An Interior-Point Approach to Trajectory Optimization
36
0
0
Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. An Interior-Point Approach to Trajectory Optimization Nicolas BÉREND — J. Frédéric BONNANS — Julien LAURENT-VARIN — Mounir HADDOU — Christophe TALBOT. N° 5613 Juin 2005. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5613--FR+ENG. Thème NUM. apport de recherche.
(3)
(4)
(5)
(6) ! "$#%& ' "(*)+
(7) -,.
(8) -/01"
(9) 24365879;:<>=@?BA4C2D EGF"HGIKJMLON L8J 365P=>QR224ST2U EGFV 9W36XOY[Z&S]\AC2^@_a`bSA4c2 E de7 V Y 3 J]f STDDRQR\ EGg@h J 36<-ij7lk h Xm^nSTZo=>QT^ p qsr-tvuwnx$y{z}|~ar-tvu& stv8su Gau-$|8b& os&subauqu-qsu s ¡¢z¤£s¥ R¦§§81z¤¡O¦B¨Ou ∗. †. §. ‡. ¶. ©4ª"«¬-¯®s°¬± p qs]²u]sauu- 8a4 ³´ 8au-a´O¶µ;²O´ 8]s8q¸·¹º¥»´ ¨!O¥t>ºn- 8aº O¼sº´ut>-½G0t¼s´ ´ s¨@¾²u¿´¼º´u$u-À su-tvu O&aqsu-tvunÁ&´qus¥¯uM]º¥´ u º¥¨u¼s¶Oº´»Ou--ÂOÁ0u aOqs¼u-at´ P¶u» RuauÃ]º»¯¥u- 8$ 8aº´Å¨Oa·"Äa¯qsatvtTO½&wosqssu-tvau-$aa-u-uº 8uMa¶~s½ º´a$au¶sºj~uM·¹n»¯¥osO¼sº¥u-t>-Âtv ¨ ÆRÇ8ÈlÉaÊBË ¯Ì"«± $¥t>º1O OaOºWÂÅaauÍaa~¸O¥tv´ÎM¯¥ Âo¯tv8¶squ-a¥Tau-u Oa~OÂ&º¥s qsu sÒ ÄeÏlu-·Óau- 8O¥ºÎu8¥ %¥½ Â&s s¨OuµÑÐ1¶B ²4~8tvsº¥unaqsu-tvuM-¶u$º¥¨u-¼a¼ ]t>¯auM-Â. ç ÚMÙ6ÕMÞÍÔ%߶Õjó ÖØײ×WÙWÚjÛMÜ&ÖØײ×6ÚjÝjÝÞÍß¹Ù6àÛoáÜoâäã"åæ çèjÛné ã"å²êë'ìÖØèÅÙ6ÕMà í´ß6çî&àÑïäÞÍßÓðÅÞíÙ6ÕMàKâäã"åæ'í¥àñØñØÞ¶ï ×WÕjÖØÝ ÞíÙ6ÕMà"×6àòÞÍèjÛ ÛjÖ MÖØ×WÖØãÞÍóè$ÖØ ¯òù8ÞÍßñô¶à¶çÛò×bñضàßÓõäßÓÖØòò&ö²ì õ%ê é å² ã ã" ã ÷0ë âäøäÕ
(10) ã"ù8 aÞÍæÙ6èjøÖØñØúÿñØûüÞÍÔßWè8Þàì
(11) ÓßWàÑ ¯î+Ù'ß6çæ-÷"èjÜòàÛjà×6Þ-ÖØò¶¥úÍã ÞjèTìOÖØòýþüÞÍèjñôßÓçæÖô×çaÜMó û¹õl×Óê%Ù6ààÞßÓî+òà¶-èMÚjÛþüàè"èjÙ6ÞÍàòèjúÍÞÍßWàÚjçaß6ßÓçMÙ6Ù¶ÖØóìsÞÍí´ßèm÷"ÑóÞÍ÷"îoàçݯÖØçèMß¹àKÙWî&Ûjàà¶è²Ù¶ÞÍìGñØÚjé òã"à¶çå²Ú8êì8ë'õäìäÿ õä ÿ Mì!M"ì >oçù8Oà ó âäÕMà¶×Wè¯ Újç¶ÜñØÖØ#ìàè ¯ßWùç(ëèjò' à ê $ ¯å²ßÓã àÛjÔäà)û ßWsÖØòÍë ó õlê%ÞÍþ¹èjã'èjøçÿ²èjßÓ%× Þ "ÓàÖØèjÙäßÓæ-ÖôçMÜóÛjí´&ßÞ òÞjì-þ¹ã"ê%þüëRê%Þò -ÚjàèjòÞÍÚjß¹Ùìj÷"ÞÍîoçÖØèjàäÛj*à ²ÞÍñØÚjòàçÚOìjõä+ÿ Mì," . ùà'âlÕjà×6è¯ÞÍçÚMÜ-èjÖØ 0ß ÚjñØ/ ÖØàë è8ó÷"ù÷KçÚjé ßÓà''è-ø ÙÓû)' çßWÖØè#2 "ÖØèj1ßW1ÖôçM"Mó í´ìß ë ÿ é0ì³õä3 ê ì 54 14 é"ßW6ñ ¶çèj×âlàÛj%à 78M9ì ¯ßWçèjòà . . ¥Õ¯çÛMÛjâäÞÍÕMÚ ßW"ÖØ×ÓñôÙ6çÞÍáÝjÞÍÕMîoàçaÔÙ6ë ÕOùó Újõ%èjé"Ö -ÔKûüÞÍøßWâäñØà¶ã"çèjå׶æó í¥ìß ;ùó çÚjèjò;Õjàß²÷". ÖØßÓà¶òÑÙW. ÞÍß6çaÙWàÍìjê%ÿ ÞÍèjÛM14ûüÿsÞÍMÖØè0 Ù²Ûjàäñ): å²×Wݯçòàì Kå;ßÓÜÅâlàÛjà%7Oì4 ¯ßWçèjòà üâlÕjßÓÖØ×WÙWÞÍÝjÕjàÍó ÔsçñØáÞ%Ù "òèjà׶ó í¥ß Ñó ∗. † ‡ §. ¶. Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone : +33 1 39 63 55 11 — Télécopie : +33 1 39 63 53 30.
(12) > T !
(13)
(14)
(15) 4 !4
(16) -,.
(17) 1
(18) -
(19) n#%& '
(20) Í « ± 0u>º¥u]sau- 8au4s suTsqsu4@²O´ 8v´ 8a-a´usÂKºmaº¥a´O u O¼sº´rtvuou@Ot@t> uO¥t>º¥u½owoOoO¼u s ²os mº´¨OaÄaqstvuuÃ]-Ouu mOtB¼s¥ 8n aqstv>suaÃ> su-tvu- 8o¾²u¿´¼º´uBj»Ou1s uº¥¨r¼saubº¥¥ s´auBa-u½&$unM¶sº´aan 8t@8su 8%O¼u 8²ä²Os sÄÏl-au- 8a%sO¼sº¥r-tvuÂMs 88su-º8suG»¯a¥¥ 1as sa¼sº¥r-tvuGuGau- 8au tvOsqs8su½ Ë ¬M« É ° «[± 0tvt> u¢a´t>º´uOÂns¥t@a¯¥ [umaau¥auÂoau- 8a¢tvOsqs8su º ²u-ÂuMO²¯¥ ²&ÄÏl-au- 8a´uº´º¥uÂsq-t>&uoÒ s s¨u-µ;Ð1s¶aÂsq-t>&~t@º´uMÍ8suÂsº¥¨r¼sau º¥¥ s´auau-uÂt>¯auM ¼ su·ÓÍaa¥a¯a´O ½.
(21) ¡.
(22)
(23) ! #"$ % & '!()*+
(24) ,-
(25) /. +
(26) .
(27) '
(28) p q¥b²ubaa¶uMoaqsuv stvu-a¥º"uM¶Oº´a´O P·0a´t>º O 8aº"sO¼sº¥u-t>n·0~¶ut>$¨O¯»8µ u u ¼~ ¥ a~ ´Ïuu Oa¥º0uM8¯a´O -2½ 1!uTuºÅÁ&´q ¯uMÍaa~¢O¥tv´ÎM¯¥ tvuq-½ 3Ñ !aqsu-ÁÅsÂlqsuvO¼u1t> s´sº¥uMm¼~Raqsu]º¥¨O´qst u-a´ ¢·¹s ¥ ·0¥tv5 u 4W OsOu!# 6ntv¥ºÄa µÑ£8O¼s´&µ 7Åu-º¥º¥tv !ssaOOqsuÁ&q¥q º¥»u4mu-a´ ²º'´Ïlu-au- 8º auMa8¯ua´O9 a8Í~½Âsp aÀu Ra>~¯au´tv¥Oί~>a´aOq ¢¯bº´¨OsasÄaajqs¿t>´t>$¶au-º¥¶~4$a·¹¯Oa¥t ¶Àun m¶¥O st@´uº6 Âäu´ !uM¨au sa~4u--º" sO´ ¥·¹u ²O¶ ¥¼s·¹º¥u O¥t>º¥Ä~O:½ 3Ñ 4aqs&u-nÁ0uastvu1º´º%¯aa>¼²u º¥uO 4¹Á&¥-uO Oa´ sOº´~]´Ïlu-au- µ atv¥´¿¼suº¥ u 8ÍÂÁ& 8qsa¥Oq!º º¥º´¯Áo¶a$auO u>¶¶uMO¥ O µ;4ÓÁ&qsu-bqp tvj~uº¥ bÅu¿q²¯o ²¶¶¥Otv Cub½@-$ s¶b·¹O¥ 8t>aů1´ ¥»O º¥º¥»8¥ suM¨$¼²as sq ´ sqs¨u - 8; aºä ¶auOÂs º´~ su1· qsutTÂauÍa´»Oub·¹oº¥ºl¥tv u 8½ ºÄaqss¨Oqqu-auG¥ s&·¹º´º¨Ouu-tvu- 8% 1aqs%au-at@¥ sOº´O¨~ÂM uG¨u su-º¥º´~ba´ s¨Os¶qsuM¥auÍ >¥ ¥uMÍÅt@u-qss½G$´au0tvuaqss ssaj¿´t>u-º¥~º¥»uba´tvu$s¥aaua´Îu>»Ou-¶¥ >·%qsu aOqsu¥t>s¥aºauOa 8´ÎM¯a¥º8s Otv¼sº¥uMu-¶t q ¼~ ¶Oº¥t@8OuÅ% s½<O s3Ñ º´¥ s¥uM "¥asuÍO¨t@u-tvqstv´s ¨n º¥q¨uO´Oqs 8tTa¯ºG ²»¯aqu-¼s @º¥u]²8Bu´º´¼¥tvº´~1´ auÀ suM u aq =] "O 8a~O¨Os¥? > ]s¥ -´sº¥uÂ$ ³aqsu!uM¶sº´¥ s¨ ÁÅ ¥ 8¼s a~ »¯º´su¢sa¼sº¥u-t Á&4Wp ´@ q 7BAnO 8aÂ%aÁ&´´ 8q!F 8 s¥vº¥~Pº¥»¯ua¸u@Á& Ä¢aqs-Os¶vauBa»¯au¥Î-¼s¥ sº¥u¨mC ·¹s4¹ º´Íab´Oa qsvEu D·n¨¥t@ sHu GŨOuqstBusº´¥tv¥suº¥´u¥a 81uO¨¯¥¯ ¸uM¥ qsu-·¹aa´tv ¨u@º¥a¨qO$ ´=qGtÂÁ&I qs4ÓqmtvÁ&u-Á&´qqm'qsqsu@su¥K 9 8Å4Ó¶ba¯ auJ¸Â%-Oº¥¶»au¯a½" u 8np ¯qs1u$´ s´tv´sº¥º"u¶a0´tv¥ uv¥aau¶ÍÅtv¯auunqÄ]$¥»¯'º´qssuu qsuvÀ² ºKa´tvuOL½ 3Ñ !qsÁ j~P su-ua~RO¥t>º¥Ä~!O ´¥ s²uMa´ ¨¥ 8a~O¨s¥? > |´ ¥ -uK¥sqº¥uou'¥ Oaau u-¨OuMa¥uM b·1qsqu0u&uMÀ -ºuE¥t@4Ó¶ua ´uOOÂj -Oº¶asau ¼8lº´ust ÄÏlu-a·lu-t> 8¯ºOqsu´8 ¨1¥qsuo u¯ »@u%²&O´º¥ 8' s¨ -a ´tv´u'¥t> ²j-~ ½ ¼un ¼sº¥uÂ8 uo·üau- >sau·¹uaG =u$G»¯¼sº¥uKqsu$»jº´uG·%¯u$ >-O¶a¯aun¯Åt@º´uM ¥ 8p aqsÂsu&¶-@tvaqtv¯o ¥ 8·¹uu-u-¨Oº¥a´ ¨$¥" qKs´ s¯´a»uu&"¶tvt>uaº¥qsºä¥s OKau-aa»¯u'ºtv0O· uÅau´tvÃ]uO½'¥u-| 8u-KuBÁ&|8qsau u-oquÅ ²¥ 87Åus»¯º¥¥aºa"Nq ·sM a¡´P§tvO;½u ss Í¥ sa´¨$O Á&qsa´¥tvqvuMQn4üauqsKu·²u- ²²¥»Ou0´ 8-o ¶·"q¥u 8au ´¥ 8 OuÍ»¯¥»º¥u0 8Í¥ ½ uM; º¥~bÂbaqssuuMu&Ís ²Â¯ÍB¥a ba$´tvunqtvj»u-u$a´ÎM]¯a¯¥a ¥¶·¹~ · tvu@u¨sºa´~P ²Äa´O ¶uu>yPsau-K Mئ O;K½ 3Ñ maq¯BuÂä¼~P¥ s¨Tqs´¨Oq¢Oasu-1´ 8au-¨¯a´O aqsut@uM-ÂO su1¼¥ »u~>uM¶u ²qsuMT¶Oº´»Ou--½ Gu-bqsuM =8¥ s¨>´·G»¯a´O&au-¨º¥´~4O ´¥ n su-uMuP¼8~q¥$ssaOOqTqsºä² TÁ&aÄa´ s¨ aqsu@a´t>º¥´~T- sÄa´O $-auMÍaº´~O²t>j~T¼²uv4su-º¥¥¯uaOR =lS½ 3;bt>j~Rº]q²u Pq²¯1º´´¶aº´u a ¢=² s¶¯uRÁ& ¥uM Ívqtvuuaq-sÂ0auq]·"qauu¶O@º´uMa´O~ T ·"qsuusOa@¼º´ u~t@½ s3Ñ sº¥¥a squ¯b@-u1O¨Äot>tvjtv~´ s¼²¨¢us¶Oaº´u»O·¹uu-a T4¼s¥º¥ u qstvuuBGaÁÅ-º´¥s s-¨4ÂÀ T¥ sa¨Bs sB¥ s¨aa·'uÍKº¥¨¥ sO´´qsºtv²O1´ 8'au8tvsu-¥uMu-Ko·üt>au-j ]~qsu-tvº¥%uoS½ ¥ 81¢su´¥u-·¹ vu-n·¹aU t 7Åu-qs¶au$- M Vu-Â"M Á& O"qs·¹¥º´u R¯»u»¥u-Áe·G stvu-a¥º%tvuaqssn·¹nO¥t>º" 8aOº%sa¼sº¥u-t>n ROtva¥ T· »¯¥ ss$aO´aOuqs$utv½ uaqss$¨u- u-º¥º´~¶Oº´»Ouqsua´t>º´´~~au-t· aqsuaau¥Î-uMRsa¼sº¥u-t¼~²µ ¥ s¨wou-Á a ¢1O²ÄµÑwouÁ ¢º¥¨a´qst>½ ; muMaº´~Tau·¹u-au- ²uBO mwouÁ O? > btvuaqsR·¹OK 4Ós µ -8 O¶¯¥ svuMs8$a¨Oaa´t@t>tvº0¥ s2¨ 84Wa| ÒOºKB s8O¼sº¥¨º¥u-Ot>´1q¥tvByR¼8ÄX~ u6nL M Y ¦P MO;¦sU½ OÅWsOº´ º¥¯ Á& ¥ s¯¨Á0uº´qsº u4M ¦ sZP¥O;a ¯R»Ou-À1a¶B·&¨O¶u-uM s8usau- 8¥ º 0. 2. ê êè[;1 .
(29) V.
(30) 9* F 99
(31)
(32) H " "! . ·n¥uMÍvt@u-qss@¥ Á&qsq¸O sº´~ - 8aº0»j¼º´uMB²uM@´ ¸qsua´tv¥Î¥ ¸º¥»uBÁÅu-au O²8¶uM>Ð1a·ü Mئ ¦ O;½ 3Ñt@º´ut@u 8a¯a´O Å·äaq¯Å¥tvu$u>·¹sº´ºät>a¥-u' >·¹º´ºä8´µ;wnu-Á O ¥ ss²aju¿ ´t>m¯a¶´uO» u- auv· º´¥6ntvuÄa¯¶a´O T ··oD ¨¥tvu- ¨´O # %½R4Ó¼wou-u¿8%@Âs·¹s$u´ ²uM! -uÂaO Tu>´tvqsu-sº¥7Bu-tvW$#u O|¯sal´Os ¯au 8Í·o½o|p Ò q¥ º´¨OaÄaqst>0 >aqsu-¥&sº´-¥ ]aO¥t>ºäO 8aºsO¼sº¥u-t>-Â¥ s¨@auoÀ Äau1sÄÏlu-au- -u ·¹Oou-a¥»j¥»uM 47Åuao 5 6oÏlt>2 M P O6Â&u¿sOÍo»¯º¥su 47Å s o U D s ²j~ 8M %O;½ 3Ñ qsuM¶u -u$qu@O¥tv´ÎM¯a´O ¢»¯a¼sº¥ubau¼aq!- 8aº ²¢¶auÂ% ²Paqsu>¯u@u8¥ !¥1 uM4 Ò8 8º¥Ä~ º¥¨-a ´¶qst ¥ 8B ²¶·&aBqsu¥ ¸O ¸¥tv´ÎM¯¥»a´u4O uvº¥a»au-MN½ u-¨O3Ñ~! ¸-¼²tq ¼s´ u uBÁ&´qsq uTm8uMsa¥> sa·o¨»¯tvtv¼s¥º¥ su¨ ¥t@¥ºa¢ausuM ¨¥u- 8Btvu-qss5 4Óu-uu½ ¨&½ #b´º¥º uvº6½ M¥ ÂÅ|u¥ ¸½ ¡ O8½!p qsuu-·¹au]´· t>OÍa´ 8»O~ u uO' ¶¶¯¥a Ou-¨O´uM"a·¹u]Gºa¥»¨uOu& aa-qsu4º¥u ¼²sa¥¼sº¥u-t>t>¯aÄ¿ qsunt> 8j~¢tB s¼uu-uG ·P¥ sº¥ su¨OGu>Äat@u-u¯tva´Oa ~½ 4¹; ·²ºaqsuÂ Ò ·¹8 Ot>jº´~ º ¼u-p tvqsuMu1¶uu¿aau-jtvÁ&¼²uº´~] =º as¨uO½qsuRtvuqsOa&]saOu¥ Oau-a´O¶µ;¥ Ooº´¨OaÄaqst> ·¹oO¥t>º - 8aº0sa¼sº¥u-t>#½ 1!¥¨q8 M ¡O¡ O& º´~uBtvu¯aqµW·¹Oº´º¥¯Á&Ò ¥ s¨¢º´¨OaÄaqst{·¹ÒO@º¥»´ ¨mO 8»Ou¿ ¨O8u- sOua¯ºO0s¥t>O¼sº¥ºu-t>O O-aÂOO ºvsa¼sº´º´u¥tvu"a½ qsA$u-t ¥-u- 81uSaqsM u&¡O¦ OsuM¶Oº´s-¥a¶ BuM¥· 8u-0a¥Kµ6a¥´¥ 8¨$¥tv ]u| q º¥·¹¨O a ´qs st>º¥´ u·¹ O¨t>ä¼s 4ÓsusÄau'aqsu0´º¥ u 8 a´t>º- 8aºOsa¼sº¥u-t>"auG sº¥Ò~otv¥»j¥ ·¹OaqsuÅu- au 4º¥ a´]O R ·GauMqsu º¥º´~>Ò Âä- ²aP¶uMäs½:D%º´~Tu-¥a¼qs·¹a¥1ÄaÎ º¥~¶|&aq]qMئuVO%au ²º¥º¥~¥ub m| ·K quº´¨OÒ a[Äaqs¼8t>~R'¥ 8Á&´uq¥´ sµ6u-¿s¥ 8Í a>º´¨O; TaÄaqsÍt>a´»O-½uµÑ70¶u-uo¨Oaas ´u-O¨O~]¿4uº¥b¨Oº6´½ qsM P¡ tTO ½ ¨O´»Ou stvu-a¥º-tva¶O Å· Á0>¥ 8u¥µ6¥ 8o¶Oº´»Ou- º´ºqsu¼²¯»Oub²u- s&quu-tvsqO¶ aqsua´tv¥Î¥ T¶Oº´»Ou-MÂs > s&a =Ou1´ 8 O--s 8&qu´ s¾su- ²u·Ks¥aaua´ÎM¯¥ Tua-½ ; Pu-¿-u-a´O T¥ 70u-¶ MØ O Á&qsuuvu-À su-tvu O ¶¯au-¨O~R¥1saOu%½vp q¥¶¯au-¨~Rqsusa¥¶v ¢a =uM$¥ 8ROs 81O sº¥~m-u-¥Î¯a´O ua'·¹ qu¯u1uMO²¯¥ ½ t>´p sº¥qs~vuumqub¥] º¥º¥~ ¶ Gº¥Ä· au-¯ uP-u$²¼uMuÁÅ´À²u--u ]º´º¥~qsubu-»º¥uM¥ ·%qaqsumu1 8º´a~´ ¥s]O·'¥aO¼sauº´uat´ÎM¯a ´O] qsuuba su  ·aqs$us$- 8u-a¥¥Î-¼sua´sOa R¼s¥ º¥u-a5t ]GsÁÅauuu- 8un»´u RÁe¥¶ 8Otvuub¥·"µ6´ao¥ 8ouM¶sº¥¨º´a&a´ qstqsu¥ Pu Á&qs·"quqsu¥ R--¦s½ ~·Kµ -u-¥Î¥ P1 8aOº´º¥uPbuMqm¶u%Âlq²$ =$T>¾u-¿´¼sº¥uv¼ss¥ºÄµ6¥ mauÀ² su-tvu- 8qu-tvu½p qsu º¯º´¨Ou-u¼sKa@ ¶=Ouº´G»O´u- 8 4¹¼OO-¶-uMs 8 GÒ eº²·ÓOGÍaÁ0uaº´´ºÎM¯OK¥s a´t>·K¶ºs²u-a¶Oubat>?½ ¯3Ñ ]aOsu 8Å´¥¥ %OÂOaÁ0suou-Ų¶]uoOqsuM´u»-u¯au·Óv¶º¥o´ ´ut@µ º´ut@u 8a¯a´O %½ 1!ussº¥~4aqsuBtvuaqsRa]»¯a´Oosa¼º´utvÂ¥ P¶a¥-sº&a]qu¯atvOsqsu-a au-u 8a~>sO¼sº¥u-tT½ p qsuv²u¥1O¨8 s¥Î-uMPb·¹Oº´º¥¯ÁoQ½ 1!u>u»8¥u-Áqsuvaqsu-O~R·0u-aabu¶¥tvuMb·¹1s - µ ¶¦s½ ¥p squMu-v ÁÅaum´t>¥ 8ºlaOs 8au!º (O'¶¼sº´ust>¥tv-Â8ºn a]uÀ tvu-tvu$u-u 8¿*)mu ¶¥ ²uMKs@aumO ¥ [aa|uM´Í u¥v sa¡s½ ¼sº¥u-Wt>OTÂO¥ u|uM-Ía´OuM stvu-ºÅº´¨Ou-¼sRuM¶u Oau¸´ ³|u¥ V²½ p qsu´ 8u¥µ;²O´ 8@ssaOOq ·¹v ²aa´ suM O¼sº´ut>0&-a¶uM]¥ T|uMÍa´O Ts½Gp qsu- Á0u$ v stvu-a¥ºlausºÄ-½G|uMÍa´O @&u-»OuM a+ #bs > sa¼sº¥u-tT½ |u¥- ,&sauu- 8a ssº¥-¯a´O a Wsº´º¥u- > "sa¼º´ut½ W"´ º´º¥~au-u- 8a~ O¼sº´ut>&aubuMº´oÁ&ÄaqT´ T¶uMÍa´O. %½ þ¹ã"ê%þüë.
(33) .
(34)
(35) ! #"$ % & '!()*+
(36) ,-
(37) /. +
(38) . 0 ä "
(39) -
(40) o, " " %
(41) -,.1 . 3Ñ q¥]u¥ Á0uT¼sa´u-¾~ au-»¥u-Á aqsuRuMu O> ²º¥~·$ua@u¶¥t>¯uM@·¹>s ² ²aa´ suM O¥t>ºKO 8aº"sO¼sº¥u-t>b¼8~TÁÅ4·'aqsu>aqsn¥ M ZO;½Q3;OtB¼s¥ suMnaqsu@·¹atBsº¯a´O P·0qsu O¥t>º¥Ä~ ~au-t ·oaqsuaau; ¥Î-uM sa¼sº¥u-t su 6n¨u-UM´ , O;ÂKÁ&Äaq qu]qu-a~ u-aO Oasu-v·¹ su!au-tvuaqss½ s¥ s¨ eOs´¥ º$¶a¯aum»¯a¼sº¥uRÄ· su-ua~OÂÅÁÅumt>j~ Ostvubq qsu-O¶ o·¹s ¥ T·"qu1À º%¶aHu T 4 8 Min Φ(y(T )); y(t) ˙ = f (y(t), u(t)), t ∈ [0, T ]; y(0) = y . 6nu-au f Φ u C ·¹ Ía´O IR × IR → IR IR → IR ÂäuM¶u¥»uº´~O½1x$¶u@ s¯Á o¶as su1¨u-»¯µ;Ð1a¥s¶¼saº¥uÂ6~½ uO½´uvÂasq¥a¯oauÁ&a´´ÎMqT¯u¥O q-Â%Á&'¶¥ sqs su-au-u@o¶qsau]u -) 8aº »¯a¼sº¥uv¥aau¥Î-uM¢¥t@¥ºaº´~RaTqsu ¥&O¯uM4 ¥ s suoO OaOº u T y 0. m. ∞. n. n. n. ki. Min yk+1 yki y0. ki. Φ(yN ); P s = yk + hk Pi=1 bi f (yki , uki ), s = yk + hk j=1 aij f (ykj , ukj ), = y0.. 4W¦8. k = 0, . . . , N − 1, i = 1, . . . , s,. p qumOÄa´»Ouma´tvu au- aumqaq¯ P ½+p qsu &s s¨OuµÑÐ1¶¸aqsu-tvum ²; stvtvu¥ sau-¨ a´Îuº¥ºn ¼~uÃ]´a->´u Ou-Ã>h -´u 8a¼uR(a, sOb) sÂ0Î-u ²Â's´]×ÁÅsO>t>h¶¯qsa¯=´Á&¿¸ T ¼~ m6n»O¨uuÍ!aM´v , Oo· IRq²¯N4ÓuM¶·üuu4¥¶»Ou-tvº¥~u ½ q² s¨Ou&·%»¯a¥¼sº¥uK¥ >qu Db ¨ s¨Ou&tBsº´¥sº¥´ua 8"aqsu$O¥t>º¥Ä~v~¶ut ]¼unÁ&a´¶u ]¥ >qsu ·¹Oº´º¥¯Á&¥ s¨B·¹O5t T N −1 k=0. k. k. s. i. Ps yk+1 = yk + hk Pi=1 bi f (yki , (uki ), s yki = yk + hk j=1 aij f (ykj , ukj ), P s pk+1 = pk − hk Pi=1 ˆbi fy (yki , uki )> pki , s ˆij fy (ykj , ukj )> pkj , pki = pk − hk j=1 a 0 = fu (yk , uk )> pk , 0 = fu (yki , uki )> pki , y0 = y 0 , pN = Φ0 (yN ),. k = 0, . . . , N − 1, i = 1, . . . , s, k = 0, . . . , N − 1, i = 1, . . . , s, k = 0, . . . , N − 1, i = 1, . . . , s,. 4Ó¡H8. Á&qu-au ·¹Ooº¥º i ² j. 4V 8 ˆb := a ˆ := (b b − b a )/b , p 4ÓW½quuv½¥Âl]¼²&¯»Osu@ s¨O~uµÑÐ1au-t ¶tv>j~R-¼u>u-¥¥ OÎa¯u-aa´Os TauÁ&uMÄ¢aqmO uÃ]$ - ´u O
(42) +
(43) & aq ¯$ s u- u- R O T+& .qsuB
(44) ´ s u
(45) /¿R. +·
(46) quB F ´Ï ,Eu¶µ u 8ºä»¯a¥¼sº¥ u 8'·¹ aqsua´t>º´´~4O ´¥ Âs¶a¯au¼u-º¥¯Á· O¼sº´ut 4P 8T ij. y(t) ˙ p(t) ˙ p(T ) 0. ê êè[;1 . = = = =. i j. j ij. i. f (y(t), u(t)), t ∈ [0, T ], −fy (y(t), u(t))> p(t), t ∈ [0, T ], Φ0 (y(T )), y(0) = y 0 , fu (y(t), u(t))> p(t), t ∈ [0, T ].. 4W8.
(47) .
(48) 9* F 99
(49)
(50) H " "! . 3;·'qsC u 6ntv¥ºÄa s P·¹s Ía´O u, p) := p · f (u, y) -Âl¥ Rqu su´¨Oq¼²OqsT·Kaqsu@a´t>º aaua~Â1¶a s¨Oº´~ »Ou¿H(y, ·¹s ¥ >· Âqu- vÁ0uo @u-º¥´tv¥ ¯au qsuo- 8aº·¹atqsuo¼²¯»Ou º´¨O¥u- 8¼saK¼1 Os aaa~B»¯´ 8Q º´s4¹unqs$ O=¼s&º¥u-tT])½ 3Ñqs vua´qtv¯sź¥u¥--Ä$u·¹ÂsÄ ·äaqs¥un Raº¥qsu-¥O vutE·l8oa¶qsvunaq¯-Ku-4W¥8&Î-uMuMOuM¼s&º´ua4t v-ÂÁÅ ÁÅu1t>j~]qsuÂs-º´8¶ubaaqsu ub· aqsuO Oa´ sO sa¼sº¥u-tTÂÁÅu- T ÁÅu-º¥ºäu-º¥¥t@¥ uO 8aº ·¹at quº¥¨u¼svu8¯a´O ¥ 4WH¡ 8Í#½ 1¢u¼¥ ¶µ;º¥º´uM 8a´ sOB -u-u F 4ÓW½ u½¥ÂsÁ&´qsO$- 8aºl»¯a¥¼sº¥u 8G·¹Otsº¯¥ ²-Âs qsuaauuausuM]·¹Otsº¥¥ Tsua O&@p qsu´q¥u- sauM~!o·osu- saa¨u-Bµ;Ð1Osas¶au-v1·¹a@au¥Î´¥¥ u · &4WH 8Í s½ ¨u-µ;Ð1a¢¥aaua´ÎM¯a´O qsutvu@ s¯Á ÁÅu-º¥º´µ6s ²u-a%Âo¶uu M¥ %Âb ZÂ&¦§ O6½ 1 qsu- 4 V 8>qsOº¥s´T ¼u¢sa¯»uM qaqsu¢aqsu-tvu¢¥ O~astvu-s'º´uMÍ]a¥ - 4ÓVBu-ÁÅuvu-ua½un¨OI½ ¼M´a %P´OK s·¹uM '¶¼8~vuq ¥º´suM* ¢)n¶´N M´s ~R, O6½0·Å$ ~untvt>sº´juM~@ÍaÀ¥@ ]¥q< u-tvM ZO%u B8ͽ>¥t@0 º´´À²´-¥¥ ²n ]·¹O·%1u-aOu- O-as u-s Äas´O >su-a½ ¥»u¢·¹at M´ %ÂG Zs ¦P§ O0·¹~t@º´uMÍ]aqsu-tvuM-Âäaq¯@º¥º´¯ÁobaP¯uvaqsu-t{·¹ p qsu ¼¯»u0tvu- 8¥ suMausºÄ ssº¥~1 sº¥~1·¹"s - ¶¥ suMsa¼sº¥u-t> Á&Äaq¶a s¨Oº´~1O 8»Ou¿ 6$tv¥ºÄa s ½nO 8aqsu»u-1ºWE Oasu-&&s s¨OuµÑÐ1¶vqsutvuÅ~½ sM¥- ¡ º¥OKº¥~]qsÁ&¯´Á º¥ºäa¨q¥»¯uEMÂl4Ó·¹¼²uMb-s²O¶u¼sº¥u-·t>nquÁ&´q! ²aOa Oa´ 8O 8ź"- u¶a ¥ 8a·"²q´¨Ou-q ÁŽ WsO t@´¿u 8aOº² ²; 4¶a¯aub- ¶¥ 8aÂ8ymº s¯Áo =u&º6½ ¼¥ ]u-aO'uMa´t>¯au$· aOqsasuu-&u¯&au1·"-qs u¶¶u¥ 8¶a¥Î-)½ uOJG½ ¿8au- ´tvs´¥ sº¥¨v&aqsuMu¶uºÄoau&sºÄ¼sÅa¥v suMaqs¼u-~4o-$º¥O 8uÅqsu-»· s 5 ¥tv6nº%¨uO OaM´ j ¦OO%ºä·¹sao¼sÀº¥au-¶t ¶µ 4WÅ·¹O #bs > sO¼sº¥u-t ·"uÍa´O 8Å¥&>¥¨ s´À²- 8 qº´º¥u- ¨u½ To,.& 0O ¥u] ¥ a~ ´Ïuu Oa¥º&u8¥ %ÂÅÁ&qsOuTu- ¥ 84 ²Äa´O vÁ&¥º´ºo¼uP-a¶uM º¯au- T 4Ó 8 z(t) ˙ = F (z(t)), t ∈ [0, T ], Á&qu-au F ¥n C t>s´ s¨ IR → IR ½Gp quaau²O ¥ s¨BO suau-R-u-¥Î¯a´O 4 q. ∞. q. 4 ,8. Á&qu-au Φ : IR × IR → IR ½ ; ¨O´ {h } uvOÄa´»Oua´tvu4¶u q!q P h = T ½ W1TÅq~TsO¼sº¥u-tTÂlW½ u½¥ÂäÄ·0qsu@¥ sÄa¥ºK ²Äa´O ¥b¨O´»Ou- %Âqu@»¯º´su@·'¥t@uv¶u-²$ O¼a´ uT¼~¥ ²Í¥ TŨO´»Ou- Pº´º h ·¹ i < k ÂO&Á0uz(0) º´º z ÂsuÀ suBqsuº´ºuao$¶u- k O ÂäÁ&qsuu a¯a¥¶ÀuM = z zˆ˙ (t) = F (ˆz (t)) ½p qsuqu-a~ a·&qsu-euat@O:=uM0uzˆq¶(h¥ t>Áů)u1uM−qjza»u-ubº¥º¥B¥ tv¥a q¯8Åzˆ·qs(t)u4qsº´u1·¹-Oº't uazˆ(0) O au- k I4W¯º¥uOÂÁ&Bqs·¹uubaaqsqsuu1os su-¨ u-µ;Ð1¥s¶a´ ¥ ¥sº¥u = s¯Á& 4¹O ¼²u u- 8´ÀuM stvue-=º´º¥$~ C8ͽ p h quÅu+ao(h u¶¥t>) ¯uO¯·¹GnÀ aºp·²qsu »¯»¯º´su¼sº¥u1· hÁ&ÄaÂsqt>jqs~>uaOqs su-uau·¹OOt@u1¼uuMu¶¼¥t>~¯@uMaqs¼8u~t@utv· qs¥¨¥q su-¨@oOqauuº´½K-p ºäqs»¯&a¨O¥´»O¥u ÂÄ·"·"qsqsuu¥t@´Ïluu-a¶u-u 8T¥ º t>º¥ºäu- sOs¨qÂs u¶¥tvu eˆ ·aqsu 'asu )1º´-ºäu-aO e ²·¹~¥ s¨ zk+1 = zk + hk Φ(zk , hk ),. q. q. N −1 k=0. k. i. k. k. k. k+1. k. k. k. k. k. k. p+1 k k. k. k. p+1 k. k. k. k. eˆk = Ck hp+1 + o(hp+1 ); k k. 4 %H8. þ¹ã"ê%þüë.
(51) ,.
(52)
(53) ! #"$ % & '!()*+
(54) ,-
(55) /. +
(56) . aqsu1º¥¶au-&- 4¼ub²¶uM]a@u h v@»¯º¥sunaq¯&u ¶uM'aq¯Åqubº¥-ºuaÅ0¼u-º¥¯Á[¨¥»u aqsauqsºä½ -u-W¥Î-uMm>saÁż4º´ut ¥ 8¥aBb¶¼²Oº´O»Osu msÀa~R¶»¯º´´s su¨RsTaa¼sº¥su-¨OtTqmÂluMqau@´t>įaau>¯a´·ÅO mqsu]1¥ÄÎ-Ïluvu-au-·Å 8M¥½tvp'u]~sau--º´Â º¥~ FqsPuva
(57) qs,Eu- µ O F s@u*o ,Ka´uM o)a4* Fa u! À / , uqsu@tvuq%ÂlW½ u½¥Â²OsRqsubaau¥Î¥ R¥ 8a½10 ²¶u-nqsu Â%Á&qsqmbuÀ u!$sO¼sº¥u-t·'q²j»8¥ s¨>aqsu>¶t·'º¥º"u-aOan¼²uº´¯Á ¨O´»Ou- 4qsauqsº E ½'|¥ u e = C h + o(h ) ²´»¥ s¨@qsu¶u h ´ 8 q t>º¥º´u&au- a · C¥Î-u (hh /q/q ) Á&qu- Rau uMqqRBtvTº´º¥Ou-bÄa´»Oau-u>%´Â² 8W½ uu¨½$uv uMaº uM· 1eq/qu]sa´ T -a´qs²u ºGq au-aat{u-·Å½oawoqsuu]¨º¥º¥uÍ-a´º' ¨>u-aqsOu - 8a¥¼s¥ R· ) ]aqsuBº¥-ºu-aaMÂsÁ0u@¶uuq²¯naqsuBO¥t>º"u-À sut@u 8nsa¼sº¥u-t- ¼u1·¹atBº¥uo(h Å·¹Oº´º¥¯Áo T k. . p+1 k k. k. k. k. k. k. k. p+1 k. k. k. p+1. k. p+1 k. 6nu-au. Min. N X. N X eˆk. qk ;. p k. k. k. 4ZH8. ≤ E.. qkp. u sau@quP¶u-v·$OÄa´»OuT´ 8u¨uaÂ0 ¥>¨O´ ¸qsuRuMa´t>¯auT·$º¥-º&u-aO O¼a´ u>Á&´qqs¥¨qsu0Oasu-0aqsut@uO½:D%u 0sa¯»u&aqeˆ¯ÅqsÅ s º´¥ su0¥ 8u¨u-0sa¨tvtv¥ s¨ O¼sº´ut - ¼uº¥»u¯oº¥¯Áesau1¼~>qsuº´¨OaÄaqst ¼u-º¥¯Á T © Ë ¹¬ 46$a´t>ºäu-À su-tvu O 8 Ë k = 1, . . . , N q T 1 ½ Ì Ë Ç P s >E 0tvsau k e ∈/qargmax {e (1/q − 1/(q + 1) ) T q + 1½ q Ì Ç aqsuÅu¶º´º"¥tvº´uº"¨O·1¥¶ Tst qu·ntvº¥Os 8º u-aga:=e@ˆ s(1/q uauO¶−uM 1/(q¼~ ´+ ²1)au)¥½1 sp ¨ qsq¥$¼o~ aqsu@ suO½ tvp sqs 8uTn¼º¥¨~TÁ&a´qsqst q - Å¥t@º´~´ R´ ¨@¥ 8a Á&qsuubaqsuº´ºä¨O´ &t>¯¿´t>ºW½ 0Ç ® ; º´¨OaÄaqst{ ¶²&¯·üunÀ s´u st¼²u&·Kau- 4´aoasnÅqsu¶Oº´a´O · sa¼º´ut 4Z 8ͽ 1!u&º¥uj»u01aqsu&ausu- qu&s·²·À s´u suaK·º¥¨O´qt  @sa¯»uÅÄKa´t>º´´~½ 0O ¥u qsuau-º¯ausa¼sº¥u-t ·"tv¥ s¥t@¥Î-¥ s¨vaqsu¶t · u¶¥t>¯au · º¥ºäua-Âs¼uMÍ& @¨O´»Ou- 8tB¼u-&· ssu²O´ 8 T q∈NN ∗. N∗. . .
(58). . N k=1 k g.
(59). . k=1. k. . k=1. kg. . . . . k. p k. k. k. p k. k. p. . kg. k. p k. k. k. p. k. . . . (Dm ). Min. q∈NN ∗. N X eˆk. p;. qk. N X. qk = N + m.. p qu»¯º¥suB·¹s Ía´O !su- suP·Gaqs¥bsa¼º´utÂäu sau¼~ E Âä$¶a¥º¥~Pu-uM´ ¨N4¹ÁÅut>j~ Ostvuvº¥º a¼u>OÄa´»Ou 8b ¢qO1º´¥tvÄB§Á&qsu ½K3;· aqsu- !qu-au@1 s u-u4]Oseˆ²O´ 8an 4qsu- -º´²¶¥ qsºs½0nqsuÁ&mu↑Â8+∞ qsuuu-¿¥E¶a&@<sE s8su r ∈ IN ¶²q aq¯ 4¶ §H8 k=1. k=1. m. k. 0. ∗. Er ≤ E < Er−1 .. ê êè[;1 .
(60)
(61) 9* F 99
(62)
(63) H " "! %. ; ~º¥¥ @· ¥Gº¥a´O · 4ZH8ÂO´ ²u&¼~aqsuouÀ² sÄa´O >· ´'K sGOa´¼sº¥uÅa¯a¥¶·¹~ aqsuO ¶¥ O&(D·Q4ZH)8ż~s¥ s¨>º¥uaÅq E ¥ O-½@1¢uu qsuBr s· ¼~qs¯Á&¥ s¨@qoqsu Op qsouvs· aº¥¨·'ab´t¼~R O´Âs su- sÍa´OuM ¢4¯¼»O~ u-o{¯qaqs}uv»¯¥oº¥suº¥ba´O· · (D ¶)²½ qPq²¯L4 M§H8nqsºs½ 3;· aqsu -=O u$-º´²¶»¯¥º´ Psu$qº· s- 4Ó¶ sq]²Oq´ 8 ¥41ZH8'Osqu09 »¯8ͽ º¥s; u astvuB½aqD%r¯u1∈ ÄIN¼²qsu$Oº¥qou$·¹OO1sº´sº"Å¥ Oa·u-¨Oº¥u-¨bsa´ 8qs¥tº rr −Â=1 ²0Âä]º¥ u ¼²uqsu@¥ u¿RE·¹O$Á&q¥q!>¥tvu@¶umqONn¼+u-ur ¢Osuq¯¢¯$qsu@º¥O¶u-¢·'º´¨OaÄaqst ½|u k ·¹Ooº¥ºk6=·¹~ek Âqsu Oqˆ ¶=¥q¯ OR−· 1 ½ ½ 1!u qj»u¢ sa¯»umqRqsu tvs 8 qˆ =Duq¯ {q } (D ) ∆ := P ¥ > s O Ä a ´ O » u ½. p s q u T u u ¿ ¶ a ¼ P u q q e ½ | u e ˆ (1/¯ q − 1/q ) i q > 1 q ˜ = q ·¹Ooº¥º Âs ½ 1¢ut>j~]Á&aÄau ÂÁ&qsu-au r. r. k. r. 0. k. k. k0. 0. N k=1 k. k0. k. k 6= i. r. p k. p k. i. q˜i = qi − 1 N X 1 1 ∆1 := eˆk ; ∆2 := eˆk0 − qˆkp q˜kp. k. ∆ = ∆ 1 + ∆2. 1 1 p − q¯k0 (¯ qk0 − 1)p. !. − eˆi. . 1 1 p − qi (qi − 1)p. . .. k. 4¶ 8. |´ -u$¼~v0¥ ¥ {ˆq } ¥ º¥¥ 4· (D ) Âs ² q˜ ¥'·¹uO¶¥¼sº¥un·¹O (D ) Â8ÁÅunq²j»uoaq¯ ½ D%u-bbsa¯»uq ·¹Obu-a´ ½ 3;· Âlaqsu- ¢Á0u@t>j~a=Ou ½ ∆ ≤0 nÅaqsqu-uaÁ&´ s¶uOuÂO¿¥ ]· »t>´uÁ¯¿¥t>·%aqsºäu$º¥-∆ ºä¶¨8≤¥ ¥ 80ÁÅ'u1· q(Dj»ub)Â8q²Áůun t>ij~aq¯=u i≤6=qk q>aq¯ q¯ < q ½G|i¥ =u kk k=1. k. r−1. 1. r−1. k0. 2. r. ∆2 ≤ eˆi. . 1 1 − q¯ip (¯ qi − 1)p. k0. 0. i. 0. . − eˆi. . 1 1 − qip (qi − 1)p. . < 0.. i. 0. 4 j¦8. p qu1- -º´²¶¥ ·¹º¥º´¯Áo½ ; Ç ® a´ suM ¼~ ¶OO²¶au´a ¨R¥qs u½ aJ'´tvOuTq]aau-u- º´O s¨1quo»¯º¥su'·Ó·l¶@qs¥u$tvº´sº´utvºs¨8u- 8a¥ %ÂO¥ ¸@·$q0º¥¨ sOuu´sq0t ¯' tv¥8@O ¼O(N ·Gquvº´¨OaÄaqst su-uMs$sls¯auBaqs¥1Oasu-a´ s¨²ÂlÁ&qs¥q¢ su-uMs1¯log1tvNO¶) O(log N ) O²ua¥ ½ 1!uoO¼a´ @q²¯Gaqsunº¥¨O´qt su-uMs'GtvO¶ O((N + m) log N ) u-¯a´O -½ p qsKG su¨º¥´¨O´¼sº¥u Á&´q>auuÍ'aqsun st¼²uG·%O²ua¥ suuuM@·¹Åtvss¥ s¨BwouÁ O ]au-Â8OKÁÅuoÁ&´º¥º²u-u ¥ qsu u¿o¶uMÍ¥ ½
(64) & B |º¥»8¥ s¨4qsuv-u-u@a´t>º¥´~T~au-t 4WH¡ 8n¼8~PwouÁ !au-¢ su-uMs$T¶Oº´»Ouº´¥ suM1¶~¶u-t> Á&t>qOaÄuB¿ä£OL½ O1!Ou]¼s¥au T-tvº´ºGatvÄ¿Tu]--Âlº¥OÁ&qs¥u PºK»¯aua¥s¼sº´aº´1uMo au¼O aut>uM¯Ta¼~uM¥- Â%aauu·¹Ou¶¥¥ s s¨>¨R»¯uO½ ¨²º¥s½>uMn2 ·KMØP¦ OG¥t@·¹OuOBÂä>u-¼a¥ ²º- ½ #b¥»u >8u t>¯a´¿ ·%´Îu Âu sauo¼~ qsu$¼ ²>¶¥Î-uOÂ6½ uO½´ÂOqsu$¶t>º¥º¥u¶G´ 8u¨u'¶²q aq¯ A = 0 ´· |i − j| >Aq 4ü·¹O&´ n¶a uOÂs>¨Oq ºlt>¯a´¿4qO ¼ ²´ÎuH§ 8ͽ 0Ç ® p qsu Otvsa¥ ·qsu Ò ·ÓOÍO¥Î¥ %Âj¼O¶uM #b´»Ou- a¥ ·²ot>aÄ¿ ·"¼ ²4´Îu &¶²q]q²¯ÅqsEu 4¹s²u a¥ s¨º¥ 8"·ÓOÍa qż 4¥Î-u ½Kp qsu$ st¼²u A º¥¥·ä suou-¶¯~¶¥u- ²t "·¹4Ó¯qK·üa·Óu-O Í·ÓOOÍ¥ÎO¥¥Î v¥G9 80·l · uqu-n  ½qun stBR¼u-'·äu-¯a´O 2q ·¹0¶Oº´»¥ s¨1qsu qn . . . . A. . ij. . 2. A. A. þ¹ã"ê%þüë.
(65)
(66)
(67) ! #"$ % & '!()*+
(68) ,-
(69) /. +
Documents relatifs
C'est aussi le résidant pas chez leurs parents fréquentent deux fois parativement à la province, les étudiants de Nanterre ne lement ce moindre attachement à la ville
In this paper, we study the performance of an enhanced channel estimation technique combining estimation using an autocorrelation based method and the Expectation-
Selon Laeven et Valencia (2012) , le coût budgétaire de la crise bancaire s’est respectivement élevé à 44 et 41 points de PIB en Islande et en Irlande, ce qui place ces deux
Dans ce travail, nous comparerons les entreprises coopératives, détenues par leurs membres, dont le produit risqué est la ressource critique apportée et dont l’objectif est
À cet effet, un nombre considérable de recherches démontre cliniquement que les enfants de parents souffrant de problème de santé mentale sont plus à risque d’un retard dans leur
usual route to school and provide us with some details about their travel routine (e.g., schedule, mode of transportation, people accompanying them, etc.); 3) recent interventions
La question de l’extension des limites de Paris jusqu’à cette ligne avait été discutée mais ne fut tranchée que par un décret impérial du 9 janvier 1859 qui décidait de
