Séries chronologiques

(1)

Description des s´eries chronologiques Lissage exponentiel Moyennes mobiles

S

6 novembre 2015

!" # $ % & '% & (

) #*#+ , *-./01#+

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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3 Description des s´eries chronologiques

4 Lissage exponentiel

5 Moyennes mobiles

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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(2)

( #+,*D6- #+ +)#*#+ , *-./01#+ Lissage exponentiel Moyennes mobiles

P 7 8 7

U 9 : ; < < = < < > ; < >? = @ > 9 < < ; : > < > = U < = >

(Xt)_t∈Z telle que ∀t∈Z,Xt est une variable al´eatoire r´eelle.

U < A : ; : U B C ? = x₁, ...,x_T est une r´ealisation d’un processus stochastique

E X_t)t∈Z est dit stationnaire si

F t ∈Z,E(Xt) =µ

F t ∈Z,V(Xt)<∞

F t,h∈Z,Cov(Xt,Xt+h) =γ(h)

U A = > ; < 9 : 9 : A > A < ? =

F t ∈Z,V(Xt) =γ(0)

F t ∈Z,γ(t) =γ(−t)

G H I (Xt,Xt+h) =γ(h)/γ(0)

J t est dit bruit blanc siE(ǫ_t) = 0,cov(ǫ_t, ǫ_s) = 0 ∀t 6=s, et cov(ǫt, ǫt) =σ². Ce processus est stationnaire.

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) #*#+ , *-./01#+ ( #+,*D6- #+ +) #*#+ , *-./01#+ Lissage exponentiel Moyennes mobiles

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)#*#+ , *-./01#+

K L M N

Time

sunspot.year

1700 1800 1900

050100150

Time

USAccDeaths

1973 1975 1977 1979

7000900011000

Time

EuStockMarkets[, 4]

1992 1994 1996 1998

3000400050006000

Time

AirPassengers

1950 1954 1958

100200300400500600 ( #+,*D6- #+ +) #*#+ , *-./01#+ Lissage exponentiel Moyennes mobiles

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(3)

O Q R 7 T

< V W ; > X< 9 : U ; 9 = Y BZA > = Z= U < A : > 9 : BB

la prévision des réalisations futures, l’estimation d’une tendance, la saisonnalité, l’étude de la dynamique ou l’évaluation de l’impact d’un événement.

[ = : ; X : \ B Y < > = U B : C ; Y @ B = > B< V B ]

l^ _ ` a b c^ l^ _ b ^ de^ f d ^ _ _ ga h _ i d l^ j ^ ` k _

l^ _ lg_ _m f ^ _ ^ n k a h ^ h jg^ l_ o i g _a h j jdc^ _ _g` k l^ _ cm ` ^ jj d^ ^ h

œuvre,

l^ _ ` a b c^ l^ _ b ^ jp k ^ q r s q t o i g u a h _g_j ^ h j cm ^ h l^ v ^ d b ^ lm _e^ dg^

les tendances et saisonnalités (ou périodicités) évidentes et à modéliser le résidu restant. Ces méthodes sont plus

sophistiquées et plus lourdes numériquement que les précédentes, mais également plus performantes.

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)#*#+ , *-./01#+

w 8 8 7 7 x

U 9 : B > U U ; B : < ? = B < A : x_t peut s’´ecrire :

x_t =M_t+ǫt où m_t est une fonction déterministe du temps et ǫt est un aléa.

U 9 : B ; 9 9

A

: ? = E = <

A

y B : < ? =

la sériext peut s’écrire :xt =St+ǫt où St est une fonction déterministe périodique du temps de période p, i.e. S_t+p=S_t

∀t, etǫt est un al´ea.

U 9 = > z : = U > U U ; > = U ; 9 9 A : ? = ]

{ t =Mt+St+ǫt ici le mod`ele est additif

{ t =Mt×St×ǫt ici le mod`ele est multiplicatif

| U } ; > = U > = U > : U < X : > U B C :> ? = U 9 = >

passer du mod`ele est multiplicatif au mod`ele est additif.

( #+,*D6- #+ +) #*#+ , *-./01#+ Lissage exponentiel Moyennes mobiles

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(4)

~ x x N 7 T x 7 M N

U ; > = : B > U U ; ; U > : B B U U x_n= ¹_nPn

t=1x_t

U ; > = : < 9 : < : ; U

carr´ee, l’´ecart-type empirique) : ˆσ_n²= ¹_nPn

t=1(xt−x¯n)²

U ; < A

9 U U ; BZ = > ; z : U ; 9 : ? = Z : :

renseigne sur la dépendance entre deux données espacées de h, ˆ

σ²_n(h) = 1 n

n−h

X

t=1

(xt−x¯_n)(x_t+h−x¯_n)

Z = > ; : :A B > U 9 : ? = Z : : h est d´efini par ˆ

ρn(h) = ˆσ_n²(h)/ˆσ²_n(0)

x_t =at+b alors ˆρ_n(h)→1 quand n→ ∞,∀h

xt =acos(2πt/p) alors ˆρn(h)→acos(2πh/p), quand n → ∞

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Description des s´eries chronologiques ^'⁺⁺^!^/^# ^#^D^-^#^-⁶^#^. Moyennes mobiles

8 L N 7

U < 9 < Z= U <A : X₁, ...,X_T et on désire prédire X_T_+h (h≥1) . Dénotons par ˆX_T(h) la prévision de la valeur de X_T_+h.

B B< < C Y 9 U U > B < 9 B ? = ; U < < > @ W= < > : B ; B U >

à la série temporelle une constante. Ce type de lissage est utiliser pour les séries sans tendance ni saisonnalité

B B< < C Y 9 U U > B = V B ? = W= < > ? = U > @ B= = U : > 2

S’utilise pour des s´eries sans saisonnalit´e

B B< < C Y 9 U U > B B> U > :< ? = ; U < @ : < < A : <

avec tendance et saisonnalit´e

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(5)

O 8 L N 7 M N O K S

A : U U ; U < A

> β ∈(0,1). La valeur fournie par le LES est donn´ee par Xˆ_T(h) = (1−β)

T−1

X

j=0

β^jX_T−j

On a ˆX_T(1) = ˆX_T(2) =· · ·= ˆX_T(h) := ˆX_T

: = B < @ W = :

Xˆ_T =βXˆ_T−1+ (1−β)X_T

B = : ZU > B< > U ˆX₁ =X₁.

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) #*#+ , *-./01#+

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w 8 8

Holt−Winters filtering

Time

Observed / Fitted

1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050

050100150

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(6)

O 8 L N 7 x Q O K

A : z ; > U U ; < 9 < < A

1(t) = (1−β)

t−1

X

j=0

β^jX_t−j;S₂(t) = (1−β)

t−1

X

j=0

β^jS₁(t−j) Donc S₂ la s´erieX doublement liss´ee ;

T = 2S₁(T)−S₂(T) ;a_T = ¹^−β_β (S₁(T)−S₂(T))

Xˆ_T(h) =b_T +a_Th;

: = B < < @ W = : <

b_T = (1−β²)X_T +β²(b_T−1+a_T−1)

= (1−β²)X_T +β²Xˆ_T−1(1) a_T = a_T−1+ (1−β)²(X_T −Xˆ_T−1)

=

1−⁽¹_1−β⁻^β)₂²

a_T−1+⁽¹_1−β⁻^β)2²(b_T −b_T−1)

22 b₂=X₂,a₂=X₂−X₁

!" # $ % & '% & (

) #*#+ , *-./01#+

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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7 x x 7 7 w 8 8

X_T(h) =a_Th+b_T,

T etb_T sont obtenus `a l’aide de formules de mise `a jours suivantes

b_T = (1−α)XT +α(bT−1+a_T−₁) a_T = (1−γ)a_T−1+γ(b_T−b_T−1)

B = : < ZU > B< > U b₂ =X₂ eta₁ =X₂−X₁.

A U A : B< > U = |

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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(7)

w 8 8

Time

Observed / Fitted

1992 1994 1996 1998

20003000400050006000

!" # $ % & '% & (

) #*#+ , *-./01#+

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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7 x x 7 7 w 8 8 8 x x 7 T

[ A : ; >A p

Xˆ_T(h) = a_Th+b_T+S_T+h−p, si 1≤h≤p

= a_Th+b_T+S_T+h−_2p, si p<h≤2p

: = B < < @ W = : < < = z U > < 9 = : T ≥p+ 1

b_T = (1−α)(XT −S_T−p) +α(bT−1+a_T−₁) a_T = (1−β)a_T−1+β(b_T −b_T−1)

S_T = (1−γ)(X_T −b_T) +γS_T−p

B = : < ZU > B< > U 9 = : ≤t ≤p b_t = ¯x_p,

a_t = ((X_p+1−X₁)/p+(X_p+2−X₂)/p+. . .+(X_p+p−X_p)/p)/p et S_t =X_t−x¯_p

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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(8)

w 8 8 M 7 N 8 7 T

Time

Observed / Fitted

1960 1970 1980 1990 2000

320330340350360370

!" # $ % & '% & (

) #*#+ , *-./01#+

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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7 x x 7 7 w 8 8 M 7 N 8 7 T

[ A : ; >A p

Xˆ_T(h) = (aTh+b_T)×S_T_+h−p, si1≤h≤p

= (aTh+b_T)×S_T_+h−_2p, sip <h≤2p

: = B < < @ W = : < < = z U > < 9 = : T ≥p+ 1

b_T = (1−α)(XT/ST−p) +α(bT−1+a_T−₁) a_T = (1−β)a_T−1+β(b_T −b_T−1)

S_T = (1−γ)(X_T/b_T) +γS_T−p

B = : < ZU > B< > U 9 = : ≤t ≤p b_t = ¯x_p,

a_t = ((X_p+1−X₁)/p+(X_p+2−X₂)/p+. . .+(X_p+p−X_p)/p)/p et S_t =X_t/¯x_p

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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