Quantification et modélisation du couplage plasticité endommagement dans les polymères semicristallins à morphologie sphérolitique

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morphologie sphérolitique

Fabrice Detrez, Roland Seguela, Sabine Cantournet

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Fabrice Detrez, Roland Seguela, Sabine Cantournet. Quantification et modélisation du couplage

plasticité endommagement dans les polymères semicristallins à morphologie sphérolitique. XIXème

Congrès Français de Mécanique, Aug 2009, Marseille, France. 6 p. �hal-00664505�

19 ` eme Congr`es Fran¸cais de M´ecanique Marseille, 24-28 aoˆ ut 2009

Quantification et mod´ elisation du couplage plasticit´ e endommagement dans les polym` eres semicristallins ` a

morphologie sph´ erolitique

F. Detrez ^a,b , R. S´ egu´ ela ^b , S. Cantournet ^a

a. Centre des Mat´ eriaux, MINES ParisTech, Centre des mat´ eriaux, CNRS UMR 7633, BP 87 91003 Evry Cedex

b. Laboratoire de Structure et Propri´ et´ es de l’Etat Solide, Universit´ e des Sciences et Technologies de Lille, 59655 Villeneuve d’Ascq

R´ esum´ e :

Le m´ ecanisme de fragmentation des lamelles cristallines a conduit ` a l’hypoth` ese d’un couplage entre la plasticit´ e et l’endommagement. Apr` es identification de la contribution visqueuse, l’endommagement et la d´ eformation plastique sont mesur´ es par des essais de traction charge/d´ echarge. Ces mesures nous ont permis d’identifier une loi de couplage unique pour les mat´ eriaux de l’´ etude.

Abstract :

The fragmentation of crystalline lamellae enables assuming that there is coupling between plasticity and damage.

The viscous contribution is first identified, then substracted from data of cyclic tensile test in order to assess the damage and the plastic deformation. The damage evolution follows the same law for all studied materials.

Mots clefs : Polym` ere semicristallin, Endommagement, Plasticit´ e, Polyamide 6, Poly(-caprolactone), Polybut` ene

1 Introduction

Pour certains polym` eres, les chaˆınes macromol´ eculaires peuvent cristalliser sous forme de lamelles cristallines tr` es ´ elanc´ ees. Les sph´ erolites sont de forme plus ou moins sph´ erique et sont constitu´ ees de lamelles cristallines orient´ ees radialement et s´ epar´ ees par de la phase amorphe (Figure 1a).

L’endommagement dans ces mat´ eriaux est classiquement associ´ e au m´ ecanisme de cavitation. Il y est quantifi´ e en mesurant la variation de volume [1]. Or, des travaux r´ ealis´ es par microscopie ` a force atomique (AFM) ont r´ ev` el´ e un intense processus de fragmentation des lamelles cristallines sur le polyamide 6 (PA6), le polybut` ene (PB) et le poly(-caprolactone) [2, 3, 4]. L’image hauteur AFM de la figure 1b montre des lamelles cristallines (en blanc) fragment´ ees, lors d’un essai de traction.

Ce m´ ecanisme apparaˆıt tous d’abord au cœur du sph´ erolite puis dans les zones o` u les lamelles sont align´ ees avec l’axe de traction.

L’objectif de cette ´ etude est d’approfondir l’approche exp´ erimentale de ce m´ ecanisme ´ el´ ementaire de d´ eformation pour le quantifier dans le but d’identifier une loi de comportement. N´ eanmoins, des approches microm´ ecaniques ont permis de mettre en ´ evidence le rˆ ole pr´ epond´ erant du facteur de forme des lamelles sur les propri´ et´ es ´ elastiques [5, 6].

Peterlin [7] a introduit le m´ ecanisme de fragmentation comme un m´ ecanisme de plasticit´ e. Or, la frag-

mentation s’av` ere ˆ etre aussi un m´ ecanisme d’endommagement car elle diminue le facteur de forme des

lamelles dont d´ ependent les propri´ et´ es ´ elastique [5, 6]. Dans cette ´ etude, nous quantifions l’endomma-

gement et la d´ eformation plastique dans trois polym` eres semicristallins ` a morphologie sph´ erolitique

et se d´ eformant par fragmentations le PA6, PB et PCL [4]. Nous pr´ esentons une m´ ethode originale

de mesure de la perte des propri´ et´ es m´ ecaniques. La m´ ethode que nous avons d´ evelopp´ ee est une

alternative plus fonctionnelle pour ´ etablir une loi de comportement que la technique de mesure de

variation de volume. En effet, nous ne savons pas encore relier la fraction volumique de cavit´ e aux

propri´ et´ es ´ elastiques des polym` eres semicristallins.

Fig. 1 – (a) Sch´ ema d’un sph´ erolite, (b) Image AFM in situ d’un film de PB en traction uniaxiale : Contraste hauteur (2.5 × 2.5 µm z range = 100 nm)

2 Mat´ eriaux et techniques exp´ erimentales 2.1 Mat´ eriaux et mise en œuvre

Les trois mat´ eriaux de l’´ etude se pr´ esentent sous forme de films d’´ epaisseur 100 µm avec un morpho- logie sph´ erolitique en surface contrˆ ol´ ee. Les propri´ et´ es physico-chimiques (Temp´ erature de transition vitreuse, T g , et Temp´ erature de fusion, T _f ) et celles de la microstructure (Diam` etres des sph´ erolite,

∅, et taux de cristallinit´ e, χ) de ces mat´ eriaux sont report´ ees dans le tableau 1. Ces trois polym` eres de cristallinit´ e moyenne pr´ esentent des caract´ eristiques tr` es diff´ erentes.

T _g ( ^◦ C) T _f ( ^◦ C) χ (%) ∅ (µm) α β

PA 6 28 ± 3 223 ± 1 38 ± 1 3 ± 0.5 0.56 146

PB −20 ± 3 120 ± 1 49 ± 4 20 ± 2 0.53 30

PCL −55 ± 3 62 ± 1 58 ± 1 10 ± 5 0.53 56

Tab. 1 – Propri´ et´ es physico-chimique, microstructurales et d’endommagement (α et β)

2.2 Essais m´ ecanique

Les essais m´ ecaniques sont r´ ealis´ es avant l’apparition de la striction. Ce choix permet de garantir une bonne qualit´ e de la mesure de d´ eformation par extensom´ etrie optique, en s’affranchissant des probl` emes de localisation. De plus, la morphologie cristalline n’est plus sph´ erolitique dans la striction mais fibrillaire.

Les essais m´ ecaniques sont r´ ealis´ es sur une machine Instron ´ equip´ ee d’une cellule de force de 100 N.

La d´ eformation est mesur´ ee grˆ ace au syst` eme Vid´ eo-Traction d’Apollor [8]. Cette technique est bas´ ee sur la mesure des d´ eformations longitudinale et transverse dans un volume ´ el´ ementaire repr´ esentatif d´ efini ` a l’aide d’un syst` eme de sept points marqu´ es sur l’´ echantillon. Ce proc´ ed´ e permet de mesurer les d´ eformations de Hencky (ε = ln

l l

) longitudinale et transverse (ε _tr ) et d’obtenir la d´ eformation volumique et la contrainte vraie sous l’hypoth` ese que la d´ eformation dans l’´ epaisseur (ε ep ) soit ´ egale ` a la d´ eformation transverse. En outre, ce syst` eme permet aussi de maintenir la vitesse de d´ eformation de Hencky constante par un asservissement en temps r´ eel et d’´ eviter l’utilisation de jauges de d´ eformation susceptibles d’alt´ erer le comportement m´ ecanique du mat´ eriau. Les ´ eprouvettes utilis´ ees sont de type halt` ere (largeur utile 4 mm / longueur utile 25 mm).

2.2.1 Identification de la contribution visqueuse

19 ` eme Congr`es Fran¸cais de M´ecanique Marseille, 24-28 aoˆ ut 2009

Fig. 2 – (a) Sch´ ema du mod` ele de Maxwell g´ en´ eralis´ e, (b) et (c) : Evolutions de la d´ eformation vraie en fonction du temps : pour un essai de relaxation (b) et un essai charge/d´ echarge (c)

sont reli´ ees par une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire

n

X

i=0

a _i ∂ ⁱ ε

∂t ⁿ =

m

X

i=0

b _i ∂ ⁱ σ

∂t ^m (1)

Par souci de commodit´ e nous travaillerons dans l’espace de Laplace o` u l’´ equation (1) s’exprime

S (p) = H (p) E (p) (2)

o` u S (p) et E (p) sont respectivement les transform´ ees de Laplace de σ (t) et ε (t). H (p) est une fraction rationnelle que l’on appellera fonction de transfert. Dans la suite, nous mod´ eliserons le comportement par un mod` ele de Maxwell g´ en´ eralis´ e (Figure 2a) qui est un assemblage en parall` ele d’´ el´ ements de Maxwell (un ressort G i en s´ erie avec un amortisseur lin´ eaire η i ) Sa fonction de transfert est

H (p) = G 0 +

n

X

i=1

G i

τ i p

1 + τ _i p avec τ i = η i

G _i (3)

o` u les G <sub>i</sub> sont homog` enes ` a des modules et G <sub>0</sub> le module du mat´ eriau relax´ e. Les η <sub>i</sub> sont homog` enes

`

a des viscosit´ es et les τ i = η i /G i sont par d´ efinition les temps de relaxation du syst` eme.

La contribution visqueuse est identifi´ ee ` a partir d’un essai de relaxation ` a la d´ eformation ε ₀ = 0.01 avec une vitesse de chargement v ε = 5.10 ⁻⁴ s ⁻¹ (Figure 2b). La choix d’une d´ eformation ε 0 aussi faible permet de rester dans le domaine visco´ elastique lin´ eaire et d’´ eviter la plasticit´ e ou la viscoplaticit´ e.

La r´ eponse du mod` ele de Maxwell ` a un essai de relaxation est donn´ ee dans l’espace de Laplace par S(p) = v _ε

"

G ₀ p ² +

n

X

i=1

G _i τ _i 1 p − 1

1 τ

+ p

!# "

1 − e ^−t

^p

#

(4) o` u t 1 correspond au temps de fin de mise en charge. Dans l’espace temporel, la contrainte se d´ ecompose en une partie ´ elastique σ _e = G ₀ .ε et partie visqueuse σ _v

σ (t) = G ₀ .ε +

n

X

i=1

G _i .τ _i

"

1 − e ⁻

t τi

v _ε .u (t) − 1 − e ⁻

t−t1 τi

v _ε .u (t − t ₁ )

#

| {z }

σ

(5)

o` u u(t) est la fonction d’Heaviside (´ echelon unitaire). La contrainte se d´ ecompose en une partie

´ elastique σ e = G 0 .ε et une partie visqueuse σ v . Dans cette ´ etude, nous travaillons seulement sur trois

d´ ecades, les cinq temps de relaxation τ _i sont fix´ es arbitrairement entre 1 et 1000 secondes ce qui

correspond ` a la plage de temps balay´ ee lors des essais charge/d´ echarge. La contribution visqueuse

est obtenue en ajustant les G _i de l’expression (5) sur les essais de relaxation grˆ ace ` a l’algorithme des

moindres carr´ ees non-lin´ eaire de Levenberg-Marquardt impl´ ement´ e dans Gnuplot (Figure 3a).

Fig. 3 – Courbe contrainte vraie/temps pour un essai de relaxation sur le PB, (b) Courbe contrainte vraie/d´ eformation de Hencky pour un essai charge/d´ echarge pour le PB, (c) Courbe Variation de volume/d´ eformation de Hencky pour un essai monotone sur le PB ( ˙ ε = 5.10 ⁻⁴ s ⁻¹ , (d) Courbe contrainte relax´ ee (σ − σ v )/d´ eformation de Hencky sur le PB

2.2.2 Essais charge/d´ echarge en contrainte relax´ ee

Pour quantifier le couplage entre endommagement et plasticit´ e, nous avons r´ ealis´ e des essais charge/d´ echarge o` u la d´ eformation suit une loi en dents de scie (Figure 2c)

ε (t) = v _ε ¹ .u (t) +

m

X

k=1

v _ε ^k+1 − v ^k _ε

u (t − t k ) (6)

v ^k _ε est la vitesse de d´ eformation de la k ^eme rampe, t _k l’instant de son d´ ebut et m le nombre de charge et d´ echarge. Les vitesses sont choisies de norme kv ^k _ε k = 5.10 ⁻⁴ s ⁻¹ tout comme pour les essais monotones.

Les temps t k (k impair) sont choisis afin de d´ echarger ` a ε = 0.03, 0.06, 0.09, 0.12, 0.15, 0.2, 0.3. Les autres valeurs t _k (k pair) sont prises pour recharger l’´ eprouvette lorsque la contrainte σ s’annule.

La viscosit´ e engendre des boucles d’hyst´ er´ esis lors des essais (Figure 3a) et aussi une d´ ependance du module ` a la vitesse. Par cons´ equent, nous soustrayons la contribution visqueuse σ v grˆ ace au mod` ele de Maxwell que nous avons identifi´ e sur les essais de relaxation

σ _v (t) =

n

X

i=1

G _i τ _i

"

1 − e ⁻

v ¹ _ε .u (t) +

m

X

k=1

1 − e ⁻

t−tk τi

v _ε ^k+1 − v ^k _ε

u (t − t _k )

#

(7)

Les hyst´ er´ esis se referment sur la courbe de contrainte relax´ ee (σ − σ v ) en fonction de la d´ eformation

19 ` eme Congr`es Fran¸cais de M´ecanique Marseille, 24-28 aoˆ ut 2009

Fig. 4 – (a) Courbes contrainte d´ eformation dans la configuration relˆ ach´ ee associ´ ee ` a chaque d´ echarge pour un essais charge/d´ echarge sur le PB, (b) Evolution du dommage en fonction de la d´ eformation plastique pour le PA6, le PB et le PCL

3 R´ esultats exp´ erimentaux 3.1 Variation de volume

La variation de volume J est d´ efinie par J = V

V 0

= exp (ε + ε _tr + ε _ep ) = exp (ε + 2.ε _tr ) (8) La courbe de la figure 3c montrent l’´ evolution de J lors d’un essai de traction monotone ` a vitesse de d´ eformation de Hencky constante (v <sub>ε</sub> = 5.10 <sup>−4</sup> s <sup>−1</sup> ). On observe une faible ´ evolution J pour le PB (≈ 7%). On observe une diminution de la variation de volume, mais ces variations restent inf´ erieures ` a l’erreur li´ ee ` a la mesure. Pour les trois mat´ eriaux de l’´ etude, on n’observe pas de variation de volume significative avant l’apparition de la striction.

3.2 Identification du potentiel ´ elastique

Une fois la d´ eformation plastique et le domaine ´ elastique identifi´ es ` a partir des essais de charge/d´ echarge, il reste ` a d´ eterminer la forme de loi ´ elastique. Il s’av` ere que l’´ elasticit´ e est lin´ eaire dans la configuration relˆ ach´ ee [9] (Figure 4a). Travailler dans la configuration relˆ ach´ ee revient ` a travailler en grandeur lagrangienne en prenant comme ´ etat de r´ ef´ erence l’intersection du domaine

´ elastique avec l’axe des abscisses. Dans la configuration relˆ ach´ ee, la d´ eformation E ^e est E ^e = 1

2 (exp (2ε ^e ) − 1) avec ε ^e = ε − ε ^p (9)

il s’agit de la version unidimensionnelle du tenseur de Green-Lagrange dans la configuration relˆ ach´ ee.

La contrainte S ^e utilis´ ee correspond ` a la version unidimensionnelle du tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff II avec comme ´ etat de r´ ef´ erence la configuration relˆ ach´ ee

S ^e = J.σ. exp (−2ε ^e ) (10)

La loi entre S ^e et E ^e est lin´ eaire, elle est d´ efinie par un module E.

E = S ^e

E ^e (11)

3.3 Evolution du dommage

La figure 4a montre la diminution du module ´ elastique E avec l’augmentation de la d´ eformation plas-

tique ε ^p . Pour caract´ eriser le couplage entre la plasticit´ e et l’endommagement, c’est-` a-dire l’´ evolution

D = 1 − E (ε ^p )

E (0) (12)

La figure 4b montre les ´ evolutions de D (ε ^p ). Pour les trois mat´ eriaux, on observe une augmentation brutale du dommage au d´ ebut de la d´ eformation plastique. Le dommage semble saturer pour les grandes d´ eformations plastiques vers D ≈ 0.55.

4 Conclusions

Ces essais ont montr´ e que l’´ elasticit´ e des trois mat´ eriaux est lin´ eaire dans la configuration relˆ ach´ ee ce qui nous a conduit ` a d´ efinir une variable de dommage dans cette configuration. Cette variable permet de mettre en ´ evidence l’endommagement m´ ecanique alors que la faible variation de volume ne permet de mettre en cavitation.

Dans le domaine ´ etudi´ e, le dommage D ne tend pas vers la valeur 1 correspondant ` a la rupture. D plafonne vers 0.55 car le r´ eseau macromol´ eculaire garanti la coh´ esion.

La rapide ´ evolution du param` etre D aux faibles d´ eformations plastiques peut s’expliquer par les observations AFM qui nous montrent qu’au d´ ebut ce sont les lamelles du cœur et celles align´ ees avec l’axe de traction qui se fragmentent. Dans ces zones, les axialites sont orient´ es suivant l’axe de traction donc leur influence sur le module est grande. Lorsque la fragmentation de ces zones s’att´ enue, ce sont les zones diagonales qui se fragmentent ce qui ralentit l’´ evolution du dommage.

Sachant que la rigidit´ e d´ epend du facteur de forme des lamelles [5, 6], si on suppose que chaque fragmentation lamellaire diminue le facteur de forme par deux, on en d´ eduit que le m´ ecanisme de fragmentation est d’autant plus endommageant lorsque le facteur de forme est important. D’autre part, chaque fragmentation propage environ la mˆ eme quantit´ e de d´ eformation plastique. Ces deux

´ el´ ements expliquent aussi l’´ evolution brutale de D en fonction de la d´ eformation plastique, puis son plafonnement. On peut expliquer la saturation du dommage D (ε p ) par l’apparition de nouveaux m´ ecanismes de d´ eformation plastique comme le glissement cristallin.

Nous proposons une loi ph´ enom´ enologique D (ε ^p ) satisfaisant ces constatations et reproduisant l’´ evo- lution du dommage pour les trois mat´ eriaux

D = α (1 − exp (−βε ^p )) (13)

o` u 0 ≤ α ≤ 1 et β ≥ 0 sont deux param` etres mat´ eriaux. Cette loi pr´ esente un bon accord avec nos mesures (Figure 4b). Les valeurs des param` etres α et β pour chaque mat´ eriau de l’´ etude sont report´ ees dans le tableau 1. On n’a remarqu´ e aucune corr´ elation ´ evidente entre les param` etres α et β et le taux de cristallinit´ e (χ) ou le diam` etre des sph´ erolites ( ∅ ). Il serait int´ eressant de comparer les param` etres α et β avec le facteur de forme des lamelles si celui-ci ´ etait exp´ erimentalement accessible.

R´ ef´ erences

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