Correction DS4

(1)

Correction DS n°4 – 1^ère S 1 – 16/12/16 Exercice n°1 :

1.

a) VRAI : Δ = (−5)²− 4 × (−2) × 3 = 49 > 0 b) FAUX : 𝛼 = − ^𝑏

2𝑎 =⁻⁽⁻⁵⁾

−4 = −⁵

4 𝑒𝑡 𝛽 = 𝑃(𝛼) = −2 × (−⁵

4)²− 5 × (−⁵

4) + 3 =⁴⁹

8

le maximum de P est ⁴⁹₈ (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓) atteint en 𝑥 = −⁵

4

c) VRAI d’après la question a) : Δ > 0 l’équation 𝑃(𝑥) = 0 admet donc 2 solutions : {

𝑥₁= ^5−√49

2×(−2)=¹

2

𝑥₂ = ^5+√49

2×(−2)= −3

Donc 𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂) = −2 (𝑥 −¹

2) (𝑥 + 3) d) FAUX 𝑃(0) = −2 × 0²− 5 × 0 + 3 = 3

donc La courbe de la fonction P coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ;3) 2. On pose 𝑋 = 𝑥² On résout alors l’équation : 2𝑋²+ 𝑋 − 6 = 0

Δ = 1² − 4 × 2 × (−6) = 1 + 48 = 49 > 0 L’équation admet donc deux solutions : 𝑋₁=^−1−√49

2×2 = −⁸

4= −2 𝑒𝑡 𝑋₂ =^−1+√49

2×2 =³

2 Or 𝑋 = 𝑥² , la solution 𝑋1= −2 est donc exclue car un carré est toujours positif Donc 𝑥₁= √³

2 ; 𝑥₂= − √³

2

3. Δ = 3² − 4 × (−1) × (−𝑚) = 9 − 4𝑚

L’équation 𝑓(𝑥) = 0 n’admet aucune solution si et seulement si Δ < 0 C’est-à-dire : 9 − 4𝑚 < 0

C’est-à-dire : 9 < 4𝑚 C’est-à-dire : ⁹₄< 𝑚

Ainsi l’équation 𝑓(𝑥) = 0 n’admet aucune solution si et seulement si 𝑚 >⁹

4

Exercice n°2 : 1. Graphique

2. L’équation ^6𝑥+3_𝑥+3 = 2𝑥 − 1 semble admettre 2 solutions car 𝐶𝑓 𝑒𝑡𝐷 se coupent 2 fois.

Conjecture : 𝐶_𝑓 est au-dessus de 𝐷 sur ] − ∞; −3[∪] − 1.5; 2[

𝐶_𝑓 est au-dessus de 𝐷 sur] − 3; −1.5[ ∪]2; +∞[

3. ^6𝑥+3

𝑥+3 > 2𝑥 − 1 ⇔^6𝑥+3

𝑥+3 −(2x − 1)> 0

⇔6𝑥+3−(2𝑥−1)(𝑥+3) 𝑥+3 > 0

⇔^{6𝑥+3−(2𝑥}²^{+6𝑥−𝑥−3)}

𝑥+3 > 0

⇔^{6𝑥+3−2𝑥}²^{−6𝑥+𝑥+3}

𝑥+3 > 0

⇔^−2𝑥²^+𝑥+6

𝑥+3 > 0

Δ = 1² − 4 × (−2) × 6 = 1 + 48 = 49 > 0

−2𝑥²+ 𝑥 + 6 = 0

L’équation admet donc 2 solutions : { 𝑥₁=^−1−√49

−4 = 2 𝑥₂ =^−1+√49

−4 = −³

2

𝑥 + 3 = 0 ⇔ 𝑥 = −3 (valeur interdite)

(2)

𝑥 −∞ − 3 − 1.5 2 + ∞

𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 − 2𝑥²+ 𝑥 + 6 − − + −

Signe de x+3 − + + +

Signe de ^−2𝑥²^+𝑥+6

𝑥+3

+ − + −

Conclusion :

 ∀𝑥 ∈] − ∞; −3[∪] − 1.5; 2[ ∶ 𝑓(𝑥) − 𝑦 ≥ 0

⇔ ∀𝑥 ∈] − ∞; −3[∪] − 1.5; 2[ ∶ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑦

𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒔𝒖𝒓] − ∞; −𝟑[∪] − 𝟏. 𝟓; 𝟐[ 𝑪_𝒇 est au-dessus de 𝑫.

 ∀𝑥 ∈ ] − 3; −1.5[∪]2; +∞[∶ 𝑓(𝑥) − 𝑦 ≤ 0

⇔ ∀𝑥 ∈] − 3; −1.5[∪]2; +∞[ ∶ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑦

Donc sur ] − 𝟑; −𝟏. 𝟓[∪]𝟐; +∞[∶ 𝑪_𝒇 est en-dessous de 𝑫.

Exercice n°3 :

1. 𝑔(𝑥) = 0 Δ = 24² − 4 × (−3) × (−21) = 324 > 0

L’équation g(x)=0 admet donc deux solutions : L’équation g(x)=0 admet donc deux solutions : 𝑥₁= ^{−24−√324}

2×(−3) = 7 et 𝑥₂ = ^−24+√324

2×(−3) = 1 Donc 𝑥_𝐴= 1 𝑒𝑡 𝑥_𝐵 = 7 .

2.

a) 𝑆(𝛼) =𝐵𝑎𝑠𝑒 ×ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

2 =^{𝐴𝐵×ℎ}

2 =^{6 𝑓(𝛼)}

2 = 3𝑓(𝛼) = 3(−3𝛼²+ 24𝛼 − 21) = −9𝛼²+ 72𝛼 − 63 b) 𝛼 = − ^𝑏

2𝑎= ⁻⁷²

2×(−9)= 4 ; 𝛽 = 𝑆(4) = −9 × 4²+ 72 × 4 − 63 = 81

Ainsi l’aire maximale du triangle AMB est de 81, atteinte lorsque M a pour abscisse 4.

Exercice n°4:

1. Cercle trigonométrique 2.

a) −^151𝜋

4 = −^152𝜋

4 +^𝜋

4= −38𝜋 +^𝜋

4

−38 est pair donc la mesure principale est : ^𝜋

4 b) ^20𝜋₃ =^18𝜋

3 +^2𝜋

3 = 6𝜋 +^2𝜋

3

6 est pair donc la mesure principale est : ^2𝜋

3

c) −^43𝜋

6 = −^48𝜋

6 +^5𝜋

6 = −8𝜋 +^5𝜋

6

−8 est pair donc la mesure principale est : ^5𝜋

6

d) 151𝜋 = 150 𝜋 + 𝜋

150 est pair donc la mesure principale est : 𝜋 3.

420 × ^𝜋

180=^7𝜋

3 ; 7 ×¹⁸⁰

6 = 210 ; 11 ×¹⁸⁰

4 = 495 ;314 × ^𝜋

180=^157𝜋

90

4.

a) (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^𝜋

2+^𝜋₃=^5𝜋₆ b) (𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝜋 − (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) − (𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝜋 −^𝜋

2−^𝜋

6=^𝜋

3 c) (𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 𝜋 = (𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 𝜋 =^𝜋

3+^𝜋

3+ 𝜋 =^5𝜋

3

d) (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 𝜋 = 𝜋

Mesure en degré 420 210 495 314

Mesure en radians 7𝜋 3

7𝜋 6

11𝜋 4

157𝜋 90