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Sur un analyseur de mobilité pour les ions gazeux III.
Application des solutions des problèmes traités à l’étude
du champ électrostatique entre une grille et des plateaux
P. Langevin
To cite this version:
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
LE
RADIUM
SUR UN ANALYSEUR DE
MOBILITÉ
POUR LES IONS GAZEUX III. APPLICATION DES SOLUTIONS DESPROBLÈMES
TRAITÉS
A
L’ÉTUDE
DU CHAMPÉLECTROSTATIQUE
ENTRE UNE GRILLE ET DES PLATEAUXPar P. LANGEVIN.
Sommaire. 2014 Dans
ce Mémoire, suite de ceux parus dans les deux numéros précédents (1), P. Lan-gevin calcule le champ électrique produit par une grille conductrice placée entre deux plans conduc-teurs parallèles. Après avoir étudié divers cas particulier il donne la solution pour une grille épaisse
placée entre deux plans conducteurs situés à des distances différentes.
SÉRIE VHI. 2013 TOME X. l~° 10. OCTOBRE 19~9.
Les solutions que nous venons d’obteuir
permettent
de résoudre les
problèmes
électrostatiques qui
concernent lesystème
constitué par unegrille
etles deux
plateaux
symétriquement placés
parrapport
à celle-ci. Pour
distinguer
les uns des autres cestrois
conducteurs,
nous feronscorrespondre
l’indice oau
plateau
CD,
l’indice I à lagrille
et l’indice 2 auplateau
AB. Nousprendrons
pourorigine
despoten-tiels celui de
CD,
lepotentiel
de lagrille
étantU,
etcelui de AB étant
U,.
Le
problème
que nous avons résolu à propos dumouvement du gaz
correspond
au casoù U2
est nulet où Po est
remplacé
parU1.
Le secondproblème,
celui de la distribution duchamp électrique
corres-pondait
àU2 égal à z U,.
En
superposant
les solutionscorrespondant
à cesdeux
problèmes
dans uneproportion
convenable,
on aura la solution du
problème général
pour notresystème
lorsque
lespotentiels U,
et.U2
sontquel-conques. Si en effet U’
représente
la solution dupremier
problème
et U" celle dudeuxième,
on auraévidemment
En
effet,
sur lagrille,
on a(1) Journal de Physique et le Radium, ~g4g, 30, ~ IÍ7 et 225.
d’où U
égal
àU~,
et sur leplateau
AB on a.
d’où U
égal
àU2.
Les
quantités
lesplus
intéressantes à calculerparmi
cellesqui
caractérisentélectrostatiquement
notre
système
sont d’unepart
lacapacité CI
de lagrille
par unité de sa surface et le coefflcientd’in-fluence
Co2
ouC~o
desplateaux
AB et CD l’un surl’autre à travers la
grille.
Les coefficientsd’influenceCl2
et
Cio
de lagrille
sur lesplateaux
sont tous deuxégaux
à -Ç1
par raison desymétrie.
Grille mince. - Prenons d’abord le cas de la
grille
infiniment mince et de la distance d suffi-sammentgrande
parrapport
à lapériode a
-~- b,
casauquel s’applique
notrepremière
solution dupremier
problème.
La formule(30)
donneD’autre
part,
nous avonsdéjà remarqué
que pourU2
= 2Ul,
laprésence
des fentes dans lagrille
infiniment mince ne modifie pas la
répartition
despotentiels,
leplan
de lagrille
prenant
spontanément
le
potentiel
moitié de celui duplateau
CD. On a(2) L, logarithme népérien.
258
donc,
en conservantl’origine
descoordonnées -ri
ou Y sur lagrille
comme dans lafigure 5
(1).
D’où,
enportant
dans(83)
Pour calculer les
capacités
ou coefficientsd’in-fluence,
il faut sereporter
à la distribution descharges
qui
est déterminée par la fonction de flux c~conjuguée
de U. La fonctionconjuguée
de Y étantX,
donnée par
(24),
et cellede -,q étant ~,
la fonction (p,supposée
s’annuler sur laligne
de forcequi
passepar l’origine,
milieu d’unbarreau,
devientd’après (84)
Pour trouver les
charges
présentes
sur leplateau
CD parpériode -(-
b de lagrille,
nous devons donnerà n la valeur a
et
à ~
la valeur 7r, on a, dans cesconditions
à étant
supposé
assezgrand
pour que Cath 3puisse
être considérée comme
égale
à l’unité.L’expres-sion
(85)
devientD’après
le théorème deGauss,
lacharge Q
corres-pondant
au flux q estégale
à ,9 ;
donc lacharge
LJ.7:
portée
par leplateau
CD parpériode a + b
et par unité delongueur
des barreaux estPar unité de surface de la
grille,
on aura lacharge
Si l’on veut avoir la
capacité
de lagrille,
il faut supposerU2 égal à
zéro et doubler lacharge
QI
pourtenir
compte
de celle queporte
en mêmetemps
le
plateau
AB. En divisant par lepotentiel
Ul
pouravoir la
capacité,
on obtientou, pour une surface S de la
grille,
et enremplaçant
ypar sa définition
(22)
Quand
a estnul,
c’est-à-dire que lagrille
est rem-(1) Voir Journal de Physique Radium, Ig4g, 10, I86.placée
par unplan
conducteurplein,
lelogarithme
est nul et l’on retrouve bien lacapacitë ‘
d’un- ,.
plateau
isolé entre deuxplateaux
symétriquement
placés
parrapport
à lui à distance d.Lorsque,
aucontraire, b
s’annule lelogarithme
devient infini
négatif
et lacapacité
s’annule commeelle doit le faire
puisqu’il
n’existeplus
rien entre les deuxplateaux.
Pour trouver le coefl’ICient d’influence du
pla-teau AB sur le
plateau
CD,
par unité de surface de lagrille,
nous devons supposer nul lepotentiel
decelle-ci et
(86)
devientd’où
Ce coefficient s’annule bien
quand
lagrille
estpleine
(a
=o) puisqu’elle
fait écran à l’influence mutuelledes
plateaux,
et devientbien,
quand
lagrille
dis-paraît (b
=o) égale
àreprésentant
l’influence,
par unité desurface,
d’un
plateau
sur unplateau parallèle
situé àdis-tance 2 d.
Grille
épaisse.
-Voyons
maintenant ce quedonne notre
seconde solution,
qui
estplus générale
puisqu’elle correspond
à une distance dquelconque
et à une
épaisseur
quelconque
des barreaux.Il résulte de
(40)
la fonction
conjuguée
la fonction
conjuguée
La
charge
duplateau
CD parpériode
a-~ b
et parunité de
longueur
des barreaux s’obtient en faisant dans lescQ, ~ 1 égal
à r, ed’où,
parapplication
de laformule déduite de
(83)
et, par unité de surface de la
grille
Le cas où la
largeur
des fentes estégale
à lalar-geur des barreaux se
présente
commeparticuliè-rement
simple, puisqu’il
suffit, pour avoirA 0
de résoudre lesystème
d’équation
constitué par lapremière équation
du groupe(55)
et leséquations
du groupe(56), B,
s’obtenant de la même manièreà
partir
de lapremière
équation
du groupe(72)
et l’ensemble dugroupe
(74).
La formule
générale (86)
nousdonne,
pour lacapacité CI
et pour le coefficient d’influence àtra-vers la
grille
C20
Nous trouvons là encore une occasion de mettre à
l’épreuve
notre méthoded’approximations
succes-sives en confrontant les résultats
(90)
avec ceux dela
première
méthodequi
deviennent,
dans le casparticulier
envisagé
ici où a estégal
à bet
Pour ce
qui
concerneCI,
l’approximation
que nous avonsdéjà
utilisée pour obtenir les résultats(62)
conduit à.4 "
d’où,
d’après
(90)
’
au lieu
de,
d’après (90’)
D’autre
part,
pour lagrille
infinimentmince,
E estnul et le groupe
(74),
dont leséquations
deviennenthomogènes
en~2~+1
avec un déterminant nonnul,
donnent des valeurs nulles pour ces
B2p+1
de sorteque la
première équation (72)
nous conduit àce
qui,
substitué dans la seconde deséquations (90)
donne’ @
au lieu de
L’approximation
suivante,
où l’on conserve troisdes
A~~,~.i,
soitA1 A3
etA 5,
donneet
La suivante encore, avec
quatre
inconnues d’in-diceimpair, A, A3, A5
et A dans leséquations (56)
et la
première
deséquations (54)
donneet
On voit ainsi les
approximations
successives converger vers la valeur exacte.Problème
électrostatique général
de lagrille
entreplateaux
parallèles.
- Nousnous sommes
limités
jusqu’ici
au cas dusystème
symétrique
où lesplateaux
sontplacés
depart
et d’autre de lagrille
àégale
distance de celle-ci et la solution(83)
pour despotentiels quelconques
des troisconduc-teurs a été obtenue par
superposition
de deux solu-tionsparticulières
U’ et U"qui correspondent
auxdeux cas que nous pouvons
appeler respectivement
le cas
symétrique
où lesplateaux
sont tous deux aumême
potentiel
pris
pourorigine,
et le casanti-symétrique
où les différences depotentiel
entre lagrille
et les deuxplateaux
sontégales
et designes
contraires. Il nous sera utile
d’expliciter
ces deuxsolutions
particulières
U’ et U" en fonctionde ~
et sainsi que les fonctions
conjuguées cp’
etcp" qui
leurcorrespondent.
Si nous conservons les mêmes axesde coordonnées
( fig.
6)
et les mêmes notations queprécédemment,
à ceciprès
que, dans la solutionsymétrique
lavitesse vo
de lagrille
seraremplacée
par son
potentiel U,,
la fonction U’ estdonnée
entre CD et
GH,
c’est-à-dire pour -n variant entre oet
a,
parl’expression
analogue
à(40)
La solution entre GH et
AB,
valablequand -ri
varieentre ú et 2 8 doit être
symétrique
de laprécédente
par
rapport
àGH;
on adonc,
dans l’intervalleconsidéré
Cette solution s’annule bien sur
AB,
et les deux fonctions(91)
et(92)
se raccordent bien sur lessegments
de GH situés à l’intérieur des fentes sansprésenter
aucune discontinuité dans les valeurs de U260
La
fonction y
étant relié à v par les conditions(75),
on voit
qu’il
correspond
à(91),
pour larégion
com-prise
entre CD etGH,
c’est-à-dire pour o -o 0’et à
(92)
pour larégion a
-ri 2 ~De
même,
la solutionantisymétrique
donnera les formulescorrespondantes
Ainsi que nous ljavons vu
précédemment,
lafonction de flux y
permet
de calculer lescharges
présentes
sur lesplateaux;
pour leplateau
CD,
il faut
faire -n
égal
à o dans les formules(93)
et(97)
etprendre
la valeur de opour r
== 1r; endésignant
par
Q ~
etQ’ô
0 lescharges
présentes
par unité desurface de CD dans la solution
symétrique
et la solutionantisymétrique
respectivement,
onobtient,
engrandeur
et ensigne
0 n. aura de même sur le
plateau
AB,
enremarquant
que la normale extérieure y est
dirigée
dans le sensnégatif
des 1)
La
charge
de lagrille
par unité de surface estégale
etopposée
à la somme descharges
présentes
sur lesplateaux,
donc ’Lorsque
lagrille
et leplateau
AB ont despotentiels
quelconques ~l1
etU2
parrapport
à CD nous avonsvu que la distribution du
potentiel
est donnée par(83)
, -" ,
-On aura donc
et pour les
charges,
enposant
on obtient
Il en résulte en
particulier
pour lacapacité
dela
grille
et pour le coefficient d’influence mutuel desplateaux
à travers lagrille
lesvaleurs,
par unitéde surface
Les coeflicients ao et
bo,
purement
numériques,
s’obtiennent par la résolution dessystèmes
d’équa-tions linéaires établis pour la solution de chacun des
deux
problèmes symétrique
(a 0)
etantisymétrique (b 0) .
Quand
d est suffisammentgrand,
il résulte de laforme
particulière
queprennent
alors nos groupesd’équations
linéaires,
que a, etbo
seprésentent
sousles formes
où les
quantités
exet f3 dépendent uniquement
dela
grille,
par l’intermédiaire de s et de p.Quant s
est nul(grille
infinimentmince),
nous avons vuque les valeurs limites de (x
et f3
sontQuand p
-estnul,
lagrille
disparaît,
ex devientinfini
et ~
nul,
de sorte que est nul etb 0 égal
à l’unité. Pour pégal
à i, les fentesdisparaissent,
lagrille
devient uneplaque
continue,
exet ~
deviennentégaux
à -~.En substituant la valeur
(104)
de ao dansl’ex-pression (103)
de lacapacité C,,
on obtient pourcelle-ci
avec ce résultat que l’influence des fentes sur la
capacité
de lagrille, équivaut
à uneaugmentation
grille,
égale
àLa
simplicité
de ce résultat est liée au fait que,lorsque
la distance d devient suffisammentgrande
par
rapport
à a -~-b,
lechamp
devient uniformeau
voisinage
desplateaux
et que, dans cescondi-tions,
pour une même distribution duchamp
auvoisinage
de lagrille,
et parconséquent
pour. unemême distribution des
charges
à la surface decelle-ci,
un accroissement de la distance et
produit
simple-ment un accroissementproportionnel
dans les différences depotentiel U,
etU,.
Ces différences depotentiel
sont donc des fonctions linéaires de ladistance
quand
celle-ci devientsuffisante,
et c’est bien ce quetraduit,
enparticulier,
la forme(105)
de la
capacité
de lagrille.
Cette uniformité du
champ
auvoisinage
despla-teaux
permet
également
de résoudre leproblème
de la distribution dupotentiel
pour des valeurs données de celui-ci sur lagrille
et lesplateaux
lorsque
ceux-ci sont à des distances différentes de lagrille,
ces distances d et d’ restant suffisammentgrandes
parrapport
à lapériode a
+ b.Soit A’ B’
(fig.
6)
laposition
duplateau supérieur,
à distance d’ duplan
médian de lagrille,
leplateau
inférieur restant à distance d. SoitU’2
lepotentiel
sur le
plan
A’B’,
potentiel qui
sera constant danstoute l’étendue de ce
plan,
en raison de l’uniformitédu
champ
entre AB et A’B’. Cechamp
a pourvaleur,
en vertu de(83)
Les valeurs à
prendre
pour U’ et U" sont cellesqui
conviennent pour larégion supérieure
dudomaine,
etqui
sont données par les formules(92)
et
(96) respectivement.
On en déduitpour les valeurs
des
voisines de 20,
où sh 2 n 8 estgrand.
De même on déduit de
(106),
en yportant
lesvaleurs
(107)
On a
d’ailleurs,
puisque
cechamp
estconstant
entre AB et A’ B’
d’où
Il suffit de
porter
cetteexpression
deV2
dans laformule
(83)
pour avoir la distribution dupotentiel
entre lagrille
et les deuxplateaux
A’ B’ et CDlorsque
lepotentiel
de A’B’ estU’2
et celui de lagrille
U, celui de CD étanttoujours
pris
pourorigine
La fonction de
flux q
sera parconséquent
En tenant
compte
de(99)
et(100),
on obtient pour lescharges
par unité de surface desplateaux
et de la
grille
De là résultent les valeurs de la
capacité
Cl
de lagrille
et du coefficient d’influence mutuelle despla-teaux à travers la
grille Co2
Quand
d estégal
à d’ on retrouve bien lesexpres-sions
(103)
que nous avions obtenues dans le cassymétrique.
Enfin,
dans le cas de laplaque pleine, lorsque
les fentes de lagrille
ont unelargeur a
nulle,
lescons-tantes oc
et ~
des formules(104)
sontégales
à 2013e,on a donc
et les formules
( 111)
deviennentcomme il est
raisonnable,
puisque
laplaque
est à des distances d - c et d’ - c des deuxplateaux,
et que cetteplaque pleine
faitcomplétement
écran à l’in-fluence mutuelle desplateaux
situés depart
et262
Traitement direct du cas
dissymétrique
parla méthode des séries
trigonométriques. -
Jevais,
pourterminer,
traiterdirectement,
par la.
méthode des séries
trigonométriques
le casgénéral
dissymétrique
de lagrille placée
entre deuxplateaux
situés à des distances d et d’ de
part
et d’autre duplan
médian de celle-ci. Soient de nouveau o,Ui,
V2’
les
potentiels imposés respectivement
auplateau
CD,
à lagrille
et auplateau
A’ B’. La distribution dupotentiel
entre CD et leplan
médian GH sera donnéepar
u s’annule sur CD en même
temps
que n et u’ devientégal
àUl
sur A’B’ pour r~égal
à à - 0’.Les conditions à
remplir
par lesAn
et lesA §,
doivent traduire les faits suivants :I o u doit être
égal
àUl
sur RS en mêmetemps
que u’
estégal
àU,
surVT;
.~~ u doit être
égal
àU1
surSN~ et
u’égal
àU,
sur
NT;
30 Les deux fonctions u et u’ doivent se
rac-corder sur NM’ de
façon
que u et u’ yprennent
la même valeur enchaque point
ainsi que leurs dérivéespremières
parrapport
à
et àç.
Ainsi les deux fonctions
harmoniques
seraccor-deront
puisqu’il
n’existera sur les bandes médianes desfentes,
telles queNM’,
aucune couche doubleni
simple correspondant
aux surfaces de disconti-nuité dupotentiel
ou duchamp.
Nous aurons ainsi trois groupes
d’équations
linéaires
auxquelles
doivent satisfaire les An et lesAn
I. Lepremier
groupe seraanalogue
à(43)
ets’écrira
II. La seconde condition conduit à des
équations
analogues
à(51)
.- .
III. La continuité entre u et u’ le
long
de NM’donne
La continuité entre et
dit’
lelong
de NM’o-fi y’rl "
donne
La continuité entre
-
lelong
de d c rédonne
*En liaison avec la distribution
(112)
dudeux
régions
situées depart
et d’autre duplan
médian GH les valeurs
Comme
précédemment,
on en déduit pour lescharges Qo
etQ2
par unité de surface despla-teaux CD et A’B’
La résolution de notre
système
d’équations
linéaires donnera
A o
etA ô
0 en fonction linéairede
U,
etU,
et l’on déduira immédiatement de(119)
les coefflcients d’influence et les
capacités.
La résolution du
système d’équations
se trouveextrêmement
simplifiée
dans le cas où lalargeur a
des fentes est
égale
à celle b desbarreaux,
c’est-à-dire où
p est égal
à 1 .
2
Il est en effet
possible
dans ce cas, enprocédant
comme nous l’avons fait
antérieurement,
de formerun groupe
d’équations
linéaires ne renfermantplus,
en dehors de
Au
et que les inconnues d’indiceimpair
A,,,-,
et Ce groupe est le suivantAvec les notations
L’élimination de
A a
etA ô
entre lesquatre
pre-mières deséquations (120)
fournit les deuxéqua-tions
Ces dernières
équations, jointes
à celles des deux dernièreslignes
de(120)
permettent
dedéter-miner les
A2p+l
et lesqui, ’portés
dans les deuxpremières équations (120)
donnerontA o
etA’o’
Une
approximation
déjà
suffisante consistera à donner à p les valeurs o, 1, 2, et àprendre
deuxéquations
dans chacune des deux dernièreslignes
de(120)
en donnant à m les valeurs i et 2.Pour aller
plus
loin et en choisissant pour p les p + i valeurs o, 1, 2, ..., p cequi
donne2
(p
~-1)
inconnuesA2p+l
et on donnera à mles valeurs 1, 2, ..., p dans les deux dernières
lignes
de
