Td corrigé Correction : POUSSÉE D'ARCHIMÈDE pdf

Correction : POUSSÉE D’ARCHIMÈDE

Exercice 1 Solide suspendu à un ressort 1- Allongement x1 en fonction de m, g et k.

m g = k x1 x1 =

2- Allongement x2 en fonction de m, me, g et k.

m g – me g = k x2 x2 = Comparer à x1. x2 < x1

3- Différence de pesée m2 – m1 (le système {eau, becher}).

poids {eau ; becher} + poussée = poids apparent {eau ; becher}

m1 g + me g = m2 g soit me = m2 – m1

Exercice 2 Iceberg

Ve = 600 m ³ Iceberg : 1 = 910 kg m ^{– 3} Eau de mer : 2 = 1024 kg m ^{– 3} 2- Relation entre le volume émergé Ve, le volume totale Vt et les masses volumiques.

L’iceberg est en équilibre sous l’action de son poids et de la poussée.

P = PA 1 Vt g = 2 Vi g d’où 1 Vt = 2 Vi avec Vi = Vt – Ve

On obtient : 1 Vt = 2 (Vt – Ve) soit (2 – 1) Vt = 2 Ve

3- Calculer le volume Vt et la masse m de l’iceberg Vt = A.N. : Vt = Vt » 5389 m ³

m = 1 Vt A.N. : m = 910 ´ 5389 m » 4 904 000 kg

Si on considère le volume immergé Vi,, on obtient la relation : 2 Vi = 1 Vt soit = A.N. : = 0,9 Les 9 dixièmes de l’iceberg sont sous l’eau.

Exercice 3 Poids apparent

Sphère de cuivre de 24,5 N plongée dans un liquide liq = 0,800 g/cm ³. Cuivre : Cu = 8,00 g/cm ³

Le poids apparent est le poids réel moins la poussée d’Archimède.

Poids apparent p de la sphère p = P – PA p = 24,5 – liq VS g Volume de la sphère : P = Cu Vg d’où V =

A.N. : Attention  en g/cm ³

Cu = 8,00 g/cm ³ = 8,00 ´ 10 ⁶ g/m ³ = 8,00 ´ 1 000 kg/m ³ = 8 000 kg/m ³ V = V » 3,12 10 ^{– 4} m ³ V » 312 cm ³ V » 312 mL

Si la sphère est entièrement immergée VS = V

Poids apparent p de la sphère p = 24,5 – 800 ´ 3,12 10 ^{– 4} ´ 9,81 p » 22,05 N

Ph. Georges Sciences 1/4

PA

P

Exercice 4 Paquebot

Masse du paquebot : 57 800 t Densité de l’eau de mer : 1,028

Le paquebot est en équilibre sous l’action de deux forces, son poids P et la poussée d’Archimède PA

. Ses deux forces ont donc même intensité. P = PA

soit m g =  V g ou m =  V et V =

La densité est définie par : d = avec eau = 1 000 kg/m ³ d’où :  = 1 000 d Le volume immergé du paquebot est donné par : V =

A.N. : dans l’eau de mer de densité 1,028 Vmer = = Vmer » 56 200 m ³ dans l’eau douce de densité 1,000 V » 57 800 m ³

Exercice 5 Radeau

Charge maximum : 1 500 N Cordages et planches : 300 N Tonneaux vides : 50 L ; 200 N 1- Nombre de tonneaux

A l’équilibre, le poids du radeau doit être égal au poids du volume d’eau déplacé.

P = PA soit P =  V g avec eau = 1 000 kg/m ^{– 3} Le poids et le volume du radeau dépendent du nombre n de tonneaux.

P = 1 500 + 300 + 200 n et V = 50 10 ^{– 3} ´ n Ce qui donne : 1 800 + 200 n = 1 000 ´ 50 10 ^{– 3} ´ n ´ 10

1 800 + 200 n = 500 n

300 n = 1800 et n = 6

Le radeau doit être constitué de 6 tonneaux

2- Charge F supportée lorsque la moitié de chaque tonneau est immergée

Volume V’ des 6 tonneaux à moitié immergé : V’ = 6 ´ 25 10 ^{– 3} V’ = 150 10 ^{– 3} m ³ Poids P’ du radeau : P’ = F + 300 + 6 ´ 200 P’ = F + 1 500

A l’équilibre : P’ = P’A soit P’ =  V’ g

d’où : F + 1 500 = 1 000 ´ 150 10 ^{– 3} ´ 10 F = 1 500 – 1 500 F = 0 La charge supportée est nulle lorsque les tonneaux sont à moitié immergés.

Exercice 6 Densité

Sphère de laiton dans l'air : 160 g ; dans l'eau : 100 g. Densité du laiton : 8.

1- La poussée d’Archimède correspond à une masse de 160 – 100 = 60 g Densité d = laiton = d eau

Masse de la sphère : m = laiton V d’où m = d eau V

Volume de la sphère pleine : V = A.N. : V = V » 20 10 ^{– 6} m ³ La poussée d’Archimède sur une sphère pleine serait : PA = eau V g

d’où une masse correspondante : mA = eau V A.N. : mA = 1 000 ´ 20 10 ^{– 6} mA » 0,02 kg La sphère n’est pas pleine (0,02 kg < 60 g) ; elle est donc creuse.

Ph. Georges Sciences 2/4

2- Sphère creuse

La poussée d’Archimède correspond à une masse de 60 g.

On a : mA = eau V d’où V = A.N. : V = V » 20 10 ^{– 6} m ³ La sphère creuse a un volume de 20 cm ³.

Exercice 7 Gouttelette de brouillard

Résistance de l’air : F = 6   R v où  = 1,8 10 ^{– 5} SI est la viscosité de l’air, R : rayon de la sphère

v : vitesse de la gouttelette par rapport à l’air.

Vitesse limite : vl = 0,12 mm s ^{– 1}.

1- Forces appliquées : poids (vers le bas) ; poussée de l’air (vers le haut) ; frottement (vers le haut) 2- La gouttelette est soumise à trois forces qui se neutralisent lorsque la vitesse limite est atteinte.

 R ³ eau g =  R ³ air g + 6   R vl

3- En simplifiant par R :  R ² eau g –  R ² air g = 6   vl

soit :  R ² g (eau – air) = 6   vl

R = R » 10 ^{– 6} m

Le rayon de la gouttelette est voisin du micron.

4- Poussée d’Archimède

PA =  R ³ air g PA =  (10 ^{– 6}) ³ ´ 1,29 * 9,8 PA » 5,3 10 ^{– 17} N 5- Poids de la gouttelette.

P =  R ³ eau g P =  (10 ^{– 6}) ³ ´ 1000 * 9,8 P » 4,1 10 ^{– 14} N Le poids est 1 000 fois plus grand que la poussée.

Exercice 8 Hiéron et Archimède

Dans l'air, la couronne pèse 48,2 N et dans l'eau son poids apparent n'est plus que de 45,3 N.

La densité de l'or est de 19,3 et celle de l'argent de 10,5.

1- Densité du métal de la couronne

Poussée d’Archimède PA = 48,2 – 45,3 PA = 2,9 N Volume de la couronne PA = eau V g d’où V = Poids de la couronne PC = C V g

d’où PC = C g PC = PA PC = dC PA soit dC = A.N. : dC = dC » 16,6

La couronne n’est pas en or pur. Il s’agit d’un alliage d’or et d’argent.

2- Composition du métal de la couronne en masse et en volume La masse est reliée au volume par : m =  V

La densité est définie par : d = soit  = d eau avec eau = 1 000kg/m ³ L’expression de la masse s’écrit : m = d V avec V en dm ³

Les volumes seront exprimés en dm ³.

mAu : masse d'or de la couronne VAu : volume d'or de la couronne en dm ³. mAg : masse d'argent de la couronne VAg : volume d'argent de la couronne en dm ³. Masse de la couronne : mC = mAu + mAg soit = dAu VAu + dAg VAg

d’où = 19,3 VAu + 10,5 VAg

Volume de la couronne : VC = avec eau = 1 000 kg/m ³ et PA = 2,9 N Le volume de la couronne est : VC = en dm ³ d’où VAu + VAg =

Résolution du système d’équations

Ph. Georges Sciences 3/4

PA

P F

(2) donne : VAu = – VAg

On substitue VAu dans (1) : 19,3 ( – VAg) + 10,5 VAg = 19,3 ´ – 19,3 ´ VAg + 10,5 VAg = soit – 19,3 ´ VAg + 10,5 VAg = – 19,3 ´ d’où (10,5 – 19,3) VAg =

et VAg = VAg » 0,090 dm ³

Calcul de VAu : VAu = – VAg VAu = 0,2056 dm ³

Calcul des masses : mAu = 0,2056 ´ 19,3 mAu = 3,97 kg mAg = 0,090 ´ 10,5 mAg = 0,945 kg

Vérification : mC = mAu + mAg mC = 4.915 kg

PC = mC g PC » 48,2 N C’est bien le poids de la couronne.

Ph. Georges Sciences 4/4