Pondichéry 2017

(1)

Pondichéry 2017

E

XERCICE

1 (3 points)

Le service marketing d’un centre commercial veut évaluer l’impact des frais engagés en publicité, par mois, sur le nombre de clients.

Pour cela, ce service s’appuie sur les données ci-dessous, relevées sur une période de 6 mois : Frais publicitaires x

i

(en milliers d’euros) 1,9 2,4 1,5 0,9 2,3 1,7 Fréquentation y

i

(en

milliers de clients) 190 250 170 150 210 180 Le nuage de points de coordonnées (

x

i

; y

i

) est représenté ci-dessous.

0 40 80 120 160 200 240

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

+

+ +

frais publicitairesx_i Fréquentationyi

1. Donner à l’aide de la calculatrice une équation de la droite réalisant un ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.

2. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite d’équation y = 58, 3x + 87, 6.

a. On estime alors que pour 4 000 euros de frais publicitaires engagés, la fréquentation s’élève- rait à 321 000 clients. Vérifier la cohérence de l’estimation annoncée.

b. Quel est le montant des frais publicitaires devant être engagés pour espérer 400 000 clients au cours d’un mois ? On arrondira à la centaine d’euros.

c. Le centre commercial décide d’engager 5 000 euros pour la campagne publicitaire du pro-

chain mois. Lors du bilan, on dénombre 330 000 clients ayant fréquenté le site au cours de ce

mois. Comment peut-on analyser ce résultat ?

(2)

E

XERCICE

2 (5 points) Le diabète de type 1 est une maladie qui apparaît le plus souvent durant l’enfance ou l’adolescence.

Les individus atteints par cette maladie produisent très peu ou pas du tout d’insuline, hormone essentielle pour l’absorption du glucose sanguin par l’organisme.

En 2016, 542 000 enfants dans le monde étaient atteints de diabète de type 1. Des études récentes permettent de supposer que le nombre d’enfants diabétiques va augmenter de 3 % par an à partir de 2016. On note u

n

le nombre d’enfants diabétiques dans le monde pour l’année (2016+n). Ainsi u

0

= 542 000.

1. Étude de la suite (u

n

) : a. Calculer u

1

.

b. Donner la nature de la suite (u

n

) et préciser sa raison.

c. Pour tout entier naturel n, exprimer u

n

en fonction de n .

d. La feuille de calcul ci-dessous, extraite d’un tableur, permet de calculer les termes de la suite (u

n

). Les cellules de la colonne C sont au format « nombre à zéro décimale ». Quelle formule, saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir les valeurs de la colonne C ?

A B C

1 Année n u

n

2 2016 0 542 000

3 2017 1

. . . . . . . . . . . .

2. Calculer le nombre d’enfants atteints de diabète de type 1 dans le monde en 2021.

3. On considère l’algorithme suivant :

Initialisation U prend la valeur 542 000 N prend la valeur 0 Traitement Tant que U < 625 000

U prend la valeur 1,03 ×U N prend la valeur N + 1 Fin Tant que

a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. On arrondira les valeurs de U à l’unité.

U 542 000 558 260

N 0 1

U < 625 000 ? VRAI

b. Que permet de calculer cet algorithme dans le contexte de l’exercice ?

E

XERCICE

3 (6 points)

Une entreprise fabrique chaque jour des pièces métalliques pour l’industrie automobile. La produc- tion quotidienne varie entre 0 et 25 pièces.

Partie A : Lectures graphiques

À l’aide du graphique donné ci-dessous, répondre aux questions suivantes : 1. Quel est le montant des charges pour 5 pièces produites par jour ?

2. Combien de pièces sont produites par jour pour un montant des charges de 2 000 euros ?

3. Quelles quantités produites par jour permettent à l’entreprise de réaliser un bénéfice ?

(3)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Chiffre d’affaires

Charges

Nombre de pièces par jour

Montanteneuros

Partie B : Étude du bénéfice

Le montant des charges correspondant à la fabrication de x pièces, exprimé en euros, est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; 25] par :

C (x) = x

³

− 30x

²

+ 400x + 100.

On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière. Chaque pièce est vendue au prix de 247 euros.

1. On note B la fonction bénéfice, exprimée en euros. Justifier que l’expression de B(x) sur l’intervalle [0 ; 25] est : B(x) = − x

³

+ 30x

²

− 153x − 100.

2. On note B

^′

la fonction dérivée de la fonction B.

Calculer B

^′

(x), pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 25].

3. Justifier le tableau suivant :

x 0 3 17 25

− 0 + 0 −

signe deB^′(x)

4. En déduire le tableau de variations complet de la fonction B sur l’intervalle [0 ; 25].

5. Déterminer le nombre de pièces que l’entreprise doit produire chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut alors ce bénéfice maximal ?

Partie C : Coût moyen

On appelle coût moyen la fonction C

M

définie sur l’intervalle ]0 ; 25] par C

M

= C(x) x . 1. Calculer C

M

(16) et C

M

(17). On arrondira au centime d’euro.

2. On donne le tableau de variations de la fonction C

M

:

x 0 15,2 25

C

M

(x) 279

181,6

(4)

L’affirmation suivante est-elle vraie ? « Lorsque le bénéfice de l’entreprise augmente, le coût moyen diminue ». Justifier la réponse.

E

XERCICE

4 (6 points)

Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On s’intéresse au nombre de dons de sang lors de collectes organisées au sein de l’Établissement Français du Sang (EFS) depuis 2010.

Année 2010 2011 2012 2013 2014

Nombre de dons de sang (en mil- liers)

2 473 2 586 2 612 2 589 2 547

Source : site de l’EFS

1. Déterminer à 0,01 % près, le pourcentage d’augmentation de dons de sang entre 2010 et 2014.

2. En déduire que l’augmentation annuelle moyenne entre 2010 et 2014 est de 0,74 % arrondie à 0,01 % .

3. En supposant que l’augmentation du nombre de dons suivra la même évolution, combien de dons de sang peut-on espérer collecter en 2017 ?

On arrondira au millier.

Partie B

Dans une région, 54 % des donneurs sont des hommes.

Parmi eux, 37 % ont moins de 40 ans.

Parmi les femmes donnant leur sang, 48 % ont moins de 40 ans.

On interroge au hasard un donneur de sang dans cette région et on considère les événements sui- vants :

• H : « la personne interrogée est un homme »

• Q : « la personne interrogée a moins de 40 ans ».

H désigne l’évènement contraire de H et P

H

(Q ) la probabilité de Q sachant H.

1. À l’aide de l’énoncé, donner P (H) et P

H

(Q).

2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.

. . . H

. . . Q

H

. . . . . . Q

. . . Q 3. Calculer P (H ∩Q). Interpréter le résultat obtenu.

4. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée ait moins de 40 ans est 0,420 6.

5. La personne interrogée a plus de 40 ans. Déterminer la probabilité que ce soit un homme.

On arrondira à 10

⁻⁴

. Partie C

L’EFS affirme que dans une région donnée : « 23 % de la population donne son sang au moins une fois par an ».

On interroge au hasard un échantillon de 1 000 personnes habitant cette région. Parmi elles, 254 ont donné au moins une fois leur sang au cours de la dernière année.

Peut-on mettre en doute l’affirmation de l’EFS ? Justifier la réponse à l’aide d’un intervalle de fluc-

tuation.

(5)

Nouvelle Calédonie 2016

E

XERCICE

1 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question, suivi de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’enlève pas de point.

La feuille de calcul ci-dessous, obtenue à l’aide d’un tableur, donne d’évolution du prix du timbre d’une lettre prioritaire en France métropolitaine entre 2005 et 2015.

A B C D E F G H I J K L

1 Année 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

2 Prix du timbre

en euro 0,53 0,54 0,54 0,55 0,56 0,58 0,6 0,61 0,63 0,66 0,76

3 Taux d’évolu- tion du prix

1. Le taux d’évolution global du prix du timbre entre 2005 et 2015, arrondi à 0,1 est de :

a. 30,3 % b. 43, 4 % c. 3, 0 % d. 4, 3 %

2. Le taux d’évolution annuel moyen du prix du timbre entre 2005 et 2015, arrondi à 0,01 % près, est de :

a. 0, 37 % b. 3, 67 % c. 2, 75 % d. 0, 43 %

3. La formule qui, entrée dans la cellule C3 et recopiée vers la droite, permet de compléter le tableau est :

a. =C2 − B2/C2 b. =(C2 − $B$2)/$B$2 c. =(C2 − B2)/B2 d. =(C2 − B2)/C2 4. En supposant que le prix du timbre va augmenter chaque année de 4 % à partir de 2015, le prix du

timbre en 2020, arrondi au centime d’euro près, sera de :

a. 0, 79 ( b. 1, 06 ( c. 0, 92 ( d. 0, 96 (

E

XERCICE

2 5 points

Une association spécialisée dans la vente de produits biologiques propose à ses clients deux types de paniers : petit modèle et grand modèle. Ils sont composés de légumes et, suivant la demande des clients, de produits laitiers.

Il apparaît que :

• 60 % des clients choisissent un petit modèle. Les autres achètent un grand modèle.

• parmi ceux qui choisissent un petit modèle, 50 % y ajoutent des produits laitiers.

• parmi ceux qui choisissent un grand modèle, 80 % y ajoutent des produits laitiers.

On interroge au hasard un des clients.

On note T l’évènement, « le client a choisi un petit modèle » et L l’évènement, « le client y a fait ajouter des produits laitiers ».

Partie A

1. Donner les probabilités P (T ) et P

T

(L).

2. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilités suivant :

(6)

0,6 T

. . . L

T

. . . . . . L

. . . L

3. Calculer la probabilité que le client interrogé ait choisi un petit modèle et des produits laitiers.

4. Peut-on affirmer que moins des deux tiers des clients achètent des produits laitiers ? Justifier la réponse par un calcul.

5. Calculer P

L

(T ). Interpréter cette probabilité.

Partie B

Le producteur qui fournit cette association vend aussi des yaourts chaque samedi sur un marché.

On note X la variable aléatoire, qui, à chaque semaine, associe le nombre de yaourts vendus au marché.

On admet que X suit la loi normale d’espérance µ = 180 et d’écart type σ = 30.

1. Calculer à l’aide de la calculatrice, la probabilité arrondie au millième que le nombre de yaourts vendus soit inférieur ou égal à 150.

On donne la courbe de densité de la loi normale d’espérance µ = 180 et d’écart type σ = 30.

- TeXworks.jpg

2. Sur ce graphique, on peut lire : P (135 ⩽ X ⩽ ¹⁸⁰⁾ ≈ 0, 433. Interpréter ce résultat 3. En déduire P (180 ⩽ X ⩽ ^{225) et} P (X ⩾ ^225).

4. Ce samedi, le producteur n’a apporté que 225 yaourts au marché. Quelle est la probabilité qu’il ait

besoin de compléter son stock ?

(7)

E

XERCICE

3 6 points Une entreprise produit des tablettes tactiles avec un maximum de production de 30 000 unités par mois.

Soit x le nombre de milliers de tablettes produites.

Le coût de production en milliers d’euros est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; 30]

par :

C (x) = − 1

3 x

³

+ 22x

²

+ 96x.

Chaque tablette est vendue 480 euros et on suppose que l’entreprise écoule toute sa production men- suelle. On souhaite étudier la rentabilité de cette entreprise.

La représentation graphique de la fonction C est donnée dans l’annexe à rendre avec la copie.

Partie A Lecture graphique

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

C oût (e n mil liers d ’eur os)

Nombre de tablettes (en milliers) 1. Déterminer, par lecture graphique, le coût de production en milliers d’euros de 10 milliers de

tablettes.

Laisser apparents les traits de construction sur l’annexe.

(8)

2. Déterminer, par lecture graphique, pour combien de tablettes produites, le coût sera supérieur à 8 000 milliers d’euros.

Laisser apparents les traits de construction sur l’annexe.

3. La fonction R définie par R(x) = 480x représente la recette en milliers d’euros pour x milliers de tablettes produites.

Tracer dans le repère de l’annexe à rendre avec la copie sa courbe représentative.

Partie B Étude du bénéfice

1. Montrer que le bénéfice de l’entreprise sera alors donné par la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 30] par :

B(x) = 1

3 x

³

− 22x

²

+ 384x.

2. On note B

^′

la fonction dérivée de la fonction B. Calculer B

^′

(x).

3. a. Résoudre l’équation du second degré x

²

− 44x + 384 = 0.

b. En déduire le signe de B

^′

(x) sur l’intervalle [0 ; 30]. Dresser le tableau de variation de la fonc- tion B.

4. Donner la production à réaliser pour obtenir le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice.

E

XERCICE

4 5 points

En janvier 2015, une entreprise renouvelle son parc de tablettes tactiles.

La tablette choisie affiche une autonomie de 8 heures. Une étude montre que l’autonomie de la batterie baisse de 15 % chaque année d’utilisation.

Soit n un entier naturel. On modélise le nombre d’heures d’autonomie de cette tablette pour l’année 2015 +n par une suite (u

n

). Ainsi u

0

= 8.

On arrondira les résultats au centième d’heure.

1. a. Vérifier que u

1

= 6, 8.

b. Calculer u

2

et en donner une interprétation.

2. Expliquer pourquoi la suite (u

n

) est géométrique. En donner sa raison.

3. Selon ce modèle, quelle sera l’autonomie de la tablette en janvier 2020 ?

4. L’entreprise souhaite prévoir le nombre d’années au bout desquelles l’autonomie sera inférieure à quatre heures.

On considère l’algorithme suivant :

Initialisation n prend la valeur 0 u prend la valeur 8 q prend la valeur 0,85 Traitement Tant que u > 4

n prend la valeur n + 1 u prend la valeur u × q Fin tant que

Sortie Afficher n

Quelle sera la valeur affichée en sortie ?

(9)

Métropole 2016

E

XERCICE

1 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Les parties A et B sont indépendantes Partie A

On donne le tableau de variations d’une fonction f définie et dérivable sur [0 ; 6] dont la dérivée est notée f

^′

.

x 0 1 4 6

Signe de f

^′

(x) − 0 + 0 −

Variations de f 10

4,5

18 − 8 1. Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 4 est :

a. y = 18x b. y = 0 c. y = 18 d. y = 4

2. Une expression possible de f

^′

(x), pour tout x ∈ [0 ; 6], est :

a. f

^′

(x) = − 3x

²

+ 15x − 12 b. f

^′

(x) = 3x

²

− 15x + 12 c. f

^′

(x ) = − 3x

²

− 15x − 12 d. f

^′

(x) = 3x

²

+ 15x + 12

Partie B

Un test d’aptitude est évalué sur 100 points. Il faut obtenir au moins 60 points pour le réussir.

Le score d’un candidat est modélisé par une variable aléatoire X suivant une loi normale d’espérance µ = 66 et d’écart type σ inconnu.

La probabilité, pour un candidat pris au hasard, d’obtenir un score compris entre 60 et 72 points est égale à 0, 95.

1. Parmi les valeurs ci-dessous, la plus proche de σ est :

a. 3 b. 6 c. 5 d. 9

2. Pour réussir le test, il faut obtenir 60 points ou plus. La probabilité pour un candidat d’échouer à ce test est de :

a. 0,9 b. 0,1 c. 0,05 d. 0,025

E

XERCICE

2 4 points

Une entreprise automobile produit l’ensemble de ses véhicules électriques sur deux sites A et B.

En 2015, la production annuelle a été de 95 000 véhicules, répartie de la façon suivante : 42 000 véhi- cules sur le site A et 53 000 véhicules sur le site B.

La direction décide de diminuer la production annuelle sur le site A au profit du site B, tout en main-

tenant constante la production totale.

(10)

Les parties A et B sont indépendantes Partie A

Par rapport à 2015, le nombre de véhicules électriques produits sur le site A en 2016 a diminué d’un certain nombre de véhicules électriques.

La direction décide de maintenir cette diminution jusqu’à une production nulle en 2027. Pour tout entier n compris entre 0 et 12 on note u

n

le nombre de véhicules électriques produits sur le site A lors de l’année 2015 + n.

1. D’après les données de l’énoncé, quelles sont les valeurs de u

0

et de u

12

si la planification de l’entreprise est respectée ?

2. Pour satisfaire aux exigences de la direction, de combien de véhicules électriques doit-on dimi- nuer chaque année la production sur le site A ?

Partie B

Par rapport à 2015, le nombre de véhicules électriques produits sur le site B en 2016 a augmenté de 5 %.

La direction décide de maintenir chaque année cette augmentation de 5 % par rapport à la produc- tion de l’année précédente.

On modélise le nombre de véhicules électriques produits sur le site B à partir de 2015 par une suite géométrique (v

n

).

1. Préciser son premier terme et sa raison.

2. Pour tout entier positif n, déterminer l’expression de v

n

en fonction de n .

3. Déterminer le nombre de véhicules électriques produits sur le site B en 2016 et en 2017.

4. On donne l’algorithme suivant :

Variables v est un nombre réel k est un nombre entier Traitement v prend la valeur 53 000

k prend la valeur 0 Tant que v < 95 000

v prend la valeur v × 1, 05 k prend la valeur k + 1 Fin Tant que

Afficher k Interpréter le nombre k affiché en sortie.

E

XERCICE

3 5 points

Le tableau ci-dessous indique la quantité de gaz à effet de serre émise annuellement en France entre 2004 et 2011. Cette quantité est exprimée en million de tonnes et arrondie au centième.

Année 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Rang de l’année : x

_i

1 2 3 4 5 6 7 8

Quantité émise : y

_i

557,21 558,78 546,98 537,66 532,85 509,25 516,45 490,01 Source : Agence Européenne de l’Environnement Le but de l’exercice est de prévoir la quantité émise en 2016 à partir de deux modélisations diffé- rentes.

Les parties A et B sont indépendantes.

(11)

Partie A

Une représentation graphique du nuage de points (x

i

; y

i

) est donnée, à rendre avec la copie.

On décide de modéliser cette évolution par un ajustement affine.

450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Rang de l’année Quantité émise (en millions de tonnes)

× ×

×

× ×

×

1. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.

2. Dans la suite du problème, on décide d’ajuster le nuage de points ( x

i

; y

i

) par la droite D d’équa- tion y = − 9, 5x + 574.

Construire la droite D sur le graphique donné dans l’annexe 1.

3. En utilisant l’ajustement de la question précédente, quelle quantité de gaz à effet de serre émis en

France peut-on prévoir pour l’année 2016 ?

(12)

Partie B

1. Déterminer le taux d’évolution global, exprimé en pourcentage et arrondi au centième, entre 2004 et 2011, de la quantité de gaz à effet de serre émise en France.

2. Justifier alors que la baisse annuelle moyenne d’émission de gaz à effet de serre sur cette période, arrondie au centième, est égale à 1,82 %.

3. On fait l’hypothèse que les émissions de gaz à effet de serre continuent de baisser annuellement de 1,82 %. Selon cette hypothèse, quelle devrait être la quantité de gaz à effet de serre, exprimée en million de tonnes et arrondie au centième, émise en France en 2016 ?

E

XERCICE

4 7 points

Une agence lance une campagne publicitaire sur une durée de 15 semaines, dans une ville donnée, afin de promouvoir une nouvelle marque de boissons gazeuses.

Partie A

Une étude montre qu’après x semaines de campagne publicitaire, le pourcentage de personnes ré- sidant dans cette ville ayant pris connaissance de la marque est donné par l’expression

f (x) = 75x x + 2 où x est un réel compris entre 0 et 30.

La courbe représentative de f est fournie.

L’objectif fixé à l’agence par l’entreprise qui produit cette nouvelles marque de boissons est qu’au

moins 70 % des habitants de la ville aient pris connaissance de cette marque.

(13)

0 10 20 30 40 50 60 70

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nombre de semaines Pourcentage de personnes

1. Peut-on affirmer qu’après 10 semaines de publicité, l’objectif fixé est atteint ? Justifier la réponse.

2. Déterminer graphiquement le nombre de semaines nécessaires pour que le pourcentage d’habi- tants ayant pris connaissance de la marque passe de 50 % à 60 %.

On laissera apparents les tracés utiles.

3. On note f

^′

la dérivée de f . Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 15], f

^′

(x) = 150

(x + 2)

²

4. En utilisant le signe de sa dérivée, déterminer les variations de f sur l’intervalle [0 ; 15].

5. Après ces 15 semaines de campagne, l’agence demande un délai supplémentaire.

Justifier cette demande.

6. Combien de semaines supplémentaires seront nécessaires à l’agence pour atteindre l’objectif fixé

par l’entreprise ?

(14)

Partie B

Dans cette partie, on admet que 20 % des consommateurs ayant pris connaissance de cette nouvelle marque sont prêts à acheter la boisson et que 96 % des personnes ignorant cette marque jusqu’ici ne l’achèteront pas.

Après 3 semaines de publicité, on interroge un habitant de la ville au hasard.

On note C et A les évènements :

• C : « l’habitant connaît la marque de boisson »

• A : « l’habitant est prêt à acheter la boisson »

Dans les questions suivantes, pour tout évènement E , on note p(E) la probabilité de E et E l’évènement contraire de E .

1. En utilisant les informations de la partie A, justifier que p(C ) = 0, 45 puis recopier et compléter sur la copie l’arbre donné ci-dessous.

. . . C

. . . A

. . . C . . . A . . . A

2. Déterminer la probabilité qu’un habitant ait pris connaissance de cette nouvelle marque de bois- sons et soit prêt à l’acheter.

3. Justifier que p(A) = 0, 112.

4. Le résultat précédent permet de formuler l’hypothèse qu’après 3 semaines de campagne publi- citaire, 11,2 % des habitants de cette ville sont prêts à acheter la nouvelle marque de boisson de l’entreprise. L’agence de publicité décide de tester la validité de cette hypothèse.

Elle interroge un échantillon de 500 habitants de la ville pris au hasard. Parmi eux, 44 se disent effectivement prêts à acheter cette nouvelle boisson.

Au regard de ce sondage, peut-on rejeter, au risque de 5 %, l’hypothèse formulée ci-dessus. Justifier

la réponse.

(15)

Antilles 2016

E

XERCICE

1 5 points

On observe, depuis quelques années, un modification des canaux de distribution du tourisme en faveur du tourisme en ligne.

C’est ainsi que plus de 30 millions de Français ont consulté des sites internet pour préparer leurs vacances en 2013.

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du chiffre d’affaire, noté CA, du marché du tourisme en ligne de 2006 à 2013 en France.

Année 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Rang de l’année : x

i

1 2 3 4 5 6 7 8

CA en milliard d’eu- ros : y

i

4,2 5,3 7 8 9,6 10,9 11,7 12,4

Étude XERFI, FEVAD Les parties A, B et C sont indépendantes

Partie A

Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.

1. Déterminer le taux d’évolution, exprimé en pourcentage, du chiffre d’affaire du tourisme en ligne entre 2006 et 2009.

2. Calculer le taux d’évolution annuel moyen, exprimé en pourcentage, du tourisme en ligne en France entre les années 2006 et 2009.

3. On suppose que, de 2013 à 2016, le chiffre d’affaire du tourisme en ligne en France a augmenté de 9 % par an. Donner une estimation du chiffre d’affaire du tourisme en ligne en France pour l’année 2016.

Partie B

On considère la série statistique à deux variables ( x

i

; y

i

) .

1. Tracer le nuage de points ( x

i

; y

i

) associé à cette série statistique.

(16)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Rang de l’année C. A. en milliards d’euros

2. a. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de y en x de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.

b. On décide de réaliser un ajustement de la série statistique ( x

i

; y

i

) à l’aide de la droite D d’équation y = 1, 2x + 3, 1.

Tracer la droite D dans le repère de l’annexe 1.

3. À l’aide de la question précédente, donner une estimation du chiffre d’affaire du tourisme en France en 2016.

Partie C

Parallèlement à l’essor du tourisme en ligne, on a pu observer que le nombre de plaintes des consom- mateurs dans le secteur du tourisme en ligne est en augmentation depuis 2011.

Les données recueillies par la Direction Générale de la Concurrence, de la Consommation et de la Répression des Fraudes (DGCCRF) permettent d’analyser l’évolution des plaintes des consommateurs en France.

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre de plaintes enregistrées par la DGCCRF en France

dans le secteur du tourisme en ligne entre les années 2011 et 2013.

(17)

Année 2011 2012 2013 Nombre de plaintes enre-

gistrées en France 1 036 1 293

Indice 100 183,4

Source : Ministère de l’économie, de l’industrie et du numérique 1. Calculer l’indice du nombre de plaintes enregistrées en 2012, arrondi au dixième.

2. Déterminer le nombre de plaintes enregistrées en 2013.

E

XERCICE

2 6 points

On s’intéresse à une modélisation de la propagation de l’épidémie de la grippe en France durant l’hiver 2014 - 2015.

Les relevés statistiques, fournis par le réseau Sentinelle, du nombre de cas pour 100 000 habitants sur la période du 29 décembre 2014 au 1

^er

mars 2015 ont permis de mettre en évidence une courbe de tendance, à l’aide d’un tableur.

Soit f la fonction définie, pour tout x ∈ [2 ; 10], par

f (x) = − 30x

²

+ 360x − 360.

On admet que f (x) modélise le nombre de malades déclarés pour 100 000 habitants au bout de x semaines écoulées depuis le début de l’épidémie. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal.

Partie A

- TeXworks.jpg

À partir du graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Selon ce modèle, au bout de combien de semaines le pic de l’épidémie a-t-il été atteint ?

(18)

2. Déterminer le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a été supérieur ou égal à 600. On laissera les traits de justification apparents sur le graphique de l’annexe 2, à rendre avec la copie.

3. a. Montrer que f (x) ⩾ 600 équivaut à −x

²

+ 12x − 32 ⩾ ^0.

b. En déduire les solutions sur [2 ; 10] de l’inéquation f (x) ⩾ ^600.

c. Comparer avec le résultat obtenu dans la question 2.

Partie B

1. a. Calculer f

^′

(x), où f

^′

désigne la fonction dérivée de f sur l’intervalle [2 ; 10] puis résoudre l’inéquation f

^′

(x) ⩾ 0 sur cet intervalle.

b. En déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle [2 ; 10].

2. a. Calculer le nombre dérivé de f en 3.

b. Tracer la tangente à C au point d’abscisse 3 dans le repère de l’annexe 2.

3. On admet que le réel f

^′

(x) représente la vitesse de propagation de l’épidémie au bout de x se- maines.

La grippe se propage-t-elle plus vite au bout de 3 semaines ou de 4 semaines ? Justifier la réponse.

E

XERCICE

3 5 points

Une entreprise familiale fabrique de la confiture de fraises biologiques. Elle achète ses fruits auprès de deux fournisseurs locaux A et B.

25 % des fruits proviennent du fournisseur A et les autres du fournisseur B.

95 % des fruits provenant du fournisseur A sont retenus pour la fabrication de la confiture.

80 % des fruits provenant du fournisseur B sont retenus pour la fabrication de la confiture.

Dans la suite, on notera p(E) la probabilité d’un évènement E , et pour tout évènement F de probabilité non nulle, p

F

(E) la probabilité de l’évènement E sachant que F est réalisé.

Partie A

On choisit un pot de confiture au hasard dans la production.

On note A, B, C les évènements :

A : « les fruits utilisés proviennent du fournisseur A » B : « les fruits utilisés proviennent du fournisseur B »

C : « les fruits sont retenus pour la fabrication de la confiture » Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.

1. Construire un arbre de probabilité décrivant la situation.

2. a. Définir par une phrase l’évènement A ∩ C.

b. Calculer p(A ∩C ).

c. Les évènements A et C sont-ils incompatibles ? Interpréter la réponse dans le contexte de l’exercice.

3. a. Montrer que la probabilité p(C), arrondie au centième, est égale à 0, 84.

b. Les évènements A et C sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

4. Calculer p

C

(A). Interpréter la réponse dans le contexte de l’exercice.

(19)

Partie B

On s’intéresse dans cette partie à la masse des pots de confiture.

On admet que la masse M (en gramme) d’un pot de confiture prélevé au hasard dans le stock est modé- lisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 250 et d’écart type 2, 5.

1. Donner la valeur de p(245 ⩽ M ⩽ ^255).

2. En déduire la probabilité qu’un pot de confiture ait une masse comprise entre 250 g et 255 g.

E

XERCICE

4 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Un village comptait 1 100 habitants en 2010. On a constaté depuis cette date une diminution annuelle de la population d’environ 5 %.

On modélise le nombre d’habitants de ce village à partir de 2010 par une suite géométrique (u

n

).

1. Pour tout entier naturel n, on a :

a. u

n

= 1 100 × 0, 95

ⁿ

b. u

n

= 1 100 × (1, 05)

ⁿ

c. u

n

= 1 100 − 0, 95n

2. La feuille de calcul ci-dessous, extraite d’un tableur, permet d’estimer le nombre d’habitants de ce village à partir de 2010.

A B C

1 Année Rang Nombre

d’habitants

2 2010 0 1 100

3 2011 1

4 2012 2

5 2013 3

6 2014 4

7 2015 5

8 2016 6

9 2017 7

10 2018 8

11 2019 9

12 2020 10

13 2021 11

14 2022 12

15 2023 13

16 2024 14

Le format de cellule a été choisi pour que tous les nombres de la colonne C soient arrondis à l’unité.

Une formule que l’on peut saisir dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la plage de cellules C3 : C9 est :

a. =C21,05 b. =C20,95 c. =C$2*0,95

(20)

3. Le nombre u

n

d’habitants aura diminué de moitié à partir de :

a. L’année 2024 b. L’année 2014 c. L’année de rang 13

4. Selon le modèle retenu, l’algorithme qui donne la première année pour laquelle le nombre d’ha- bitants aura diminué de moitié est :

a. Algorithme 1

Entrées A entier naturel u réel

Traitement u prend la valeur 1 100 A prend la valeur 2010 Tant que u > 550

u prend la valeur 0, 95 × u A prend la valeur A + 1 Fin de Tant que

Afficher A b. Algorithme 2

Entrées A entier naturel u réel

Traitement u prend la valeur 1 100 A prend la valeur 2010 Tant que u ⩽ ⁵⁵⁰

u prend la valeur 0, 95 × u A prend la valeur A + 1 Fin de Tant que

Afficher A c. Algorithme 3

Entrées A entier naturel u réel

Traitement u prend la valeur 1 100 A prend la valeur 2010 Tant que u > 550

u prend la valeur 0, 95 × u Fin de Tant que

Afficher A

(21)

Résultats et indices