Théorème de Thalès
Soient deux droites (d) et (d') sécantes en A.
B et M sont deux points de (d) distincts de A.
C et N sont deux points de (d') distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alorsAM AB =AN
AC=MN BC. Trois configurations illustrent ce théorème :
Remarque :
Les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles à celles des côtés du triangle ABC.
Calculs de longueurs
Exemple 1 :
La figure ci-contre est composée de quatre droites.
Les droites bleues sont parallèles.
DG = 25 mm ; GH = 45 mm ; CG = 20 mm et HT = 27 mm.
Les droites (DH) et (CT) sont sécantes en G.
Les droites (CD) et (HT) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a donc GC GT = GD
GH=CD
HT, soit 20 GT =25
45=CD 27 . Calcul de GT : 25 × GT = 45 × 20.
GT = 45 × 20 25 donc GT = 36 mm.
Calcul de CD : 25 × 27 = 45 × CD.
CD =25 × 27 45 donc CD = 15 mm.
Exemple 2 :
La figure ci-contre est composée de quatre droites.
Les droites bleues sont parallèles.
AB = 2 cm, AC = 3 cm, BC = 4 cm et AM = 5 cm.
Dans le triangle AMN : B appartient à [AM], C appartient à [AN] et (BC) est parallèle à (MN).
D'après le théorème de Thalès, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité.
Longueur des côtés
du triangle ABC AC = 3 cm AB = 2 cm BC = 4 cm
Longueur des côtés
du triangle AMN AN = 2,5 × 3 cm AM = 5 cm MN = 2,5 × 4 cm Ainsi, on obtient : AN = 7,5 cm et MN = 10 cm.
Remarque : Le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC, de rapport 2,5.
G1 • Théorème de Thalès
A
B C
M N
58
9 19
Le théorème direct
1
A
Théorème
M N
B C
A (d)
A (d')
M N
B C
(d') (d) A
M N
B C
(d) (d')
C D
T H
G
B
× 2,5 34
Démontrer que deux droites ne sont pas
parallèles
Soient deux droites (d) et (d') sécantes en A.
B et M sont deux points de (d) distincts de A.
C et N sont deux points de (d') distincts de A.
Si AM AB≠AN
AC, alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Exemple :
Ci-contre, les droites (ES) et (MR) sont sécantes en T.
TR = 11 cm ; TS = 8 cm ; TM = 15 cm et TE = 10 cm.
D'une part, TR TM=11
15=22
30. D'autre part, TS TE= 8
10=24 30.
On constate que TR TM≠TS
TE.
Or, si les droites (RS) et (ME) étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès, il y aurait égalité.
Comme ce n'est pas le cas, les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallèles .
Réciproque du théorème de Thalès
Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points de (d) distincts de A.
C et N sont deux points de (d') distincts de A.
Si les points A, B, M d'une part et les points A, C, N d'autre part sont alignés dans le même ordre,
et si AM AB=AN
AC, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Remarque :
Attention, il ne suffit pas de vérifier l'égalité des rapports : il faut aussi s'assurer que les points sont bien placés dans le même ordre.
Démontrer que deux droites sont parallèles
Exemple :
Ci-contre, les droites (HA) et (TL) sont sécantes en M.
D'une part,MH MA=4
3. D'autre part,MT
ML =8 6=4
3. On constate queMH
MA=MT ML.
De plus, les points A, M, H d'une part et les points L, M, T d'autre part sont alignés dans le même ordre. Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AL) et (HT) sont parallèles .
Théorème de Thalès • G1
59
A
B
Le théorème réciproque
2
C
Théorème Théorème
E M
T S R
L
6 3
H M
A 4 8
T
42 49
