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Analyse musicale et contraintes
Marc Chemillier, Charlotte Truchet, Rousseau Louis-Martin
To cite this version:
Marc Chemillier, Charlotte Truchet, Rousseau Louis-Martin. Analyse musicale et contraintes.
Journées d’Informatique Musicale, May 2002, Marseille, France. �hal-02992832�
MarcChemillier,Charlotte Truchet,Louis-Martin Rousseau
Universitéde Caen,IRCAM,
Université deParis 6, UniversitédeMontréal
marc@info.unicaen.frtruchet@ircam.frlouism@crt.umontreal.ca
April 24, 2002
1 Introduction
Si l'utilisation des contraintes p our résoudre des problèmes de génération de musique est une
pratique courante,leur utilisationdans ledomaine del'analysemusicale est uneappro che moins
fréquente. On décrira danscet articlel'utilisationde contraintes p our l'analysemusicalesous la
forme de CSPs p ermettant demo déliser l'analysed'une(ou plusieurs) séquence musicale parun
ensemble de contraintes dont laséquence analysée est une solution. Dans cette optique, le CSP
prop osécommemo dèleestd'autantplus"pro che"delaséquenceanalyséequ'iladmetrelativement
p eu de solutions, et qu'il capteainsi une part de lasp écicité de cette séquence. Le nombrede
solutionsd'unCSPmo délisantuneanalysemusicalep eutainsiêtrevucommeuncritèrep ermettant
d'évaluer la délité d'un mo dèle àla réalité musicale qu'il s'eorce de décrire : moinsil y ade
solution, plus le mo dèle est dèle. Le cas limite est celui d'un CSP admettant comme solution
uniquelapartitionanalysée(situationquicorresp ondaux"mo délisationsdepartition"pratiquées
parAndréRiotteet MarcelMesnage[Mes91],[RiM88]).
Cette façon de voir l'analyse musicale p ermet de dénir la notion de délité d'une analyse
par rapp ort à lapièce musicale qu'elle mo dèlise. Mais on ne dit rien sur lanature de l'analyse
elle-même. Il va de soi que la qualité d'une analyse ne p eut se réduire à la notion de délité
que nousprop osonsici,maisprendencompted'autres asp ects. Parexemple 1
,une analysed'une
pièce musicalequiest co déeinformatiquementparunesérie devaleursx
1 , x
2 , x
3
,... (co desmidi
ou autres) p eut consister en des variablesX
1 , X
2 , X
3
, ... dontl'instanciation sera entièrement
déterminée parune contrainte de laforme (X
1
=x
1 )^(X
2
=x
2 )^(X
3
= x
3
)^:::. Une telle
analyse est évidemmenttrès dèle. Mais elle est en mêmetemps assez p eu " analytique ", car
essentiellementdescriptive.
Bien que cela ne soit pas le prop osde cet article, on p eut préciser l'opp ositionentre " ana-
lytique "et "descriptif ", en se plaçantauniveau dulangagede contraintes utilisé. Ce langage
est déni formellementà partir de variables (X
1 , X
2 , X
3
...),de connecteurs logiques (_, ^), de
quanticateurs,etd'unensembledesymb olesnon-logiquescomprenantdesrelations(par exemple
<),desfonctions(parexemple+),etdesconstantes(parexempledesco desmidi).L'ensembledes
termesdulangageestleplusp etitensembled'expressionscontenantlesvariablesetlesconstantes,
et ferméparl'applicationdesfonctions. Le langagedecontraintesest leplusp etitensemblecon-
tenant les termes,et fermé par lacombinaisonde termes parrelations ouconnecteurs, et par la
quantication des termes. En explicitant lesélémentsqui interviennentdans cette construction,
on p eut distingerdiérentes classes delangagesde contraintes (commeonlefait dansladistinc-
tion entre logique du premier et du deuxième ordre), et ceci conduit à dénir diérentes classes
d'analyses. Ainsi, onp ourradire, parexemple, qu'uneanalyseest d'autantplusdescriptive,que
sonlangagedecontraintesutiliseplusdeconstantes.
Dans cetarticle, onne s'intéresse pasàlaclasse des analysesconsidérées commesous-classes
particulières du langage général de contraintes déni ci-dessus, maisau nombrede solutions des
CSP asso ciésàcesanalyses,etàlanotiondedélitéd'uneanalysemusicaletellequenousl'avons
1
canonsdeharp ed'Afriquecentrale,rythmesasymétriquesd'Afriquecentrale). Dup ointdevuede
la techniquede résolutionde contraintes, lesolveurutilisé rep osesur unalgorithmede recherche
adaptative intro duit parPhilipp e Co dognet. Nous nousintéresserons iciau nombrede solutions
desCSP utilisésp ourmo déliserlesanalysesmusicales
2 Recherche adaptative
L'algorithme derecherche adaptative est prop osé par Philipp eCo dognet (LIP6)[Co d00],qui l'a
testé surdes problèmes classiques (N-reines, carrés magiques, etc). Le problèmeest donné sous
la forme d'un CSP, avec variables, domaines nis asso ciés, et contraintes sur les variables. Il
existeplusieurssolversdecontraintesdanslecasdesdomainesnis,commeILOGSolver[Pug94],
ou GNU-Prolog [CDi00]. Larecherche adaptative faitpartie des algorithmesde recherche lo cale
(voir[HGH98]),telqueGSAT[SLM92],quitirentprotdelareprésentation duproblèmeenCSP,
mêmes'ilssedistinguentdestechniquesclassiquesderésolution. Detelsalgorithmesontlargement
prouvé leurecacitésurdesproblèmescommeceluiduvoyageurdecommerce,desN-reines,etc.
Le princip e en recherche lo cale est de guider la recherche de solution par une mesure de la
qualitéd'uneconguration. Onp eutrésumergrossièrementcetyp ed'algorithmepar: intialisation
aléatoire, puisitérativementexploration d'un voisinage, recherche d'une meilleure conguration,
remplacement. Cela supp ose d'avoirune mesure de la qualité de la conguration courante, ce
quiest faitenreprésentant lescontraintes parunefonctionde coût,quisertàlarecherche d'une
meilleure conguration.
L'algorithmede recherche adaptative fonctionnesurce princip e,maisenanantlanotionde
coût. Ils'agit de tirer le maximumd'informationà partir des contraintes, au niveau dechaque
variable et non plus de la conguration globale. On utilise p our cela une projection des coûts
sur chaque variable (lamétho de la plussimple consistant àprendre les coûts descontraintes où
la variable gure). Cela p ermetde sélectionner àchaque pasla variablela plusmauvaise. Nous
remplaçonsl'étap e"explorationduvoisinage"parlecalculdescoûtsdechaquevariable,lasélection
de lapluschère,et l'explorationdudomainedecette variablep our trouverunemeilleurevaleur.
3 Textures de Ligeti
Estdonnéeuneséquence d'aggrégatsA
i
ayantchacunauplusknotes. Onchercheunep olyphonie
sous-jacenteàkvoix,notéedansuntableauX
i;j
,oùidésignel'accordetjlavoix. Lescontraintes
s'écrivent:
1. ChaqueA
i
est inclusdanslacolonnecorresp ondante X
i .
2. Les voixdontles notes n'apparaissent pasdans lesA
i
doiventrester surla mêmehauteur,
X
i;j
= 2A
i
!X
i;j
=X
i 1;j
3. Lesmouvementsmélo diquesde chaquevoixsont limitésàzéro,plusou moinsundemi-ton
oumoinsunton,X
i;j X
i 1;j
2f 2; 1;0;1g(envaleurmidi).
4. parailleurs,lesX
i
doiventformerunvraiaccord,onajoutedoncunecontrainteimp osantla
croissance stricte p ourchaqueX
i
Danslapartition,lesaggrégatssontjouésencourtsmotifsrépétés, commedanslapièce p our
clavecinContinuum. Nousétudionsune texture dudébut deMelo dien,pièce p ourorchestre. Ici,
k vaut 10. La gure 1 montre les notes jouées dans les aggrégats en noir, et une analyse de la
p olyphonieestreprésentée parleslignesbriséesrecouvrantcesnotes.
Ce problème rapp elle fortement le problème de l'harmonisation automatique, dans le style
des chorals de Bach par exemple. La ligne mélo dique du choral est remplacée par la séquence
d'aggrégats, et la p olyphonie à quatre voix par celle à dix voix. Mais les contraintes sont très
similairespuisqu'elles formalisent des restrictions du mouvementmélo dique. D'un p oint devue
musical,laprincipalediérence vientdufaitquelesvoixd'unchoral sontdestinéesàêtre jouées,
la partition. D'un p oint de vue contraintes, il faut souligner quelques diérences imp ortantes
: l'harmonisationautomatique est connue p our avoirb eaucoup de solutions [Del98], et on p eut
abstraire certains objets musicauxcommeparexempleles degrés harmoniques,ce quip ermetde
réduire l'espacederecherche [PaR95]. Au contraire,lenombredesolutionsest icitrèsréduit,six
danslecasdeMelo dien.
PourMelo dien, on a49 colonnes et 10 notes par colonne, ces notes restant dans unambitus
de 66 à 93. Nous avons choisi les fonctions de coût suivantes, en reprenant la notation et la
numérotationdescontraintes ci-dessus,avecil'indicedanslescolonneset j dansleslignes:
1. f
1 (i;X
i;j
)=k Car dfl2[1;k ];X
i;l
= 2A
i g
2. f
2 (i;X
i;j )=
P
l<j
max(0;1+X
i;l X
i;j )+
P
l>j
max(0;1+X
i;j X
i;l )
3. f
3 (i;X
i;j
)=si X
i 2A
i
alors0sinonjX
i;j A
(i 1);j j
4. ladernière contrainte p eutêtre passée enréductiondedomaine
Ilyaplusieurs manièresde représenter ce problème. Laplussimpleseraitde prendre 4910
variables et de résoudre un CSP à 500 variables, sur un domaine de taille 27. Pour réduire le
nombredevariables, onp eut aussi neprendre commevariables quelesnotes cachées, 83 dans le
cas de Melo dien, et écrire les contraintes sur ces seules notes. En eet, les autresvariablessont
presque déjàinstanciées danslapartition. Maiscen'estpassatisfaisantcarcelanep ermetpasde
vérier sile pro cessus de mo délisationest valablep our toute lapartition. Nous avonschoisi une
solutionintermédiaire,enrésolvantleCSPcolonneparcolonne: chaquerésolutionp ortedoncsur
10 variables, avec des domaines p etits (de taille 4 puisqu'onpasse à laligne i+1 la contrainte
de mouvementmélo diqueàpartir del'instantiationtrouvée àla lignei, ce quireviendrait à un
ltrage dans une métho de classique). D'unp ointde vue CSP,on p erd de l'informationde cette
manière, puisque cela revientàinterdireles backtracksàune ligneantérieure. En pratique,cela
n'a pas d'imp ortance car on trouve très facilement les solutions, sinon nous p ourrions xer un
nombremaximumd'itérationsp ourl'algorithme,décider qu'on aunéchec quand ilest atteintet
backtracker à laligne précédente. De cette manière, nous p ouvonsvérier lavaliditédumo dèle
musicalsurtoutelapartition.
Un algorithmesp éciquedécrit dans[Che99] montreque l'analysede cette texture n'aque 6
solutions. Plusprécisément,ilyatroistransitionsp ossiblesdelaligne21àlaligne22etdeuxde
la ligne36àlaligne37. Lagure 2montreces deux p ossibilités,quidonnent envaleur midi,et
en notantentreparenthèseslesnotescachées :
X
36
=((67)(70)7273757677808593)
X
37
=(67707274(75)7677808593)
X
36
=((67)(70)7273757677808593)
X
37
=(677072(73)747677808593)
Les fréquences d'apparition de ces deux solutions, gure 3, dans la résolution par recherche
Figure 3: Deuxsolutionsentreleslignes36et 37deMelo dien
4 Canons Nzakara
Ceproblèmeestp osédans[Che95]. Ons'intéresse auxformulesjouéessuruneharp eàcinqcordes
par le p euple Nzakara en Afrique Centrale. Les formules sont jouées en ostinato, des p o èmes
Nzakaraétant chantés surchacune. Pourlamo délisation,on représentera lesnotes Nzakara par
une approximationmidi: 60, 62, 64, 67, 70. Les formulessont construites àpartir d'accords de
deux notes, dont les valeurs sont f(60;64);(60;67);(62;67);(62;70);(64;70)g. Pour calculer des
formulesdencouplesconsécutifs,onprend nvariablesV
1 :::V
n
dontlesdomainessontlescouples
Nzakara. On notera V
i
lanote inférieure del'accord iet V
i
lanote sup érieure. La structure des
formulesestreprésentée pardeuxcontraintes.
Figure4: Uncanonde lacatégorielimanza,p ourn=30etp=6
La première imp oseune forme en canon à deux voix. La transp osition est donnée par une
fonction simple : t(60) =64, t(62) =67, t(64) = 70. Les formules Nzakara reprennent la voix
inférieurelamélo diedelavoixsup érieure,décaléedepaccords(pentierxé),ettransp oséepart.
V
(i+p mo dn)
=t(V
i )
Ladeuxièmecontraintesertàéviterlessolutionstrivialesetlesrép étitions,quelesNzakarane
fontjamais.
(i+1 mo dn) i
V
(i+p mo dn) 6=V
i
Les valeurs Nzakara p our n et p sont n = 10, p= 4 ou n = 20, p = 4 (catégorie ngbakia)
et n=30, p=6(catégorie limanza,voirgure 4). Ainsi p osé, ceCSP n'a pasde solutions. Le
nombreminimald'erreurs est égal à pg cd(n;p) [Che95],et on constate chez les Nzakara que les
canons utilisésparlesharpistesonttoujourscenombreminimald'erreurs.
Lapremièresolutionp ourrésoudreceCSPseraitd'utiliserunProlog,cequenousavonsessayé
en SicstusProlog. Nousutilisons unprédicattr anspo p our lafonctiondetransp osition. Comme
nous savonsqu'iln'yapasde solutions,ilfaut transformer unp eu lamo délisationduCSP : on
ajouteainsiunprédicattr anspo(60;70),quimo délise"l'erreur"faiteparlesNzakara. Lasolution
Nzakaraestalorstrouvéeenunedemi-heure.Maisl'ajoutd'untransp on'estpastrèssatisfaisante,
car riennegarantitquelenombredetr anspo(60;70)seraminimal.
NousavonségalementrésoluceCSPenrechercheadaptativeavecdeb onsrésultats. Lescoûts
sontsimplementdénis par: p ourlapremièrecontrainte,1siV
(i+p mo dn)
=t(V
i
)et0sinon,et
p ourladeuxièmecontrainte,1dep énalitéchaquefoisqueV
(i+1 mo dn)
=V
i ouV
(i+p mo dn)
=V
i .
D'après [Che95],iln'yaquedeuxsolutions,dans lecasn=10 etp=4,voirgure 5. L'uneest
dégénérée (elleest forméededeuxfois lamêmesous-séquence). Lagure6montrelesfréquences
d'apparition dessolutions: sur500 tests,lasolutionNzakara(non-dégénérée) apparaît avecune
probabilité de0;32,ce quiest cohérent et montreque lesfonctionsde coûtschoisies nesontpas
biaisées.
Figure5: Deuxsolutions,p our n=10et p=4
Figure6: Fréquence d'apparitiondesdeux solutionsp ourn=10et p=4.
5 Imparité rythmique
Les pygmées Aka utilisent une formule rythmique qui p eut se monnayer par des battements
réguliers, group éspar 2et par3en fonctiond'accentsirrégulièrementespacés. Lesgroup es sont
répartis commesuit: 32222322222.
Cetteformuleaunepropriétéintéressante queSimhaAromaapp elée "l'imparitérythmique".
Lagure7lesgroup esdisp oséssuruncercle (laformuleestjouéeenb oucle). Lorsqu'onessaiede
coup er lecercleendeux,commeuneorange,onnep eutlefaireendeuxpartieségales,carquelque
soit lep ointdepartage,ilmanqueune unitéd'uncôté. Ilexisteunedissymétrieintrinsèquedans
laformule,quisedivisetoujoursenpartiesinégales,queSimhaAromapp elle"moitiémoinsun"
Dans l'énumération complète des formulesrythmiques vériant la propriété d'imparitéryth-
mique,ilfautnoterquesilenombred'unitéssur lecercleest impair,lapropriétéest triviale. Ce
cascorresp ondàdesformulesrythmiquesayantunnombreimpairde3. Àl'opp osé,silesnombres
de2etde3sonttouslesdeuxpairs,onaunrésultatsurprenant,quiestune sortede"théorème
des valeurs intermédiaires": ilexiste nécessairement un p ointdu cercle où celui-cise coup e en
ceux partieégales.
En ce quiconcerne lesformulesrythmiqueseectivement utilisées enAfriquecentrale, ilfaut
préciser quelesrythmesdecetyp esonttoujoursasso ciésàunepulsationrégulièredontlap ério d-
icitéest unepuissancededeux. Plusformellement,celasigniequelenombretotald'unitéssurle
cercle doitêtre delaforme2n(rythmebinaire)ou2n:3(rythmeternaire).
Avecdeuxgroup esde3,onvériefacilementquelesseulessolutionssontdutyp e32 k
32 (k +1)
.
Les valeursdek donnantdesrythmesbinairesouternaires sontk=0,k=1,k=2et k=4(en
se limitantà24unitésaumaximum),soient8,12,16ou24unités. Lavaleur k=3estexcluecar
elledonne20unités. LaformuledespygméesAkacorresp ondàk=4.
Avec quatre group es de3, la prop osition ci-dessus montrequ'il n'y apas de solutions. Avec
sixgroup es de3,ilexisteseulementdeuxsolutions(avecunnombred'unitésinférieurà24),dont
l'uneest constituéed'uncouplede solutionsrétrogradesl'unedel'autre :
solution1=333233322
solution2=333233232
rétrogradée =232332333
Les travaux de SimhaArom ont montré que les formulesvériant l'imparitérythmiquesont
fréquentesdanscetterégiond'Afriquecentrale. Lefaitintéressantquiressortdecetteénumération
est quel'ontrouve presquetouteslesformulesp ossibles. Letableausuivantendressel'inventaire
(limitéàmoinsde24unitéssurlecercle),enindiquantlesethniesdanslesquellesellessontutilisées.
Enb onnelogique,ilfaudraitexpliquerp ourquoilasolution1avecsixgroup esde3n'estpasutilisée.
Peut-être est-elletropsemblableàlasolution2(ellesnedièrentqueparlap ermutationdedeux
valeurs)?
nombrede3
2 332(k=0) Zande
2 32322(k=1) Aka,Gbaya,Nzakara
2 3223222(k=2) Gbaya,Ngbaka
2 32222322222(k=4) Aka
4 pasdesolution
6 333233322 nonutilisée
6 333233232 Aka
Onp eut trouver unepropriété nécessaire et susanteàl'imparitérythmique: lesgroup esde
trois doiventêtre faceàface,séparés soitden=2 1,soitden=2 2. Celase voitimmédiatement
sur unedessin,gure 8.
En mo délisant le problème sous la forme d'un CSP, on p eut tenter d'estimer le nombre de
solutions,p ourdesnombresquelconquesdegroup esdedeuxet detrois. Onnoten
2
lenombrede
group es dedeuxet n
3
lenombredegroup esde trois,xés. Lesvariablessontnotées V
1 :::V
n , et
l'onseplacesurledomainedesp ermutationsdel'ensembleconstituéden
2
deuxetn
3
trois(lesV
i
