Avec Couplage Plusieurs Niveaux Aspects CollisionsInélastiques ThéoriquesSur

N° d'ordr

Pr' nt' pa ^°

Maltr. ^Es-Sciences Sm. Il BOUGOUFF

MinÎsttrt Dilegut aux Un;vtrsitb

Université de CONSTANTINE

POUR L'OBTENTION DU GRADE DE

oct ur d'Etat El ^- Scierie ^I Physiques

R'publique Algérienne ^D mocratique et Populeir

ou enu le 18 ^{J ..n i r} 1990 ⁰ nt ^I Com ion d' men

Me CENZAI CHER/FA PTtsidtntt

me FRANCOl E BELY ^- DUBAU M PAUL FAUCHER

I

MEBARKI ^NOUREDDINE lxa".irtattur

DAVID BROWN \

TRUONG 1nONG TUO

CAO XUAN CHUAN R.,p.,N.T

Recherches Théoriques Sur ^Quelques

Aspects ^des Collisions Inélastiques Avec Couplage ^a Plusieurs Niveaux

nne 1990 ^:

A ma mère pour son dévouement, son affection

et son sacrifices ,

A la mémoire de mon pére qu'ALLAH a rapplé "

lui dés mon très jeune Ige ,

A ma femme ,

A mes frères ,

A mon fils Zakaria ,

A mes amis les plus fidèles ,

J. dédie ce travail ^"

S"" il

..',

,

ý,

fBQfQS

Ce travail ^a été commencé ^à l'université de CONSTANTINE et terminé ^à l'université de BATNA sous la direction de Monsieur CAO XUAN CHUAN. Qu'il me soit permis de lui exprimer ma gratitude pour l'intérêt constant qu'il ^m' a témoigné et de dire combien sa sollicitude et son aide m'ont été précieuses tout au long de mon travail de recherches. ^Qu'il trouve ici

l'expresion de ma plus vive reconnaissance pour la formation

que je lui dois ^"

Madame le Professeur C. KENZAI ^a bien voulu présider le jury de cette thèse , je lui adresse mes plus vifs remerciements ^"

Je suis également sensible ^à l'honneur que me font Mme F. BELY-DUBAU , Directeur de Recherches au

Observatoire ^de NICE,

CNRS ,

d'examiner ce travail et de participer au jury ^de cette thèse Mr T. T. TUONG

OUEST

Directeur Scientifique ^au Health Department

l'université de Professeur ^à l'université Libre de Berlin Maitre de Recherches au CNRS , Observatoire

Maitre de Conference ^à ,

,

, ,

Mr D. BROWN WASHINGTON,

Mr P. FAUCHER de NICE,

Mr N. MEBARKI CONSTANTINE,

Je tiens ^à associer ^à mes remerciements, tous mes collégues anciens et actuels qui , à divers titres, ont contribué ^à la réalisation de cette thèse dans une ambiance de bonne humeur et d'amitié.

I-INTRODUCTION 3

G ENE ý A L

PLA N

MATRICES S ^et. R ^: 11

111-1 Cas sans spins ¹²

111-2 cas avec spi ^{ns 16}

IV-1 Echange d "élýct.rons ²¹

IV-2 Capt.ure d'éléct.rons ²²

IV-3 Collisions ^de réarrangement. dans la t.héorie de la

INTýODUCTION GENERALE ¹

II-TJlEORIE ^{DE LA} MATRICE R DES PROCESSUS ATOMIQUES ⁶ III-COLLISIONS INELASTIQUES DIRECTES ; GENERALISATION ^DES

IV-COLLISIONS INELASTIQUES DE REARRANGEMENT ²⁰

ýomm: ^{I :}

.at.rice S ^: .7.4

ýD"IJm[ II ^:

1- INTRODUCTION ^{· 26}

11- COLLISIONS INELASTIQUES ELECTRON-ATOME ²⁸

11-1 For.al ^iSIae général ..."..."."....""""... ²⁸ 11-2 Exe.ple ^{: At.olae du . . . .} " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ". 3 J

, ,

11-3 Collisions elect.ron-Hydrogene .".""""."""".."."."""".. ³³

1

11

du syst,ème 52

génýra) e 50

r < r 0" 53

r 0" 52

de la ^s o Lut.Lon ef"ecýive ⁵⁵

N u me ^{r j} que ^s. . . . " . . . . . 56

11-3-1 Collisions in6lasýjques djrecýes de c-H 33 11-3-2 Coll ^jsi ons inélasýiques de réarranceillený de e-)!.

Echange d'élécýron ^ý(,

V-l ror.alisme V-2 Résoluýion

1 Cas r >

2 Cas ⁰ <

V-3 ýecherche V-4 Resulýaýs

VI-l For..al ^j sme Général ⁶⁰

VI-2 formes approximaýives ^du poýenýiels d'Inýýracýion ⁶¹

VI-3 Resoluýion des équaýions radiales ⁶⁴

VI-3-1 Résonance exacýe ⁶⁵

VI-3-2 Résonance ^{non exacýe 66}

VI-4- Discussions ⁶⁸

IV-l Enonce du ýhéorèmc 44

IV-2 Cas général ⁴⁶

IV-3 Discussions ^47'

V- MODELE GO£RfJ..lSE DE HUCK !JO

VI- MODELE SCHEMATIQUE ^DE LANE. Lin ⁵⁸

III-APPýOXIHATION A DEUX NIVEAUX ^ý9

IV-TIIEOýEME DE SEPARATION DES EQUATIONS DIFFEýENTIELLES

COUPLEES <t <t

1-CONDITIONS INITIALES ^DU PýOBLEHE ¹¹

Z-SCHEHA DE LA l'RTHODE ^DE NUMERIQUE ..."..."""..""".".".. ¹¹

ýoO£ ^1-

3-rROGRAI1HE EN rORTRAN ^{'j r'} 4-COtlrARAISON ."... ^{; ',(if} c[1ý!P 0 TITHE I I I

I-INTRODUCTION ⁸³

II-CONDITIONS AUX LIlfiTES ⁶⁴

III-APPROXIMATION A TROIS NIVEAUX ⁶⁵

IV-RESONANCE ýXACTE ^B6

V-GENERALISATION DE LA TH[ORIE ^DE SEPARATION DES £QUATIONS

DI FrERENTI ELLES COUPLEES ⁹⁰

VI-SYSTEME ^DE TROIS EQUATIONS COUPLEES ⁹⁶

VII-APPLICATION ^{A LA} TRANSITION ns---+ np 99

VIII-DETýRHRNATION ^{DE LA} MATRICE ^DE TRANSITION ¹⁰⁰

IX-DISCUSSIONS ¹⁰⁵

IX-1 Cas ^de deux voies ^{·.· .106}

IX-2 cas de ýrois voies ¹⁰⁶

1-Variaýion des foncýions A,M,N,c ^{eý d 106}

Z-Effeýs ^des forces ^de couplaýe ¹⁰⁷

3-Effeý ^{de ýE 108}

4-Comparaison avec dýauýres .éýhodes ¹⁰⁸

5-Conclusions ¹¹⁰

1I1

Oi'.\IPD'D1JiR I V

32S--+ 32P _{ý n.JE} SODDIUJ1

I-INTýODUCTION 130

II-QUELQUES TRAVAUX ýECENTS 131

III-TRAMSITION 3S--+3P DANS Na 131

111-1 Théorie 133

111-2 Modèle Schéaaýique ..."... ¹⁴⁰ IV- RELATIONS ENTRE LES QUANTITES _{Bo eý} S ..."."... 143 y- DISCUSSIONS ...."".."."."""""""""""""""""""""""...""".." 1.4

VI:- CONCLUSION """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 147 ýQ.JSDý ý """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 164

umFRlJmN(][S (BDIBLDýDIES

IV

---=---

()[N o o

I I I I I I

Il

I I

Il

I I

I I I I I I I I I I I I

---=--- I I

I

Dans la pr-at.Lque _, ceci n'est. cependant. pas f'acile en raiSC'11

. ^/

l.nt.egru-

'"

int.egro-

d ^·équat.ic,: ^J'-,

, ^'- t.heoreme

le vol ume d^c-

l'eff'icacit.é du dont. l'idée direct.ricp

et

G E N r: R A L [

élast,iques

dans un cadre concret.

I N T ROD U C T ION

ýssent.iellement. dans le traitement des systèmes théorie des collisions

Récemment _et. t.oujours dans le but. d' allÉ-C}er

Ce résul t.e^t, peut. également. ^êt.re élargi au cas ou le nombre ^d.'ý problèmes rencont.rés en t.héorie des collisions.

ýt.ý int.roduit.es [il pour ext.raire des solut.ions approchýes ^de cvý Pour remédier à ce t.t.e sit.uat.ions , plusieurs cont.ribuLions ^{o nt.}

La complexi ^{t.é du} problème mat.hérnat.i que rencontrée ^{dans 1"}

numýriquement. rendu possible par ^{1" ut.i 1}isat.ion des ⁰¹ di ne t.eur-s dr-

moins rapide des solut.ions obt.enues par it.ýrat.ions ^.

plus en plus sophist.iquýs " sous réserve d'une convergence plus ^dl!

Le but. de ce t.ravail est. d'ýt.udier un cert.ain nombre de

" " ""

en ýeneral , ne peuvent. et.re abordes que num6riquemenL ou Seni]-

, '.1 , I

d i f'f er-ent.f _e J les couplees ^ou int.egro-dif'f'erent.ielles couplees ^ql11

"

du nombre des cont.raint.es depassant. la capacit.ý des ordinaLeuIs usuels ^.

- 1 -

t.ravail numýrique des ordinat.eurs , on a démont.rý ^un

problèmes ^{de la} t.hýorie des collisions diffèrent.ielles couplýes [2]

équat.ions concernées excède deux [3].

, ,,, ^{... ,}

t.heoreme propose pour ^{t.rait.er le} syst.eme d'equat.ions séparat.ion des équat.ions dif'férent.ielles couplées ^ou

l " "

diCCerent.illes et. diCCerent.ielles couplees.

consist.e ^{à t.est.er} ,

- 2 -

collisions ^e-at..ome en consideraný deux exemples comport..ant.. chacuT.

Nous prenons comme exemple d'applicaýion le problème ^{dp lý}

lE:'S

d'un

resonanc¬'s.

considýronc;;

les

mont..rerons réscd ^{ut.a o n} la

ou... nous nous

a-

et..

consacré

voies couplées sera

Enrin nous analyserons au quat..riýme chapiýre Le t..roisième chapit..re

parý.Ce problème ^{a ét..é} formulé dans l'espace a une dimension,<I=O)

Dans le cb ap Lt.r-e suivant.. nous aborderons l'applicaLion de ^1,1

[6] e t, qui ^est.. maint..enant.. e t.endu ^a t.r-o^f s dimensions avec <1.0) ^[',-]

l'approximat..ion à deux niveaux

similariýýs ent..re les deux domaines complèt..ement.. difrýrent..s ýui problème plus compliqué qui St rencont..re rréquemmený dans l'ét..ud(

soný les collisions inélast..iques ^e-at..ome d'une part.. ^et.. l'éffet.. du couplaýe des ions lourds dans la ýhéorie de la fusion ^d'aut..re enýendrées par l'érfet.. des

des ýransit..ions dipôlaires du t..ype n,lýn,l±l ^et.. qui tSt.. rormuli- dans le cadre d'un syst..ême de t..rois ýquat..ions couplýes ^[5J

t..héorie des équat..ions dirrérent..ielles couplées aux problèmes de lM

deux équat..ions ^r4J

seroný presenýés dans le premier chapit..re

collision inélast..ique élect..ron-at..ome dont, les concept.s de has"

---=======-=====

- I -

IE

o ý lE (L ý SUO 0 V R S

o IF'

4)Q)IE(LýQJIES

IDlES

---=-==---===================-==============

- 3 -

mouvemenL relaLif de LranslaLion ^{eL le} mouvemenL inLerne ^df'ý

1- INTRODUCTION

A'+ X' A + X

il _Y a ýchange direcL

A + X

" ExciLaLion des aLomes eL des molécules par un faiscpctu

parLicules enLre ces sysLèmes.

" ExciLaLion ^du noyau aLomique par collision nucléaire ^l15]

En ¬ýnýral , dans la collision enLre deux parLicules compleýr.ý

" ChangemenL d'exciLaLion enLre deux aLomes ou molýcules ^pn

<a) les parLicules sonL simplemenL dýviýes sans changtmenL ^d"

" ExciLaLion par vibraLion ^ou roLaLion des molécules par ^un

A + X

(c) Les parLicules A eL X échangenL ^au cours de la collision un

...

<ce changemenL peuL eLre un simple renversemenL des spins )

<diffusion inélasLique)

<b) Elles sonL déviées avec modiýicaLion de leur ýLaL quanLiqlj('

cerLain nombre ^de parLicules élemenLaires qui les composenL ^ou Dans Lous ces cas

sysLèmes enLranL en collision, sans qu'il _y aiL de LransferL ^dp Nous pouvons ciLer quelques exemples [2] ^:

faisceau d'auLres molécules.

inLerne ; elles émergenL par exemple dans les éLaLs ^A' eL X'

d'élecLrons ..

collision [5J,[6J,l8].

leur ýLaL quanLique respecLiý (diýýusion ýlasLique)

respecLivemenL

ou non ,A eL X , nous pouvons observer Lrois aspecLs 11J:

collision par les t.ermes ^:

le

le Ips I n t.e r-nr- s

que dans

/et.at.s

ut.ile

sort.e des

de

celui des voies (cn

avec redist.r ^{j b} ut.u on ^df:-'S

dans

Pour les voies ouvert.es par exemple les part.icules ^B et.

----.B+Y

A + X

nous dist.inguons les deux derniers t.ypes ^de

"

sont. prat.iquement. separees Dorenavant.,-

Dýrinissons maint.enent. un concept.,

[91 .

* _{Collisions de deux molécules}

/ ""

* Coll isions elect.rons-at.omes avec e-ch ang e d' elect.rons, (7], ^{[ f; J}

, , ^,

plus ýeneralement., ^le syst.eme <A ⁺ X) se scinde en deux part.iculý·ý

posit.ivement. [3],[4].

- ... -

* Capt.ure des ýlect.rons des at.omes par des part.icules

int.ýract.ions e nt.r-e elles soient. néýligeables ^{.l'une de} ces régiorls C'est. une collision de réarrangement. ^. Par exemple:

nombre d'onde est. reel sinon elles sont. fermées, ^(c'est. a dire

/

t.rait.ement. des collisions inelast.iques, diýýérent.es de A et. X emerýent., de la collision

"

diýýerent.es ou plus

élect.rons ^et. des noyaux (5] , [6] , [10]

d'ent.rýe ; dans les aut.res t.ypes ^de collisions, ^la voie de sOIt.ie anýlais ^: channels) ^{. On} appele voie, la r'gion ^de l'espace ^de

dýrinis et.

Collisions inelast.iques/ ^.. direct.es ^" et. de "réarrangement."

"

dirfusion elast.ique ^, les dýux part.icules ^rest.ent. dans la v()ie donne les part.icules incident.es :c'est. la voie d'ent.rée ^. Dans une

que le nombre d'onde sera imaýinaire pur) est. différent.e de la voie d'ent.rée

confiýurat.ion dont. les part.icules sont.

±

.";

Cl-L,) (i-d>

]

r )

a , noml.rr-

" = d'ent.ree

<voie

l'exist..ence des solut.ions

±

+ l' _'.:lee (e,ý).exp(±ik.r_a ^)/1'

Cl Cl

+ -

fl.' et. fl.'

(1 (1

(a)

-+ -+

= Fý .exp(ik.r ⁾

... Cl. 0

-+ -+

Fý._{._,} [ exp(ik ^{.1' )}

0. C'(

F .f ±

(e,.n).exp(±iký.rï)/r

l' 0.""'- 0,;.,'

-- l'

l' ;'--t oX'

±

A chaque ensemble (a) de condit.ions init..iales

Nous convenons de represent-er, l'ensemble des condit.ions .in i t.Le Lr-s.

ýnerýie bien dý1'inie d'où un nombre d'onde.

il 1'aut. associer à chaque voie <si I 'énerýie t.ot.a Le est- fixýe) ^{u nr}

Avant.. d'ent..amer l'ýt..ude det..aillée des deux derniers t..ypeý de Wo.- est dýrini de mýme faion avec des ondes ent-rant..es .Suivant- ceý les aut-res voies ouvert.es un comport-ement. d'onde purement- sort-anU·

Pour achever de f'ixer les condit..ions init..iales de la collisioll,

- " ^-

+

ý _0. est- la solut-ion st-at.ionnaire ayant. dans la voie ^{0 ýr}

Nous admet-t.rons sans discussion ainsi 1'ixées par la let-t-re

la suit.e,

emergent-/ avec un nombre d'onde k ^. t,

associer ^une onde plane: ll11

d'onde ⁼ k _0. ) et- les particules de la voie de sort.ie ⁽

et. deux ondes st-at.ionnaires

condit-ions on ^a

comport.ement- asympt-ot-ique en [expCikQ,ra) ^{+ onde} sort-ant-e] et- ddflS

collisions, il est. plus commode de rappeler le concept.. de la thé-orie de la mat-rice ^R des processus at.omiques qui sera ut.I l e J'al'

- 6 -

en t.erme des ondes planes ou ondes coulombiennes ^.

Cependant, dans les applicat.ions , seulement. un nombre ^{f Ln i} dt."''';;

"

la ^re:çl(l!I

peu ven ^t. ,...^{et, r',_'}

,; , "

1 .!ýlon ^e xt.er- iE:"J ^1'-' la

des réact.ions nue lýa ires ^.

Dans

/ ,

t.heorle avec la

'" ^,

Jusqu'a present ^la lheorie decrile est exacte et est.

Connaissant ces inrormations et la solution dans

Dans la région interne, on choisit une base qui peut-être utilisée pour ^dév- Lýid6ý direct.rice de cet.t.e t.hýorie est. basée sur le rait

L" int.eract.ion est. faible et dans plusieurs cas elle est ,::-'')lvahl,'

"" " "" ,

physique nucleaire a ete suýgeree par Lane et. Thomas (1958)

, , ^,

La met.hode de la mat.rice R a et.e int.roduit.e par wigner ^ý,t

ýt par Breit. (1959), Eisenbud (1947)

l'espace de con:iýuration contenant la part.icule dirrusýe ^{et. l·i} Lýexýension et. lýapplication de ce t.t.e t.héorie aux problèmes de l,t 11- THEORIE DE LA MATRICE R DES PROCESSUS ATOMIQUES ^[16J:

lýint.eract.ion est de plusieurs corps , fý-te ý et. le processus ^dý

r est. la coordonnée relat.ive ^de: part.icules en collision ⁾ cible est. divisý en deuh rýgions, Dans la r6gion interne (r ^< a ^nil

collision est. dirficile à décrire

elopper ^la fonctlon d'onde de collision ^à toute énergie et en particulier pour obtenir la dérivée logarithmique de cette fonction d'onde ^à la limite r=a ^"

ext.erne , la matrice S et les sect.ions efricaces

ýt.at.s "

la ^,;

propres peut. et.re retenu dans region interne ^{En er t''":'t.}

ý

avant les annees 1960ýpar exemple ^en physique nuclèaire un ;:-;;,' III

, ^...

d ^"...

et.at. est retenu ý ou la formule ^un seul niveau peut ^{"ýt. l't-:}

equivalente, a la solution exacte du problème de collision, calculees,

(2)

(3)

, t.

reac ^10ns.

les

r ^2:: a

remarquables dans

7 -

succes....

U(r)rv sin(kr) ⁺ K.cos(kr) consýruiýe ^{eý a eu} des

concernant. des résonances isolées ^.

de résonance ^et. de non résonance au dessus ^d' une réý ion ^d' éner:; ^{i -:}

U(O) ⁼ 0

prýcision ^lout. en permettant une économie non neýliýedble ^du t.empý est. considerée comme un moyen pour allé:;er le calcul des proceSSllS

problème, on considère la diffusion de l'onde s d'une parlicule mat.rice R , la collision élast.ique e-aýome. En simplifiant. ^le

Nous prenons comme exemple d'applicat.ion de la t.héorie de l.l Récemment lýuýilisaýion direct.e ^de la mét.hode de la maýrice R

ý = t.an cS

mét.hode de calcul des processus alomiques avec une grande

De plus la t.hê or-Le de la matrice R peut-êt.re ulilisée comme un ^".:.'

ét.endue ^.

de calcul

par un pot.ent.iel cent.ral de court.e port.ée

Lýéquat.ion radiale de schrodinýer s'écrit. sous la ýorme

Nous définissons la mat.rice ý par

,

ou on suppose que Ver) ⁼ 0 pour r ý a

a:est. appelé rayon de la voie qui doit. êt.re choisie convenablemýnt

"

de sort.e que ^le developpement. de la mat.rice R converge ^.

ou cS sont. les diff'erences ^de phases des solut.ions de l' ýquat.i()rI (2) qui vérifient les condit.ions init.iales

;_

la (5)

(6)

(7)

(4-c) (4-a)

(4-b)

raisons

eý a

l' -

o ^S r ^S a

"

a Ver) _{lU)._(r)} = 0

+

2 2

U.(d _{U)._/d} r)Jdr ⁼

k ²

x

If

Uer) ⁼ ý=1 a)._.U)._{r) +

on ýrouve

a

Io UÀ{r).UÀ,{r).dr ^- 6ÀÀý

les deux équaýions ^{de l' - 0} propres définies par l'équaýion

- 8 -

La meýhode, ^{de la} maýrice ^R esý basée sur le développemený ^{de lrl}

inýégrons

pour ýouýes les valeurs de b ^.

[a/U)._{a)J.[dU)._/drJr=a ^{- b} eý à la condiýion dýorýhonormalisaýion

Arin de déýerminer les coefficienýs de développemený _aÀ ' nous mult.iplions lýéquaýion (2) par U)._{r) eý l'équaýion (4) par U ^(l') ,

a

le premier membre de ceýt.e équaýion peut. êýre évalué en ut.ilisanL

o

donc nous écrivons:

soluýion ^ý ýouýe ýnerýie pour ^{0 S l' S} a en roncýion des soluýions

sat.isfaisaný ^aux condi t.ions aux limites de la maýrice ^R.

le t.héorème de Green et. les condiýions aux limit.es vérifiées par Ce développement converýe unirormemený , excepýé a la limit.e ^{l' -} a

I

soust.ract.ion

.UA{r) .Nous ýrouvons ainsi:

(8)

sphériques

/' ...

regulieres b.sin(ka)]

en SubsLiLanL la deuxième

2

k )

en remplaýanL les foncLions sinkr eL

sin(ka) ⁺ R lka.cos(ka)

cos(ka) ⁺ R lka.sin(ka) ⁺ b.cos(ka)]

R = U(a)[a.dU/dr ^- bU ^]-1

r =a

le. =

Ft (kr) ⁼ -fnkr?2 ^. _{Jt +} (kr) ^"..J sin(kr ^{- t} n/2)

1/2 r ---+ 00

l

Gl(kr) ^{= (-1)} .ýnkr?2.J

l 2ý(kr) ^ý cos(kr ^- ln/2)

-( +1/ .' r---+oo

D'auLre parý ^. si le poýenLiel coulombien ^de longue porLée eSL

- 9 -

irrégulières respecLivemenL ^.

Il esý plus commode d'écrire la forme asympýoýique ^de Uer)

UCr) f"'t..I e-ikr

présenL dans la région eXLerne, alors les foncLions sinkr ^eL coskr

enýranýes eý sorýanLes ^:

donnée dans l'équaýion ⁽³⁾ en ýermes des ondes momený angulaire ^{I ý 0}

equivalenLes:

Alors ,en raccordaný les équaýions ⁽⁶⁾ eý (7), R relie l'ampliýude

seroný remplacées par les ýoncLions coulombiennes

Ces résulýaýs peuvenL êýre généralisés sans diýficulLé aux cas dý La maýrice ^K peuý êLre déLerminée

coskr dans l'équaýion ⁽³⁾ par les ýoncLions sphériques ^de Bessel équaLion de ⁽³⁾ dans l'équaLion ⁽⁸⁾ ,on Lrouve ^:

de U à sa derivée ^{à ia} limiLe par:

Si nous déýinissions la maýrice R par ^:

(12)

(11)

(12) (10)

propret'

par

X=1, ^N

X,X' = _{1.N <1=-1)}

SoluLions

toute énerýie nous a...

ý

(N) sonL définies

A

I 2

1)(Sl ^- 1J.P (cose>

N

ý, =1

ou..

10 ^-

=

k ² +

o À

+

1(1/2ik) ^ý

00

(21 ⁺

l =0

Q(e) ⁼

On considère la base de développemený , les

Dans le but. de développer ^la soluLion

Par souci de clarLé, nous avons choisi de discuýer le cas de la

ýénéral,comporLanL ,plusieurs niveaux.

pour A - 1,N , eL par:

maLrice ^R peuý 3Lre ýLendue aux problêmes de la collision, ^f"'1 aux différences de phases 6l par:

nous notons la base par ^:ýA(N)

La secLion éfficace esý donnée donc par

uý ^{définies par les équaLions (4)}

ceci definiL la maLrice ^S qui peuL ýLre reliýe a la maýrice ^{K et.}

aucmentons notre base ^ýA(N) pour compléter ^la série .Par commodiLe I

eL on faiL l'approximaLion selon laquelle les N SoluLions proprés des équaLions différentielles d'ordre zéro:

diffusion élecýron-aýome mais bien enLendu la Lhýorje de ^)d

( N)

où les coefficienLs _CÀX' sonL obLenus en diaýonalisaný ^la maLricp symét.rique