HAL Id: hal-01005061
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Mathématiques, les pieds dans l’eau
Carine Lucas, Frédéric Darboux
To cite this version:
Carine Lucas, Frédéric Darboux. Mathématiques, les pieds dans l’eau. 2. Printemps des Mathéma-
tiques, May 2010, Lycée Alphonse Daudet, Nîmes, France. �hal-01005061�
2 e “Printemps des Math´ ematiques”
Lyc´ ee A. Daudet - Laboratoire J.-P. Serre
Fr´ ed´ eric Darboux et Carine Lucas
INRA et laboratoire MAPMO - Orl´ eans
7 mai 2010
Jean-Gaston Darboux
[Source : Ernest Lebon]
Math´ ematicien nˆımois (1842-1917) El` ´ eve (m´ ediocre selon son proviseur) au lyc´ ee de Nˆımes [Source : lyc´ ee Darboux]
Travaux en analyse et en g´ eom´ etrie
Int´ egrale de Darboux
[Source : Benutzer Gunther]
Grande somme
de Darboux
Petite somme
de Darboux
Jean-Gaston Darboux
[Source : Ernest Lebon]
Math´ ematicien nˆımois (1842-1917) El` ´ eve (m´ ediocre selon son proviseur) au lyc´ ee de Nˆımes [Source : lyc´ ee Darboux]
Travaux en analyse et en g´ eom´ etrie
Int´ egrale de Darboux
x 1
1 y
0 5
[Source : Benutzer Gunther]
Grande somme
de Darboux
Petite somme
de Darboux
Jean-Gaston Darboux
[Source : Ernest Lebon]
Math´ ematicien nˆımois (1842-1917) El` ´ eve (m´ ediocre selon son proviseur) au lyc´ ee de Nˆımes [Source : lyc´ ee Darboux]
Travaux en analyse et en g´ eom´ etrie
Int´ egrale de Darboux
x 1
1 y
0 5
[Source : Benutzer Gunther]
Grande somme
de Darboux
Petite somme
de Darboux
Jean-Gaston Darboux
[Source : Ernest Lebon]
Math´ ematicien nˆımois (1842-1917) El` ´ eve (m´ ediocre selon son proviseur) au lyc´ ee de Nˆımes [Source : lyc´ ee Darboux]
Travaux en analyse et en g´ eom´ etrie
Int´ egrale de Darboux
x 1
1 y
0 5
[Source : Benutzer Gunther]
Grande somme
de Darboux
Petite somme
de Darboux
Jean-Gaston Darboux
Honor´ e par sa ville natale
Buste dans la cour d’honneur du lyc´ ee Daudet Rue Darboux (entre av. J. Jaur` es et rue Dhuoda) Lyc´ ee Darboux
Appartenant ` a une lign´ ee de math´ ematiciens El` ´ eve de M. Chasles ( −→
AC = −−→
AB + −−→
BC).
A form´ e d’autres math´ ematiciens, tel ´ Emile Borel .
Jean-Gaston Darboux
Honor´ e par sa ville natale
Buste dans la cour d’honneur du lyc´ ee Daudet Rue Darboux (entre av. J. Jaur` es et rue Dhuoda) Lyc´ ee Darboux
Appartenant ` a une lign´ ee de math´ ematiciens El` ´ eve de M. Chasles ( −→
AC = −−→
AB + −−→
BC).
A form´ e d’autres math´ ematiciens, tel ´ Emile Borel .
Fr´ ed´ eric Darboux
Formation
”Licence” de g´ eologie — 1993 — Univ. J. Fourier, Grenoble
”Master 1” de g´ eologie — 1994 — Univ. J. Fourier, Grenoble
”Master 2” de g´ eologie — 1995 — Univ. de Rennes 1 Magist` ere en sciences de la Terre — 1995 — Ecole normale ´ (tr` es) sup´ erieure, Lyon
Doctorat en sciences de la Terre — 1999 — Univ. de Rennes 1 De la g´ eologie profonde ` a la surface
Maitrise : mise en place d’un granite c´ evenol DEA : forme des vall´ ees en Bretagne
Doctorat : ruissellement et ´ erosion des sols sur les versants
Fr´ ed´ eric Darboux
Formation
”Licence” de g´ eologie — 1993 — Univ. J. Fourier, Grenoble
”Master 1” de g´ eologie — 1994 — Univ. J. Fourier, Grenoble
”Master 2” de g´ eologie — 1995 — Univ. de Rennes 1 Magist` ere en sciences de la Terre — 1995 — Ecole normale ´ (tr` es) sup´ erieure, Lyon
Doctorat en sciences de la Terre — 1999 — Univ. de Rennes 1 De la g´ eologie profonde ` a la surface
Maitrise : mise en place d’un granite c´ evenol DEA : forme des vall´ ees en Bretagne
Doctorat : ruissellement et ´ erosion des sols sur les versants
Fr´ ed´ eric Darboux
Emplois
Chercheur — 2000-2001 — Purdue univ., USA
Chercheur — 2002-... — Science du sol, INRA, Orl´ eans
Institut National de la Recherche Agronomique Agriculture — Alimentation — Environnement
Pas que des agronomes
Labo. de Science du sol d’Orl´ eans : 25 personnes, 1 agronome
Personnels de l’INRA : chercheurs, mais surtout des ing´ enieurs
et des techniciens.
Fr´ ed´ eric Darboux
Emplois
Chercheur — 2000-2001 — Purdue univ., USA
Chercheur — 2002-... — Science du sol, INRA, Orl´ eans
Institut National de la Recherche Agronomique Agriculture — Alimentation — Environnement
Pas que des agronomes
Labo. de Science du sol d’Orl´ eans : 25 personnes, 1 agronome
Personnels de l’INRA : chercheurs, mais surtout des ing´ enieurs
et des techniciens.
Fr´ ed´ eric Darboux
Emplois
Chercheur — 2000-2001 — Purdue univ., USA
Chercheur — 2002-... — Science du sol, INRA, Orl´ eans
Institut National de la Recherche Agronomique Agriculture — Alimentation — Environnement
Pas que des agronomes
Labo. de Science du sol d’Orl´ eans : 25 personnes, 1 agronome
Personnels de l’INRA : chercheurs, mais surtout des ing´ enieurs
et des techniciens.
Fr´ ed´ eric Darboux
Emplois
Chercheur — 2000-2001 — Purdue univ., USA
Chercheur — 2002-... — Science du sol, INRA, Orl´ eans
Institut National de la Recherche Agronomique Agriculture — Alimentation — Environnement
Pas que des agronomes
Labo. de Science du sol d’Orl´ eans : 25 personnes, 1 agronome
Personnels de l’INRA : chercheurs, mais surtout des ing´ enieurs
et des techniciens.
Fr´ ed´ eric Darboux
Emplois
Chercheur — 2000-2001 — Purdue univ., USA
Chercheur — 2002-... — Science du sol, INRA, Orl´ eans
Institut National de la Recherche Agronomique Agriculture — Alimentation — Environnement
Pas que des agronomes
Labo. de Science du sol d’Orl´ eans : 25 personnes, 1 agronome
Personnels de l’INRA : chercheurs, mais surtout des ing´ enieurs
et des techniciens.
Fr´ ed´ eric Darboux
Emplois
Chercheur — 2000-2001 — Purdue univ., USA
Chercheur — 2002-... — Science du sol, INRA, Orl´ eans
Institut National de la Recherche Agronomique Agriculture — Alimentation — Environnement
Pas que des agronomes
Labo. de Science du sol d’Orl´ eans : 25 personnes, 1 agronome
Personnels de l’INRA : chercheurs, mais surtout des ing´ enieurs
et des techniciens.
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Edouard Lucas
H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H
Edouard Lucas
H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Carine Lucas - Cursus post-bac
classes pr´ eparatoires MPSI - MP Lyc´ ee A. Daudet Licence
Maitrise Universit´ e J. Fourier, Grenoble 2 e ann´ ee de Master
Th` ese en Maths Appliqu´ ees Universit´ e J. Fourier, Grenoble
laboratoire de M ath´ ematiques et A pplications, P hysique M ath´ ematique d’ O rl´ eans
Enseignement Recherche
Carine Lucas - Cursus post-bac
classes pr´ eparatoires MPSI - MP Lyc´ ee A. Daudet Licence
Maitrise Universit´ e J. Fourier, Grenoble 2 e ann´ ee de Master
Th` ese en Maths Appliqu´ ees Universit´ e J. Fourier, Grenoble depuis 2008 : Maˆıtre de conf´ erence ` a l’Universit´ e d’Orl´ eans
laboratoire de M ath´ ematiques et A pplications, P hysique M ath´ ematique d’ O rl´ eans
Enseignement Recherche
http://www.lsv.ens- cachan.fr/~bouyer/TiNicolas/nico.htm
Les sols — Une grande diversit´ e
[Source : Discovery]
Les sols — Une grande diversit´ e
[Source : Discovery] [Source : M. Isambert, D. Michot, A. Ruellan, C. Walter]
Les sols — une interface
A l’interface entre : `
le sous-sol (g´ eosph` ere) l’eau (hydrosph` ere) la vie (biosph` ere) l’atmosph` ere
Un milieu complexe
Les sols — une interface
A l’interface entre : `
le sous-sol (g´ eosph` ere) l’eau (hydrosph` ere) la vie (biosph` ere) l’atmosph` ere
Un milieu complexe
Les sols — Une interface aux multiples fonctions
Fonctions
environnementales
stockage et ´ epuration de l’eau
r´ etention et transformation des polluants r´ eservoir de biodiversit´ e
...
´
economiques
production agricole et foresti` ere source de mati` eres premi` eres ...
sociales et culturelles
support des activit´ es humaines
conservation du patrimoine arch´ eologique
...
Les sols — Une interface aux multiples fonctions
Fonctions
environnementales
stockage et ´ epuration de l’eau
r´ etention et transformation des polluants r´ eservoir de biodiversit´ e
...
´
economiques
production agricole et foresti` ere source de mati` eres premi` eres ...
sociales et culturelles
support des activit´ es humaines
conservation du patrimoine arch´ eologique
...
Les sols — Une interface aux multiples fonctions
Fonctions
environnementales
stockage et ´ epuration de l’eau
r´ etention et transformation des polluants r´ eservoir de biodiversit´ e
...
´
economiques
production agricole et foresti` ere source de mati` eres premi` eres ...
sociales et culturelles
support des activit´ es humaines
conservation du patrimoine arch´ eologique
...
Les sols — Une interface aux multiples fonctions
Fonctions
environnementales
stockage et ´ epuration de l’eau
r´ etention et transformation des polluants r´ eservoir de biodiversit´ e
...
´
economiques
production agricole et foresti` ere source de mati` eres premi` eres ...
sociales et culturelles
support des activit´ es humaines
conservation du patrimoine arch´ eologique
...
Les sols — Un patrimoine menac´ e
Une ressource non renouvelable
Un patrimoine menac´ e par : le ruissellement et l’´ erosion la contamination
l’imperm´ eabilisation (constructions) le tassement
la r´ eduction de la biodiversit´ e
la salinisation
Les sols — Un patrimoine menac´ e
Une ressource non renouvelable
Un patrimoine menac´ e par : le ruissellement et l’´ erosion la contamination
l’imperm´ eabilisation (constructions) le tassement
la r´ eduction de la biodiversit´ e
la salinisation
Les sols — Un patrimoine menac´ e
Une ressource non renouvelable
Un patrimoine menac´ e par : le ruissellement et l’´ erosion la contamination
l’imperm´ eabilisation (constructions) le tassement
la r´ eduction de la biodiversit´ e
la salinisation
Ruissellement et ´ Erosion — Cons´ equences
Un transfert de l’amont vers l’aval
En amont : semis
[Source : Y. Le Bissonnais]
Ruissellement et ´ Erosion — Cons´ equences
Un transfert de l’amont vers l’aval
En amont : ravine
[Source : Y. Le Bissonnais]
Ruissellement et ´ Erosion — Cons´ equences
Un transfert de l’amont vers l’aval
En amont : perte de la ressource
Diminution de l’´ epaisseur des sols
Disparition de certaines fonctions
Ruissellement et ´ Erosion — Cons´ equences
Un transfert de l’amont vers l’aval
En aval : coul´ ees boueuses
[Source : Pompiers 76]
Ruissellement et ´ Erosion — Cons´ equences
Un transfert de l’amont vers l’aval
En aval : pollution des eaux Turbidit´ e
D´ eveloppement d’algues
Ruissellement et ´ Erosion — Lutte
Le bassin versant : une notion clef
[Source : A. Couturier]
Ruissellement et ´ Erosion — lutte
R´ e-am´ enagement : bassin de r´ etention
[Source : DRAF 76]
Ruissellement et ´ Erosion — lutte
R´ e-am´ enagement : diguette
[Source : SmageAa]
Ruissellement et ´ Erosion — lutte
R´ e-am´ enagement : bande enherb´ ee
[Source : EPTB]
Ruissellement et ´ Erosion — lutte
R´ e-am´ enagement : couvert
[Source : Y. Le Bissonnais]
Ruissellement et ´ Erosion — Lutte
Mais o` u les localiser ?
[Source : A. Couturier]
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Logiciels d’aide ` a la d´ ecision : simulation du ruissellement
[Source : V. Souch` ere]
2 choses essentielles :
Pr´ evoir les zones sources
Pr´ evoir la localisation des ´ ecoulements
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Logiciels d’aide ` a la d´ ecision : simulation du ruissellement
[Source : V. Souch` ere]
2 choses essentielles :
Pr´ evoir les zones sources
Pr´ evoir la localisation des ´ ecoulements
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Logiciels d’aide ` a la d´ ecision : simulation du ruissellement
[Source : V. Souch` ere]
2 choses essentielles :
Pr´ evoir les zones sources
Pr´ evoir la localisation des ´ ecoulements
Ruissellement et ´ Erosion — Processus
Dans un champ :
[Source : Jos´ e Luis, univ. Austin TX]
Ruissellement et ´ Erosion — Processus
Dans un champ :
Ruissellement et ´ Erosion — Processus
2 objets peuvent contrˆ oler la direction du ruissellement : topographie
sillons
2 objets d’´ echelles et de formes tr` es diff´ erentes
Ruissellement et ´ Erosion — Processus
2 objets peuvent contrˆ oler la direction du ruissellement : topographie
sillons
2 objets d’´ echelles et de formes tr` es diff´ erentes
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Comment prendre en compte ` a la fois les sillons et la topographie ? Mesures avec une r´ esolution de 1 cm x 1 cm ... sur quelques m` etres-carr´ es.
Dans les logiciels d’aide ` a la d´ ecision : r´ esolution 10 m x 10 m
= ⇒ on ne peut y pas repr´ esenter explicitement les sillons.
Axe de progression :
prendre en compte les sillons sans ”vraiment” les repr´ esenter.
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Comment prendre en compte ` a la fois les sillons et la topographie ? Mesures avec une r´ esolution de 1 cm x 1 cm ... sur quelques m` etres-carr´ es.
Dans les logiciels d’aide ` a la d´ ecision : r´ esolution 10 m x 10 m
= ⇒ on ne peut y pas repr´ esenter explicitement les sillons.
Axe de progression :
prendre en compte les sillons sans ”vraiment” les repr´ esenter.
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Comment prendre en compte ` a la fois les sillons et la topographie ? Mesures avec une r´ esolution de 1 cm x 1 cm ... sur quelques m` etres-carr´ es.
Dans les logiciels d’aide ` a la d´ ecision : r´ esolution 10 m x 10 m
= ⇒ on ne peut y pas repr´ esenter explicitement les sillons.
Axe de progression :
prendre en compte les sillons sans ”vraiment” les repr´ esenter.
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Comment prendre en compte ` a la fois les sillons et la topographie ? Mesures avec une r´ esolution de 1 cm x 1 cm ... sur quelques m` etres-carr´ es.
Dans les logiciels d’aide ` a la d´ ecision : r´ esolution 10 m x 10 m
= ⇒ on ne peut y pas repr´ esenter explicitement les sillons.
Axe de progression :
prendre en compte les sillons sans ”vraiment” les repr´ esenter.
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Comment prendre en compte ` a la fois les sillons et la topographie ? Mesures avec une r´ esolution de 1 cm x 1 cm ... sur quelques m` etres-carr´ es.
Dans les logiciels d’aide ` a la d´ ecision : r´ esolution 10 m x 10 m
= ⇒ on ne peut y pas repr´ esenter explicitement les sillons.
Axe de progression :
prendre en compte les sillons sans ”vraiment” les repr´ esenter.
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Comment prendre en compte ` a la fois les sillons et la topographie ? Mesures avec une r´ esolution de 1 cm x 1 cm ... sur quelques m` etres-carr´ es.
Dans les logiciels d’aide ` a la d´ ecision : r´ esolution 10 m x 10 m
= ⇒ on ne peut y pas repr´ esenter explicitement les sillons.
Axe de progression :
prendre en compte les sillons sans ”vraiment” les repr´ esenter.
Ruissellement et ´ Erosion — Terrain
Travaux de terrain par V. Souch` ere (1998)
Fonction discriminante pr´ edisant la direction du ruissellement selon
la pente et l’angle entre sillons et pente
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Inclusion dans un logiciel : Comportement
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Inclusion dans un logiciel : validation
Topographie seule Topographie et sillons
50 100 200 300 400 Meters
0 Watershed boundary
Field boundary Topographic flow network
A
Watershed boundary Field boundary Tillage flow network - corrected 50 100 200 300 400
Meters 0
[Source : A. Couturier]
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Inclusion dans un logiciel : validation
Topographie seule R´ eseau de rigoles
50 100 200 300 400 Meters
0 Watershed boundary
Field boundary Topographic flow network
A
Field boundary Erosion rill 50 100 200 300400
Meters 0
[Source : A. Couturier]
Ruissellement et ´ Erosion — Simulation
Inclusion dans un logiciel : validation
Topographie et sillons R´ eseau de rigoles
Watershed boundary Field boundary Tillage flow network - corrected 50 100 200 300 400
Meters 0
Field boundary Erosion rill 50 100 200 300400
Meters 0
[Source : A. Couturier]
Ruissellement et ´ Erosion — Bilan et axe de progr` es
Bilan de la prise en compte des sillons
Am´ elioration de la repr´ esentation du ruissellement
Am´ elioration des capacit´ es d’aide ` a la d´ ecision des logiciels
Logiciels actuels :
ne prennent pas en compte les hauteurs d’eau (pas de d´ ebordement en cours de pluie)
uniquement bas´ es sur ”quelques” observations de terrain.
Axe de progr` es
Ruissellement tr` es difficilement mesurable
= ⇒ Etudes de terrain n’offrent pas de marges de progression significatives.
Faire appel aux math´ ematiques pour mieux comprendre
l’interaction entre topographie et sillon
Ruissellement et ´ Erosion — Bilan et axe de progr` es
Bilan de la prise en compte des sillons
Am´ elioration de la repr´ esentation du ruissellement
Am´ elioration des capacit´ es d’aide ` a la d´ ecision des logiciels Logiciels actuels :
ne prennent pas en compte les hauteurs d’eau (pas de d´ ebordement en cours de pluie)
uniquement bas´ es sur ”quelques” observations de terrain.
Axe de progr` es
Ruissellement tr` es difficilement mesurable
= ⇒ Etudes de terrain n’offrent pas de marges de progression significatives.
Faire appel aux math´ ematiques pour mieux comprendre
l’interaction entre topographie et sillon
Ruissellement et ´ Erosion — Bilan et axe de progr` es
Bilan de la prise en compte des sillons
Am´ elioration de la repr´ esentation du ruissellement
Am´ elioration des capacit´ es d’aide ` a la d´ ecision des logiciels Logiciels actuels :
ne prennent pas en compte les hauteurs d’eau (pas de d´ ebordement en cours de pluie)
uniquement bas´ es sur ”quelques” observations de terrain.
Axe de progr` es
Ruissellement tr` es difficilement mesurable
= ⇒ Etudes de terrain n’offrent pas de marges de progression significatives.
Faire appel aux math´ ematiques pour mieux comprendre
l’interaction entre topographie et sillon
Ruissellement et ´ Erosion — Bilan et axe de progr` es
Bilan de la prise en compte des sillons
Am´ elioration de la repr´ esentation du ruissellement
Am´ elioration des capacit´ es d’aide ` a la d´ ecision des logiciels Logiciels actuels :
ne prennent pas en compte les hauteurs d’eau (pas de d´ ebordement en cours de pluie)
uniquement bas´ es sur ”quelques” observations de terrain.
Axe de progr` es
Ruissellement tr` es difficilement mesurable
= ⇒ Etudes de terrain n’offrent pas de marges de progression significatives.
Faire appel aux math´ ematiques pour mieux comprendre
l’interaction entre topographie et sillon
Ruissellement et ´ Erosion — Bilan et axe de progr` es
Bilan de la prise en compte des sillons
Am´ elioration de la repr´ esentation du ruissellement
Am´ elioration des capacit´ es d’aide ` a la d´ ecision des logiciels Logiciels actuels :
ne prennent pas en compte les hauteurs d’eau (pas de d´ ebordement en cours de pluie)
uniquement bas´ es sur ”quelques” observations de terrain.
Axe de progr` es
Ruissellement tr` es difficilement mesurable
= ⇒ Etudes de terrain n’offrent pas de marges de progression significatives.
Faire appel aux math´ ematiques pour mieux comprendre
l’interaction entre topographie et sillon
Ruissellement et ´ Erosion — Bilan et axe de progr` es
Bilan de la prise en compte des sillons
Am´ elioration de la repr´ esentation du ruissellement
Am´ elioration des capacit´ es d’aide ` a la d´ ecision des logiciels Logiciels actuels :
ne prennent pas en compte les hauteurs d’eau (pas de d´ ebordement en cours de pluie)
uniquement bas´ es sur ”quelques” observations de terrain.
Axe de progr` es
Ruissellement tr` es difficilement mesurable
= ⇒ Etudes de terrain n’offrent pas de marges de progression significatives.
Faire appel aux math´ ematiques pour mieux comprendre
l’interaction entre topographie et sillon
Ruissellement et ´ Erosion — Bilan et axe de progr` es
Bilan de la prise en compte des sillons
Am´ elioration de la repr´ esentation du ruissellement
Am´ elioration des capacit´ es d’aide ` a la d´ ecision des logiciels Logiciels actuels :
ne prennent pas en compte les hauteurs d’eau (pas de d´ ebordement en cours de pluie)
uniquement bas´ es sur ”quelques” observations de terrain.
Axe de progr` es
Ruissellement tr` es difficilement mesurable
= ⇒ Etudes de terrain n’offrent pas de marges de progression significatives.
Faire appel aux math´ ematiques pour mieux comprendre
l’interaction entre topographie et sillon
Th` ese en maths, appliqu´ ees aux oc´ eans
Th` ese en maths, appliqu´ ees aux oc´ eans
x
y
PSI average ; delta = 0.13E-02 ; Helm = 0.18E-12 ; t = 0.58E+06 days 1.8e+05 1.6e+05 1.4e+05 1.2e+05 1e+05 8e+04 6e+04 4e+04 2e+04 0 -2e+04 -4e+04 -6e+04 -8e+04 -1e+05 -1.2e+05 -1.4e+05 -1.6e+05 -1.8e+05
0 500000 1e+06 1.5e+06 2e+06 2.5e+06 3e+06 3.5e+06 4e+06 0
500000
1e+06
1.5e+06
2e+06
2.5e+06
3e+06
3.5e+06
4e+06
Approche math´ ematique du probl` eme
Equations de la m´ ecanique des fluides = repr´ esentation math´ ematique du comportement physique des fluides.
Equations de Navier-Stokes Equations de Saint-Venant
Probl` eme des sillons sur des terrains agricoles R´ esolution num´ erique
Programme informatique : logiciel FullSWOF 2D Difficult´ es
Un autre mod` ele
Navier et Stokes
Claude Navier (1785-1831)
Sp´ ecialiste de m´ ecanique
Equation correcte - m´ ethode
fausse (1821-1822)
Navier et Stokes
Claude Navier (1785-1831) Sp´ ecialiste de m´ ecanique Equation correcte - m´ ethode fausse (1821-1822)
George Stokes (1819-1903)
Math´ ematicien et physicien
Justification de l’´ equation
Equations de Navier-Stokes
w z
h(t, x, y) y
b(x, y)
x u v
ρ densit´ e du fluide
U =
u v w
vecteur vitesse σ tenseur des contraintes (d´ epend du type de fluide) f force ext´ erieure
∂ρ
∂t + ∇ · (ρU) = 0 ρ
∂U ∂t + U · ∇ U
= ∇ · σ + f
Saint-Venant, 1871 1/3
Saint-Venant, 1871 2/3
Saint-Venant, 1871 3/3
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Equations de Saint-Venant
Domaine dont la hauteur est petite par rapport ` a la longueur :
z y
b(x, y)
x u v
h(t, x, y) H(t, x, y)
H car
L car ! H car
∂H
∂t + ∂(Hu)
∂x + ∂(Hv)
∂y = 0, fluide homog` ene (ρ constant), H
∂u
∂t + u ∂u
∂x + v ∂u
∂y + g ∂h
∂x
= − ku, g gravit´ e,
H ∂v
∂t + u ∂v
∂x + v ∂v
∂y + g ∂h
∂y
= − kv, k coeff. de frottement de fond.
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Equations de Saint-Venant
Domaine dont la hauteur est petite par rapport ` a la longueur :
z y
b(x, y)
x u v
h(t, x, y) H(t, x, y)
H car
L car ! H car
on fait une moyenne de la vitesse sur la hauteur d’eau
∂t +
∂x +
∂y = 0, fluide homog` ene (ρ constant), H
∂u
∂t + u ∂u
∂x + v ∂u
∂y + g ∂h
∂x
= − ku, g gravit´ e,
H ∂v
∂t + u ∂v
∂x + v ∂v
∂y + g ∂h
∂y
= − kv, k coeff. de frottement de fond.
Equations de Saint-Venant
Domaine dont la hauteur est petite par rapport ` a la longueur :
z y
b(x, y)
x u v
h(t, x, y) H(t, x, y)
H car
L car ! H car
on fait une moyenne de la vitesse sur la hauteur d’eau
∂H
∂t + ∂(Hu)
∂x + ∂(Hv)
∂y = 0, fluide homog` ene (ρ constant), H
∂u
∂t + u ∂u
∂x + v ∂u
∂y + g ∂h
∂x
= − ku, g gravit´ e,
H ∂v
∂t + u ∂v
∂x + v ∂v
∂y + g ∂h
∂y
= − kv, k coeff. de frottement de fond.
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
R´ esultats math´ ematiques
in´ egalit´ e d’´ energie
(´ equations multipli´ ees par u et v resp.) = ⇒ existence de solutions inegalit´ e d’“entropie”
pour φ fonction r´ eguli` ere, Z
domaine ´ equation × φ = 0.
Besoin de rajouter certains termes de viscosit´ e ...
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
R´ esultats math´ ematiques
in´ egalit´ e d’´ energie
(´ equations multipli´ ees par u et v resp.) = ⇒ existence de solutions inegalit´ e d’“entropie”
au sens faible :
pour φ fonction r´ eguli` ere, Z
domaine ´ equation × φ = 0.
R´ esultats math´ ematiques
in´ egalit´ e d’´ energie
(´ equations multipli´ ees par u et v resp.) = ⇒ existence de solutions inegalit´ e d’“entropie”
au sens faible :
pour φ fonction r´ eguli` ere, Z
domaine ´ equation × φ = 0.
Besoin de rajouter certains termes de viscosit´ e ...
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Cas des sillons : ´ equations de Saint-Venant ?
grandeurs caract´ eristiques : hauteur d’eau : qques mm → 1 cm longueur du domaine : 1m
? ? ?
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Cas des sillons : ´ equations de Saint-Venant ?
grandeurs caract´ eristiques : hauteur d’eau : qques mm → 1 cm longueur du domaine : 1m
On va utiliser les ´ equations de Saint-Venant.
Cas des sillons : ´ equations de Saint-Venant ?
grandeurs caract´ eristiques : hauteur d’eau : qques mm → 1 cm longueur du domaine : 1m
On va utiliser les ´ equations de Saint-Venant.
? ? ?
R´ esolution num´ erique
R´ esolution exacte : impossible, ´ equations trop complexes !
R´ esolution approch´ ee
R´ esolution num´ erique
R´ esolution exacte : impossible, ´ equations trop complexes ! R´ esolution approch´ ee
0 1 2 3 4 5 6 7 0
1 2 -8 3
-6 -4 -2 0 2 4 6
’test0.txt’
x
y
R´ esolution num´ erique
R´ esolution exacte : impossible, ´ equations trop complexes !
R´ esolution approch´ ee
R´ esolution num´ erique
R´ esolution exacte : impossible, ´ equations trop complexes ! R´ esolution approch´ ee
0 1 2 3 4 5 6 7 0
1 2 -8 3
-6 -4 -2 0 2 4 6
’test2.txt’
x
y
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Code FullSWOF 2D
Logiciel r´ ealis´ e par Olivier Delestre (MAPMO) lors de sa th` ese.
choix des param` etres de grille et de temps choix des m´ ethodes num´ eriques
topographie (valeurs en chaque point de la grille) conditions sur les bords du domaine
conditions initiales (t = 0 pour tous les points de la grille)
↓ FullSWOF 2D sorties : ↓
hauteur d’eau H vitesse u et v
pour les instants choisis, en chaque point de grille.
Code FullSWOF 2D
Logiciel r´ ealis´ e par Olivier Delestre (MAPMO) lors de sa th` ese.
param` etres d’entr´ ee :
choix des param` etres de grille et de temps choix des m´ ethodes num´ eriques
topographie (valeurs en chaque point de la grille) conditions sur les bords du domaine
conditions initiales (t = 0 pour tous les points de la grille)
↓ FullSWOF 2D sorties : ↓
hauteur d’eau H vitesse u et v
pour les instants choisis, en chaque point de grille.
Code FullSWOF 2D : r´ esultats
Mohammed El Bouajaji
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Difficult´ es num´ eriques
Il existe plusieurs approximations pour une mˆ eme quantit´ e ex : ∂f
∂x (x) ≈ f (x)−f(x−h) h ou f(x+h)−f h (x) ou f(x+h)−f 2h (x−h)
f (x)
h x − h x x + h
= ⇒ plusieurs m´ ethodes / sch´ emas num´ eriques.
de la hauteur d’eau H
erreurs commises par les approximations des sch´ emas num´ eriques
erreurs agrav´ ees par les valeurs de la hauteur d’eau ≈ mm
Difficult´ es num´ eriques
Il existe plusieurs approximations pour une mˆ eme quantit´ e ex : ∂f
∂x (x) ≈ f (x)−f(x−h) h ou f(x+h)−f h (x) ou f(x+h)−f 2h (x−h)
= ⇒ plusieurs m´ ethodes / sch´ emas num´ eriques.
certains sch´ emas num´ eriques ne conservent pas la positivit´ e de la hauteur d’eau H
erreurs commises par les approximations des sch´ emas num´ eriques
erreurs agrav´ ees par les valeurs de la hauteur d’eau ≈ mm
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Difficult´ es de mod´ elisation 1/2
Mod´ elisation = mise sous forme d’´ equations d’un ph´ enom` ene physique (ou biologique, chimique)
mod´ elisation du frottement de fond
´
eq. de SV : approximation sur toute la colonne de fluide = ⇒
´
eq. de SV multicouches
Difficult´ es de mod´ elisation 1/2
Mod´ elisation = mise sous forme d’´ equations d’un ph´ enom` ene physique (ou biologique, chimique)
valeurs des param` etres (ex : coeff. d’infiltration) mod´ elisation du frottement de fond
´
eq. de SV : approximation sur toute la colonne de fluide = ⇒
´
eq. de SV multicouches
Pr´ esentations Les sols Ruissellement Un peu de maths ! Projets interdisciplinaires
Difficult´ es de mod´ elisation 2/2
Saint-Venant multicouches : au lieu de consid´ erer une seule couche uniforme, on d´ ecompose le domaine en plusieurs couches.
Surface libre
x z
h M (t, x)
H M (t, x)
h 2 (t, x)
H 2 (t, x)
h 1 (t, x)
Difficult´ es de mod´ elisation 2/2
Saint-Venant multicouches : au lieu de consid´ erer une seule couche uniforme, on d´ ecompose le domaine en plusieurs couches.
Vitesse de l’eau - 1 et 5 couches (E. Audusse, M.O. Bristeau, J. Sainte-Marie)
Coeff de frottement anisotrope 1/2
Pb : on a une tˆ ole ondul´ ee avec des sillons et de l’eau qui s’´ ecoule ; on veut remplacer la tˆ ole par un plan,
quel frottement au fond doit-on rajouter pour ralentir l’eau ?
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
20 0 60 40 100 80 140 120 0 20 40 60 80 100
120 140 -70
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0
’plan.txt’
⇐⇒
+ frottement qui ralentit l’´ ecoulement
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10
0 40 20 60 80 120 100 140 0 20
40 60 80 100
120 140 -70
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10
’sillons.txt’
Coeff de frottement anisotrope 2/2
Travail effectu´ e par Ulrich Razafison (MAPMO).
Dans l’´ equation H ∂u
∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + g ∂h ∂x
= − ku,
on ajoute un autre frottement de la forme K(h)hu o` u K(h) = K 0 exp
− h + h h i C h h i
,
h(t, x)
Coeff de frottement anisotrope 2/2
Travail effectu´ e par Ulrich Razafison (MAPMO).
Dans l’´ equation H ∂u
∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + g ∂h ∂x
= − ku,
on ajoute un autre frottement de la forme K(h)hu o` u K(h) = K 0 exp
− h + h h i C h h i
,
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
h
K
