ATS 2021-22 TD M6
DYNAMIQUE NEWTONIENNE
1 Travail des forces de pression**
Soit un gaz emprisonné dans un piston de section cylindrique S. Initialement la longueur du piston vaut D.
Pext=cst.
1. Donner l’expression de la force de pression subie par le piston de la part du milieu extérieur.
2. Exprimer le travail élémentaire reçu par le gaz de la part des forces de pression lors d’un déplace- mentdx. On utilisera exclusivement des formules du cours de mécanique. En déduire le travail reçu sur une compression jusqu’à la longueurD/2.
3. Retrouver l’expression du travail des forces de pression du cours de thermodynamique.
2 Analyse de graphique**
Une voiture roulant sur une route horizontale recti- ligne, se déplace d’un point A vers un point B, distants de 300 m. On donne les informations partielles sur la position x(t), la vitesse v(t) et l’accélération a(t) de cette voiture pendant ce trajet :
N.B. : (0,0) est un point de la courbe x(t). (0,0) et (5,63) sont des points de la courbev(t).
1. Reproduire et compléter les graphiques ci-dessus en précisant et justifiant les valeurs et les allures de courbes manquantes. On pourra changer suc- cessivement d’origine des temps.
2. En déduire le tempsT mis pour aller de A à B.
Réponse : x1 = 43.8 m ; x2 = 254 m ; a1 = 3.5m/s2 ; a3=−3,3m/s2 ; T = 22,3s
3 Force de rappel**
Soit un système masse-ressort (k, lo) horizontal.
1. Exprimer la force de rappel subie parM en fonc- tion dexet des données.
2. Exprimer l’énergie potentielle associée à cette force en fonction dexet des données.
3. Retrouver la réponse à la question 1) à partir de l’énergie potentielle.
4. Exprimer le travail de la force de rappel lors d’un étirement del=loàl= 2lo. Commenter le signe.
5. Déterminer x(t) si x(0) = 2lo et v(0) = 0 lors- qu’on lâche le système.
Réponse : 4)W =−kl2o/2 ; 5)x(t) =lo(1 + cos(pk
mt))
4 Principe des actions réciproques*
Vous (de massem) êtes debout sur le sol (plat).
1. Exprimer la force de réaction normale que vous ressentez.
2. En déduire la force que vous exercez sur le sol.
3. Vous êtes en chute libre. Pourquoi n’avez vous, semble t-il, aucune influence sur la Terre alors que l’inverse est vrai.
5 Principe fondamental de la sta- tique**
On notemla masse du système. Pour les questions 2, 3 et 4, on commencera par poser une base adaptée sur le schéma et à dessiner l’ensemble des forces s’exerçant sur le système.
1. Que devient le PFD pour un système au repos ? 1
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2. Application 1 : déterminer l’angle d’équilibreθeq. F~oest une force constante appliquée par un opé- rateur. Tester la cohérence du résultat.
3. Application 2 : déterminer la longueurheqdu res- sort à l’équilibre. On notemla masse déposée sur le ressort de raideur et longueur à vide k et lo. Tester la cohérence du résultat.
4. Application 3 : déterminer l’angle d’équilibreθeq. On considèrera cet angle petit, de sorte de pou- voir approximer les fonctions trigonométriques au 1er ordre. Tester la cohérence du résultat.
Réponse : 3)heq =lo−mg/k; 4)θeq ≈1/(mgkl
o + 1)
6 Principe d’inertie*
Un astronaute perdu au milieu de l’espace intersidé- ral, à des années lumière de la première galaxie, tape dans un ballon (ne demandez pas pourquoi) et lui communique une vitesse initiale vo. Déterminer le mouvement ultérieur du ballon.
7 Tir de canon vertical**
On repère la position d’un obus de canon par la va- riabley, nulle au sol et croissante avec l’altitude, en suppo- sant que le tir est parfaitement vertical, sans déviation. A t= 0, l’explosion lors de la mise à feu communique à l’obus une vitessevo. On néglige les frottements.
1. Déterminer l’équation différentielle du mouve- ment de M pour t ≥0 à l’aide du PFD. En dé- duirey(t).
2. Exprimer puis calculer l’altitude maximum at- teinteym. On donnevo= 150m/s.
3. Exprimer puis calculer la date à laquelle l’obus touche le soltf.
4. On considère maintenant une force de frottement f~=−K~v. Déterminer l’équation différentielle vé- rifiée parV(t) puis exprimerv(t), puisy(t) et en- finym.
Réponse : 3) ym = v2g2o = 1,1 km ; 4) tf = 2vgo = 30s; 5)ym=mk(vo−mgK ln(vmgoK+ 1))
8 Halage d’un bateau**
Deux chevaux tractent un navire le long d’un canal.
Leur trajectoire (en pointillé sur le schéma) et celle du ba- teau sont colinéaires aux berges. On noteF~ la force de trac- tion de chaque cheval (donnée connue), celle-ci étant com- muniquée au navire via une corde de longueur l = 20 m.
On suppose que les chevaux adaptent leur allure à celle du bateau de sorte que les cordes soient toujours tendues.
Le bateau de masse m = 5.0 t flotte grâce à la poussée d’Archimède ~π (de sens opposée au poids) et subit de la part de l’eau une force de frottementf~=−λ~v.
Données :h= 3.0m,λ= 1.0 103 usi.
1. Ajouter sur le schéma le vecteur~ey pour que la base (x, y, z) soit directe.
2. Déterminer l’équation différentielle du mouve- ment du bateau vérifiée parv(t).
3. Déterminerv(t), vitesse du bateau en supposant F constante et la vitesse initiale du bateau nulle.
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4. En moyenne pour des vitesses raisonnables (infé- rieures à 2 m/s), un cheval peut développer une forceF = 500N. En déduire la vitesse du navire en régime permanent.
5. Calculer le travail fourni par les chevaux pour tracter le navire sur 1.0 km à la vitesse de croi- sière.
Réponse : 4)vlim= 0.99m/s ; 5) W = 9.9 105 J
9 Oscillateur**
On étudie le point M de massem.
1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par x(t) à l’aide du PFD.
2. Exprimer la période des oscillations puis la po- sition d’équilibre. Déterminer x(t) si on lâche le système sans vitesse initiale depuisx=lo. 3. On suppose désormais une force de frottement
f~ = −λ~v, avec λ une constante. Déterminer la valeur minimale de λ pour que le système n’os- cille pas.
Réponse : 2)To= 2πp
m/k; 3)λ= 2√ mk
10 Résolution de problème**
Une fusée transporte deux sondes spatiales sur une orbite éloignée de la Terre, où ses effets gravitationnels de- viennent négligeables. L’une est équipée d’un moteur io- nique, dispositif trés économe autonome en "carburant" (car exploitant le rayonnement solaire) et trés léger mais peu puissant ; sa masse est dem= 200 kg et la poussée du mo- teur fournitF = 1N à chaque instant.
L’autre sonde, de masse m = 2 t dispose d’un réacteur à combustion classique, délivrant une puissance de 15 M W pendant ∆t = 56 h. Déterminer, pour chaque planète plus éloignée du Soleil que la Terre, quelle sonde l’atteindra en premier. On précisera et critiquera ses hypothèses.
11 Oscillateur 2**
On considère un point matériel M de masse m = 150 g attaché à deux ressorts de même raideur k mais de longueur à vide 2lo pour celui de gauche et lo pour celui de droite. L’ensemble est confiné sur un espace de longueur d= 2loet les frottements sont négligés.
1. Exprimer les longueurs des ressorts en fonction de la variablex.
2. Déterminer l’équation différentielle du mouve- ment deM. En déduire la période des oscillations.
12 Théorème de l’énergie méca- nique**
Intégrer par rapport au temps le théorème de la puis- sance mécanique.
13 Oscillateur harmonique amorti**
Un corps P de massem est suspendu à un support par un ressort vertical de raideur k. Il est soumis en outre au freinage de l’air qui exerce sur lui une force −f~v où ~v est sa vitesse et f une constante. On note xl’axe vertical descendant, dont l’origine est située surP lorsque le ressort est à sa longueur à vide.
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À l’instant 0, on lâche le système sans vitesse à une altitude b au dessus de sa position d’équilibre (en charge).
Le mouvement est purement vertical.
1. Montrer que l’équation différentielle gouvernant x(t) pourt >0 peut être mise sous la forme
¨ x+ω0
Q x˙+ω02x=α
où les constantes ω0, Q et αdoivent être déter- minées en fonction des paramètres du problème.
2. On observe des oscillations amorties. Représenter qualitativement, en tenant compte des informa- tions disponibles, le graphique dex(t).
3. On suppose que l’amplitude des oscillations est divisée par 2/3 au bout de 15 oscillations. Estimer Q.
Réponse : 3)Q≈94
14 Force variable**
Une particule de masse m = 400 g a une vitesse v = 4.5 m/s lorsqu’elle se trouve sur la positionx= 2 m.
Elle subit le long de sa trajectoire rectiligne horizontale le long de l’axeOxune forceFdont la composante suivantOx est variable et fournie par le graphe suivant (force en N et position en m) :
1. Calculer le travail effectuée par la force sur l’in- tervallex= [2; 5].
2. Calculer la vitesse de la particule à la position x= 5 en raisonnant énergétiquement.
3. A quelle position l’énergie cinétique de la parti- cule est-elle maximale ?
4. Calculer la valeur maximale de l’énergie ciné- tique.
Réponse : 1)−3.5J; 2) 1.7m/s, 4) 4.3J
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Je sais exprimer proprement une force de rappel, le poids, et orienter N
3,5,7,8 9,11,13 Je sais exprimer le travail ou la puissance d’une force
et je connais leur signification physique
1,3,8,14 Je connais et je sais appliquer le principe des actions
réciproques
4 Je sais projeter un vecteur dans une base, l’écrire en colonne
5,7,8,9 11 Je sais appliquer le PFD dans le cas d’un mouvement rectiligne (schéma, expression de ~a, expression des forces en colonne dans la base, projection de l’équa- tion, résolution de l’équation)
3,7,8,9, 10,11, 13 Je sais appliquer le PFS (statique) dans le cas d’une situation d’équilibre (a et v sont nuls)
5 Je connais le lien entre position, vitesse et accéléra- tion. Je sais déduire l’un de l’autre.
2,7,8...
Je sais résoudre une équation différentielle 3,7,8,9, 10,11,13 je sais mettre en équation un évènement : hauteur
max atteinte, temps de chute,...
7
Objectifs secondaires Eval
Je sais exprimer un déplacement élémentaire 3 Je sais déterminer l’expression d’une force conserva- tive à partir de son Ep
cours
4
