INE 11

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Principes des lang. de progr.

INE 11

Michel Mauny

Inria-Paris

prénom.nom@inria.fr

Michel Mauny (Inria-Paris) INE 11 prénom.nom@inria.fr 1 / 22

Termes

1 Termes du premier ordre Termes sans variables Définitions inductives Termes avec variables

2 Filtrage

3 Unification

Motivations

Termes

représentation d’expressions quelconques 1+2

if p(x) theng(f(x),h(x,y,z)) else succ(1+t) P(x)∨ ¬Q(x))

logique, types, données structurées, morceaux de programme variables pour représenter une infinité de termes

Du 1er ordre : sans liaisons de variables oui :P(x)∨ ¬Q(x)

non :∀x,P(x)∨ ¬Q(x)

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Termes

Symboles :on considèreΣ, un ensemble symboles munis d’une arité Σ₁={(Zero,0),(Succ,1),(Plus,2)}

Σ2={(A,0),(F,1),(G,3)}

Définition

Termes

L’ensembleTΣdes termes sur Σ(appelésΣ-termes) est défini par : tout symbole deΣd’arité 0 est unΣ-terme

sit1, . . . ,tnsont desΣ-termes et siF ∈Σest un symbole d’aritén, alorsF(t1, . . . ,tn)est unΣ-terme.

Exemples

Plus(Succ(Zero),Zero)∈ TΣ₁

F(G(A, F(A), A)) ∈ TΣ2

Succ(F(A))∈ TΣ1∪Σ2

Zero(Succ) n’est pas un terme valide Graphiquement

Zero Succ

Plus

F

Zero

G

A F

A A

Définitions inductives

Ensembles de termes quelquefois définisinductivement

Le plus petit ensemble contenant une relation nat=Zero|Succofnat

qu’on peut lire comme

natest le plus petit ensembletel que : Zero∈nat

sin∈natalorsSucc(n)∈nat

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Définitions inductives

On retrouve de telles définitions dans :

définitions de type OCaml (types ditsalgébriques) définitions de grammairesalgébriques

. . .

Entiers naturels Pairs

0 est pair

npair⇒n+2 pair

Impairs

1 est impair

nimpair⇒n+2 impair

Preuves par induction

SoitE défini par induction avec cas de baseb₁, . . . ,bn

cas d’inductionpi ⇒qi

Pour montrerP surE montrerP(bi)

montrerP(pi)⇒P(qi) Exemple

arbre=F|Nofarbre∗arbre

montrer que le nombre de feuilles d’unarbreest au plus égal à 1+le nombre de nœuds (fa≤na+1)

par induction sur la structure d’arbre: casa=F: trivial

casa=N(t,u) : on suppose la propriété vraie pourt etu, et on conclut puisquefu≤nu+1 etft≤nt+1, on a

fa=fu+ft≤nu+nt+2=na+1

Termes avec variables

TΣ ne contient que des termes dits clos

Soit V ensemble infini dénombrable de noms de variables

Termes avec variables

toute variable deV est unΣ∪ V-terme

tout symbole deΣd’arité 0 est unΣ∪ V-terme

sit1, . . . ,tnsont desΣ∪ V-termes et siF ∈Σest un symbole d’arité n, alorsF(t1, . . . ,tn)est unΣ∪ V-terme

Dans la suiteΣetV sont implicites.

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Substitution

Définition

Unesubstitutionest une fonction totale de l’ensemble des variablesV vers un ensemble de termesT.

Domaine

dom(θ)ensemble desx tels queθ(x)6=x

on ne considérera que des substitutions à domaine fini Notations, terminologie

[x17→t1;. . .;xn7→tn]

la substitution identité :∅ ou [ ]

renommage :θbijective dont le codomaine ne contient que des variables

Morphisme

De substitution à morphisme

On étend naturellement une substitutionθen unmorphisme de termesθ: θ(F(t1, . . . ,tn)) =F(θ(t1), . . . , θ(tn))

θ(x) =θ(x)

Par la suite,θ sera notéθ :on confondra substitution et morphisme associé.

Extension, composition

Composition

On définit la compositionθ₁◦θ₂de deux substitutionsθ₁etθ₂comme la substitution qui associe à toute variablex le terme θ1(θ₂(x)).

Extension de

θ

L’extension de la substitutionθpar[x7→t]est la substitution notée θ⊕[x 7→t]définie par :

dom(θ⊕[x7→t]) =dom(θ)∪ {x}

(θ⊕[x 7→t])(x) =t

(θ⊕[x 7→t])(y) =θ(y)poury 6=x

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Pré-ordre sur les termes

Les substitutions induisent un pré-ordre sur les termes préordre = relation binaire réflexive et transitive Note : un ordre (partiel) est un préordre anti-symétrique

Préordre de généralité

On dira quet₁ estmoins généralquet₂, et on noterat₁≤t₂ si il existe une substitutionθtelle quet1=θ(t2).

On dira quet₁ est uneinstancedet₂.

Filtrage

Le problème du filtrage :Trouver une réponse à la question suivante : Étant donnés deux termest etm, a-t-ont≤m?

que l’on peut aussi formuler comme :

Le termet est-il une instance du termem? Utilisation

filtrage (pattern matching) des langages comme OCaml transposer un théorème général dans un contexte particulier raisonnement quotidien !

Calcul de substitutionθtelle queθ(m) =t

Exemples

terme ^instance_{de ?} motif substitution

Succ(Succ(Zero)) ≤ Succ(x) θ= [x7→Succ(Zero)]

Succ(Succ(y)) ≤ Succ(x) θ= [x7→Succ(y)]

Succ(Succ(x)) ≤ Succ(x) θ= [x7→Succ(x)]

G(F(A),F(A),F(A)) ≤ G(x,x,x) θ= [x7→F(A)]

Succ(x) 6≤ Succ(Succ(y)) —

G(F(A),A,F(A)) 6≤ G(x,x,x) —

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Algorithme

filtre[(m,t)]∅est défini par

filtre : (terme× terme) list→subst.→subst. (ouéchec) filtre[ ] θ=θ

filtre[(x,t₁); (m₂,t₂);...; (mn,tn)]θ= six6∈dom(θ)alors

filtre[(m₂,t₂);...; (m_n,t_n)] (θ⊕[x7→t₁])sinon siθ(x) =t1alorsfiltre[(m2,t2);...; (mn,tn)]θ sinon échec

filtre[(S(q₁, . . . ,qk),T(u₁, . . . ,ul)); (m₂,t₂);...; (mn,tn)]θ= siS=T alorsfiltre[(q₁,u₁);...; (q_k,u_k); (m₂,t₂);...; (mn,tn)]θ sinon échec

filtren’importe quoi d’autre=échec

Unification

L’unification

deux termes ont-ils des instances communes ? la réponse peut être :

«non, évidemment» :AetB,F(...) etG(...)

«oui, évidemment» :Succ(x)etSucc(Zero)

moins évidente :Plus(x,Succ(Zero))etPlus(Succ(y),z)

c’est la résolution d’une équation entre termest₁=t₂, qui revient à calculer une substitutionθtelle queθ(t1) =θ(t2)

Si deux termes admettent un unificateurθ, on dit qu’ils sont unifiables

Exemples

termes à unifier

Succ(Succ(x))etSucc(Succ(x)) ∅

Plus(Zero,Zero)etPlus(x,Zero) [x7→Zero]

Plus(Zero,x)etPlus(x,Zero) [x7→Zero]

Plus(Succ(y),x)etPlus(Succ(Succ(x)),Succ(Zero))

[y7→Succ(Succ(Zero));x7→Succ(Zero)]

Succ(Zero)etSucc(Succ(Zero)) —

Succ(x)etSucc(Succ(x)) —

Dernier exemple :équation récursive

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Principe de l’algorithme

Cas général

soit à unifier[(t₁,u₁), . . . ,(t_n,u_n)]: on cherche µtelle que

∀i=1..n, µ(ti) =µ(ui)

sit1 est unifiable avecu1, produisantµ1, on continue l’unification de [(µ₁(t₂), µ₁(u₂)), . . . ,(µ₁(tn), µ₁(un))]

si cela réussit et produitµ⁰, alorsµ⁰◦µ₁unifie[(t₁,u₁), . . . ,(tn,un)].

Algorithme

unifier[(t,u)]∅est défini par

unifier : (term×term) list→subst.→subst. (ou échec) unifier [ ]µ=µ

unifier[(x,u₁); (t₂,u₂);...; (tn,un)]µ=

six=u₁alorsunifier[(t₂,u₂);...; (tn,un)]µsinon six apparaît dansu₁alors échec sinon

soitµ1= [x7→u1]

unifier(µ1(t2), µ1(u2));...; (µ1(tn), µ1(un))] (µ1◦µ) unifier[(t₁,x);...; (tn,un)]µ= unifier[(x,t₁);...; (tn,un)]µ unifier[(S(a₁, ...,a_k),T(b₁, ...,b_l)); (t₂,u₂);...; (tn,un)]µ=

siS=T alorsunifier[(a₁,b₁);...; (a_k,b_k); (t₂,u₂);...; (t_n,u_n)]µ sinon échec

Propriétés

L’unificateurde 2 termes (quand il existe) n’est pas unique : siµunifie,θ◦µles unifie aussi

pourt etu, il existe un «meilleur» unificateurµ, tel que : siθunifietetu, alors∃θ⁰ t.q.θ=θ⁰◦µ

µest unique, à un renommage près

il est appeléunificateur le plus général, et on le note quelquefois mgu(t,u)

Alan Robinson, 1965 Voir aussi

Anti-unification ou généralisation (Plotkin 1971, Huet 1976)

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Conclusion

Les termes

représentation de données dans le domaine du calcul symbolique (compilation, logique,etc.

clos, avec variables

filtrage et unification : mécanismes de base de «raisonnements mécaniques»