21 avril 2016
Exercice 1 4 points
Commun à tous les candidats
1. Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=3x−xlnx.
On admet quef est dérivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et on désigne parf′sa fonction dérivée.
f′(x)=3−
·
1×lnx+x×1 x
¸
=3−lnx−1=2−lnxsoitla réponse c 2. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
La somme des 13 premiers termes de cette suite est appeléeS.
On auraS=1×1−213
1−2 =8191 soit la réponse b
3. Une variable aléatoireXsuit une loi uniforme sur l’intervalle [2; 7].
P(X>4)=P(46X67)=7−4
5 etP(26X65)=5−2
5 soitla réponse b
4. On réalise un sondage sur un échantillon denpersonnes (n, entier naturel non nul). L’inter- valle de confiance au seuil de 95 % est
· f − 1
pn;f + 1 pn
¸
; son amplitude vaut donc 2 pn. p2
n=0,02⇐⇒n=10000 donc la bonne réponse est laréponse c.
Exercice 2 6 points
Commun à tous les candidats
Partie A : Étude graphique Voir graphique page 6.
1. La quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise correspond au minimum de la fonctionC; elle est égale à 4,5.
2. a. C(6)=5 etR(6)=18 doncD(6)=18−5=13.
Le résultat net pour une production de 6 tonnes est donc de 1300 euros.
b. L’entreprise réalise un bénéfice quand la productionxest telle que le coût est strictement inférieur au rapport, c’est-à-dire quandC(x)<R(x), autrement dit entre 2,8 et 13,3 tonnes.
Partie B : Étude d’une fonction On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [1; 15] par : g(x)= −0,6x+4+e−x+5.
1. a. La fonctiongest dérivable [1; 15] etg′(x)= −0,6−e−x+5.
b. e−x+5>0 quelle que soit la valeur dex donc−e−x+5<0 et par suite,g′(x)<0 comme somme de deux nombres strictement négatifs.
La fonctiongest donc strictement décroissante sur [1; 15]
2. a. g(1)≈58 etg(15)≈ −5; on a donc le tableau de variation suivant :
x 1 15 g′(x) −−−
58
g(x)
−5 0
α
b. Le tableau de variation degjustifie que l’équationg(x)=0 admet une unique solution sur [1; 15] ;
g(6)≈0,77>0 g(7)≈ −0,06<0
¾
=⇒ α∈[6; 7] g(6,9)≈0,01>0 g(7,0)≈ −0,06<0
¾
=⇒α∈[6,9; 7]
Enfing(6,91)≈0,002>0 g(6,92)≈ −0,005<0
¾
=⇒ α∈[6,91; 6,92]
Doncα≈6,9 à 0,1 près.
c. On en déduit donc le tableau de signe suivant :
x 1 α 15
g(x) +++ 0 −−−
Partie C : Application économique 1. D(x)=R(x)−C(x)=3x−¡
0,3x2−x+e−x+5¢
= −0,3x2+4x−e−x+5 2. D′(x)= −0,3×2x+4+e−x+5=g(x)
3. D(1)≈ −50,9 ,D(α)≈13,17 etD(15)≈ −7,5;
on aura donc le tableau de variation de la fonctionDsuivant :
x 1 α 15
g(x) +++ 0 −−−
13,17
D(x)
−50,9 −7,5
4. a. L’entreprise rendra son bénéfice maximal pour une production deαtonnes soit environ 6,9 tonnes
b. Le bénéfice réalisé sera alors de 1317 euros.
Exercice 3 5 points
Commun à tous les candidats
Partie A
1. En utilisant les données du texte, on a ;P(G)=0,49,P(T)=0,20,PT(R)=0,906 etPG(R)= 0,915.
2. On peut donc construire l’arbre de probabilités (voir page 3).
3. On chercheP(T∩R) :P(T∩R)=P(T)×PT(R)=0,20×0,906=0,1812
G
P(G)=0,49
pG(R)=0,915 R
pG(R)=0,085 R
T
P(T)=0,20 pT(R)=0,906 R
pT(R)=0,094 R
S
P(S)=0,31 pS(R) R
pS(R) R
4. a. On ap(R)=0,878 et d’après les probabilités totales, commeG,T etSforment une partition de l’univers :
P(R)=P(G∩R)+P(T∩R)+p(S∩R)
=0,49×0,915+0,2×0,906+p(S∩R)=0,878
On aura alors :p(S∩R)=0,878−(0,49×0,915+0,2×0,906)=0,24845.
b. On cherchePS(R) :PS(R)=P(S∩R)
p(S) =0,24845
0,31 ≈0,801 Partie B
1. En utilisant la calculatrice, on aP(96XM616)=0,68.
C’est un résultat du cours car 9=12,5−3,5=m−σet 16=12,5+3,5=m+σ.
2. — Sur le graphique 3, l’espérance de la loi XM est supérieure à celui de la loiXF car l’axe de symétrie de la courbe en pointillé est placé à droite de celui de la courbe pleine ; or E(XM)=12,5 etE(XF)=13,2 donc ce graphique ne convient donc pas.
— Sur le graphique 1, la courbe correspondant àXMa un sommet situé au dessus de celle correspondant àXF donc l’écart typeσMde la loi suivie parXMdoit être inférieur à celui σFde la loi suivie parXF; orσM=3,5 etσF=2,1 donc ce graphique ne convient pas.
Le graphique qui correspond est donc le graphique no2.
Exercice 4 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1. a. Ajouter 1,5 % revient à multiplier par 1,015; si on augmente les 5 700 euros du départ de 1,5 %, on obtient 5700×1,015=5785,50 euros. Comme on verse 300 euros, on obtient u1=5785,50−300=5485,50 euros.
b. De mêmeu2=1,015u1−300=5485,50×1,015−300≈5267,78 2. La suite (un) est définie pour toutnpar :un+1=1,015un−300.
On considère l’algorithme suivant :
Variables : nest un entier naturel uest un nombre réel Traitement : Affecter àula valeur 5 700
Affecter ànla valeur 0 Tant queu>4500 faire
uprend la valeur 1,015×u−300 nprend la valeurn+1
Fin Tant que Sortie : Affichern a. On obtient le tableau ci-dessous :
valeur deu 5700 5 485,50 5 267,78 5 046,80 4 822,50 4 594,84 4 363,76
valeur den 0 1 2 3 4 5 6
u>4500 vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux
b. L’algorithme affiche à la fin de son exécution la valeur 6.
Au bout du sixième remboursement, le capital restant dû sera inférieur à 4 500(. 3. Soit la suite (vn) définie pour toutnparvn=un−20000; donc
un=vn+20000.
a. vn+1=un+1−20000=1,015un−300−20000=1,015un−20300
=1,015 µ
un−20300 1,015
¶
=1,015(un−20000)=1,015×vn
b. v0=u0−20000=5700−20000= −14300
Donc la suite (vn) est géométrique de raisonq=1,015 et de premier termev0= −14300.
D’après les propriétés des suites géométriques, on en déduit que, pour toutn,vn=v0× qn= −14300×1,015n.
Commeun=vn+20000, on déduit queun=20000−14300×1, 015n, pour toutn. 4. a. Le 26 avril 2017 correspond àn=15.
u15=20000−14300×1, 01515≈2121,68 euros b. On cherchenpour queun=0 :
un=0 ⇐⇒20000−14300×1,015n =0 ⇐⇒14300×1,015n=20000
⇐⇒1,015n=20000
14300 ⇐⇒nln 1,015=ln µ20000
14300
¶
⇐⇒n≈23 La dernière mensualité sera la 23e.
c. Le nombreu22représente le capital à rembourser après avoir payé la 22emensualité, donc le montant de la 23eet dernière mensualité.
On au22=20000−14300×1,01522≈157,84 euros.
Le montant de la 23eet dernière mensualité est de 157,84×1,015≈160,21 euros.
d. Le montant du remboursement sera de 22 mensualités de 300 euros auquel il faut rajouter 160,21 euros soit un montant total de 300×22+160,21=6760,21 euros.
Exercice 4 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
1. On représente la situation par un graphe probabiliste de sommetsAetB:
A B
0,10
0,40
0,90 0,60
2. D’après le texte :
½ an+1 = 0,9an+0,4bn
bn+1 = 0,1an+0,6bn
Ce qui équivaut à :¡
an+1 bn+1¢
=¡
an bn¢
µ0,9 0,1 0,4 0,6
¶
La matrice de transitionMassociée à ce graphe est doncM=
µ0,9 0,1 0,4 0,6
¶
3. a. On trouve à la calculatriceM4=
µ0,8125 0,1875 0,75 0,25
¶
b. La probabilité que la personne interrogée fasse son 5eachat sur internet esta5. D’après le cours, on sait que, pour toutn>1,Pn=P1×Mn−1donc
P5=P1×M4=¡ 1 0¢
µ0,8125 0,1875 0,75 0,25
¶
=¡
0,8125 0,1875¢
; on en déduit quea5=0,8125 etb5=0,1875.
La probabilité que la personne interrogée fasse son 5eachat sur internet est donc 0,8125.
4. On noteP=¡ a b¢
l’état stable associé à ce graphe.
a. CommePest un état du système, on peut dire quea+b=1.
Pest un état stable doncP=P×Mce qui équivaut à :
¡a b¢
=¡ a b¢
µ0,9 0,1 0,4 0,6
¶
⇐⇒¡ a b¢
=¡
0,9a+0,4b 0,1a+0,6b¢
⇐⇒
½ a = 0,9a+0,4b b = 0,1a+0,6b ⇐⇒
½ 0 = −0,1a+0,4b
0 = 0,1a−0,4b ⇐⇒0,1a−0,4b=0 Doncaetbvérifient le système
½ 0,1a − 0,4b = 0
a + b = 1
b.
½ 0,1a − 0,4b = 0
a + b = 1 ⇐⇒
½ 0,1a = 0,4b a+b = 1 ⇐⇒
½ a = 4b
a+b = 1 ⇐⇒
½ a = 4b
4b+b = 1
⇐⇒
½ a = 4b b = 0,2 ⇐⇒
½ a = 0,8 b = 0,2
c. À long terme, la probabilité que cette personne fasse ses achats sur internet tend versa donc vers 0,8.
5. a. D’après le contexte, on peut dire que, pour toutn,an+bn=1 doncbn=1−an.
On sait également que, pour toutn,an+1=0,9an+0,4bn; doncan+1=0,9an+0,4(1−an)= 0,9an+0,4−0,4an=0,5an+0,4
b. On complète l’algorithme suivant afin qu’il affiche le plus petit entier naturelnnon nul tel quean60,801.
Variables : Nest un entier naturel Aest un nombre réel Initialisation : Affecter àNla valeur 1
Affecter àAla valeur 1 Traitement : Tant queA>0,801
Affecter àAla valeur 0,5×A+0,4 Affecter àN la valeurN+1 Fin Tant que
Sortie : AfficherN c. À la calculatrice, on trouve :
P8=P1×M7≈¡
0,801 0,1984¢
etP9=P1×M8≈¡
0,8008 0,1992¢ Donc la valeur affichée en sortie est 9.
ANNEXE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52
∆ C
bb
b
4,5
bb
2,8
bb
13,3
