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Illumination dans les billards polygonaux et dynamique symbolique
Thierry Monteil
To cite this version:
Thierry Monteil. Illumination dans les billards polygonaux et dynamique symbolique. Mathématiques [math]. Université de la Méditerranée, 2005. Français. �tel-01287369�
Faulté des sienes de Luminy
Thèse
pour obtenir le grade de
Doteur de l'université de la Méditerranée
Spéialité : Mathématiques
Illumination dans les billards polygonaux et
dynamique symbolique
soutenue le 9 déembre 2005 par
Thierry MONTEIL
après avis des rapporteurs :
M. Howard MASUR
M. Jean-Paul THOUVENOT
devant le jury omposé de :
M.SébastienFERENCZI,direteurdethèse
M. Pasal HUBERT, direteur de thèse
M. Jérme LOS
M. Christian MAUDUIT
M. Jean-Paul THOUVENOT
M. Anton ZORICH
Je voudrais tout d'abord exprimer ma reonnaissane à mes patrons, dealers de voy-
ages, Sébastien Ferenzi et Pasal Hubert. Ils ont su me laisser une grande liberté tant
dans lehoix de mes thèmesde reherhe quedans l'organisationde mon travail touten
s'intéressant sinèrement à son avanement.
Je suis très honoré que Howard Masur et Jean-Paul Thouvenot aient aepté la harge
de rapporteur etles remerie de l'attention qu'ilsont apporté àmon travail.
Jeremerie vivementJérmeLos,ChristianMauduit etAntonZorihpour avoiraepté
de faire partie de e jury.
Conernant ma formationmathématique, je tiens à remerier Mihel Alessandri pour la
déouverte d'une disiplinevers laquelle je ne me destinais pas a priori, feu Jean Marie
Exbrayat pour le sole en béton armé, Maurie Pouzet pour le brillant dans l'oeil et
Aurélien Shoumaker pour les sans.
Plus réemment,diverses disussionsave des mathématiiensque j'aipu renontrerlors
demes voyages ontététrès enrihissantes, partiulièrementave JorgeAlmeida,Solomon
Marus, Howard Masur, AnatolyVershik, ainsi que Julien Cassaigne lorsde ses diverses
visites à l'IML. Leurs points de vue qu'ils ont su rendre aessibles sont une soure in-
tarissabled'imaginationet de questions.
Je tiens à saluer l'ensemble des membres de l'équipe Dynamique Arithmétique Combi-
natoire pour leur gentillesse et l'ambiane déontratée qui règne sur son passage, des
ouloirs ténébreux jusqu'au sable n. Je remerie spéialement les thésard-e-s et post-
do qui sont passés par là, Ali, Boris, Niolas, Mathieu, Julien, Erwan, Samuel, Ryugy,
Marion, Xavier, Idrissa ainsi que toutes les λ-pines qui traînent au fond du ouloir.
MeriàAuréliade résoudresimagiquementlesproblèmes administratifslesplus sérieux.
Pour es années agréables passées à Marseille ou ailleurs, spéiale dédiae à toute ma
famille, Farida, mes voisines, le 218, les punks du Tournez la page, Christian, Antonio
Negro, Iris,Djamel, lesvampires,Sebélodie, mamère, laimade,Sophie, Lx,Mamette,
Dominique Lagarde, les jeunz, Vinent, l'éoold'été, Niolas, Reno, Gwy, Mathieu, Uli,
Manu-e, Meyth, le entre de media indépendant de Marseille, Céline, les alanques, les
minotsduollègeVersailles,Nouria,Nawell,Sylvia,Jojo,lamouette,Laurent,lesraëliens
de Bobo Dioulasso, le ep, la mer, Hazem, les wikis, Sonia, Pierre, Jérémy, Frotho,
Mélissa, A.A., Etienne,les tanneries, laporte d'Aix,David, Rubik's ube, Delphine, ...
Introdution 5
0.1 Illumination et propriété de bloage ni dans les billards et surfaes de
translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.1 Des billardsrationnels aux surfaes de translation . . . . . . . . . 5
0.1.2 Illumination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.1.3 Propriété de bloage ni, pure périodiité et revêtements ramiés du tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.1.4 Surfaes onrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.1.5 Ouverture : regard dynamique sur l'illumination . . . . . . . . . . 13
0.2 Dynamique symbolique(topologique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.2.1 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2.2 Ouverture : un point de vue proni . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.2.3 Quasipériodiité etsymétrie dans lesmots innis . . . . . . . . . 20
0.2.4 Ouverture : stabilité àla Abramov . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.3 Bibliographiethématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.4 Plan de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1 Un ontre-exemple au théorème de Hiemer et Snurnikov 27 1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 The ounter-example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Sur la propriété de bloage ni 33 2.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Denitionsand rst results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Translationsurfaes and geodesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Branhed overings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Rationalbilliards vs translation surfaes . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.4 Ationof GL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Some remarksaround Hiemer and Snurnikov's proof . . . . . . . . . . . . 38
2.4 A loallemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Finitebloking property inthe regular polygons . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Finitebloking property onVeeh surfaes . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Furtherresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7.1 L-shaped surfaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7.2 Irrationalbilliards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Propriété de bloage ni vs pure périodiité 57 3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Bakground . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Suientonditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3 Neessary onditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.4 Global pointof view: modulispaes of holomorphiforms . . . . 61
3.3 Mainresult . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Some appliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Une ondition homologique pour une aratérisation dynamique et il- luminatoire des revêtements ramiés du tore 71 4.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Bakground and tools. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.1 Cylinder deomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2 (Translational)holonomy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.3 Modulispae and SL(2,R)-ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.4 The J-invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 A homologial ondition for a purely perioditranslation surfae to be a torus branhed overing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 When is the homologygenerated by periodiorbits? . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1 Foronvex surfaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.2 On a dense open subset of full measure in any stratum . . . . . . 81
4.5 Digression: Twodiretions do not sue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5.1 J-simple translation surfaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.2 Advertising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Majoration du nombre de mesures ergodiques d'un sous-shift en fon- tion de la géométrie de ses graphes de Rauzy 89 5.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Landsape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.1 Invariant measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.2 Rauzy graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.3 The tree of left speial fators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 A leanversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Subshifts with linearomplexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.2 Arnoux-Rauzy subshifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3.3 Multi-salequasiperiodisubshifts. . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Transition-disussion: evolution of Rauzy graphs. . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 A ondition onthe tree of leftspeial fators . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.1 A blurredversion of theorem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6 Mots quasipériodiques : le as multiéhelle et propriétés dynamiques 105 6.1 Introdution and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.1 Bakground: quasiperiodiityand symmetry . . . . . . . . . . . . 105
6.1.2 The derivation: a hange of sale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.1.3 Multi-salequasiperiodiwords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Uniformreurrene and minimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Complexity and topologialentropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3.1 Word omplexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3.2 Topologial entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.3 Kolmogorov omplexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4 Uniqueergodiity and frequenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.5 Sturmian subshifts are multi-salequasiperiodi . . . . . . . . . . . . . . 115
6.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Cette introdutionest omposée de deux parties.
Lapremièrepartietraited'illuminationdanslesbillardspolygonauxetsurfaesde trans-
lation, et s'attahe plus partiulièrement à l'étude des surfaes jouissant de la propriété
de bloageni.
La seonde partie s'intéresse à l'étude de ertains systèmes dynamiques symboliques
topologiquesde faibleomplexité, ets'attahe d'unepart auxrelationsqu'ilpeut yavoir
entre les propriétés ombinatoires du langage assoié au système et le nombre de ses
mesures ergodiques invariantes, etd'autrepart àl'étudedes sous-shifts quasipériodiques
multiéhelle.
Ces deux parties sont largement indépendantes, bien que leurs ontextes respetifs ne
soientpassiéloignés: l'appliationdepremierretourduotdiretionneld'unesurfaede
translationsurunsegmenttransverseàladiretionduotestunéhanged'intervalles. Le
odagenaturelassoiéàunéhanged'intervalles donneun sous-shiftdefaibleomplexité
et e sont exatement es systèmes symboliques qui sont à l'honneur dans la seonde
partie.
0.1 Illumination et propriété de bloage ni dans les
billards et surfaes de translation
0.1.1 Des billards rationnels aux surfaes de translation
Considéronsune tabledebillardpolygonaleP dans laquelleun pointsedéplaeàvitesse
onstante et telle que, lorsque le point renontre le bord de la table, l'angle d'inidene
soitégal à l'anglede réexion.
Il est ommode de renverser les points de vue par une méthode de dépliage: lorsque la
boule de billard renontre un bord de P, on reète la table de billard au lieu de faire
rebondir laboule.
Lorsque les angles formés par les ouples d'arêtes du polygone P sont des multiples ra-
tionnels de 2π, lenombre de opies obtenues à translation près est ni (on dit alors que
P est un polygone rationnel). On peut dans e as onsidérer que la boule évolue sans hanger de diretionsur un ensemble ni de opies isométriques de P, olléesle long de
leurs arêtes. Ce nouvel espae où évolue laboule est une surfae S ompate sans bord
pavée par des opies de P, etla trajetoire en ligne brisée de la boule de billard dans P
orrespond à une ligne droite dans S.
Prenons ommeexemple de table de billard un triangle retangle dont un angle est égal
à π/5. Le dessin suivant explique la onstrution de la surfae assoiée : on reète le
triangle jusqu'à obtenir toutes les opies possibles à translation près et on identie les
tés qui doivent l'être par translation.
On obtient un double pentagone dont lestés parallèlessont identiés deux àdeux par
translation. On remarque que tous les sommets du double pentagone obtenu sont iden-
tiés et que l'angle onique autour de ette unique singularité est égal à 6π. Partout
ailleurs, que e soit à l'intérieur des opies de P où au niveau des arêtes, la surfae est
loalement isométriqueà un ouvert de R2, et on peut de plus assurer que es isométries
transportent les notions de sens et de diretion de façon ohérente sur S (on peut par
exemple dénir une diretion horizontale sur S). Toute la ourbure est onentrée au
niveau de la singularité etle théorème de Gauss-Bonnet nous ditque la surfae obtenue
est une surfae de genre 2.
Un autre exemplefondamentalest elui du billardarré :
est pas vraiment une puisque l'angleonique autour d'elle vaut 2π.
On dénit une surfae de translationomme étantun triplet(S,Σ, ω)où S est une sur-
faeompate onnexe, Σest une partie niede S (l'ensembledes singularités),etω est
un atlas qui reouvre S \Σ etdont les hangements de artes sont des translations. On s'assure que le raord au niveau des singularités est onvenable en demandant de plus
que S soitle omplété de S \Σ pour la métriqueplate héritée de R2 via ω.
Ainsi,l'étudedestrajetoiresd'unebouledebillarddansunpolygonerationnelseramène
à l'étude du ot géodésique sur une surfae de translation (les singularités stoppent
quelques géodésiques, néanmoins e ot est déni presque partout). Bien sûr, il existe
des surfaes de translation qui ne peuvent pas être obtenues à partir d'une table de
billard, le fait d'être pavable par un polygone de la façon dérite préédemment impose
une ertaine symétrie.
0.1.2 Illumination
Le ot géodésique sur une surfae de translation S a pour espae des phases le bré
unitairetangentUS (l'ensembledes veteurs vitesse de norme1). Lefaitqueleshange-
mentsdeartessoientdestranslationspermetdedénirsensetdiretiondefaçonglobale:
l'espaedes phases sedéompose donglobalementen US =S ×S1.
Ainsi,l'étudedu ot géodésique peut sefaireà travers deux pointsde vue selonque l'on
xe lapremière où laseonde variable :
Dynamique On xeune diretion partiulièreθ ∈S1.
Ce hoix mène à l'étude du ot diretionnel φθ : S × R → S. C'est e point
de vue qui est habituellement et largement étudié : on s'intéresse aux propriétés
dynamiquesdu ot selonle hoixde θ oupour des θ génériques (uniqueergodiité,
minimalité,périodiité,mélange,...).
Illumination On xe un point de départ x∈ S.
Cehoixmèneàl'étudeduotexponentielexpx :S1×R→ S. C'estepointdevue
que nous allons étudier ii. Nous nous intéressons à la façon dont les géodésiques
partant de x atteignentles points de S.
