Problématique de l’enseignement des ellipses et des hypertboles
TAGNE TAMEZA Bertrand
26 janvier 2015
♣ Résumé ♣
La problématique de l’enseignement des ellipses et des hyperboles est un en- semble de difficultés liées à l’enseignement de ces notions d’une part, et d’autre part à leur acquisition et à leur appropriation par l’élève. Nous présentons de ce fait le résultat d’une enquête que nous avons menée durant notre stage pra- tique auprès des élèves et des enseignants ainsi que quelques pistes de résolution des problèmes observés. Cette réflexion pédagogique est accompagnée d’un cours détaillé sur l’étude analytique des ellipses et des hyperboles.
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♣ Abstract ♣
The problematic of teaching ellipses and hyperbolas is a set of problems related to teaching these concepts on the one hand, and on the other hand to their acqui- sition and appropriation by students. We present here the results of investigation conducted during our field placement from students and teachers ; as well as some ideas for resolving problems observed. This pedagogical reflection is accompanied by a detailed course on the analytical study of ellipses and hyperbolas.
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♣ INTRODUCTION GENERALE ♣
La nécessité de rendre facile l’enseignement des mathématiques, de mettre à la disposition des enseignants et des élèves de l’Afrique centrale des cours numériques de mathématiques de bonne qualité, l’acquisition par les élèves des bases d’une formation solide en mathématiques permettant de mieux aborder l’enseignement supérieur et d’analyser une situation de la vie, sont les objectifs majeurs du projet Prenum-AC (Production de Ressources Numériques de Mathématiques en Afrique Centrale).
Les ellipses et les hyperboles sont deux notions étudiées dans le chapitre sur les coniques dans les classes de Terminale série "C" de l’enseignement secondaire général et certaines classes de terminale de l’enseignement technique, notamment en série "E". Elles font partie des figures géométriques dont l’étude semble particulière nécessitant à la fois une bonne préparation du jeune esprit (l’élève) et la mise en place des stratégies innovantes de leur enseignement. Ce qui engendre un certain nombre de difficultés.
Après une enquête et quelques entrevues effectuées auprès de certains élèves et enseignants de quelques établissements scolaires de la ville de Yaoundé au Cameroun, plusieurs hypothèses ont été émises essayant ainsi de comprendre l’origine des difficultés liées à l’enseignement et à l’acquisition de ces notions : Est-ce un problème lié aux méthodes d’enseignement même des notions citées, un problème avec la pratique dans le planning des activités ou un problème de la place que ces notions occupent dans le cursus académique ? La difficulté est-elle liée au rapport de ces notions avec le reste des programmes notamment les pré-requis nécessaires ? La nature et la fréquence des évaluations relatives à l’étude de ces notions permettent-elles leur meilleure acquisition et leur consolidation ou alors favorisent-elles une démotivation de l’apprenant ?
Dans ce qui suit, nous proposons une étude des faits observés et proposons quelques pistes de résolution des problèmes sous-jacents. Concrètement, nous menons une réflexion pédagogique au premier chapitre à partir des questions ci-dessus posées et au deuxième chapitre nous proposons un cours enrichi par des exemples d’applications ainsi qu’un recueil détaillé d’exercices.
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REFLEXION PEDAGOGIQUE SUR L’ENSEIGNEMENT DES ELLIPSES ET
DES HYPERBOLES
1.1 Introduction
L’objectif de ce chapitre est d’étudier les facteurs possibles pouvant entraver l’enseignement et l’apprentissage des ellipses et des hyperboles. Pour cela une attention particulière est portée :
− d’une part sur l’enseignement même de ces notions où nous considérons tour à tour le point de vue des élèves, celui des enseignants ainsi que la place de celles-ci dans le cursus académique. Ceci a pour objet de mettre en évidence les facteurs susmentionnés afin de proposer quelques pistes de solutions ;
− d’autre part sur le lien entre ces notions et le reste du programme ainsi que l’analyse de certaines méthodes de construction de ces courbes afin de faire quelques suggestions.
1.2 Enseignement des ellipses et des hyperboles
1.2.1 Point de vue des élèves
Le questionnaire suivant, accompagné de deux exercices, a été proposé à un échantillon de 280 élèves des classes de terminale série C de cinq établissements scolaires de la ville de Yaoundé dans l’optique de comprendre les principales sources de leurs difficultés en ce qui concerne l’apprentissage et l’appropriation des notions enseignées en classe relatives à l’étude analytique des ellipses et des hyperboles.
QUESTIONNAIRE POUR ELEVES
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1.2. Enseignement des ellipses et des hyperboles
1 Avez-vous déjà étudié les ellipses et les hyperboles en classe ?
...
...
2 Aviez-vous déjà entendu parler par le passé ?
...
...
3 Savez-vous ce que c’est que l’équation réduite d’une ellipse ou d’une hyper- bole ?
...
...
4 Si oui, êtes-vous capable de caractériser ces courbes en partant de ces équations ? ...
...
5 Etes-vous capable de donner les éléments de symétrie de ces courbes ?
...
...
6 Etes-vous en mesure d’en faire usage pour donner une représentation géo- métrique des courbes en question ?
...
...
7 Si oui, aviez-vous déjà rencontré des courbes de cette nature dans les classes inférieures ?
...
...
8 Avez-vous rencontré des difficultés à assimiler toutes ces notions ?
...
...
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1.2. Enseignement des ellipses et des hyperboles
9 Si oui, pourquoi ? De quelle nature étaient-elles ?
...
...
10 Qu’est-ce qui pourrait vous aider à surmonter ces difficultés ?
...
...
11 Avez-vous été évalués après ces cours ?
...
...
12 Si oui, combien de fois ? aviez-vous bien travaillé ?
...
...
13 Qu’aviez-vous fait pour mieux préparer ces devoirs ?
...
...
En déployant un raisonnement rigoureux, veuillez traiter les exercices qui suivent.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé (O, I, J ), on considère la conique d’équation réduite
x2
25
+
y92= 1
(1) Quelle est la nature de cette conique ?
(2) Préciser ses foyers, ses directrices et son excentricité.
(3) Quels sont ses axes de symétrie ?
(4) Déterminer l’équation de la tangente à cette conique au point M
0de coordonnées (3;
125).
(5) On considère l’application f du plan définie par son expression analytique :
x
0= x y
0=
35y . (6) Déterminer l’image de la conique ci-dessus par f .
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1.2. Enseignement des ellipses et des hyperboles
(7) Tracer la conique et son image par f dans le plan rapporté au repère (O, I, J ).
Exercice 2
Dans un repère orthonormé (O, I, J ) on considère la conique d’équation réduite
x2
2
−
y42= 1
(1) Quelle est la nature de cette conique ?
(2) Préciser ses foyers, ses directrices et son excentricité.
(3) Quels sont ses axes de symétrie ? (4) Donner sa définition bifocale.
(5) Déterminer l’équation de la tangente à cette conique au point M
0de coordonnées (2; 2).
(6) Déterminer les asymptotes de cette conique.
(7) Déterminer l’équation de cette conique rapportée à ses asymptotes.
(8) Tracer cette conique dans le plan rapporté au repère (O, I, J ).
Commentaire
Le contenu du programme officiel [1] en vigueur au Cameroun relatif à l’enseignement des coniques présente quelques compétences (savoir et savoir- faire) attendu de l’élève. Ce sont ces dernières qui nous ont orienté dans la formulation du questionnaire ci-dessus ainsi que des exercices proposés.
Analyse des résultats obtenus
Les résultats obtenus nous ont permis de dégager un certain nombre d’observation.
Environ 70 % des élèves sont incapables de caractériser une ellipse ou une hyperbole en partant de son équation réduite un mois après leur étude en classe avec l’enseignant et font alors recours à une tentative de remémorisation des formules à la veille d’une interrogation si elle est annoncée.
Parmi ceux-ci, environ 60 % avouent que cela est dû au fait de l’arrivée tardive du chapitre sur les coniques. En effet, disent-ils, la fin d’année est proche et il n’y a plus le temps pour étudier en profondeur les notions abordées, cela prendrait beaucoup de temps alors qu’il faut déjà commencer à faire des révisions.
Les 40 % restant pensent que c’est la rareté et le faible poids des exercices traitant de ces notions aux examens officiels, l’épreuve de mathématique au baccalauréat série C, qui les démotive. En effet sur les 14 derniers sujets de mathématiques au baccalauréat, sessions de 1999 à 2012, seulement 5 sujets comportent un exercice sur les coniques et ceci avec de très faibles
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1.2. Enseignement des ellipses et des hyperboles
poids : 2.5 points pour l’année 2002, 1 point pour l’année 2005, 2 points pour l’année 2007, 1 point pour l’année 2008, et 2 points pour l’année 2012. Signalons au passage qu’au moment où nous achevons la rédaction de ce mémoire, aucune de ces notions n’est paru sur l’épreuve de l’année 2013.
Cependant, 30 % des élèves interrogés ont fait preuve d’une maîtrise au dessus de la moyenne des notions enseignées et pensent qu’une intégration des TIC dans l’enseignement de ces notions leur aurait peut être permis de s’améliorer. En effet, disent-ils, si nous avions utilisé des outils nous permettant de mieux visualiser la construction de ces courbes, nous nous serions sans doute mieux en sortis.
1.2.2 Place dans la progression annuelle
Le questionnaire suivant soumis à certains enseignants, ainsi que les entrevues avec d’autres pendant notre stage pratique, nous ont permis de dégager quelques observations en ce qui concerne la période de passage des leçons portant sur l’étude analytique des ellipses et des hy- perboles au courant de l’année scolaire, les pré-requis nécessaires ainsi que les facteurs pouvant entraver l’enseignement de ces notions.
QUESTIONNAIRE POUR ENSEIGNANTS
1 Pensez-vous que les ellipses et les hyperboles soient réellement des notions nouvelles pour les élèves de terminale ?
...
...
2 Si non à quel niveau d’étude les rencontre-t-on ?
...
...
3 Pendant quelle période de l’année scolaire aimez-vous généralement ensei- gner ces notions ?
...
...
4 Quels sont selon vous les pré-requis nécessaires pour cela ?
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1.2. Enseignement des ellipses et des hyperboles
...
...
5 Rencontrez-vous des problèmes lors du passage de ces leçons ? Si oui lesquels et que faites-vous pour les surmonter ?
...
...
6 Qu’est-ce qui pourrait vous aider à surmonter ces difficultés ?
...
...
7 Combien d’évaluations faites-vous généralement sur ces notions après leur enseignement ?
...
...
8 Selon vous, quelles sont les principales difficultés auxquelles les élèves sont généralement confrontés aucours de ces leçons ?
...
...
9 Quelles en sont vos stratégies d’amélioration ?
...
...
10 Quelles performances voulez-vous percevoir en l’élève ?
...
...
Analyse des résultats obtenus
Les résultats obtenus nous ont permis de constater que plus de la moitié des enseignants interrogés commencent cette leçon à partir du mois de mars. C’est-à-dire environ deux mois avant l’examen officiel ; ce qui a tendance à crédibiliser les problèmes de certains groupes d’élèves comme mentionnés plus haut. Ce-pendant, pensent-ils, la raison est simple, bien que l’allure
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1.2. Enseignement des ellipses et des hyperboles
des courbes elliptiques et hyperboliques ne soit pas très nouvelle pour les élèves, l’étude de ces courbes est particulière et nécessite pour cela une consolidation des acquis des classes inférieures ; notamment les outils géométriques, les transformations planes ainsi que l’étude des fonctions numériques d’une variable réelle. Ce qui justifie l’étude d’un certain nombre de chapitres avant le chapitre portant sur les coniques et donc sur les ellipses et les hyperboles.
En outre, presque tous mettent le point sur les méthodes d’enseignement et pensent qu’il va falloir passer de l’enseignement classique, où l’enseignement des mathématiques n’a de sens que lorsqu’on tient un morceau de craie devant un tableau noir, à un enseignement qui rime avec la technologie actuelle, surtout en ce qui concerne l’enseignement des notions faisant intervenir des courbes. Mais faute d’infrastructures, on fait avec ce qu’on a.
Enfin, le problème d’effectifs pléthoriques dans les classes, disent-ils, ne leur permet pas de comprendre les véritables problèmes de la majeur partie des élèves. En effet, plus les effectifs sont grands, plus la maîtrise de la classe est difficile. Il n’en est pas moins de la non participation des élèves aux cours.
1.2.3 Place occupée dans le cursus académique
Selon le programme officiel de mathématiques au Cameroun, les coniques et donc les ellipses et les hyperboles constituent une notion réservée dans l’enseignement général pour la classe de terminale série C ou classe de mathématiques et sciences physiques. En outre, cette notion reste presque absente dans le cursus académique. En effet les unités d’enseignements abordées dans nos universités ne valorisent presque pas l’étude analytique des ellipses et des hyperboles vue en classe de terminale. L’on croirait alors que cette notion abordée au secondaire ne constitue pas un pré-requis pour aborder les matières du supérieur.
Cette réalité pose un problème de consolidation de ces notions à l’université. La consé- quence est néfaste pour ceux des enseignants vacataires du secondaire non diplômés des Ecoles Normales Supérieures (ENS) au cours de leurs premières années d’expérience. Remarquons au passage que l’étude des quadriques, notamment des ellipsoïdes et des hyperboloïdes qui est une généralisation dans l’espace de l’étude des ellipses et des hyperboles étudiées dans le plan, faite en quatrième année à l’ENS de Yaoundé permet entre autres une consolidation des acquis du secondaire et aide à sa façon les enseignants du lycée diplômés de l’ENS de Yaoundé.
1.2.4 Quelques pistes de résolution des problèmes observés
(i) En mathématique, la lecture des notes de cours s’accompagne d’un entraînement soutenu au quotidien. L’élève doit donc avoir l’habitude de s’exercer au quotidien à travers des
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1.2. Enseignement des ellipses et des hyperboles
exercices plus ou moins difficiles. Cela lui permet non seulement de se familiariser avec les notions et les formules données dans le cours, mais aussi, lui évite de chercher à retenir plusieurs formules pourtant très semblables à la veille des évaluations. Ce qui permet aussi d’éviter les problèmes de confusion de formules dans la salle de composition. Pour atteindre cet objectif, l’enseignant doit faire preuve d’une disponibilité dans l’enceinte de l’établissement scolaire et pas seulement durant les heures de cours.
L’arrivée tardive du chapitre dans la progression annuelle peut être surmontée. En effet, parmi les pré-requis nécessaires pour l’enseignement des ellipses et des hyperboles, l’on remarque l’absence complète des notions abordées seulement en classe de terminale. Les cours de la première sur les fonctions numériques à variable réelle ainsi que la géométrie plane pourront suffire pour démarrer l’étude des coniques en classe de terminale. L’on pourrait alors aborder la notion un peu plus tôt vers la rentrée scolaire. Ce qui donnerai le temps à la fois à l’élève pour bien étudier le chapitre, et au professeur de multiplier les évaluations à ce sujet.
Compte tenu du fait que ces notions sont comptées parmi celles faisant la particularité des programmes de la série C, la hiérarchie devrait à ce sujet accroître leur fréquence aux examens officiels. Ce qui constituerait un stimulus chez l’élève à mieux s’intéresser à ce cours.
(ii) En outre, si nos lycées étaient mieux équipés, alors l’illustration et la mise en pra- tique des connaissances théoriques reçu dans le cours (notamment le programme de construction point par point d’une conique à centre ou le programme de construction de la tangente en un point d’une conique) permettraient aux apprenants de mieux se familiariser avec les notions enseignées. Parmi de nombreux logiciels d’enseignement des mathématiques que l’on peut utiliser, nous pouvons citer Geogebra et Casyopée qui sont deux logiciels spécialisés dans le traitement de la géométrie et des courbes planes. Pour ce, un recyclage du personnel enseignant à l’usage de ces outils TIC s’avère nécessaire.
(iii) Au niveau de l’enseignement supérieur, l’accent devrait être mis sur l’étude des qua- driques si possibles au même titre que certaines matières d’algèbre et d’analyse ; ceci à partir du premier cycle universitaire pour permettre une généralisation de l’étude des coniques dans l’espace tout en apportant une meilleure consolidation de l’étude faite dans le plan en classe de terminale.
Ceci permettrait au futur enseignant d’être au dessus des notions qu’il sera appelé à
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1.3. Lien avec le reste du programme
enseigner au secondaire au lieu de revenir dispenser des cours qu’il a lui-même ren- contré uniquement en terminale. L’étude faite au supérieur permettrait aussi au futur enseignant :
• d’être capable de trouver des domaines d’application un peu plus variés des notions qu’il enseigne, pour une meilleure illustration de ses enseignements ;
• d’être en mesure d’élaborer des nouvelles techniques d’approche d’une notion qui pour- ront faciliter une meilleure compréhension chez l’apprenant.
La problématique de l’étude des ellipses et des hyperboles ne saurait se limiter à l’analyse des difficultés liées à l’enseignement de ces notions. Mais, il serait sans doute intéressant de porter une attention sur les rapports de ces notions avec le reste du programme.
1.3 Lien avec le reste du programme
1.3.1 Les pré-requis
Le programme officiel camerounais place l’étude des coniques après l’étude des fonctions numériques d’une variable réelle suivi de l’étude de la géométrie et des transformations planes.
Les livres au programme à l’instar de la Collection Inter Africaine de Mathématiques (CIAM)[2]
ne s’éloignent pas de cette façon de faire et adoptent pratiquement la même philosophie. C’est ce qui justifierait sans doute l’approche de certains enseignants lorsqu’ils parlent de la consolidation des acquis des classes inférieures à travers l’étude des fonctions et des transformations planes en terminale avant l’étude des coniques.
Ainsi, pour mieux aborder l’étude des ellipses et des hyperboles en classe de terminale, il est conseillé à l’élève de se familiariser tout d’abord avec les notions suivantes :
a) Géométrie analytique du plan
• symétrie par rapport à une droite ;
• symétrie par rapport à un point ou symétrie centrale ;
• représentation de l’image d’une figure géométrique par une transformation plane.
b) Etude des fonctions numériques d’une variable réelle
• continuité en un point et continuité sur un intervalle ;
• dérivabilité en un point et dérivabilité sur un intervalle ;
• tangente en un point d’une courbe dont l’abscisse est donnée ;
• sens de variation d’une fonction ;
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1.3. Lien avec le reste du programme
• ssymptote à une courbe donnée ;
• tracé d’une courbe.
Tels sont les pré-requis nécessaires pour démarrer avec aisance l’étude analytique des ellipses et des hyperboles.
Signalons tout de même que dans le cadre du cours que nous proposons dans la suite de ce travail, l’élève doit avoir fait preuve d’une bonne maîtrise des notions abordées dans la ressource N
029. Dans cette ressource, il lui sera présenté comment partir de l’équation cartésienne générale d’une conique à centre (ellipse ou hyperbole) pour obtenir son équation réduite : point de départ du cours que nous proposons dans le chapitre suivant.
1.3.2 Apport des transformations planes
Définition
Une transformation plane est une application affine bijective du plan dans lui-même.
Définition
Etant donnée une transformation f du plan P , une partie E de P est dite :
− (globalement) invariante par f si f (E) = E ;
− invariante point par point si ∀M ∈ E, f(M ) = M .
La maîtrise de ces définitions nous permet entre autre d’étudier juste une partie de certaines figures géométriques dans un domaine plus restreint et d’en déduire via des transformations toute la figure dans tout le domaine d’étude.
Le travail supplémentaire pour l’étude d’un objet dans un domaine donné du plan consiste- rait alors à déterminer toutes les transformations planes laissant globalement invariant l’objet ; d’étudier juste une partie de l’objet dans un domaine plus restreint et judicieusement choisi et d’en déduire alors une représentation globale de l’objet dans son domaine d’étude.
Parmi les transformations laissant invariant une ellipse ou une hyperbole centrée en l’origine d’un repère, nous pouvons citer les symétries orthogonales par rapport aux axes du repère ainsi que la symétrie centrale par rapport à son origine . Il suffit de constater en utilisant son équation réduite que si un point de coordonnées (x; y) appartient à une ellipse (resp. à une hyperbole) alors les points de coordonnées (−x; y), (x; −y) et (−x; −y) appartiennent eux aussi à l’ellipse (resp. à l’hyperbole).
Pour une ellipse d’équation réduite
xa22+
yb22= 1, sa représentation graphique dans un repère orthonormé pourra être déduite de celle de la fonction numérique définie sur [0; a[ par f : x 7−→
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1.3. Lien avec le reste du programme
b a
