Exercice 2 (i) Combien d’´etapes sont n´ecessaires pour d´epasser 106 avec chacune des suites ci-dessous ? un=√ n un=n2 un= lnn un= 2n

Option “Informatique et Math´ematiques”

Premi`ere feuille de TD : Initiation aux suites de nombres r´eels

Exercice 1

A partir de quel rang les suites ci-dessous sont-elles d´` efinies ? 1

n(n−2), n²−1 n³−1, √

2n−7, p

n²−10n+ 24, exp(1/n), eⁿ+ 2

eⁿ−2, lnn, ln(lnn).

Exercice 2

(i) Combien d’´etapes sont n´ecessaires pour d´epasser 10⁶ avec chacune des suites ci-dessous ?

un=√

n un=n² un= lnn un= 2ⁿ. (ii) Combien d’´etapes sont n´ecessaires pour doubler le terme u_n? (iii) Mˆemes questions avec la suite d´efinie par u0 = 2,un+1 =u²_n. Exercice 3

(i) Combien d’´etapes sont n´ecessaires pour passer sous 10⁻⁶ avec chacune des suites ci-dessous ? (Attention, il y a un pi`ege !)

un= 1

n un=n⁻³ un= lnn un= 3⁻ⁿ.

(ii) Combien d’´etapes sont n´ecessaires pour diviser par trois le terme un? (iii) Mˆemes questions avec la suite d´efinie par u₀ = 1,u_n+1 = u_n

un+ 1· Exercice 4

(i) La loi de Moore dit que “la puissance du mat´eriel informatique double tous les dix-huit mois”. On l’admettra (le temps d’un exercice) avec la signification suivante : si un calcul par ordinateur requiert un tempst`a un moment donn´e, il requiert un temps t/2 dix-huit mois plus tard. Un certain calcul requiert un tempst₀en janvier 2000. Quel temps sera n´ecessaire en janvier 2003 ? En janvier 2010 ? Quand le temps n´ecessaire sera-t-ilt0/1000 ?

1

(ii) Un algorithme A permet de trier une liste den´el´ements en un tempsCn²(pour une certaine constanteC exprim´ee par exemple en secondes). En septembre 2010, on trie par cette m´ethode une liste de dix-mille ´el´ements en une seconde. Quand pourra- t-on trier une liste de cent-mille ´el´ements en une seconde ?

(ii) Un algorithme B permet de trier une liste de n´el´ements en un temps Dnlnn (pour une certaine constante D exprim´ee par exemple en secondes). En septembre 2010, on trie par cette m´ethode une liste de dix-mille ´el´ements en une seconde. Quand pourra-t-on trier une liste de cent-mille ´el´ements en une seconde ?

(iv) Vu l’extraordinaire accroissement de la puissance des machines, est-ce que ¸ca vaut la peine de se casser la tˆete pour concevoir de bons algorithmes ?

Exercice 5

(i) Chaque ann´ee, la population de la galaxie est multipli´ee par un certain r´eelr >1.

On prend comme point de d´epart la populationu₀ en l’an 2000 (calendrier de la terre ga¨ıane), soit l’ann´ee z´ero du mill´enaire. Calculer la population galactique un en l’an 2000 +n.

(ii) L’administration galactique raisonne plutˆot en termes de si`ecles. Calculer la populationnsi`ecles apr`es l’an 2000 ; on la note vn.

(iii) Quelle est la relation qui lieun etvn?

Exercice 6

(i) Soit un r´eela >0. Pour calculer x:=aⁿ il fauta priori (n−1) multiplications.

Cependant, certains programmes proc`edent comme suit lorsquen ≥3 : sin = 2p, on calculeb:=a^p puis x:=b×b; sin= 2p+ 1, on calcule b:=a^p puisx:=b×b×a. On noterau_nle nombre de multiplications n´ecessaires pour calculeraⁿpar cette m´ethode¹ Calculeru_npour n= 1, . . . ,15.

(ii) Montrer queu_2p =u_p+ 1 etu_2p+1 =u_p+ 2.

(iii) Calculerun lorsquen= 2^k et aussi lorsquen= 2^k−1.

(iv) Comparer u_n `a log₂(n).

1. Cette m´ethode est appel´ee babylonienne ou chinoise ou indienne ou dichotomique.

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