Dalles. Méthode des lignes de rupture. Structures en béton II. Dr O. Burdet. ENAC Section de génie civil IS-BETON Laboratoire de construction en béton

Dalles

Méthode des lignes de rupture

a) mécanisme pour une poutre simple

θ

rotule plastique

Mécanisme simple pour une poutre

Fig. 7.74

cf TGC 2 chap. 16 & 17

b) mécanisme pour

une dalle unidirectionnelle librement appuyée

θ

ligne de rupture

Mécanisme simple pour une dalle

Fig. 7.74

Théorèmes fondamentaux

“ Toute charge Q _i à laquelle correspond un mécanisme de ruine

admissible est supérieure ou égale à la charge ultime exacte Q _u ”

cinématiquement

“ Toute charge Q _i à laquelle correspond un champ de moments _i stable et statiquement

admissible est inférieure ou égale à la charge ultime exacte Q _u ”

M

Tab. 7.75

Théorème d’unicité

Fig. 7.77

Equilibre ;

Résistance ;

Mécanisme ;

Propriétés des deux méthodes

Condition Explication Méthode

statique

Méthode cinématique Équilibre

Toutes les forces extérieures (y compris les réactions) appliquées au système doivent s’équilibrer

Satisfait Satisfait

Résistance

Dans toutes les sections, les efforts internes

(sollicitations) doivent être inférieurs ou égaux à la résistance ultime, c’est–à–dire à la résistance correspondant à la plastification du béton et de l’acier

Satisfait à vérifier

Mécanisme

Un nombre suffisant de rotules plastiques doit se former afin que la structure puisse se transformer en un mécanisme

à vérifier Satisfait

Résultat La méthode donne des résultats qui sont du côté de la sécurité

du côté de l’ insécurité

Tab. 7.77

Application des lignes de rupture

aux planchers-dalles

Essais de plancher-dalle (face sup.)

Fig. 7.70

Position des lignes de rupture

a 2

a 2

a 2

a 2

45°

a) dalle plate b) champignon > 45°

d 2^m d

2^m 45°

a 2

a 2

a 2

a 2

b a

2 a

2 a

2 a

2

45°

c) champignon < 45°

Fig. 7.90

Lignes de rupture – plancher-dalle

Fig. 7.91

Surface des moments – plancher-dalle

Fig. 7.93

Distribution des moments M _x

30 %

20 % 15 %

20 %

15 %

0.1 l

0.1 l

0.6 l

0.1 l

0.1 l

Moment négatif M , le long de l'axe des colonnes

Moment positif M , au milieu du champ

50 % 25 %

0.1 l

0.1 l

0.6 l

0.1 l

0.1 l

25 %

Fig. 7.94

Mécanisme II - Eventail circulaire

Fig. 7.95

{ {

r s

d r s

i

m ds m ds

A

1

θ ϕ

α

 ⋅



 



 ⋅ + ⋅ ⋅

=

⋅

( ¹ ) ¹

2

0

⋅

⋅ =

⋅

∫

^m

+ ^{ϕ r} _r ^{d α Q}

( ^ϕ )

π ⋅ +

= 2 1

m _s Q

Lignes de rupture dans un plancher-dalle

a) panneau intérieur

c) porte-à-faux b) champ de bord

Fig. 7.92

Lignes de ruptures, cas général

Et pour cette dalle ?

▪ Axes de rotation par les bords appuyés ou encastrés; axes de rotation par les colonnes

▪ Toute ligne de rupture passe par le point

d’intersection des deux éléments de dalle

qu’elle sépare

Définition des axes de rotation

Fig. 7.81 Fig. 7.80

#(panneaux)

#(axes

inconnus)

Exemples de mécanismes

Travaux virtuels

Fig. 7.85

Principe des travaux virtuels

( ) _∑ ( )

∑ ^{⋅ ⋅ = ⋅ ⋅}

=

i

i i i

i i

i i

i m s s m

A θ θ ^{Eq. 7.36}

i

e A

A = ^{Eq. 7.36}

Minimiser la charge ultime ou maximiser le moment de rupture

( ) ^{x y dx dy}

q A

A

e = ∫∫ ^{δ ,} ⋅ ⋅ ^{Eq. 7.35}

( 2 )

2 1

2 sin

cos α µ α

α = m _p ⋅ + ⋅

m

Dalle appuyée sur trois côtés

Fig. 7.86

Calcul des travaux virtuels

Fig. 7.87

Dalle encastrée sur son pourtour

Fig. 7.88

µ

≥ b

a

Exemple de dalle encastrée

Fig. 7.89

q _u = 15.1 kN/m ²

En l’an 2006 ?

Mais c’est compliqué avec ces m _α et des m _Tα

… si on avait toujours µ = 1 ?

Transformation affine

Fig. 7.83

Transformation affine

r r_x

r_y

r r_x

r_y m_p

m_p µ

m_p m_p

r

ξ

Fig. 7.83

Travaux virtuels : égalité

( ⁺ ) ^{⋅ + ⋅ ⋅} ( ⁺ ) ^{⋅ =} _∫∫ ^{⋅ ⋅ ⋅}

⋅ a b m a b q dx dy

m _{p x x} θ _y µ _{p y y} θ _x δ

( ⁺ ) ^{⋅ + ⋅ ⋅} ( ⁺ ) ^{⋅ =} _∫∫ ^{⋅ ⋅ ⋅}

⋅ a b m a b q dx dy

m _{p x x y p y y} θ _x δ

θ ξ ¹ ₂

e

i A

A =

2

1

µ ⁼ ξ

ξ = ¹ µ

Effet de l’affinité

Quantité Opération

Dimension parallèle à l’armature qui engendre m

inchangée

parallèle à l’armature qui engendre µ · m

multipliée par 1/ m

Charge uniformément répartie inchangée

Fig. 7.84

Et la précision ?

Théorème d’unicité

Fig. 7.77

Equilibre ;

Résistance ;

Mécanisme ;

Annexe 7.8

Annexe 7.8

Annexe 7.8

1/37.7 1/43.8

1/48

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

Répartition de l’armature (A7.6)

Répartition de l’armature (A7.6)

Annexe 7.8