Parametric Instabilities of the Ponomarenko dynamo

HAL Id: tel-00325286

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00325286

Submitted on 27 Sep 2008

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Marine Peyrot

To cite this version:

Marine Peyrot. Parametric Instabilities of the Ponomarenko dynamo. Planète et Univers [physics].

Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2008. Français. �tel-00325286�

Laboratoire des Ecoulements G´ eophysiques et Industriels

Th` ese

pr´ esent´ ee par

Marine Peyrot

pour obtenir le grade de docteur de l’Universit´ e Joseph Fourier de Grenoble

Sp´ ecialit´ e : G´ eophysique, M´ ecanique des Fluides

Instabilit´ e param´ etrique de la dynamo de Ponomarenko

soutenue le 25 Janvier 2008 devant le jury compos´ e de

Christiane Normand Pr´ esident du jury

Caroline Nore Rapporteur

Fran¸ cois P´ etr´ elis Rapporteur

Micka¨ el Bourgoin Membre du jury

Andrew Gilbert Membre du jury

Franck Plunian Directeur de th` ese

Remerciements

Mes premiers remerciements vont en direction de Franck, mon directeur de th` ese.

Merci pour ta confiance, ton enthousiasme, ta pr´ esence, ta patience tout au long de cette th` ese. Merci pour m’avoir toujours parl´ e simplement de sciences. Merci pour m’avoir fait d´ ecouvrir la recherche sous son plus bel angle, et m’avoir encourag´ e et pouss´ e ` a voyager scientifiquement. Et merci pour ˆ etre comme tu es, dans ton m´ etier mais aussi ailleurs. Je souhaite ` a tout ´ etudiant d’avoir un directeur de th` ese comme toi.

Je remercie Christiane Normand avec qui nous avons travaill´ e ´ etroitement pendant ces trois ann´ ees et demie. Nous avons eu de nombreux et riches ´ echanges sur la dynamo, mais aussi sur des sujets plus larges ... Ce fut un r´ eel plaisir de travailler ensemble, notre trio, orchestr´ e par Franck, a tr` es bien fonctionn´ e ... et restera pour moi un mod` ele de collaboration humaine et scientifique.

Je remercie Andrew Gilbert, un des grand de ce monde de la dynamo, avec qui j’ai eu le privil` ege et la chance de travailler. Andrew m’a accueillit tr` es chaleureusement ` a Exeter pendant trois semaines qui ont beaucoup apport´ e ` a ces travaux de recherche. Andrew m’a fait la gentillesse de venir ` a Grenoble pour ma soutenance au cours de laquelle, il a pu nous faire ´ ecouter son « perfect french accent » .

Je remercie aussi mes rapporteurs, Caroline Nore et Fran¸cois P´ etr´ elis pour toute l’atten- tion qu’ils ont mis dans la lecture de ce manuscrit. Leurs commentaires et discussions ont beaucoup apport´ e ` a ce manuscrit.

Je remercie Mickael Bourguoin pour avoir accept´ e de faire parti de mon jury.

Je remercie le LEGI qui m’a accueillit pour mes deux premi` eres ann´ ees de th` ese et pour m’avoir donn´ e les moyens num´ eriques de travailler, je remercie plus particuli` erement Gabriel Moreau, alias Gaby, qui a fait preuve d’une patience sans limite pour une d´ ebu- tante maladroite en informatique.

Je remercie le LGIT pour saccueil chaleureux lors de ma derni` ere ann´ ee de th` ese, le cadre de travail que m’a offert ce laboratoire m’a permis de finir cette th` ese dans des conditions humaines et mat´ erielles id´ eales.

Je remercie toute l’´ equipe G´ eodynamo pour leur accueil, pour l’int´ erˆ et qu’ils ont port´ e ` a mon travail et ce, d` es la premi` ere ann´ ee de ma th` ese. Merci pour votre bonne humeur, et votre joie de « rechercher » communicante ...

Je remercie aussi tous les membres du GDR dynamo que j’ai eu l’occasion de croiser ` a de

nombreuses reprises. J’adresse un remerciement particulier ` a B´ erang` ere Dubrulle, Romain

Monchaux, et Fran¸cois Daviaud pour l’int´ erˆ et qu’ils ont port´ e ` a ce travail, et les ´ echanges

toujours tr` es enrichissants et sympathiques que nous avons eu.

Je remercie Achim Wirth, Bernard Barnier du LEGI, ainsi que l’Ecole Nationale Sup´ e- rieure d’Hydraulique et de M´ ecanique de Grenoble pour m’avoir soutenu dans mon emploi d’ATER. Je remercie Philippe Sechet, Evariste Ouedraougo, et Benjamin Loret pour leur confiance et la libert´ e qu’ils m’ont donn´ e dans tous les enseignements que j’ai eu ` a donner.

Merci au passage ` a tous mes ´ el` eves qui m’ont support´ es et qui m’ont beaucoup apport´ es...

Je remercie Karine Froment, Jean Michel Veteau et Jean Marie Seiler, de m’avoir ac- cueilli chaleureusement au CEA Grenoble pour mon stage de master 2 o` u j’ai pu d´ ecouvrir les joies de la recherche, d’ˆ etre venu assister ` a ma soutenance de th` ese 4 ans apr` es, et de m’avoir offert l’opportunit´ e de continuer l’aventure de la recherche dans le domaine de la biomasse.

Merci au Chax’ de m’avoir initi´ e aux joies de la recherche ` a la grenobloise.

Merci ` a tous les ´ etudiants du LGIT pour m’avoir acceuillit si chaleureusement, au pas- sage merci ` a mes chers co-bureaux, Florence, Nad` ege, Alo´ e, Louis et Clotaire, pour avoir support´ e mes allers retours quotidien ` a la piscine ...

Merci ` a Eli pour ses sages conseils sur la dynamo et surtout pour tout le reste ...

Merci ` a Beber pour ses c´ el` ebres « Salut Coach » ;-)

Merci ` a Florent, Ombeline et El´ ea pour avoir toujours ´ et´ e par l` a ...

Muchas gracias Raul (el especialista mexicana de la dynamo !) para tu sonrisa ...

Merci ` a mes ex colocataires pour m’avoir chouchout´ e pendant toute la p´ eriode de r´ edac- tion...

Merci ` a toute Ma famille « 4sup.com » autour de laquelle je me suis construite ici, merci pour m’avoir fait d´ ecouvrir la montagne sous toutes ses formes, merci pour toutes ces belles journ´ ees pass´ ees en votre charmante compagnie, qui ont beaucoup inspir´ e ce travail de recherche, et surtout merci pour avoir support´ e la tempˆ ete verte pendant ces 4 derni` eres ann´ ees ;-)

Merci aux organisateurs(et trices) de ce pot pyr´ en´ een dont on se rappelera longtemps.

Merci ` a ma grand-m` ere, qui a 82 ans, n’a pas h´ esit´ e une seconde pour faire le trajet Cas- telnaud Durban, Grenoble pour venir ` a ma soutenance.

Thanks to my dear Ci¸cou pour avoir d´ ecal´ e son retour dans ses ˆıles pour ˆ etre l` a le jour j.

Merci ` a Marie et JR pour ˆ etre venu d´ ecouvrir le monde de la recherche, ainsi que la neige de Chartreuse avec autant d’enthousiasme.

Merci ` a mon frero Pierrot pour tous ses sages conseils, et merci ` a ma petite kmoulette, ma grande soeur ` a moi, sans qui je ne ferais pas grand chose.

Merci ` a mon Papa pour m’avoir fait confiance et pour m’avoir soutenu dans tous mes choix, mˆ eme sans rien comprendre ` a ce que je pouvais bien faire ` a longueur de journ´ ee derri` ere mon pc.

Merci Maman pour ton attention, ta patience et ton soutien quotidien, merci pour avoir toujours ´ et´ e pr´ esente dans les bons et les mauvais moments. Merci aussi pour avoir relu ce manuscrit un nombre incalculable de fois, et pour avoir r´ eussi ` a r´ epondre mieu que moi

`

a la question : qu’EST ce que l’effet dynamo ? ;-)

Merci ` a Chamechaude, au Col de Clem, au Col de Vence, au Moucherotte, aux Vouillants, ` a la Bastille, ..., pour toute l’´ energie que ces lieux magiques Gre- noblois m’ont donn´ es, et me donnent encore.

Et Merci ` a Benoit.

resum´ e

Nous avons ´ etudi´ e l’influence de fluctuations de grandes ´ echelles sur le seuil de l’instabilit´ e dynamo. Pour cela, nous avons r´ esolu le probl` eme cin´ ematique pour un champ de vitesse h´ elico¨ıdal, auquel nous avons rajout´e ` a sa partie stationnaire, une modulation p´ eriodique dans le temps, ´ egalement h´ elico¨ıdale. Pour un champ de vitesse h´elico¨ıdal stationnaire des

´

etudes pr´ ec´ edentes ont montr´ e que pour de grands nombres de Reynolds magn´ etique le champ magn´ etique ´ etait g´ en´ er´ e au niveau d’une surface caract´ eris´ ee par une condition de r´ esonance sur le champ de vitesse. Pour un champ de vitesse modul´ e, nous avons montr´ e que pour une faible amplitude de modulation, c’est la condition de r´ esonance portant sur la partie stationnaire qui gouverne la g´ en´ eration du champ magn´ etique. Pour une grande amplitude de modulation, c’est la condition de r´ esonance portant sur la modulation qui contrˆ ole la g´ en´ eration du champ magn´ etique. Dans la plupart des cas et si la condition de r´ esonance est v´ erifi´ ee pour les deux parties du champ de vitesse, on trouve que le seuil augmente en fonction de l’intensit´ e de la modulation, puis diminue tout en restant sup´ erieur au seuil de l’´ ecoulement stationnaire de mˆ eme g´ eom´ etrie. Si la condition de r´ e- sonance n’est pas v´ erifi´ ee pour la modulation, alors le seuil augmente drastiquement avec son intensit´ e. Cette ´ etude sugg` ere que l’optimisation des exp´ eriences dynamo d´ epend non seulement de la partie stationnaire du champ de vitesse, mais aussi de ses fluctuations de grande ´ echelle. Si ces derni` eres ne sont pas optimis´ ees alors le seuil dynamo peut augmen- ter drastiquement, mˆ eme si celles-ci sont de faible intensit´ e.

Mots cl´ es :

Effet dynamo - Instabilit´ e param´ etrique - Magn´ etohydrodynamique - Ecoule-

ment de Ponomarenko - M´ ethode de Galerkin

Abstract

We have studied the influence of large scale fluctuations on the dynamo threshold. For that purpose, we have solved the kinematic problem for a helical flow, to the stationary part of which, we have added a periodic and also helical time modulation. For a helical stationary flow, previous studies have shown that for high magnetic Reynolds numbers, the magnetic field is generated on a resonance surface characterised by a resonant condi- tion on the velocity flow. For a modulated flow, we have shown that, for low amplitude of modulation, it is the resonant condition of the stationary part, that controls the ge- neration of the magnetic field. For large amplitude of the fluctuations, it is the resonant condition of the fluctuating part of the flow that governs the dynamo efficiency as well as the dynamo threshold. In most cases and if the resonant condition is satisfied for both parts of the flow, we find that the threshold increases with the intensity of the fluctua- tions, and then decreases, while remaining higher than the threshold corresponding to the stationary threshold of the same geometry. If the resonant condition is not verified for the modulation, then the threshold increases drastically with its intensity. These results show that the optimization of the dynamo experiments may not only depend on the stationary part of the flow but also on its non stationary large scale part. If the fluctuations are not optimized, then the threshold may increase drastically, even if the amplitude of these fluctuations is low.

Key words :

Dynamo Effect - Parametric instabilities - Magnetohydrodynamic - Ponoma-

renko flow - Galerkin method

Table des mati` eres

Remerciements iii

R´ esum´ e v

Abstract vii

Table des mati` eres xii

Liste des notations xviii

Introduction g´ en´ erale 1

I Introduction 3

1 Contexte g´ en´ eral de l’effet dynamo 5

1.1 Introduction ` a la notion d’effet dynamo . . . . 5

1.1.1 Champ magn´ etique terrestre et effet dynamo . . . . 5

1.1.2 Autres domaines d’application . . . . 7

1.2 Equations de la MHD et effet dynamo . . . . 10

1.2.1 Equation de l’induction magn´ etique . . . . 10

1.2.2 Equation de Navier Stokes . . . . 16

1.2.3 Dynamo cin´ ematique et m´ ecanismes dynamo . . . . 17

1.3 Contexte exp´ erimental . . . . 21

1.3.1 Exp´ eriences d’ancienne g´ en´ eration . . . . 22

1.3.2 Exp´ eriences de nouvelle g´ en´ eration . . . . 25

1.3.3 Positionnement des exp´ eriences . . . . 31

2 Positionnement du probl` eme 35 2.1 Cadre de mon travail de th` ese . . . . 35

2.2 Notion de surface de r´ esonance . . . . 37

2.3 D´ eroulement chronologique de la th` ese et plan de la suite du manuscrit . . 38

II D´ efinition du probl` eme et approches 41

3 D´ efinition du probl` eme et pr´ esentation des approches 43

3.1 Champ de vitesse . . . . 43

3.1.1 Approche perturbative et approche bas´ ee sur un d´ eveloppement en s´ eries de Fourier . . . . 44

3.1.2 Approche de Galerkin . . . . 44

3.1.3 M´ ethode asymptotique . . . . 45

3.2 R´ esolution . . . . 45

3.2.1 Cas des approches perturbatives, de Fourier et de Galerkin . . . . . 45

3.2.2 Cas de l’approche asymptotique . . . . 47

3.3 Surface de r´ esonance pour un ´ ecoulement pr´ esentant un cisaillement fini . . 48

3.4 Conditions aux limites . . . . 49

3.4.1 M´ ethode perturbative et d´ eveloppement en s´ eries de Fourier . . . . 50

3.4.2 M´ ethode asymptotique . . . . 50

3.4.3 M´ ethode de Galerkin . . . . 50

3.5 Applications num´ eriques . . . . 51

3.5.1 Comparaison m´ ethode de Galerkin, m´ ethode perturbative pour ρ 1 : . . . . 52

3.5.2 Comparaison m´ ethode de Fourier, m´ ethode de Galerkin pour m + ke Γ = 0 . . . . 52

3.5.3 Comparaison m´ ethode asymptotique, m´ ethode de Galerkin pour ε 1 et w

1 : . . . . 52

3.5.4 M´ ethode de Galerkin . . . . 53

4 Approches bas´ ees sur des hypoth` eses simplificatrices 55 4.1 M´ ethode perturbative . . . . 55

4.1.1 Sp´ ecificit´ es du champ de vitesse ´ etudi´ e . . . . 55

4.1.2 Solution . . . . 56

4.2 D´ eveloppement en s´ eries de Fourier . . . . 56

4.2.1 Simplification des ´ equations . . . . 57

4.2.2 Solution g´ en´ erale . . . . 57

4.2.3 R´ egime des grandes fr´ equences pour le cas du champ fluctuant sans champ moyen . . . . 58

4.2.4 R´ egime pour de faibles amplitudes de modulation . . . . 59

4.3 M´ ethode asymptotique . . . . 59

4.3.1 Equations . . . . 60

4.3.2 R´ esolution . . . . 60

5 M´ ethode directe de Galerkin 67 5.1 Equations . . . . 67

5.2 M´ ethode de r´ esolution . . . . 68

5.3 Solutions . . . . 69

5.3.1 Champ magn´ etique pour r > 1 . . . . 69

5.3.2 Champ magn´ etique pour r ≤ 1 . . . . 70

5.3.3 Syst` eme matriciel . . . . 72

III R´ esultats et Comparaisons 77

6 Validation du code num´ erique, comparaison avec l’´ etude perturbative 81 6.1 D´ etermination du taux de croissance et de la pulsation du champ magn´ etique 82

6.1.1 Pour un champ de vitesse stationnaire . . . . 82

6.1.2 Pour un champ de vitesse p´ eriodique . . . . 85

6.2 Cas stationnaire . . . . 88

6.2.1 Premiers r´ esultats . . . . 88

6.2.2 Comparaison des r´ esultats avec le code num´ erique d´ evelopp´ e par Gailitis . . . . 91

6.2.3 Comparaison avec le champ de vitesse pr´ esentant un cisaillement fini 93 6.3 Comparaison avec l’approche perturbative . . . . 93

6.3.1 R´ esultats m´ ethode de Galerkin . . . . 94

6.3.2 Comparaison des r´ esultats m´ ethode de Galerkin, ´ etude perturbative 96 6.3.3 Conclusions . . . . 99

7 R´ esultats de la m´ ethode asymptotique et comparaison avec la m´ ethode de Galerkin 101 7.1 D´ etermination du taux de croissance . . . 101

7.2 Champ de vitesse de la m´ ethode de Galerkin et analogie des probl` emes . . 102

7.3 R´ esultats . . . 102

7.3.1 Champ de vitesse stationnaire . . . 103

7.3.2 Champ fluctuant sans champ moyen . . . 106

7.3.3 Champ fluctuant avec champ moyen . . . 109

7.4 Conclusions . . . 111

8 R´ esultats et comparaisons de la m´ ethode de Fourier et de la m´ ethode de Galerkin 115 8.1 Article . . . 116

8.2 Compl´ ements ` a l’article . . . 131

8.2.1 Seuil de l’instabilit´ e dynamo . . . 131

8.2.2 Rayon de r´ esonance . . . 131

8.2.3 Comportement du seuil ` a faible amplitude de modulation . . . 136

9 Etude de la dynamo de Roberts modul´ ee p´ eriodiquement en temps 141 9.1 Mod` ele num´ erique . . . 142

9.2 R´ esultats . . . 144

9.2.1 Cas stationnaire . . . 144

9.2.2 Champ fluctuant sans champ moyen . . . 144

9.2.3 Champ fluctuant avec champ moyen . . . 145

9.3 Interpr´ etation . . . 148

9.3.1 Effet alpha ? . . . 148

9.3.2 Comment expliquer la pr´ esence des pics ? . . . 148

9.4 Perspectives . . . 149

Conclusion g´ en´ erale 153

Annexes 157

A Relations d’´ equivalence 157

A.1 Cas stationnaire - Code Gailitis . . . 157

A.2 Comparaison avec l’´ etude perturbative . . . 159

A.2.1 Champ de vitesse et ´ equation de l’induction . . . 159

A.2.2 Analogie des grandeurs adimensionnelles . . . 161

A.2.3 Relations d’´ equivalence . . . 162

A.3 Comparaison m´ ethode de Galerkin - M´ ethode asymptotique . . . 163

A.3.1 Analogies des approches . . . 163

A.3.2 Taux de croissance dans le cas stationnaire . . . 164

B M´ ethode asymptotique pour de grandes fr´ equences dans le cas fluctuant sans champ moyen 165 C Relation d’orthogonalit´ e 167 D Le code num´ erique 171 D.1 M´ ethodes num´ eriques . . . 171

D.2 Organisation du code . . . 174

D.3 Optimisation et automatisation des calculs . . . 177

E R

et w

, i = 2, 4 181

F Proceedings of the 11

EUROMECH European Turbulence Conference183

Bibliographie 192

Liste des notations

Symbole Unit´ e D´ efinition

B T Induction magn´ etique

E V.m

Champ ´ electrique E

J Energie magn´ etique

j A.m

Densit´ e de courant ´ electrique q C.m

Densit´ e de charge ´ electrique

x, y, z m Coordonn´ ees en g´ eom´ etrie cart´ esienne ε

F.m

Permittivit´ e ´ electrique uniforme

η m

.s

Diffusivit´ e magn´ etique

µ

H.m

Perm´ eabilit´ e magn´ etique uniforme ν m

.s

Viscosit´ e cin´ ematique

ρ

kg.m

Masse volumique σ Ω

.m

Conductivit´ e ´ electrique

r, θ, z m, rad, m Coordonn´ ees en g´ eom´ etrie cylindrique

Table 1 – Symboles dimensionnels

Symbole D´ efinition

k Nombre d’onde vertical L Longueur caract´ eristique m Nombre d’onde azimutal

n Vecteur normal ext´ erieur ` a une surface U Vitesse caract´ eristique

U Champ de vitesse

B

, B

, B

Composantes du champ magn´ etique en coordonn´ ees cylindriques b

, b

, b

Composantes du champ magn´ etique divis´ ees par e

b

Inconnues, tel que b

= b

± i b

γ Taux de croissance complexe du champ magn´ etique R (γ) Partie r´ eelle du taux de croissance

= (γ) Partie imaginaire du taux de croissance

L Op´ erateurs de diffusion en coordonn´ ees cylindriques

Ω Partie radiale de la composante azimutale du champ de vitesse V Partie radiale de la composante verticale du champ de vitesse

R ¯

Nombre de Reynolds magn´ etique bas´ e sur le champ de vitesse stationnaire R ˜

Nombre de Reynolds magn´ etique bas´ e sur le champ de vitesse fluctuant

Γ ¯ Pas de l’h´ elice de la partie stationnaire du champ de vitesse Γ ˜ Pas de l’h´ elice de la partie fluctuante du champ de vitesse

ρ Amplitude des fluctuations du champ de vitesse / au champ de vitesse moyen F (t) D´ ependance temporelle de la composante azimutale du champ de vitesse G(t) D´ ependance temporelle de la composante verticale du champ de vitesse

f (t Fonction d´ efinissant la d´ ependance temporelle de F g(t) Fonction d´ efinissant la d´ ependance temporelle de G

w

Fr´ equence de for¸cage du champ de vitesse τ

Temps d’advection du champ magn´ etique τ

Temps de diffusion du champ magn´ etique

T P´ eriode du champ de vitesse

r

Rayon d´ efinissant la surface de r´ esonance o` u est g´ en´ er´ e le champ magn´ etique

¯

r

Rayon de r´ esonance de partie stationnaire du champ de vitesse

˜

r

Rayon de r´ esonance de la partie fluctuante du champ de vitesse

Table 2 – Symboles communs ` a toutes les approches

Symbole D´ efinition

ε

Amplitude des fluctuations par rapport au champ moyen (=ρ) ε

Pas de l’h´ elice de la partie fluctuante du champ de vitesse (=˜ Γ) w

Fr´ equence de for¸cage dimensionnelle

σ Fr´ equence de for¸cage adimensionnelle (= w

) θ

Fonctions d´ efinissant le champ magn´ etique

R

Coefficients d´ efinissant les corrections au nombre de Reynolds magn´ etique critique w

Coefficients d´ efinissant les corrections ` a la pulsation du champ magn´ etique

Table 3 – Symboles utilis´ es dans la m´ ethode perturbative

Symbole D´ efinition

¯

µ Caract´ eristique g´ eom´ etrique de la partie stationnaire du champ de vitesse

˜

µ Caract´ eristique g´ eom´ etrique de la partie fluctuante du champ de vitesse n Indice des modes temporels de Fourier

A

Inconnues de la m´ ethode

Table 4 – Symboles utilis´ es dans la m´ ethode bas´ ee sur un d´ eveloppement en s´ eries de Fourier

Symbole D´ efinition

V

Fonction radiale de la composante verticale du champ de vitesse γ

Taux de croissance complexe du champ magn´ etique (= εγ )

α Taux de croissance pour ¯ w 1

D Coefficient d´ ependant de la g´ eom´ etrie du champ de vitesse ε Inverse du nombre de Reynolds magn´ etique

w

Fr´ equence de for¸cage (= εw

)

F

Fonction temporelle d´ efinie par la fr´ equence w

F ¯ Fonction temporelle introduite dans le syst` eme d’ODE

¯

w Fr´ equence de la fonction ¯ F

τ , ¯ τ Temps adimensionnels obtenus par un changement d’´ echelle M Nombre d’onde azimutal obtenu apr` es changement d’´ echelle K Nombre d’onde vertical obtenu apr` es changement d’´ echelle

s Longueur radiale obtenue apr` es changement d’´ echelle

h Fonction complexe d´ ependant du temps et d´ efinissant le champ magn´ etique

¯ h, f , ¯ ¯ g Fonctions temporelles r´ esolues par un syst` eme d’ODE.

¯

γ Taux de croissance des fonctions ¯ f , ¯ g et ¯ h

Table 5 – Symboles utilis´ es dans la m´ ethode asymptotique

Symbole D´ efinition

Ω

Partie radiale de la composante azimutale du champ de vitesse V

Partie radiale de la composante verticale du champ de vitesse

N Nombre de modes de Galerkin

R Rayon d´ efinissant la fronti` ere entre le milieu conducteur et le milieu isolant R

Rayon d´ efinissant la zone de cisaillement du champ de vitesse

ψ Fonctions d’interpolation φ Fonction de poids

D

Inconnues de la m´ ethode

R

R´ esidus de la m´ ethode de Galerkin

Table 6 – Symboles utilis´ es dans la m´ ethode de Galerkin

Symbole D´ efinition

e

, e

, e

Vecteurs unitaires en coordonn´ ees cart´ esiennes

B

, B

, B

Composantes du champ magn´ etique en coordonn´ ees cart´ esiennes b

, b

, b

Composantes du champ magn´ etique divis´ ees par e

p mode de Fourier en x de l’induction magn´ etique q mode de Fourier en y de l’induction magn´ etique

Table 7 – Symboles utilis´ es pour le probl` eme de la dynamo de Roberts modul´ e p´ eriodi-

quement dans le temps

Introduction g´ en´ erale

Les mesures pal´ eomagn´ etiques ont montr´ e que la Terre poss` ede un champ magn´ etique depuis plusieurs milliards d’ann´ ees. Or, comme le temps de diffusion caract´ eristique d’un champ magn´ etique dans le noyau terrestre n’est que de quelques centaines de milliers d’ann´ ees, sa long´ evit´ e ne peut ˆ etre expliqu´ ee que par un processus d’auto-g´ en´ eration de champ magn´ etique. Celui-ci r´ esulterait d’une instabilit´ e magn´ etique, produite par les mou- vements turbulents convectifs du fluide dans le noyau de la plan` ete. Cette instabilit´ e est connue sous le terme d’effet dynamo (Moffatt (1978)).

Une dizaine d’exp´ eriences dans le monde ont ´ et´ e construites pour tenter de reproduire cet effet dynamo en laboratoire. Toutes ces exp´ eriences utilisent un ´ ecoulement de Sodium liquide. Grˆ ace ` a une g´ eom´ etrie d’´ ecoulement fix´ ee par des parois internes (Gailitis et al.

(2001) ; M¨ uller et al. (2004)), les exp´ eriences de Riga (dynamo de Ponomarenko) et de Karlsruhe (dynamo de Roberts) ont r´ eussi en 2000 ` a reproduire cet effet dynamo. A la suite ` a ces premiers succ` es, une s´ erie de nouveaux projets sont actuellement en pr´ epa- ration dans le monde, dont un ` a Grenoble. Ces projets de seconde g´ en´ eration sont plus ambitieux que les deux premiers, l’objectif ´ etant de faire une dynamo sans parois internes.

Ils sont de ce fait plus difficiles ` a r´ ealiser. Le dimensionnement de ces exp´ eriences a ´ et´ e fait

`

a partir de la partie moyenne du champ de vitesse. Or, le champ de vitesse r´ eel pr´ esente un taux de turbulence de l’ordre de 100 %. Ces fluctuations sont soup¸conn´ ees d’augmen- ter consid´ erablement le seuil de l’instabilit´ e dynamo. A ce jour, seule l’exp´ erience Von Karman Sodium du CEA ` a Cadarache a mis en ´ evidence en 2006 un effet dynamo dans un ´ ecoulement en g´ eom´ etrie libre.

Dans ce contexte, nous proposons d’´ etudier l’influence de fluctuations de grandes ´ echelles sur le seuil de l’instabilit´ e dynamo pour un champ de vitesse h´ elico¨ıdal de mˆeme type que la dynamo de Ponomarenko.

Cette dynamo est l’un des premiers exemples de g´ en´ eration d’un champ magn´ etique par un fluide en mouvement ind´ ependant dans le temps, elle a largement ´ et´ e ´ etudi´ e th´ eo- riquement et num´ eriquement, et les confrontations des r´ esultats th´ eoriques, num´ eriques avec ceux obtenus avec l’exp´ erience de Riga ont ´ et´ e tr` es satisfaisants. L’ensemble de ces r´ esultats nous permettra d’avoir des points de comparaison pour notre travail.

Deux approches perturbatives ont ´ et´ e men´ ees ant´ erieurement par C. Normand (Normand

(2003)) et F. P´ etr´ elis (Petrelis (2003)) pour des modulations temporelles de faibles ampli-

tudes. C.Normand (Normand (2003)) s’est int´ eress´ ee ` a la dynamo de Ponomarenko avec

un ´ ecoulement modul´ e dans le temps de mani` ere p´ eriodique. Dans la limite de faibles am-

plitudes de modulations, elle a calcul´ e les corrections du nombre de Reynolds magn´ etique

mod` ele unidimensionnel, auquel on superpose une modulation temporelle p´ eriodique de grande ´ echelle et d’amplitude quelconque. On calculera le seuil de l’instabilit´ e dynamo en fonction des caract´ eristiques de cette fluctuation (fr´ equence, intensit´ e, d´ ephasage,...).

D’une part, nous avons utilis´ e des m´ ethodes, qui sous certaines hypoth` eses, ont permis d’obtenir des r´ esultats, ` a savoir l’approche perturbative pour de faibles amplitudes de modulation, une approche bas´ ee sur un d´ eveloppement en s´ eries de Fourier pour une g´ eo- m´ etrie particuli` ere de la partie fluctuante du champ de vitesse, et une approche asympto- tique valable pour de grands nombres de Reynolds magn´ etiques. D’autre part, nous avons utilis´ e une approche directe reposant sur une m´ ethode de Galerkin inspir´ ee des travaux de Mari´ e et al. (2006). Cette approche ne repose sur aucune hypoth` ese simplificatrice et nous permettra de faire le lien entre toutes les approches pr´ ec´ edentes.

Pour comprendre les m´ ecanismes et les r´ esultats obtenus, nous nous sommes en grande partie appuy´ es sur la notion de surface de r´ esonance issue de la th´ eorie d´ evelopp´ ee pour un champ de vitesse stationnaire pour de grands nombres de Reynolds magn´ etiques (Gilbert (1988); Ruzmaikin et al. (1988)).

Ce manuscrit est organis´ e de la mani` ere suivante. Dans une premi` ere partie intitul´ ee In-

troduction, nous pr´ esentons la notion d’effet dynamo, ` a la suite de quoi nous positionnons

le contexte dans lequel s’inscrit le probl` eme que nous avons r´ esolu. Dans une deuxi` eme

partie intitul´ ee D´ efinition du probl` eme et approches, nous pr´ esentons une formulation g´ e-

n´ erale du probl` eme ainsi que les diff´ erentes approches que nous avons utilis´ ees. Et dans

une troisi` eme et derni` ere partie intul´ ee R´ esultats et Comparaisons, nous pr´ esentons et

comparons les r´ esultats de chaque approche. Dans le dernier chapitre de cette partie un

peu en marge de ce manuscrit, nous pr´ esenterons quelques r´ esultats sur la dynamo de

Roberts modul´ ee p´ eriodiquement dans le temps, pour laquelle nous avons men´ e une ´ etude

pr´ eliminaire similaire ` a celle portant sur la dynamo de Ponomarenko.

Premi` ere partie

Introduction

Chapitre 1

Contexte g´ en´ eral de l’effet dynamo

1.1 Introduction ` a la notion d’effet dynamo

1.1.1 Champ magn´ etique terrestre et effet dynamo

La premi` ere observation du champ magn´ etique terrestre remonterait au huiti` eme si` ecle avant notre ` ere. Les Chinois auraient remarqu´ e qu’une masse de fer magn´ etique s’orientait en direction du pˆ ole Nord de la Terre. A partir du V II

et du V III

si` ecle, les navigateurs Chinois utilisaient d´ ej` a l’aiguille aimant´ ee pour se diriger sur les oc´ eans.

Ces observations ont ainsi pos´ e la question de l’origine du champ magn´ etique terrestre, qui resta longtemps une grande ´ enigme.

Dans un premier temps, on a pens´ e que le fait qu’une boussole indiquait le nord ´ etait li´ e

`

a l’´ etoile polaire ou ` a une grande ˆıle magn´ etique localis´ ee au pˆ ole Nord.

Dans le c´ el` ebre trait´ e « De magnete » (1600), William Gilbert, physicien et m´ edecin de la reine Elisabeth I, fut le premier ` a formuler une th´ eorie selon laquelle le champ magn´ etique terrestre poss´ edait une origine interne : la Terre rec` elerait en son centre un gigantesque aimant magn´ etique ( « Magnus magnet ipse est globus terrestris » ). Mais il a fallu attendre 1835 et les travaux de Gauss, pour avoir une description plus pr´ ecise de la structure du champ magn´ etique terrestre, il a ´ et´ e ´ etabli que le champ magn´ etique terrestre poss´ edait une structure dipolaire majoritairement sym´ etrique par rapport ` a un axe faisant un angle de 10 degr´ es par rapport ` a l’axe des pˆ oles g´ eographiques et que la source de ce champ

´

etait n´ ecessairement situ´ ee au centre de la Terre.

Grˆ ace ` a des donn´ ees pal´ eomagn´ etiques issues des roches volcaniques profondes des oc´ eans qui conservent la m´ emoire du champ magn´ etique lors de leur formation, on a une id´ ee plus pr´ ecise de l’activit´ e magn´ etique aux ´ echelles de temps g´ eologiques. On sait maintenant que la Terre poss` ede une activit´ e magn´ etique depuis 3.2 milliards d’ann´ ees (Tarduno et al.

(2007)). De plus, il a ´ et´ e mis en ´ evidence que le champ magn´ etique variait dans le temps en

intensit´ e et en direction. Sur la figure (1.1) retra¸cant les inversions du champ magn´ etique

terrestre au cours des 115 derniers millions d’ann´ ees, on voit que ces renversements se font de mani` ere chaotique, sans p´ eriode propre. Il n’a pas ´ et´ e observ´ e de d´ eclin de cette ´ energie

Figure 1.1 – Polarit´ e du champ magn´ etique terrestre au cours du temps g´ eologique. Les intervalles blancs et noirs correspondent aux temps o` u le champ magn´ etique conserve la mˆ eme polarit´ e.(P. Brunches, 1905). En noir, polarit´ e normale, en blanc, polarit´ e inverse.

magn´ etique, il doit donc y avoir une source qui la maintient. Plusieurs hypoth` eses ont ´ et´ e avanc´ ees pour expliquer ce ph´ enom` ene. La th´ eorie de Gilbert, selon laquelle la Terre ´ etait compos´ ee d’un gigantesque aimant plac´ e en son centre est ` a exclure. En effet, compte tenu des temp´ eratures et des pressions r´ egnant au centre de la Terre, on sait qu’aucun mat´ eriau ferromagn´ etique n’est capable d’y produire un champ magn´ etique. Une autre hypoth` ese

´

etait bas´ ee sur le fait qu’il existerait un dipˆ ole fossile g´ en´ er´ e au moment de la formation de la Terre. On sait maintenant que le temps de diffusion du champ magn´ etique terrestre est de l’ordre de 10

ann´ ees, soit un temps bien inf´ erieur ` a celui de l’ˆ age de la Terre. Cette hypoth` ese fut donc aussi rejet´ ee.

Finalement, l’hypoth` ese la plus vraisemblable et couramment admise ` a ce jour est celle d’un processus dynamique, li´ e ` a la conversion d’´ energie m´ ecanique en ´ energie magn´ etique par un m´ ecanisme d’instabilit´ e qu’on appelle effet dynamo.

Cet effet peut ˆ etre illustr´ e de mani` ere minimaliste par la dynamo de Bullard (cf. figure

1.2) mettant en jeu des ´ el´ ements solides dans lesquels des courants ´ electriques sont libres

de circuler. Cette dynamo fut propos´ ee par le physicien anglais E. Bullard dans les ann´ ees

50 (Bullard (1955)). Son principe est le suivant : lorsqu’un disque en rotation uniforme est

plong´ e dans un champ magn´ etique B

parall` ele ` a son axe de rotation, il apparaˆıt un champ

´

electromoteur E = σ(u × B) entre son centre et sa p´ eriph´ erie, o` u σ est la conductivit´ e

´

electrique du disque. Connect´ e ` a un circuit ´ electrique, ce champ ´ electromoteur peut induire un courant ´ electrique. Si on utilise ce courant de mani` ere ` a ce qu’il produise un champ magn´ etique B

dans la mˆ eme direction et dans le mˆ eme sens que B

alors le champ initial est amplifi´ e et on a effet dynamo. Cet effet est d’autant plus important que le disque tourne vite.

E

I I

B_induit f

Figure 1.2 – Sch´ ema de la dynamo de Bullard, en bleu ciel le disque conducteur, en vert le bobinage, la fl` eche orange indique la circulation du courant dans la bobine.

Le premier ` a proposer le principe des dynamos fluides pour le champ magn´ etique terrestre et du soleil, fut Sir Larmor en 1919 (Larmor (1919)).

Dans le cas de la Terre, l’´ ecoulement a lieu entre la graine solide et le manteau, o` u se trouve un fluide conducteur de l’´ electricit´ e essentiellement constitu´ e de fer et de nickel (cf figure 1.3). Le mouvement de ce fluide est induit par les forces d’origine thermique, gravitationnelle et solutale.

1.1.2 Autres domaines d’application

Astrophysique

Il n’y a pas que la Terre qui poss` ede un champ magn´ etique, la plupart des objets astro-

physiques, comme les plan` etes, les ´ etoiles, les galaxies, les disques d’accr´ etion, les disques

interstellaires par exemple, poss` edent aussi leur propre champ magn´ etique et ce, en l’ab-

sence d’aucune source externe. Ces objets sont tous anim´ es d’un mouvement de rotation,

et il est admis que leur champ magn´ etique est dˆ u ` a l’effet dynamo. Si on s’int´ eresse au cas

du soleil, une manifestation spectaculaire est celle des ´ ejections coronales (cf. fig 1.4), qui

sont en fait l’´ ejection de plasma souvent li´ ee aux ´ eruptions solaires. Sur cette mˆ eme figure,

Figure 1.3 – Structure interne de la Terre. Au centre, la graine de fer solide (jaune), entour´ ee par le noyau de fer et de nickel liquide (rouge), si` ege des mouvements ´ electro- conducteurs conduisant ` a l’effet dynamo.

on peut constater l’effet fondamental de la magn´ etosph` ere qui sert de bouclier contre les particules ionisantes du vent solaire.

Contrairement ` a celui de la Terre, l’´ evolution temporelle du champ magn´ etique solaire semble p´ eriodique, avec une p´ eriode d’environ 22 ann´ ees.

Figure 1.4 – Ejection coronale de plasma lors d’une ´ eruption solaire ` a gauche et inter- action du vent solaire avec la magn´ etosph` ere en bleue ` a droite (la Terre est repr´ esent´ ee ` a droite ` a l’´ echelle par rapport au soleil). (SOHO/LASCO/EIT. Nasa. ESA)

Dans le tableau (1.1), nous pr´ esentons les grandeurs caract´ eristiques de quelques objets

astrophysiques repr´ esentatifs. Nous d´ efinirons les grandeurs de ce tableau dans la suite du

manuscrit, mais on peut d´ ej` a constater que les ´ echelles mises en jeu sont tr` es diff´ erentes

d’un objet ` a un autre, que les ´ echelles de longueur sont consid´ erables et que les ´ echelles

ρ

L U ν η B

Terre 10

3.10

4.10

10

3 10

10

Jupiter 10

5.10

5.10

3.10

10 4.10

10

Soleil 1 2.10

10

3.10

10

10

10

Notre galaxie 2.10

10

10

5.10

10

10

10

Table 1.1 – Grandeurs caract´ eristiques de la masse volumique en kg.m

, de longueur en m, de vitesse en m.s

, de viscosit´ e cin´ ematique en m

.s

, de diffusivit´ e magn´ etique en m

.s

, du champ magn´ etique en Tesla et du temps de diffusion magn´ etique en ann´ ees.

de vitesse sont relativement faibles. On constate aussi que le champ magn´ etique de notre galaxie est beaucoup plus faible que celui de la Terre, de Saturne et du Soleil.

Exp´ eriences dynamos fluides

Ce domaine d’application est directement li´ e ` a mes travaux de recherche. On verra par la suite plus en d´ etail quelques exemples d’exp´ eriences dynamos qui ont pour objectif de reproduire en laboratoire cet effet dynamo. Il est ` a noter que toutes ces exp´ eriences utilisent du sodium liquide, poss´ edant une grande conductivit´ e ´ electrique, et qu’` a ce jour seulement trois d’entre elles ont r´ eussi ` a reproduire cet effet, l’exp´ erience de Riga et de Karlsruhe en 2000, et l’exp´ erience Von Karman Sodium en 2006.

R´ eacteurs ` a neutrons rapides

Les r´ eacteurs ` a neutrons rapides (RNR) utilisent dans leur circuit de refroidissement du sodium liquide. En effet, le sodium liquide est un excellent caloporteur et il permet d’´ evacuer la chaleur produite par les r´ eactions de fission au sein du r´ eacteur. Au d´ ebut des ann´ ees 1990, l’effet dynamo fut soup¸conn´ e d’avoir induit un mouvement transversal des assemblages du coeur du r´ eacteur de la Centrale Super Phenix, entraˆınant quatre arrˆ ets d’urgence.

Cette th´ ematique a motiv´ e de nombreux travaux, notamment ceux de la th` ese de F.

Plunian (Plunian (1996)) o` u il a ´ et´ e montr´ e que cette instabilit´ e ´ etait favoris´ ee par la pr´ esence d’assemblages aux parois ferromagn´ etiques.

Influence du champ magn´ etique sur les variations climatiques

En comparant les variations d´ etaill´ ees de l’intensit´ e du champ magn´ etique terrestre avec

les changements climatiques sur des ´ echelles de temps tr` es longues de l’ordre de plusieurs

mill´ enaires, des ´ equipes de recherche tentent de mettre en ´ evidence que la variation s´ e- culaire du champ magn´ etique influence fortement les variations climatiques (Gallet et al.

(2006)).

1.2 Equations de la MHD et effet dynamo

La magn´ etohydrodynamique (Moffatt (1978), Moreau (1991), Gilbert (2003)) d´ ecrit les ph´ enom` enes o` u, dans un fluide conducteur de l’´ electricit´ e, le champ de vitesse u et le champ magn´ etique B sont coupl´ es. Ce domaine d’´ etude fait le lien entre les lois classiques de l’´ electromagn´ etisme et les ´ equations de Naviers Stockes.

1.2.1 Equation de l’induction magn´ etique

Equations de la MHD et loi d’Ohm

Rappelons d’abord les ´ equations de l’´ electromagn´ etisme, appel´ ees encore ´ equations de Maxwell, d´ ecrivant l’´ evolution du champ magn´ etique B et du champ ´ electrique E, pour un milieu non ferromagn´ etique de permittivit´ e ´ electrique uniforme ε

et de perm´ eabilit´ e magn´ etique uniforme µ

:

∇ . E = q

(1.1)

∇ . B = 0 (1.2)

∇ × B = µ

j + µ

ε

∂ E

∂ t (1.3)

∇ × E = − ∂B

∂ t (1.4)

Dans ces ´ equations apparaissent la densit´ e de charge ´ electrique dans le fluide q et la den- sit´ e de courant ´ electrique j.

L’´ equation (1.1) est appel´ ee Loi d’induction de Faraday, l’´ equation (1.2) traduit l’absence de charges magn´ etiques dans le milieu, l’´ equation (1.3) est appel´ ee la Loi d’Amp` ere, enfin l’´ equation (1.4) est la Loi de Coulomb.

Les ´ equations (1.4) et (1.2) sont les ´ equations structurelles du champ ´ electromagn´ etique.

Les deux autres relient ce champ aux charges fixes ou mobiles.

Ces ´ equations traduisent le couplage entre champ ´ electrique et champ magn´ etique qui est ` a l’origine des ph´ enom` enes d’induction. L’existence d’un champ ´ electrique E en un point o` u existe un champ magn´ etique B non stationnaire trouve sa r´ eciproque : un champ magn´ etique B existe en un point o` u r` egne un champ ´ electrique E non stationnaire. Les

´

equations de Maxwell forment ainsi un syst` eme d’´ equations coupl´ ees, dans lequel E et B

forment le champ ´ electromagn´ etique.

En introduisant la conductivit´ e ´ electrique σ, que nous supposerons uniforme, nous rajou- tons ` a ce syst` eme d’´ equations la loi d’Ohm :

j = qu + σ (E + u × B) (1.5)

Cette derni` ere diff` ere de l’expression classique valable pour un milieu immobile (j = σ E).

Ici, la vitesse locale u advecte la densit´ e de charge ´ electrique q. De plus dans la limite classique de la transformation de Lorentz du champ electromagn´ etique, le champ ´ electrique dans le r´ ef´ erentiel li´ e ` a la mati` ere s’´ ecrit : E + u × B.

Approximation de l’´ electromagn´ etisme

L’approximation de l’´ electromagn´ etisme permet de faire une simplification du mod` ele MHD pr´ esent´ e ci-dessus en restreignant l’´ etude ` a des intervalles de temps tr` es grands devant le temps de relaxation des charges ´ electriques, ce qui revient ` a ignorer la propri´ et´ e de condensateur du mat´ eriau.

En prenant la divergence de l’´ equation (1.3) et en substituant j et ∇ . E par leur expression issue de (1.1) et de la loi d’Ohm (1.5), nous obtenons l’expression de l’´ equation de la charge

´

electrique :

ε

σ

∂ q

∂ t + ( u. ∇ ) q

+ q = − ε

∇ . ( u × B) (1.6) Si le temps typique d’´ evolution du ph´ enom` ene est tr` es grand devant celui (ε/σ) n´ ecessaire aux charges ´ electriques pour se r´ epartir par attraction-r´ epulsion mutuelle dans le mat´ eriau, alors on peut n´ egliger le terme

∂ t

+ (u · ∇ ) q

dans l’´ equation (1.6). Ainsi sous cette hypoth` ese, il vient :

q = − ε

∇ . ( u × B) (1.7)

En faisant une analyse des ordres de grandeurs des ´ equations (1.3), (1.5), et en prenant en compte l’expression de q donn´ ee par la formule (1.7), nous pouvons n´ egliger le terme qu dans l’´ equation (1.5), et le terme correspondant aux courants de d´ eplacements ε

∂ t

dans l’´ equation (1.3).

Cette approximation est peu restrictive car pour un m´ etal liquide o` u σ est de l’ordre de 10

Ω

m

, le temps de relaxation des charges est de l’ordre de 10

s.

R´ ecapitulons les ´ equations de la MHD et la loi d’Ohm dans le cadre de l’approximation

´

electromagn´ etique :

∇ . E = q

ε

(1.8)

∇ . B = 0 (1.9)

∇ × B = µ

j (1.10)

∇ × E = − ∂ B

∂ t (1.11)

j = σ (E + u × B) (1.12)

Equation de l’induction

L’´ equation de l’induction explicite le couplage entre le champ magn´ etique et l’´ ecoulement du fluide conducteur.

En rempla¸cant j par son expression (1.12) dans l’´ equation (1.10), on a : E + u × B = 1

σ µ

∇ × B = η ∇ × B (1.13)

o` u η =

0σ

est la diffusivit´ e magn´ etique du milieu consid´ er´ e.

En prenant le rotationnel de cette ´ equation et en utilisant la relation vectorielle suivante,

∇ × ( ∇× ) = ∇ ( ∇ .) − ∆, il vient l’´ equation de l’induction sous sa forme classique :

∂B

∂t = ∇ × (u × B) + η ∇

B (1.14)

Mettons maintenant cette derni` ere ´ equation sous sa forme adimensionnelle. Pour cela, nous allons d´ efinir les grandeurs adimensionnelles suivantes, L, U et τ, qui sont respectivement les ´ echelles de longueur, de vitesse et de temps caract´ eristiques.

L’´ equation (1.14) devient (la notation * indique que les grandeurs sont adimensionnelles) : L

η τ ∂

B

= U L

η ∇

× (u

× B

) + ∇

B

(1.15) Les conditions exp´ erimentales imposent l’´ echelle de vitesse et de longueur caract´ eristique.

Cependant, on peut d´ efinir deux ´ echelles de temps caract´ eristiques. La premi` ere, τ

=

, correspond au temps advectif, c’est-` a-dire au temps que met une structure pour ˆ etre transport´ ee sur une distance L par un champ de vitesse de norme U . La seconde, τ

=

correspond au temps diffusif, c’est-` a-dire au temps que met une structure de taille L pour ˆ

etre diffus´ ee en l’absence de champ de vitesse.

On d´ efinit le nombre adimensionnel de Reynolds magn´ etique comme le rapport de ces deux temps,

R

= ( O |∇ (u × B) | ) O ( | η ∇

B | ) = τ

τ

= U L

η (1.16)

Si maintenant, on consid` ere le temps advectif comme temps caract´ eristique, l’´ equation de l’induction (1.15) devient :

∂

B

= ∇

× (u

× B

) + 1

R

∇

B

(1.17)

En d´ efinissant le param` etre ε par ε = R

et en sous-entendant la notation *, cette

´

equation s’´ ecrit :

∂

B = ∇ × (u × B) + ε ∇

B (1.18)

Si on consid´ ere le temps diffusif comme temps caract´ eristique, l’´ equation (1.15) de- vient :

∂

B

= R

∇

× (u

× B

) + ∇

B

(1.19)

L’´ equation de l’induction s’´ ecrit :

∂

B = R

∇ × (u × B) + ∇

B (1.20)

Remarque :

Dans la suite du manuscrit, except´ e pour notre approche asymptotique du probl` eme, nous consid` ererons l’´ echelle de temps diffusive qui est la plus longue si Rm 1.

Le nombre de Reynolds magn´ etique est le param` etre de contrˆ ole de cette ´ equation. Il compare les termes d’induction ( ∇ × (u × B)) aux termes diffusifs (η ∇

B).

D´ ecomposons le terme ∇× (u × B) pour en comprendre la signification. Pour un ´ ecoulement incompressible, on peut ´ ecrire, ∇ × (u × B) = (B. ∇ ) u − (u. ∇ )B. En utilisant cette d´ ecomposition, l’´ equation de l’induction devient :

∂

B + R

(u. ∇ )B = R

(B. ∇ )u + ∇

B (1.21) Le terme R

(u. ∇ )B correspond au transport des lignes de champ magn´ etique par l’´ ecou- lement. Le terme R

(B. ∇ )u est le terme source de l’instabilit´ e dynamo, il correspond

`

a l’´ etirement des lignes de champ magn´ etique par le champ de vitesse. Enfin, le dernier terme correspond aux effets diffusifs, il tend ` a dissiper l’´ energie magn´ etique.

Si la diffusion domine, alors l’´ energie magn´ etique diminuera avec le temps, interdisant tout effet dynamo. En revanche, si pour une certaine g´ eom´ etrie du champ de vitesse, les termes d’induction pr´ edominent sur les termes de diffusion, alors un effet dynamo est possible.

Il est important de noter que cette ´ equation est lin´ eaire en B. Si on fait une analyse lin´ eaire de stabilit´ e de la solution triviale B = 0, on comprend qu’il puisse exister un nombre de Reynolds magn´ etique critique, ` a partir duquel l’advection soit suffisante, pour qu’une petite perturbation du champ magn´ etique provoque la croissance du champ induit.

C’est ce qui d´ efinit le probl` eme de la dynamo cin´ ematique.

Du fait de la lin´ earit´ e de l’´ equation de l’induction, le champ magn´ etique croˆıt exponen- tiellement sans saturer, ce qui est physiquement impossible. En r´ ealit´ e une saturation intervient via la r´ etroaction du champ magn´ etique sur le champ de vitesse dans l’´ equation de Navier Stokes, que nous verrons plus loin.

Interpr´ etation ´ energ´ etique : Nous d´ efinirons V comme le volume d´ efini par la r´ egion du fluide en mouvement et ˆ V le volume ext´ erieur au fluide. Si on multiplie l’´ equation (1.14) par B/µ

et en l’int´ egrant sur tout l’espace V + ˆ V , il vient :

d dt

Z

V+ ˆV

B

2 µ

dV = 1 µ

Z

V+ ˆV

B · ∇ × (u × B) dV + 1 σ µ

Z

V+ ˆV

B · ∆B dV (1.22)

En supposant l’absence de source ´ electrique de champ magn´ etique ou de courant ´ electrique

`

a l’ext´ erieur, le flux du vecteur de Poynting, d´ efini par φ

= RR

S 1

µ0

(E × B) · n dS, est

nul ` a l’infini.

Sous cette hypoth` ese, on peut montrer que l’on peut ´ ecrire l’´ equation (1.22) (Gilbert (2003)) :

d dt

Z

V+ ˆV

B

2 µ

dV = − Z

V

u · (j × B) dV − Z

V

j

σ dV (1.23)

En d´ efinissant l’´ energie magn´ etique E

, par : E

=

Z

V+ ˆV

B

2 µ

dV (1.24)

l’´ equation (1.23) peut s’´ ecrire encore :

∂

E

= −P

+ P

(1.25)

P

correspond au terme de conversion d’´ energie m´ ecanique en ´ energie magn´ etique par induction, son signe d´ epend du champ de vitesse. P

correspond aux pertes par effet Joule et son signe est toujours n´ egatif. Cette approche ´ energ´ etique montre bien que l’effet dynamo r´ esulte d’une comp´ etition entre l’amplification du champ magn´ etique et les pertes dissipatives.

Int´ eressons nous maintenant aux deux cas limites de l’´ equation de l’induction : R

1 et R

1.

Cas de la limite diffusive, R

1 :

L’´ equation de l’induction se r´ eduit alors ` a l’´ equation de diffusion ∂

B = ∇

B. Le champ magn´ etique solution de cette ´ equation d´ ecroit exponentiellement dans le temps avec un taux de croissance ´ egal ` a 1/τ

.

Cas de la limite id´ eale, R

1 : Dans ce cas, on n´ eglige les termes diffusifs, ce qui revient ` a supposer que σ = ∞ , c’est-` a-dire on suppose que le fluide est infiniment conducteur et donc qu’il ne pr´ esente pas de r´ esistance ´ electrique. C’est une approximation que l’on fait en particulier en MHD id´ eale. Cette limite est aussi pertinente pour l’´ etude de l’effet dynamo pour des objets astrophysiques (Vainshtein & Zeldovich (1972)).

En utilisant la d´ efinition de la d´ eriv´ ee particulaire, D

= ∂

+ (u · ∇ ), l’´ equation de l’induction devient :

D

B = (B · ∇ )u (1.26)

Cette relation traduit le fait que les lignes de champ magn´ etique suivent parfaitement

le mouvement du fluide ou encore, que les lignes de champ magn´ etique sont gel´ ees dans

le fluide (Moffatt (1978)). Ce m´ ecanisme particul` erement bien d´ ecrit dans la th` ese de

M.Bourgouin (Bourgoin (2003)), constitue le th´ eor` eme du champ gel´ e, qui est l’´ equivalent

du th´ eor` eme de Kelvin pour l’´ equation de vorticit´ e. On comprend qu’en ´ etirant un tube

de flux magn´ etique, l’intensit´ e du champ augmente en proportion inverse ` a la section du tube.

Conditions aux limites : Nous allons maintenant consid´ erer les conditions aux limites de notre probl` eme. Nous allons ´ etudier les situations o` u le milieu pr´ esente un changement dans ses propri´ et´ es ´ electromagn´ etiques que sont la conductivit´ e σ et la perm´ eabilit´ e µ

`

a l’interface (S) ; (S) ´ etant la surface ferm´ ee et fixe d´ elimitant l’´ ecoulement du fluide conducteur.

Nous consid` ererons que σ et µ sont constants et uniformes de part et d’autre de cette surface. De plus, on prendra pour le fluide une condition de non glissement ` a la paroi, i.e u = 0 ` a l’interface. En notant n la normale orient´ ee vers l’ext´ erieur ` a l’interface, cette condition implique n · u = 0

En int´ egrant les 4 ´ equations de Maxwell, ces conditions limites s’´ ecrivent : [ n · E ] = ρ

ε

(1.27)

[ n · B ] = 0 (1.28)

[ n × B ] = µ

j

(1.29)

[ n × E ] = 0 (1.30)

o` u j

est la densit´ e de charge ´ electrique ` a l’interface, ρ

la densit´ e volumique de charge ` a l’interface, et [X] = X

− X

.

Nous allons d´ efinir deux cas particuliers suivants, le premier o` u le milieu ext´ erieur est isolant et le deuxi` eme o` u le milieu ext´ erieur est parfaitement conducteur. Ces deux cas offrent l’avantage de pr´ esenter une formulation math´ ematique simple.

• Milieu ext´ erieur isolant

Les ´ equations (1.28), (1.29), avec j

= 0, impliquent que le champ magn´ etique doit ˆ etre continu ` a la paroi, c’est-` a-dire,

[ B ] = 0 (1.31)

D’autre part, le milieu ext´ erieur ´ etant isolant, les courants ne peuvent pas ´ evoluer

`

a l’ext´ erieur de l’´ ecoulement, ainsi la composante normale des courants ´ electriques induits doit s’annuler ` a la paroi. La relation (1.10) implique que la composante normale du rotationnel du champ magn´ etique doit s’annuler ` a l’interface, c’est-` a- dire

( ∇ × B) · n = 0 (1.32)

• Milieu ext´ erieur parfaitement conducteur

Dans ce cas, le milieu ext´ erieur est de conductivit´ e infinie, ainsi la continuit´ e de B n’est plus impos´ ee, il faut garder la composante normale de B ` a la paroi, c’est-` a-dire :

[B · n] = 0 (1.33)

De plus, la relation (1.30) traduit la continuit´ e des composantes tangentielles du champ ´ electrique. Pour un conducteur parfait E = 0, on doit donc avoir continuit´ e des composantes tangentielles de E. En utilisant la loi d’Ohm (1.12) et la condition de non glissement ` a la paroi, on trouve que les composantes tangentielles de la densit´ e de courant ` a la paroi doivent ˆ etre nulles, c’est-` a-dire,

n × j = 0 (1.34)

1.2.2 Equation de Navier Stokes

Pour un fluide Newtonien en ´ ecoulement incompressible, les ´ equations du mouvement sont les ´ equations de Navier Stokes :

∂

u + (u · ∇ ) u = −∇ ( P

ρ

) + f + ν ∇

u

∇ · u = 0 (1.35)

o` u f est la r´ esultante des forces volumiques en chaque point, P, la pression, ν et ρ

la viscosit´ e cin´ ematique et la masse volumique du fluide respectivement. L’expression de f pour un fluide non pesant, en pr´ esence d’un champ magn´ etique, est donn´ ee par la loi de Laplace : f =

v

j × B. En utilisant l’´ equation (1.10) et en remplacant f par son expression, l’´ equation (1.35) devient :

∂

u + (u · ∇ ) u = −∇ ( P

ρ

) + 1

ρ

µ ( ∇ × B) × B + ν ∇

u (1.36) En reprenant les ´ echelles caract´ eristiques d´ efinis pour l’´ equation de l’induction, nous allons

´

ecrire l’´ equation de Naviers Stokes sous forme adimensionnelle. Nous choisirons comme temps caract´ eristique, le temps diffusif, comme ´ echelle de pression, P = ρ

U

, et comme

´

echelle de l’induction magn´ etique, B = p

ρ

µ U

. Nous obtenons ainsi,

∂

u

+ R

(u

· ∇

) u

= − R

∇ (P

) + R

( ∇

× B

) × B

+ P

∇

u

(1.37) o` u P

est le nombre de Prandlt magn´ etique, d´ efini par le rapport R

/R

, R

´ etant le nombre de Reynolds cin´ etique de l’´ ecoulement. Dans le sodium liquide qui est utilis´ e dans les exp´ eriences dynamo, P

est g´ en´ eralement de l’ordre de 10

, ce qui signifie que les perturbations du champ magn´ etique diffusent dans l’´ ecoulement beaucoup plus rapidement que les perturbations du champ de vitesse. Dans ce cas, un ´ ecoulement dynamo est donc forc´ ement turbulent.

R´ ecapitulatif Les 4 ´ equations de la magn´ etohydronique sous forme adimensionnelle sont donc :

∇ · B = 0 (1.38)

∂

B = R

∇ × (u × B) + ∇

B (1.39)

∇ · u = 0 (1.40)

∂

u + R

(u · ∇ ) u = − R

∇ (P ) + R

( ∇ × B) × B + P

∇

u (1.41)