INE 11

(1)

Principes des lang. de progr.

INE 11

Michel Mauny

Inria-Paris

prénom.nom@inria.fr

Michel Mauny (Inria-Paris) INE 11 prénom.nom@inria.fr 1 / 24

Sémantique dénotationnelle

1 Sémantique dénotationnelle directe Domaines

Fonctions sémantiques

Instructions et aspects impératifs

2 Sémantique dénotationnelle à continuations

Sémantique

Syntaxe / sémantique notation

sens, dénotation Le sens d’un programme

ce qu’il calcule

l’objet mathématique qu’il représente comment il le calcule

Sur quoi faire reposer le sens d’un programme ? une description en langue naturelle

interprète : le langage d’implémentation de l’interprète

compilateur (traducteur) : langage cible, langage d’implémentation du compilateur

un formalisme mathématique

(2)

Le sens d’un langage doit (devrait) être

complet, cohérent, précis, non ambigu, concis, compréhensible Sémantique formelle

standardisation (non ambigu, précis, concis)

référence pour implémenteurs, contre les implémentations divergences du même langage

implémentation automatique : sémantique exécutable

référence pour programmeurs : savoir «ce que ça fait» sans le tester preuves de correction de programmes : raisonnement mathématique impossible sans sémantique formelle

meilleure compréhension de la conception des langages (distinguer ce qui est compliqué de ce qui ne l’est pas)

Sémantique(s)

Sémantique dénotationnelle[C. Strachey, D. Scott, ˜1960]

définir l’objet mathématique représenté par un programme syntaxe→domaines mathématiques

Sémantique axiomatique[T. Hoare, 1969]

définir l’action d’une construction par les propriétés de la mémoire avant et après son exécution

{p}S{q}, préconditions, postconditions Sémantique opérationnelle[G. Plotkin, 1981]

décrire le mécanisme d’évaluation/d’exécution des programmes plus précise que la sémantique dénotationnelle

⇒ présentation de la S.O. dans un des cours suivants

PCF

Catégories

c∈Const Constantes, incluant les fonctions primitives x∈Id Identificateurs

e∈Exp Expressions

Expressions e ::= c|x

| e₁+e₂|e₁=e₂|ife₁ thene₂ elsee₃

| letx=e1 ine2|let rec x=e1 ine2

| (funx → e)|e1e2

Exemple

letrec fact=funn→ if n≤0 then1else n∗ fact(n−1) in fact(5)

(3)

Domaines

Domainespour les valeurs,etc.: ordres partiels complets (CPO) éléments partiellement indéfinis, voire totalement indéfini (⊥) relation d’ordre partiel «moins défini que»

toute chaîne croissante a une borne sup.

Autorise quelques définitions récursives «osées»

Domaines pour PCF

DomaineD

• INT : le domaine des entiers

• BOOL = {true,false}

• D = INT + BOOL + FUN: le domaine des valeurs

• FUN = D→D : les fonctions sur D

Environnements: fonctions associant des valeurs de D à des identificateurs de Id

• ENV = Id→D

Fonctions sémantiques

Sémantique des expressions

E : Exp→ENV→D Définition

E[[c]]ρ=d_c pour chaquec∈Const E[[x]]ρ=ρ[[x]], pour x∈Id

E[[e1+e2]]ρ=E[[e1]]ρ+DE[[e2]]ρ E[[e₁e₂]]ρ= (E[[e₁]]ρ)(E[[e₂]]ρ)

E[[e₁=e₂]]ρ=true siE[[e₁]]ρ=E[[e₂]]ρ

=false dans le cas contraire E[[ife₁ thene₂ elsee₃]]ρ=

siE[[e₁]]ρ=truealorsE[[e₂]]ρsinonE[[e₃]]ρ

(4)

Sémantique des expressions(suite)

E[[let x=e1 ine2]]ρ=E[[e2]](ρ⊕[x 7→ E[[e1]]ρ]) E[[let rec f =e₁ ine₂]]ρ=E[[e₂]]ρ⁰

oùρ⁰=ρ⊕[f 7→ E[[e₁]]ρ⁰]

E[[funx → e]]ρ=f telle que f(v) =E[[e]](ρ⊕[x7→v])

Récursion: construction récursive de la valeur sémantique

PCF avec affectations

Langage enrichi par

des références (locations) correspondant aux variables une mémoire qui fait correspondre des valeurs à des locations Syntaxe

e∈Exp,défini pare ::= . . . |s;e s∈Stm,défini pars ::= x:=e|s₁;s₂

Domaines sémantiques

D = INT + BOOL + FUN

avec FUN = (D×STORE)→(D×STORE) et STORE = LOC→D

ENV = ID→LOC LOC

PCF avec affectations

Fonctions sémantiques

E : Exp→ENV→STORE→(D× STORE) S : Stm→ENV→STORE→STORE Définitions

E[[c]]ρσ= (dc, σ)pour chaquec∈Const

E[[x]]ρσ= (σ(ρ[[x]]), σ), pour x∈Id

E[[e₁+e₂]]ρσ=

soit(n₁, σ₁) =E[[e₁]]ρσ soit(n₂, σ2) =E[[e₂]]ρσ₁ (n1+n2, σ2)

(5)

PCF avec affectations

Définitions(suite)

E[[e₁e₂]]ρσ=

soit(f, σ₁) =E[[e₁]]ρσ soit(v, σ₂) =E[[e₂]]ρσ₁ (f(v), σ2)

E[[e₁=e₂]]ρσ=

soit(v₁, σ₁) =E[[e₁]]ρσ soit(v₂, σ2) =E[[e₂]]ρσ₁

siv1=v2alors (true,σ2) sinon (false,σ2)

PCF avec affectations

Définitions(suite)

E[[ife₁ thene₂ elsee₃]]ρσ= soit(v₁, σ1) =E[[e₁]]ρσ

ifv1=truethenE[[e2]]ρσ1elseE[[e3]]ρσ1

E[[let x=e₁ ine₂]]ρσ= soit(v₁, σ₁) =E[[e₁]]ρσ soitl₁une nouvelle référence E[[e2]](ρ⊕[x7→l1])(σ1⊕[l17→v1])

PCF avec affectations

Définitions(fin)

E[[let rec x=e₁ ine₂]]ρσ= soitl1une nouvelle référence

soit(v1, σ1) =E[[e1]](ρ⊕[x7→l1])(σ) E[[e₂]](ρ⊕[x7→l₁])(σ₁⊕[l₁7→v₁])

σ(l₁)est indéfinie : le calcul dee₁ne doit pas utiliserx

E[[funx → e]]ρσ=f telle quef(v, σ⁰) =

soitlx une nouvelle référence E[[e]](ρ⊕[x 7→l_x])(σ⁰⊕[l_x7→v])

(6)

Définitions(fin) E[[s;e]]ρσ=

soitσ⁰=S[[s]]ρσ E[[e]]ρσ⁰

S[[x:=e]]ρσ= soitlx =ρ[[x]]

soit(v, σ⁰) =E[[e]]ρσ σ⁰⊕[lx 7→v]

S[[s1;s2]]ρσ= soitσ1=S[[s₁]]ρσ S[[s₂]]ρσ₁

PCF avec affectations et goto

Modéliser le calcul en identifiant le reste du calcul: la continuation goto:changer le reste du calcul

étiquette : identifier ce point de programme comme continuation potentielle

C’est quoi, le calcul ?

c’est transformer le «résultat» courant en résultat final l’état courant de la mémoire

la valeur courante Continuation

continuation d’instructions : Cc = STORE→STORE continuation d’expression :

Ec = (D×STORE)→(D×STORE)

PCF avec affectations et goto

Domaines et fonctions sémantiques

E : Exp→ENV→STORE→Ec→(D×STORE) S : Stm→ENV→STORE→Cc→STORE

Valeurs fonctionnellesreçoivent une continuation

FUN = (D×STORE)→Ec→(D×STORE)

Les labels sont de simples identificateurs dont les valeurs (dans la mémoire) sont des continuations d’instructions. On aura donc :

D = INT + BOOL + FUN + Cc

(7)

PCF avec affectations et goto

Syntaxe

s∈Stm ets::=x:=e|s₁;s₂|lab:s |gotolab où

lab∈Id

dans “lab:s”,sest la portée delab, et peut donc contenir “gotolab”.

Définition

E[[c]]ρσk=k (dc, σ)pourc∈Const

E[[x]]ρσk=k (σ(ρ[[x]]), σ), pourx∈Id

PCF avec affectations et goto

Définition(suite)

E[[e₁+e₂]]ρσk = E[[e₁]]ρσk₁

oùk₁ est définie park₁(n₁, σ1) =E[[e₂]]ρσ₁(k₂ n₁) oùk2 n1(n2, σ2) =k(n1+n2, σ2)

E[[e₁e₂]]ρσk = E[[e₁]]ρσk₁

oùk1(v1, σ1) =E[[e2]]ρσ1(k2v1) oùk2 v1 (v2, σ2) =v1(v2, σ2)k

PCF avec affectations et goto

Définition(suite)

E[[e₁=e₂]]ρσk =... laissé en exercice

E[[ife1 thene2 elsee3]]ρσk =... laissé en exercice E[[let x=e1 ine2]]ρσk =... laissé en exercice E[[let rec x=e₁ ine₂]]ρσk=... laissé en exercice

E[[funx → e]]ρσk = k(f, σ)

oùf est définie par

f (v, σ⁰)k⁰=E[[e]](ρ⊕[x7→lx])(σ⁰⊕[lx 7→v])k⁰ oùlx est une nouvelle référence

(8)

Définition(suite)

E[[s;e]]ρσk=

soitk⁰ définie park⁰(σ⁰) =E[[e]]ρσ⁰k S[[s]]ρσk⁰

S[[lab:s]]ρσk=

soitl une nouvelle référence soitk⁰ définie récursivement par

k⁰(σ⁰) =S[[s]](ρ⊕[lab7→l])(σ⁰⊕[l7→k⁰])k k⁰σ

PCF avec affectations et goto

Définition(fin) S[[x:=e]]ρσk=

soitk⁰ définie park⁰(v⁰, σ⁰) =k(σ⁰⊕[ρ[[x]]7→v⁰]) E[[e]]ρσk⁰

S[[s₁;s₂]]ρσk = S[[s₁]]ρσk⁰

oùk⁰est définie park⁰(σ⁰) =S[[s₂]]ρσ⁰k

S[[goto lab]]ρσk= k⁰σ

oùk⁰=σ(ρ[[lab]])

Conclusion

Vision mathématique Ignore le calcul

Styles fonctionnels fonctions sémantiques continuations

À mettre en œuvre dans un langage fonctionnel de programmation