[ Baccalauréat ES Polynésie juin 1996 \
EXERCICE1 4 points
Commun à tous les candidats
Le plan est rapporté à un repère orthonormal³ O,−→
ı,−→
´(unité graphique : 2 cm).
On considère la paraboleΠd’équationy=x2, et la droite∆d’équationy=3.
1. ReprésenterΠet∆, quandxappartient à l’intervalle [−2 ;+2].
2. Calculer l’intégraleI= Zp3
−p 3x2dx.
3. a. La droite∆coupeΠen deux points, A, d’abscisse positive, et B, d’abscisse négative.
On note C et D les points de l’axe des abscisses tels que ABCD soit un rectangle.
Dessiner ce rectangle, et calculer son aire, en cm2.
b. On note P la partie du plan comprise entre le segment [AB] et la paraboleΠ.
Calculer, en cm2, l’aire de P.
c. Vérifier que l’aire de P est égale aux deux tiers de l’aire de ABCD.
EXERCICE2 5 points
Enseignement obligatoire
Un vendeur d’adoucisseurs d’eau a l’intention de proposer deux de ses produits (modèlesimpleet modèlehaut de gamme) dan un lotissement nouvellement construit. Une enquête a montré que 20 % des foyers se déclarent intéressés par l’achat d’un adoucisseur.
L’expérience du vendeur lui a appris que, parmi les foyers se déclarant intéressés, 50 % achètent le modèlesimple, 40 % le modèlehaut de gamme, les autres renonçant finalement à l’achat. On nomme : Il’évènement : « le foyer est intéressé » ;
Al’évènement : « le foyer achète le modèlesimple» ;
Bl’évènement : « le foyer achète le modèlehaut de gamme» ; Cl’évènement : « le foyer renonce à l’achat ».
1. Calculer les probabilités des évènementsI∩A,I∩B,I∩C.
2. Montrer que la probabilité pour qu’un foyer pris au hasard n’achète pas d’adoucisseur est égale à 0,82.
3. Le vendeur envisage de fixer le prix du modèlesimpleà 4 000 F et celui duhaut de gammeà 8 000 F.
On appelleXla variable aléatoire correspondant à la somme (éventuellement nulle) versée au vendeur par un foyer visité au hasard.
a. Déterminer la loi de probabilité deXet calculer son espérance mathématique.
b. Pour que son bénéfice soit suffisant, l’espérance de gain du vendeur devrait être de 1 300 F pour un foyer visité. S’il veut vendre le modèlesimpleà moitié prix du modèlehaut de gamme, comment doit-il modifier ses prix ?
EXERCICE2 5 points
Enseignement de spécialité
Soit (un) la suite définie paru0=7 et, pour tout entier natureln, par
un+1=2un+6
5 .
1. Calculeru1,u2,u3.
Baccalauréat ES A. P. M. E. P.
2. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier natureln, par :vn=un−2.
a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Exprimervnen fonction den, et en déduire que :un=5 µ2
5
¶n
+2 c. Quelle est la limite de la suite (un)?
PROBLÈME 11 points
Partie A
La fonctiongest définie, sur l’intervalle
·1 e;+∞
· , par :
g(x)=2x
e −1−lnx.
1. a. Calculerg′(x), oùg′désigne la fonction dérivée deg. Étudier son signe, et, en déduire le sens de variation deg. b. Calculer la limite deglorsquextend vers+∞. (On pourra écrire :
g(x)=x
·2 e−1
x−lnx x
¸¶
.
c. Calculerg µ1
e
¶ etg³e
2
´.
d. Dresser le tableau de variation deg.
2. a. Calculerg(e) et justifier queg(x)>0 pourx>e.
b. Montrer quegs’annule sur l’intervalle
·1 e; e
2
¸
pour une valeur unique que l’on noteraα.
Donner un encadrement deαd’amplitude 10−2. 3. Le plan est rapporté à un repère orthogonal³
O,→− ı,−→
´(unité graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses, 4 cm sur l’axe des ordonnées).
a. Tracer la courbe représentativeΓde la fonctiong. Placer, en particulier, les points d’abs- cissesαet e.
b. Résoudre graphiquement l’inéquation :g(x)>0.
Partie B
La fonction f est définie, sur
·1 e;+∞
· , par :
f(x)=x2
e −xlnx.
1. Vérifier quef′(x)=g(x).
En déduire le tableau de variation def.
2. Justifier quef est positive ou nulle sur l’intervalle
·1 e;+∞
·
. On ne demande pas de représen- ter graphiquementf.
Partie C
La fonctiongreprésente le chiffre d’affaires marginal d’une entreprise, en fonction du nombre de ses employés. C’est la dérivée de la fonction correspondant au chiffre d’affaires exprimé en francs.
Déterminer ce chiffre d’affaires, sachant qu’il est nul pour un employé.
Polynésie 2 juin 1996
