est le terme a¹¹⁸; en conséquence tous les c sont nuls.

Pour savoir si les Cy sont nuls, appliquons la méthode des racines égales au polynôme qui multiplie <r⁸ dans le terme indépendant de U : ontrouve que ce polynôme est égal à [x 4" i)³^⁵ — 5x 4- î)². Parsuite, le terme i n d é p e n d a n t de U est égal à

— x^ ( J? 4- l )3 ( x^ — S x 4- ï )"2.

Le coefficient de U2 est divisible par x^, celui de U3 para?3, celui de U4 par a?2, et celui de U5 p a r ^ : les conditions relatives à la racine a' = o sont vérifiées.

Pour que l'intégrale soit de première espèce, il faut encore que le coefficient de U² soit divisible par (.r^i)²^— 5.r4-ï), et que le coefficient de U³ soit n u l p o u r ^ = — ï : on voit immédiatement que cette dernière condition est vérifiée.

11 reste donc à étudier le coefficient de U² : en appliquant la méthode des racines égales à ce polynôme, on trouve qu'il est égal à

(,:r -h ï)² (.z^— x' — 5^'^l•4-^¹³4- 5.r — ï ) *

Ainsi la condition relative à la racine de l'équation x 4" ï = o est vérifiée. Divisons <r8 —• x^ — 5^71 4~ ^3 -4- 5^ — ï par x^ — Sx + i : la division se fait exactement et le q u o t i e n t est x3 — ï .

D'après cela, l'intégrale proposée est de première espèce.

1^4 L. BÀFFY.

CHAPITRE II.

SUR UN CAS DE RÉDUCTION DES INTÉGRALES ÂBÉLIENNES.

I. — Nature de l'intégrale u.

17. Nous allons m a i n t e n a n t nous occuper du cas où Finîégrale u d'une é q u a t i o n différentielle algébrique F(îz, U ) •===- o est bien déter- minée, c'est-à-dire n'a en chaque p o i n t z qu'un nombre limité de valeurs. On sait que, quand il en est ainsi, la f o n c t i o n u est racine d'une équation algébrique ayant p o u r coefficients des fonctions en- tières, soit de la variable s, soit de l'exponentielle^³, soit de la fonction doublement périodique s n ( p ^ ) . Ce théorème est dû à MM. Briol et Bouquet (1).

Nous nous proposons de résoudre le problème s u i v a n t :

Supposant que Fintégrale u est bien déterminée, reconnaître si elle est algébrique, simplement périodique, ou doublement périodique.

La s o l u t i o n de ce problème est donnée par u n t h é o r è m e que je vais établir.

1 8 . THÉORÈME. — S i l'intégrale est doublement périodique^ les para- métres c et CQ sont tous nuls.

Si l'intégrale est algébrique, un au moins des paramètres c et CQ est infini, et aucun d'eux n est fini et digèrent de zéro.

Si l'intégrale est simplement périodique, les paramètres c et c\ sont tous finis, mais non pas tous nuls, et ceux qui ne sont pas nuls forment une suite de nombres tous commensurables entre eux.

(î) Recherche}; sur la théorie des fonctions [Journal de l'École Polyt., XXXVIe Cahier, troisième Mémoire : Intégration des équations différentielles au moyen des fondions ellip- tiques}.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLÏEIS^ES. 12.5

Ce théorèlïie résulte des trois théorèmes démontrés au début du Chapitre I.

Supposons d'abord que l'intégrale 11 soil racine d ' u n e équation algébrique a y a n t pour coefficients des fonctions entières de s n ( p s ) . Posons pour u n instant ^ = s n ( p ^ ) . L'équation intégrale sera f(u» œ) = o, / é t a n t un p o l y n ô m e erîtier en u et x.

A chaque valeur de u r é p o n d r o n t un certain noîïîbre de valeurs cle.r;

et P o n s a i t q u ' à chaque valeur de x correspondent deux valeursde -s, si l'on fait abstraction des sommes de m u l t i p l e s de périodes. Ces v a l e u r s de z sont toujours finies/que oc soit fini ou i n f i n i ; elles ne deviennent infinies que par l ' a d d i t i o n de m u l t i p l e s i n f i n i m e n t grands des d e u x périodes. Nous sommes d o n c dans le cas du théorème I ; les para- mètres c et C'Q sont tous n u l s .

Supposons m a i n t e n a n t que Fintégrale u soit une f o n c t i o n algébrique de z : z est une fonction algébrique de u. Comme telle, e l l e devient nécessairement infinie pour une valeur au m o i n s de u^ et elle n ' a d m e t de point singulier l o g a r i t h m i q u e d ' a u c u n e sorte. Nous sommes d o n c dans le cas du théorème II ; u n au moins des p a r a m è t r e s c et c'y est i n f i n i , et a u c u n d'eux n'est fini et différent de zéro.

Supposons enfin que l ' i n t é g r a l e u soit racine d ' u n e é q u a t i o n algé- b r i q u e a y a n t pour coefficients des fonctions entières d'une exponen- tielle e^². Posons oc = e^'\ L'équation intégrale seray(^,<r) == o.yétant un p o l y n ô m e entier en u elx. Son degré par r a p p o r t à x est égal au degré ^ de l'équation F(^, U) = o par rapport à U. A chaque v a l e u r de u correspondent [L v a l e u r s de x. A chaque v a l e u r de se r é p o n d u n e v a l e u r d e z , z =^Lsc, en faisant abstraction des multiples de la période polaire ²-^- Tarit que^n'est ni n u l ni i n f i n i , z reste fini; mais, q u a n d oc

. P

d e v i e n t infini, z devient infini aussi.

Supposons d'abord q u e ^ s o i l infini pour u n e v a l e u r finie de u, u =h.

On aura

- ^=.h{u—bf - + - . . . ,î

OCi

d ' o ù , en p r e n a n t les dérivées logarithmiques des deux membres cl

120 L. RAFFY.

en r é d u i s a n t le second à son terme principal,

cl^ _ q i i du P 9 u — ^

Ainsi le point u == b est ce que n o u s avons appelé un point singulier l o g a r i t h m i q u e simple; à ce point correspond la période polaire

i.n q • i^ , , , , a i , ,, .

' 2 p — ^L == 2 — < 7 ; et .nous avons montre qu on a c. = ^J- - : y et /? étant

1 Q p p ' ⁱ ° /.? p ^{J 2}

des entiers, lous les paramètres c'y sont commensurables avec -^•

F

Si ^ d e v i e n t intini p o u r une valeur infiniment grande de u, on posera u == - et l'on aura

/!

: h ^ •

d'où résulte

clz q i ï dv p p (7

Le point v = o est un point singulier logarithmique simple p o u r la fonction z ; il donne la période polaire 2 p ^{LK ^ et l'on a c == ^J- -" Nous

1 l - P P P P

sommes dans le cas du théorème III : les paramètres c et Cg sont tous finis (mais non pas tous nuls) et nous venons de voir qu^ils forment une suite de nombres commensurables avec -^ c'est-à-dire tous com-

P

mensurables e n t r e eux. De plus ils vérifient la relation ic=.lc[^ éta- blie au û°13.

19. Autre énoncé. — On peut donner du théorème précédent u n autre énoncé, q u i rappelle une proposition d u e à MM. Briot et B o u q u e t (1) .

THÉORÈME. — Si l'intégrale u d'une équation différentielle algébrique V(u, U)==o est bien déterminée dédoublement périodique, les racines nulles que F équation F [u, U) == o admet pour ries valeurs finies de u et celles que la transformée admet pour v= o sont toutes d'un degré infé- rieur à l^ unité.

(1) Fonctiom elliptiffue^y p. 387.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ÀïiÉLÏENNES. î 2T Si l'intégrale est algébrique, les racines nulles que l'équation F {u, U) ~=~. o admet pour des valeurs finies de u et celles que la transfor- mée admet pour v = o sont toutes d'un degré différent de l'unité : une nu moins est d^un degré supérieur à l'unité.

Si F intégrale est bien déterminée et simplement périodique, les racines nulles que F équation F (a, U) == o admet pour des valeurs finies de u, et celles que la transformée admet pour v == o sont toutes d'un degré inférieur ou égal à F unité : deux au moins sont d'un degré égal à l'unité.

Ce théorème résulte i m m é d i a t e m e n t des trois premiers théorèmes du C h a p i t r e précédent et de la relation lc= Se .

Remarque.— Le théorème précédent fait c o n n a î t r e des c o n d i t i o n s nécessaires pour que l'intégrale u, supposée bien d é t e r m i n é e , soit. de telle ou telle nature. Il e s t a peine besoin de d i r e que ces c o n d i t i o n s ne suQîsentpasw général p o u r que cette fonction soit bien déterminée.

Nous signalerons dans la s u i t e (11^34 et 57) deux cas où ces c o n d i t i o n s suffisent pour qu'il en soit ainsi.

Marche à suivre pour reconnaître la nature de F intégrale u.

20. Les caractères q u e noire théorème assigne a u x trois classes (Fintégrales s o n t exclusifs, ce qui va nous p e r m e t t r e de reconnaître la n a t u r e de l ' i n t é g r a l e u, en s u p p o s a n t cette intégrale bien d é t e r m i n é e . A la seule inspection des termes de l'équation F(^, U) === o, on voit si les paramètres c ont des v a l e u r s n u l l e s ou infinies. En posant ^l— •=- C y on déduira des termes d u p l u s h a u t degré de cette é q u a t i o n I n é q u a t i o n qui a p o u r racines les valeurs finies de c: c'est l'équation a u x coefficients angulaires des directions a s y m p l o t i q u e s de la courbe F== o.

En é l i m i n a n t u entre les deux é q u a t i o n s

F ( //, U ) --"= o, c' = — — 5v

.1, n

on obtient une é q u a t i o n entre c ' cl U : pour U = o, cette é q u n l i o n fournit les diverses v a l e u r s finies ou infinies des paramètres Cy.

Si les paramètres c et c^ sont tous finis, mais non pas tous nuls, on

128 L. RAFFY.

a à rechercher s'ils sont tous commensurables entre e u x , d'où ce problème :

PROBLÈME. — Etant donnée une équation, algébrique entière f[x}= o dont les coefficients sont commensurables ou incommensurables, bu imaginaires, reconnaître si toutes les racines de cette équation sont commensurables entre elles.

L'équation proposée peut toujours, après suppression des racines nulles, si elle en a, se m e t t r e sous la forme

^m — S^ ^m-~i 4- Sa x^ +...-+.(-. i)/" S,,, = 0.

Soient x ^ x ^ x ^ , . . . , ^ s e s racines; et soient \^ Âg, . . . , \^ les rapports, tous commensurables, de «r^, ^3, . . . , x^ à x^ Supposons d'abord S, différent de zéro. On posera

y : = ~ ,x

°i

et il e&t visible q u e la racine y, == a— --= ——.——J—————. sera

bl I. -1- Àg 4" Ay + . . . -4- ^m

commensurable; par suite, toutes les racines de l'équation en y seront commensurables.

Supposons maintenant S, == o. La somme des carrés des racines de l'équation proposée ne peut pas être nulle, car on a 2^f=== x^ ï\\ et tous les X sont réels : la somme de leurs carrés n'est pas nulle.

Par conséquent, si l'on forme l'équation transformée en

r=^²,

la somme de ses racines ne sera pas n u l l e . On est donc ramené au cas précédent. On vérifiera alors sans difficulté q u e l'équation en y a toutes ses racines commensurables entre elles, en m ê m e , temps qu'on les obtiendra toutes. Il faudra alors extraire les racines carrées des valeurs trouvées et constater que les rapports de m — i d'entre elles à la m1^ sont commensurables; car il est clair qu'on peut faire abstraction du double signe. Par ce dernier procédé, on aura toutes les racines de Féquation proposée f[oo} = o, et les q u a n t i t é s égales et de signes con- traires. Il sera facile d'écarter celles de ces valeurs qui ne sont pas racines de f[oc} = o.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES 'SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 129

On pourra encore se contenter d'obtenir une des racines de l'équa- tion a u x carrés : soit a cette racine. On posera

s == x \/a,

\la désignant l'une quelconque des deux racines carrées de a, choisie arbitrairement. On n'aura plus alors qu'à vérifier que l'équation en z a toutes ses racines commensurables, et du même coup on obtiendra toutes les racines de l'équation /'( oc) == o.

En résumé, on peut toujours reconnaître si toutes les racines d'une équation algébrique sont commensurables entre elles, el, s'il en est ainsi, les obtenir toutes explicitement.

Je ne m'arrête pas à donner d'exemple de cette méthode, les opéra- tions qu'elle comporte é t a n t tout à fait élémentaires.

Q u a n d on aura reconnu que tous les c sont commensurables entre eux et q u e tous les <^ sont commensurables entre eux, il restera à véri- fier si l ' u n des c arbitrairement choisi est commensurable avec u n des c[ choisi de même. On pourra, d'ailleurs, se dispenser de celte vérifi- cation si les deux sommes 2c et îc, sont différentes de zéro; car leur égalité exige que les c et les c^ soient tous commensurables entre e u x , si les c et les c[ le sont séparément entre e u x .

21. EXEMPLES. — Nous avons donné au Chapitre 1 des exemples des trois formes d'équations q u i correspondent aux trois cas du théorème précédent. Nous en rencontrerons d'autres; en voici deux que j'em- prunte aux travaux d'Abel et aux recherches de M. Tchebichef.

Exemple J. — Soit l'équation

i u +• A'

U "~ (/^-t- a u3 -+- p i^ -1- Y u -h S

le polynôme sous le radical est supposé n'avoir que des racines simples.

Les valeurs de c sont évidemment c = ± i. Quant aux valeurs de c.p en m u l t i p l i a n t les deux membres de l'équation proposée par le binôme u ~ b, où b désigne une des racines du radical, on voit que tous les

Ann. de l'Kc. Normale, i^ Série. Tome X ï l . — AVRIL i883. Î1

î3o ' L . ' ÏUFFY,

paramètres c\ sont nuls- Donc, si l'intégrale u est bien déterminée, elle est simplement périodique-.

Abel a, en effet, montré que si h différentielle ••-•-—=:Â^:^^^

\/u'1' +• a i^ 4-- P ^2 -1- y M -4- 5

s'intègre en termes finis, son intégrale est nécessairement de l'a forme s == L ( P -4- QV^-h a?^-+- jS^-h 7^ -h ô), P et Q représentant deux polynômes entiers en u. Il a de p l u s d o n n é le moyen de former tous les polynômes u^ 4- au^ 4- ?^2 -h ^u 4- § tels que, p o u r u n e v a l e u r conve- nable de A, la différentielle- —==z=^==-z:^ s'intègre par un

\/u^ -+- a ^3 -(- p ^ -+- y ^ -t- ê c. »

seul logarithme, et il a indiqué c o m m e n t on calculera A dans c h n q u e cas particulier (j) . La question inverse : Étant donnée la différentielle

( l ( , 4- A) du 7 . 1 rr * . . -<, •

•--—-r-==;=--r=^ ao/i^ les coefficients sont connus^ reconnaître si

^u^ -}- a M3 -h [ï u2 4- Y a '-+- 5

^o/i intégrale est de la forme L(P + Q V ^ " '~t~ • • • ) ? présente de grandes difficultés. Elle a été résolue par M. Tchehichef (2) dans le cas où les coefficients oc, ?, y et S sont commensurabies : la méthode de M. Ïclie- hichef a é.té exposée par M. Zolotareff? qui est parvenu ensuite (3) à résoudre le même problème en supposant que y-, jS, y et 8 soient des entiers complexes; les deux méthodes exigent qu'on sache trouver les racines du radical.

22. Exemple //. — On donne l'équation

i ^ 6 a2 --)" 5^-1-7

U ( a u2 — i ) ^/a4 -h 4 M3 4" 2 ^2 4- i

On voit que, pour les valeurs infiniment grandes de u, le rapport — tend vers zéro; les paramètres c sont tous nuls. Pour étudier les para-

(1) OEuvres complètes (édit. Sylow et Lie), t. I, p. 104 : Sur l'intégration de la formule différentielle •—— ' " - , et t. ïï, p. 189 : Théorie des transcendantes elliptiques, probl. 111.

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Âbel s'occupe aussi, en ces deux endroits, de la question inverse.

(2) Journal de Liouville, 1864. L'exposé de M. Zolotareff est dans le Journal de Liowille, 1874.

(3) Dans un Ouvrage en russe, analysé au Bulletin des Sc\ mathém^ p. 475-478; 1879.

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ÀBÉLÎENNES. ï 3 l

mètres c^, il est commode de former l'équation entre c' et u; puis on donne à u les valeurs qui a n n u l e n t le radical et ^u² — î .

Résolvant par rapport à U l'équation proposée el différentiant, on trouve

dv^ - ^7 --- —————^^^_^————— v ^ + 4 ^ + 2 ^ + 1 _-, î _ _ 4 ^ ( 6 ^2- ^ - 5 ^ 4 - 7 ) - - ( 2 ^ ^2— I ) ( ^ 2 ^ ^ - 4 - 5 ) r—,———-,————————————

_ _ 2 M2 — 1 2 ^3 4- 6 U2 4- 2 U

6^ -+- 5^ +7 T^TÎ^Ï^TÏ*

Les valeurs de M qui a n n u l e n t le radical rendent ^ i n f i n i ; par suite, c\ est n u l .

- Pour les valeurs de u qui satisfont à l'équation ^1^—1=0 ou u² == ^, on a

î _ 4 u \/^4 + 4^3 4- 2 u2 -4- î Cy 6 a2 "h 5u -+-• 7

ou bien, en remplaçant u.² p a r ^

I _ 4 U \j^ -\- 1 U -1- 2

C y I 0 -(- 5 ^

Élevons au carré et chassons les dénominateurs 25(4-{-4^-î- ^)==i6co²^² 9J_iff.

Remplaçons encore u² par |-, il vient

2 5 ( 9 - 4 - 8 ^ ^ ) = = 4 ^2( 9 - + -8" ) >

d'où l'on tire

Ces deux valeurs étant commensurables entre elles, l'intégrale u, sî elle est bien déterminée, est simplement périodique. En effet, dans son remarquable Mémoire Sur Fintégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré (ⁱ} ,

(1) Journal de Liowille, 1857.

i3.2 ' L. KAFFY.

M. T c h e b i c h e f a donné ce curieux exemple :

k a,y6 4-- 4^.3 - h ^ ^ — S j g³— ^²— 8.r — 8 , . /" 3.:r⁶ -h- 4^⁵ -h 7.^ — 3jg³ — »r²— 8.r — 8 , , J ( 2 x^ — i)² \/^ 4- 4^ 4- 2 ^T'Ï

-^ ^'^? ^^^--t--^²--^

2 ^â— 1

i |"(i — 3x) \Sx -hT-t- y^'3 4- 3 .z'2— ^> -+-1110

4 L(^I•~~ 3^)\/^+ i — ^/..r³-^ 3 .y²-- ji? + i j

'? ^^ ,z¹³ + 3 ^^s— .r -+-1 —- (2^²— d? +1) ^^^ï^³"¹^^"² ^-^ ( 1x'⁹-^-x^!t>-\-ïx^s!••—x 4-1 4- (a^²—^ -+-1 ) V^" ^- ^ •^zîs •^-^x¹ -\~i\

De celte formule on déduit facilement que l'intégrale r 6^-^-5^ +7 ,

1 ————————-——..——-— dx J ( 2 ^2— 1 ) ^ - 4 - 4 ^; i- + - 2 ^ + 1

est égale au terme logarithmique qui figure au second membre.

Cas où l'intégrale u n est pas bien déterminée.

23. Nous avons donné au Chapitre 1 les trois types d^équation F ( ^ , U ) = = o qui répondent aux trois théorèmes du n° 2 : le premier comprend toutes les équations dont l'intégrale est bien déterminée et a deux périodes; le second, toutes les équations d o n t l'intégrale est algébrique; le troisième, toutes les équations dont l'intégrale est bien déterminée et n'a qu'une période. Si donc on a à intégrer une équa- tion qui ne rentre dans aucun de ces trois types, on sera certain d'avance que son intégrale n'est pas bien déterminée. Mais le théorème précédent ajoute aux conditions qui définissent le dernier type u n e condition de plus : il fait connaître un nouveau cas d'exclusion. Nous niions indiquer tous les cas d'exclusion qui résultent de ce théorème, en énumérant les divers cas qui peuvent se présenter dans son appli- cation. Il est aisé de voir que ces cas sont au nombre de sept.

I^{e r} CAS. — Les paramètres c et c\^ sont tous nuls.

2^e CAS. —" Tous infinis.

Dans ces deux cas l'intégrale peut être bien déterminée-

RECHERCHES ALGÉBRIQUES SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES. [33

3e CAS. — Les paramètres c et c^ sont tous finis et différents de zéro.

S'ils ne forment pas une suite de nombres tous commensurables entre eux, l'intégrale ne p e u t pas être bien déterminée : c'est un pre- m i e r cas d'exclusion.

4e CAS. — Certains des paramètres c et c^ sont nuls, d'autres sont infinis.

Ce n'est pas un cas d'exclusion.

5e CAS. — Certains des paramètres c et Cy sont nuls, les autres sont finis et différents de zéro.

Si ceux qui ne sont pas nuls oe forment pas une suite de nombres t o u s commensurables entre eux, c'est un deuxième cas d'exclusion.

6^e CAS. — Certains des paramètres c et c^ sont infinis, les autres sont finis et différents de zéro.

L'intégrale ne peut pas être bien déterminée : c'est un troisième cas d'exclusion.

7^e CAS. — Les paramètres c et c^ sont les uns nuls, les autres infinis.

les autres finis et différents de zéro.

L'intégrale ne peut pas être bien déterminée : c'est u n quatrième cas d'exclusion.

Nous allons donner quelques exemples de ces règles d'exclusion.

Exemples des règles d'exclusion.

24. Exemple 7. — Soit l'équation

U2(U2 + ï ) —— ^ (>---ï )2 = 0.

Les paramètres c^ sont tous finis et différents de zéro. Les par<t- mètres c sont les racines de l'équation binôme c4— s = o. Mais u n e équation binôme ne peut jamais avoir ses racines commensurables entre elles, a moins qu'elle ne soit du second degré. Donc les c ne sont pas tous commensurables entre eux. Cest le premier cas d'exclusion.

Exemple I I . — Soit l'équation

[p -h U — u •= o.