10 septembre 2019
EXERCICE 1 6 points
À un concours de musique, 70 % des candidats sont des filles. Les candidats choisissent de jouer au concours soit du piano, soit du violon, soit de la flûte traversière. Parmi les filles, 60 % jouent du piano et 30 % du violon. Parmi les garçons, 70 % jouent du piano et 15 % du violon.
On choisit au hasard un candidat à ce concours et on note :
• Fl’évènement « le candidat est une fille » ;
• T l’évènement « le candidat joue de la flûte traversière » ;
• Vl’évènement « le candidat joue du violon » ;
• Pl’évènement « le candidat joue du piano ».
1. La situation de l’exercice est modélisée par l’arbre pondéré représenté ci-dessous :
F 0,7
0,6 P
V 0,3
F
0,3 P
0,7 0,15 V
T 0,15
2. D’après l’énoncé : a. P(F)=0,7 b. PF(P)=0,6
3. L’évènementF∩T est « le candidat est une fille ET le candidat joue de la flûte traversière ».
P(F∩T)=P(F)×PF(T)=0,7×0,1=0,07.
4. D’après la formule des probabilités totales : P(T)=P(F∩T)+P³
F∩T´
=P(F)×PF(T)+P³ F´
×PF(T)=0,07+0,3×0,15=0,115.
5. Sachant que le candidat joue de la flûte traversière, la probabilité que ce soit une fille est : PT(F)=P(F∩T)
P(T) = 0,07 0,115≈0,61.
EXERCICE 2 7 points
Dans cet exercice, on notelnla fonction logarithme népérien. On rappelle queln(e)=1.
On considère une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle£1
2; 5¤
. On désigne par f′sa fonction dérivée.
On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans le repère orthonormé³ O ;−→
ı,−→
´ci-dessous.
La droiteT est la tangente à la courbeC au point A d’abscissex=e.
1 2 3 4 5
−1 0
−1
−2
−3 1 2 3 4
x y
O
C
e A
T
0,2 0,5 2
3.6
−1,7
bb
b
∆y
∆x
1. Avec la précision permise par la lecture du graphique : a. f¡1
2
¢≈0,2
b. L’antécédent de 2 parf sur l’intervalle£1
2; 5¤
est environ 3,6.
c. L’ordonnée à l’origine de la droiteTest environ−1,7.
d. Le coefficient directeur de la droiteTest voisin de 1.
2. On admet dans toute la suite de l’exercice que la fonctionf est définie sur l’intervalle£1
2; 5¤ par l’expression :f(x)=xln(x)−x+1.
On utilise la formule, pouraetbstrictement positifs, ln¡a
b
¢=ln(a)−ln(b).
Donc ln¡1
2
¢=ln(1)−ln(2)= −ln(2), et doncf¡1
2
¢=12ln¡1
2
¢−12+1= −12ln(2)+12 3. Pour tout réelxde l’intervalle£1
2; 5¤
,f′(x)=1×ln(x)+x×1x−1+0=ln(x)+1−1=ln(x).
4. On sait que pour 0<x<1, on a ln(x)<0 et pourx>1, on a ln(x)>0.
f¡1
2
¢≈0,15;f(1)=0 etf(5)≈4
On établit le tableau des variations de la fonctionf sur£1
2; 5¤ .
x 12 1 5
f′(x)=ln(x) −−− 0 +++
≈0,15 ≈4
f(x)
0
5. On complète le tableau des variations de la fonctionf en plaçant le nombre 3 sur la ligne repré- sentantf(x) :
x 12 1 5
≈0,15 ≈4
f(x)
0
3 α
On en déduit que l’équation f(x)=2 admet une unique solutionαappartenant à l’intervalle [1 ; 5].
6. La tangente à la courbe représentant une fonction f au point de la courbe d’abscisseaa pour équationy=f′(a)(x−a)+f(a).
La tangenteT à la courbeC au point d’abscisse e a pour équationy=f′(e)(x−e)+f(e).
f(x)=xln(x)−x+1 doncf(e)=eln(e)−e+1=e−e+1=1 f′(x)=ln(x) doncf′(e)=ln(e)=1
La tangenteT a pour équationy=1×(x−e)+1 soity=x−e+1.
EXERCICE 3 Enseignement obligatoire 7 points
Rappels
• Dans la gamme de tempérament égal, l’octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes : DO, DO#, RÉ, RÉ#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI.
Quand on monte d’un demi-ton, la fréquence de la note, exprimées en hertz (Hz), est multipliée parq=2121.
• À chaque octave est associée un entier naturelnappelé indice et les notes d’une octave portent l’indice de cette octave. Ainsi le LA3(le LA du diapason) correspond à la note LA de l’octave d’in- dice 3, le LA4correspond à la note LA de l’octave d’indice 4 située au-dessus de l’octave d’indice 3.
La fréquence de LA3est 440 Hz.
• Si un son possède une intensité sonoreI(exprimée en W.m−2), son niveau sonore est exprimé en décibels (dB) par :
N(I)=10 log µI
I0
¶
oùI0=10−12W.m−2et log désigne la fonction logarithme décimal.
• On rappelle que les intensités sonores s’ajoutent.
• Pour deux notes de fréquences respectivesf1etf2, avecf2>f1, la différence de hauteur de ces notes, exprimée en savarts, est égale à 1000 log
µf2
f1
¶ .
• Une quarte juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste en contient sept.
1. a. À partir du LA3, on monte de trois quartes justes ; on monte donc de 3×5=15 demi-tons.
octave 3
z }| {
... LA LA# SI
octave 4
z }| {
DO DO# RÉ RÉ# MI FA FA# SOL SOL# LA LA# SI
octave 5
z }| { DO DO# ...
+15 La note obtenue est donc le DO5.
b. La fréquence du LA3est de 440 Hz.
Quand on monte d’un demi-ton, la fréquence est multipliée par 2121, donc elle est multipliée par³
2121´15
quand on monte de quinze demi-tons.
La fréquence du DO5est donc en hertz de 440×
³2121´15
soit 1047 en arrondissant à l’unité.
c. La différence de hauteur, exprimée en savarts, entre le LA3(de fréquence 440 Hz), et le DO5
(de fréquence 440×
³2121´15
Hz) est 1000 log
440×
³2121´15
440
=1000 logµ³ 2121´15¶
soit 376 en arrondissant à l’unité.
2. On admet que l’intensité sonore moyenne d’une guitare classique est égale à 3,2×10−5W.m−2. Le niveau sonore moyen d’une guitare classique est, en décibels,
N¡
3,2×10−5¢
=10 log
µ3,2×10−5 10−12
¶
=10 log¡
3,2×107¢
soit 75 en arrondissant à l’unité.
3. On admet que le niveau sonore moyen d’une clarinette est de 90 dB.
L’intensité sonore moyenne d’une clarinette est le nombreItel queN(I)=90.
N(I)=90 ⇐⇒10 log µ I
10−12
¶
=90 ⇐⇒log¡
I×1012¢
=9⇐⇒ I×1012=109 ⇐⇒I=10−3 L’intensité sonore moyenne d’une clarinette est égale à 10−3W.m−2.
4. On admet que l’intensité sonore moyenne d’un trombone est égale à 3,2×10−3W.m−2.
Léa affirme qu’un pupitre de 8 clarinettes jouant ensemble, joue avec le même niveau sonore moyen qu’un pupitre de 3 trombones jouant ensemble.
Les intensités sonores s’ajoutent donc l’intensité sonore de 3 trombones est de 3×3,2×10−3= 9,6×10−3W.m−2, et l’intensité sonore de 8 clarinettes est de 8×10−3W.m−2.
Les intensités sonores sont différentes donc les niveaux sonores seront différents ; Léa a tort.
EXERCICE 4 Enseignement enforcé 7 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct³ O ;−→
u,−→ v
´. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ2.
On considère les points A, B et C d’affixes respectiveszA,zBetzCdéfinis par : zA=p
3−i, zB=3i et zC=zA×zB. 1. a. On place le point B dans le repère orthonormé³
O ;→− u,−→
v
´. Voir graphique.
b. zB=3i. Or i est le nombre complexe de module 1 et d’argument π2donczB=3eiπ2. 2. a. zA=p
3−i donc|zA| =q¡p 3¢2
+(−1)2=
q3+1=2
zA=1 2
Ãp 3 2 −1
2i
!
On cherche un réelθtel que cos(θ)= p3
2 et sin (θ)= −1
2; le réel−π
6 convient.
DonczA=2e−iπ6.
b. Le point A est le point du cercle de centre O et de rayon 2, d’ordonnée−1 et d’abscisse positive.
Voir graphique.
3. a. zC=zA×zB=2e−iπ6×3eiπ2 =6ei¡π2−π6¢=6eiπ3 b. zC=zA×zB=¡p
3−i¢
×(3i)=3+3ip
3; de plus on sait que|zC| =6.
Le point C est donc le point du cercle de centre O et de rayon 6, d’abscisse égale à 3 et d’or- donnée positive. Voir graphique.
c. Soit U le point tel que−−→OU=→− u. zA=2e−iπ6 doncAOU=π
6 etzC=2eiπ3 doncUOC=π 3 AOC=AOU+UOC=π
6+π 3=π
2 donc le triangle AOC est rectangle en O.
d. OA= |zA| =2 etzC=6eiπ3 donc OC= |zC| =6
Le triangle AOC est rectangle en O donc, d’après le théorème de Pythagore, AC2=OA2+OC2=4+36=40.
Donc AC=p 40=2p
10
O ~u
~v
U V
bB
b A
bC
