1 L’algèbre de réalisabilité du domaine de Scott

La « bar-récursion » en réalisabilité classique : choix dépendant et bon ordre sur R

Jean-Louis Krivine

20 janvier 2015

Abstract.T. Streicher has shown [7], by means of abar recursion operator, that the realizability models of ZF, obtained from usual models ofλ-calculus (Scott domains, coherent spaces, . . .), satisfy the axiom of dependent choice.

In this note, we give a proof of this result, in the framework ofclassical realizability.

Moreover, we show that these realizability models satisfy the formula : “Ris well ordered”.

This formula is therefore realized by a closedλc-term.

We also show that every true formula of analysis is realized by a closedλc-term.

Introduction

T. Streicher a montré dans [7], en utilisant un opérateur dit debar-récursion, que les modèles de ZF, associés aux algèbres de réalisabilité obtenues à partir de l’un des modèles usuels du λ-calcul (domaines de Scott, espaces cohérents, . . .), satisfont l’axiome du choix dépendant.

On donne ici une preuve de ce résultat, dans le cadre de la réalisabilité classique (voir [5]) en prenant comme exemple le modèle de Scott.

Dans les sections 2 et 3, qui sont très semblables, on montre qu’un opérateur de bar-récur- sion réalise le choix dénombrable (CDen), puis le choix dépendant (DC). La preuve est un peu plus simple pour CDen.

Les idées sont tirées de [2], mais utilisées dans un contexte tout à fait différent.

On déduit de ce résultat que, dans le modèle de ZF associé à l’une de ces algèbres de réalisa- bilité,tout réel (plus généralement, toute suite d’ordinaux) est constructible.

La formule «Rest bien ordonné» est donc réalisée par unλc-terme clos.

On montre également quetoute formule vraie d’analyse est réalisée par unλc-terme clos.

1 L’algèbre de réalisabilité du domaine de Scott

Le domaine de Scott est l’un des modèles les plus simples duλ-calcul. On en rappelle ci- dessous rapidement la construction.

On fixe deux symbolesO,→ et on définit latramedu domaine de Scott comme le plus petit ensembleDtel que :

O∈D; siα∈Det siaest une partie finie deD, alors (a→α)∈D.

De plus, on identifie Oet (; →O).

L’ensemble des parties finies deDest notéD^∗.

On utilisera la notation a₁, . . . ,a_n→α pour a₁→(a₂→(· · ·(a_n→α)· · ·)) (aveca₁, . . . ,an∈D^∗).

Les éléments de la trameDsont appelésformulesou encoretypes.

Toute formule s’écrit, d’une façon et d’une seule, sous la forme a1, . . . ,an→O, avecan6= ;.

Ses autres écritures sont a₁, . . . ,a_n,;, . . . ,; →O. On définit, par induction, une relation d’ordre surD:

(a→α)≤(b→β)⇔α≤βet tout élément debest≤à un élément dea(ce qu’on écritb≤a).

Soient a₁, . . . ,a_k,b₁, . . . ,b_l∈D^∗, aveca_k,b_l6= ;. On a alors : (a₁, . . . ,a_k→O)≤(b₁, . . . ,b_l→O) ⇔ k≥letb₁≤a₁, . . . ,b_l≤a_l.

La borne inférieure (a₁, . . . ,a_k→O)u(b₁, . . . ,b_k→O) est (a₁∪b₁, . . . ,a_k∪b_k→O).

Oest le plus grand élément deD.

SiX ⊂D, lesegment initial(resp.terminal) engendré parX est l’ensemble : X^↓={β∈D; (∃α∈X)(β≤α)} (resp.X^↑={β∈D; (∃α∈X)(α≤β)}).

Poura,b∈D^∗, on a doncb≤a⇔b⊂a^↓. On écriraα^↓pour {α}^↓. On a O^↓=D.

Ledomaine de Scott, que nous notonsΛ, est l’ensemble des segments initiaux deD.

On définit surΛune opération binaire t,u7→(t)u, appeléeapplication, en posant : (t)u={α∈D; (∃a∈D^∗){a⊂u, (a→α)∈t}}.

On écrira souventt u₁. . .u_npour (. . . ((t)u₁) . . .)u_n.

Une fonction f :Λ→Λest ditecontinue croissante(c.c.en abrégé) si, pour toute suite crois- santetn∈Λ(c’est-à-diretn⊂tn+1) on af(S

ntn)=S

nf(tn).

PourX ⊂D, on posef(X)=f(X^↓).

On définitλx f(x) (ouλf)∈Λpar :λf ={a→α;α∈f(a),a∈D^∗}.

On a alors (λf)t=f(t) pour toutt∈Λ.

Cela permet de définir les valeurs desλ-termes clos et donc, en particulier, celles des com- binateurs B_=λxλyλz(x)(y)z,C_=λxλyλz xz y,I _=λx x,K_=λxλy x,W_=λxλy x y y.

On définit maintenant unealgèbre de réalisabilité[3, 5], notéeAA =(Λ,Π,⊥⊥⊥), qui est associée à ce domaine.¹

L’ensembleΛdes termes deAA vient d’être défini.

Π(ensemble des piles de l’algèbreAA) est l’ensemble des segments terminaux deD, qui sont clos paru(filtres). Il s’identifie àΛ^ω:

En effet, siπ∈Π, on définit la suitet_i∈Λ(i ∈ω) en posant : t_i =S

{a_i; (a₁, . . . ,a_i, . . . ,a_n→O)∈π}. On a alors : π={a₁, . . . ,an→O;ai⊂ti pour 1≤i≤n}.

Sit∈Λ,t=X^↓etπ∈Π, on at∩π6= ; ⇔X ∩π6= ;.

On pose :

⊥⊥⊥ ={t?π; t∩π6= ;}.

t

.

π={a→α;a⊂t,α∈π}.

k_π={a→δ;δ∈D,a∩π6= ;}=k⁰_π^↓, aveck⁰_π={{α}→O;α∈π}.

cc=cc^0↓, aveccc⁰={ {a→β}→α1u. . .uαnuβ; a={{α1}→O, . . . , {αn}→O} }.²

1. La construction de cette algèbre est due à T. Ehrhard et T. Streicher.

2. La définition de⊥⊥⊥,k_πetccdans les modèles usuels duλ-calcul est due à T. Ehrhard.

On vérifie que :

k_π?t

.

ρ∈ ⊥⊥⊥ ⇔t?π∈ ⊥⊥⊥, c’est-à-dire k⁰_π∩t

.

ρ6= ; ⇔t∩π6= ;.

En effet, si ({α}→O)∈t

.

ρavecα∈πalorsα∈t∩πet inversement.

cc_?t

.

π∈ ⊥⊥⊥ ⇔t?k_π

.

π∈ ⊥⊥⊥, c’est-à-direcc⁰_∩t

.

π6= ; ⇔t∩k_π

.

π6= ;.

En effet, si ({a → β}→ α1u. . .uαnuβ)∈ t

.

π avec a = {{α1} → O, . . . , {αn} → O}, alors α1, . . . ,αn,β∈π, donca⊂k_π; de plus, (a→β)∈t, donc (a→β)∈t∩k_π

.

π.

Inversement, si (a→β)∈t, aveca⊂k_πetβ∈π, on aa⊂a^0↓avec :

a⁰={{α1}→O, . . . , {αn}→O}, etα1, . . . ,αn∈π; donc (a⁰→β)∈tet ({a⁰→β}→γ)∈t

.

π, avec γ=α1u. . .uαnuβ. Donc ({a⁰→β}→γ)∈cc∩t

.

π.

Pour achever la définition de l’algèbre de réalisabilitéAA, il reste à choisir l’ensemble des quasi-preuves[3, 5]. On prend le plus petit possible, c’est-à-dire le plus petit sous-ensemble QPdeΛqui contient les valeurs des combinateursB,C,I,K,W,cc, et qui est clos par l’opéra- tion d’application.

Toute algèbre de réalisabilité permet de construire des modèles de ZF, à condition qu’elle satisfasse la condition decohérence[3, 5] :

Pour tout t∈QP, il existe une pileπ∈Πtelle que t?π∉ ⊥⊥⊥. Lemme 1. L’algèbre de réalisabilitéAA est cohérente.

Pour chaque formuleα∈D, on définit savaleur de vérité|α| ∈{0, 1} :

|O| =0 ;|a→α| =0⇔ |α| =0 et (∀β∈a)(|β| =1).

Pour chaquet∈Λ, on pose alors |t| =inf{|α|;α∈t}.

On vérifie facilement que|B_|,|C_|,|I_|,|K_|,|W_|,|cc_{| =}1 et que :

(∀t,u∈Λ)(|t| = |u| =1→ |t u| =1). Il en résulte que (∀t∈QP)(|t| =1).

Par suite, sit∈QP, alorsO∉t, donct?{O}∉ ⊥⊥⊥. La pileπcherchée est donc {O}.

C.Q.F.D.

Lemme 2. Pour chaque n∈ω, soit n=λfλx(f)ⁿx∈Λl’entier de Church n de l’algèbreAA. Il existeνn∈D tel queνn∈n etνn∉m pour m6=n.

On définit une suiteµn∈Dpar récurrence : µ0=({O}→O) ; µn+1=(; →µn).

On pose I_n=nK I. On a immédiatement µn∈I_n, par récurrence.

Il existe doncan,bn∈D^∗, avecan⊂Ketbn⊂I, tels que (an,bn→µn)∈n.

On poseνn=(a_n,b_n→µn).

On montre queµm∉I_nsim6=n: c’est immédiat pourn=0, puisque I₀₌I.

Sim=0,n6=0 etµ0∈In, on a ({O}→O)∈K In−1, donc In−1=O^↓=D, ce qui est faux.

Si m,n 6= 0 etµm ∈ In, on a (; →µm−1)∈K In−1, donc µm−1∈ In−1, d’où le résultat par récurrence.

On a alorsνm=(am,bm→µm)∉npourm6=n, puisqueµm∉nK I,am⊂Ketbm⊂I.

C.Q.F.D.

Le théorème 1 ci-dessous exprime la seule propriété de l’algèbreAA utilisée dans la suite.

Théorème 1. Pour toute suiteξn∈Λ(n∈ω), il existe φ∈Λtel que :

• φn=ξnpour tout n∈ω;

• pour tout θ∈Λtel que θφ||− ⊥, il existe k ∈ωtel que θφ⁰||− ⊥pour tout φ⁰∈Λtel que φ⁰n=ξnpour tout n≤k.

On poseφ={({νn}→α) ;n∈ω,α∈ξn}. On a immédiatementφn=ξn, d’après le lemme 2.

Par ailleurs, on a θφ||− ⊥ ⇔ O∈θφ ⇔ il existea⊂φtel que (a→O)∈θ.

Or,aest une partie finie deφ, et on a O∈θφ⁰pour toutφ⁰∈Λtel quea⊂φ⁰. On obtient la deuxième partie du théorème en prenant pourkle plus grand entier tel que ({νk}→α)∈a, avecα∈ξk.

C.Q.F.D.

L’opérateur de bar-récursion

On définit ci-dessous deuxλ-termes clos (quasi-preuves)χetΨ.

Dans ces définitions, les variablesi,kreprésentent (intuitivement) des entiers et la variablef une fonction de domaineω, à valeurs quelconques dansΛ:

χk f zi=f i sii <k;χk f zi=zsii ≥k.

On a donc :

χ=λkλfλzλi((i<k)(f)i)z où le booléen (i<k) est défini par :

(i<k)=((k A)λd0)(i A)λd1 avec0=λxλy y,1=λxλy xetA=λxλy y x.

Le termeχk f est une représentation, enλ-calcul, de la suite finie〈f0,f1, . . . ,f k−1〉.

Ψg uk f =(u)(χk f)(g)λz(Ψg uk⁺)(χ)k f z oùk⁺=λyλx(k y)(y)xest le successeur dekdans les entiers. On a donc :

Ψ=λgλu(Y)λhλkλf(u)(χk f)(g)λz(hk⁺)(χ)k f z. Le termeΨest appeléopérateur de bar-récursion.

2 Réaliser le choix dénombrable

On écritl’axiome du choix dénombrablesous la forme :

(CDen) ∀n^גω¬∀x^גX¬F[n,x],∀f^ג(Xω)¬∀n^intF[n,f(n)]→ ⊥

oùX est un ensemble quelconquenon vide, du modèle de baseM, etF(n,x) une formule quelconque de ZF_ε, à deux variables libres, avec paramètres.³

On sait que, dans le modèle de réalisabilité (N ,ε),ω(resp.X) est un sous-ensemble deג^ω (resp. ג^{X), et} ג^(Xω) est un sous-ensemble de (ג^X)גω (voir [5]). Donc, si f εג^{(Xω), alors f} définit une fonction deωdansג^X.

Théorème 2. λgλu(Ψ)g u0||− CDen.

L’axiome du choix dénombrable est donc réalisé dans le modèle de ZF associé à l’algèbre réalisabilité du domaine de Scott (il suffit, en fait, que l’algèbre de réalisabilité considérée satisfasse la propriété énoncée au théorème 1).

SoientG,U∈Λtels que G||− ∀n¬∀x^גX¬F[n,x] et U ||− ∀f^גXω¬∀n^intF[n,f(n)].

On poseH=ΨGU et on doit montrerH0||− ⊥.

3. Le symboleגet les quantificateurs restreints∀x^גX,∀nint sont définis dans [5].

Lemme 3. Soient k∈ωet φ∈Λ, tels que (∀i<k)(∃a_i∈X)(φi ||−F[i,a_i]).

Si H kφ6||− ⊥, alors il existe ak∈X etζk,φ||−F[k,a_k]tel que(H k⁺)(χ)kφζk,φ6||− ⊥.

Soita∈X fixé. Posonsηk,φ=λz(H k⁺)(χ)kφz, d’oùH kφ=(U)(χkφ)(G)ηk,φ. Si ηk,φ||− ∀x^גX¬F[k,x], alorsGηk,φ||− ⊥et donc (χkφ)(G)ηk,φ||− ∀n^intF[n,f_k(n)], oùf_k:ω→X est définie parf_k(i)=a_i pouri <k; f_k(i)=apouri ≥k.

En effet, si on pose φ⁰=(χkφ)(G)ηk,φ, on a :

φ⁰i=φi ||−F[i,ai] pouri <ketφ⁰i =(G)ηk,φ||− ⊥pouri≥k, et doncφ⁰i ||−F[i,a].

Il en résulte que (U)(χkφ)(G)ηk,φ||− ⊥, autrement ditH kφ||− ⊥.

On a ainsi montré que, si H kφ6||− ⊥, alors ηk,φ6||− ∀x^גX¬F[k,x], ce qui donne immédiate- ment le résultat voulu.

C.Q.F.D.

Soitφ0∈Λtel que H0φ06||− ⊥. En appliquant le lemme 3, on définit a_k ∈X et φk ∈Λpar récurrence, en posant φ_k+1=χkφkζk,φk.

On montre alors immédiatement, par récurrence surk:

φki ||−F[i,a_i]pour i<k ; φki=φk+1i pour i <k ; H kφk6||− ⊥. On peut alors définir :

une fonctionf :ω→X telle quef(i)=a_i pour touti∈ω;

et, au moyen du théorème 1, un termeφ∈Λtel queφi =φkipouri,k∈ωaveci<k.

La fonctionφ:ω→Λest le prolongement commun desφk^{k (}φkrestreinte à{0, 1, . . . ,k−1}).

On a doncφi ||−F[i,f(i)] pour touti∈ω, autrement dit φ||− ∀n^intF[n,f(n)].

Il en résulte que Uφ||− ⊥. D’après le théorème 1, il existe donc un entierk tel queUφ⁰||− ⊥, pour toutφ⁰∈Λtel queφ⁰i=φi pouri<k.

On a donc, en particulier, (U)(χkφk)ξ||− ⊥quel que soitξ∈Λ.

Or, on a H kφk=(U)(χkφk)(G)ηk,φk et donc H kφk ||− ⊥, ce qui est une contradiction.

On a ainsi montré que H0φ0||− ⊥quel que soitφ0∈Λ, et donc H0||− ⊥.

C.Q.F.D.

3 Réaliser le choix dépendant

On écritl’axiome du choix dépendantsous la forme :

(DC) ∀x^גX¬∀y^גX¬F[x,y],∀f^ג(Xω)¬∀n^intF[f(n),f(n+1)]→ ⊥

oùX est un ensemble quelconquenon vide, du modèle de baseM, etF[x,y] une formule quelconque de ZF_ε, à deux variables libres, avec paramètres.

Théorème 3. λgλu(Ψ)g u0||− DC.

L’axiome du choix dépendant est donc réalisé dans le modèle de ZF associé à l’algèbre de réalisabilité du domaine de Scott (ou, plus généralement, pour toute algèbre de réalisabilité satisfaisant la propriété énoncée au théorème 1).

SoientG,U∈Λtels que G||− ∀x^גX¬∀y^גX¬F[x,y] etU ||− ∀f^גXω¬∀n^intF[f(n),f(n+1)].

On poseH=ΨGU et on doit montrerH0||− ⊥.

Lemme 4. Soient k∈ω, a₀, . . . ,a_k∈X et φ∈Λ, tels que (∀i<k)(φi ||−F[a_i,a_i+1]).

Si H kφ6||− ⊥, alors il existe a_k+1∈X et ζ||−F[a_k,a_k+1]tel que(H k⁺)(χ)kφζ6||− ⊥.

Posonsηk=λz(H k⁺)(χ)kφz, d’oùH kφ=(U)(χkφ)(G)ηk.

Si ηk||− ∀y^גX¬F[a_k,y], alorsGηk||− ⊥et donc (χkφ)(G)ηk||− ∀n^intF[f_k(n),f_k(n+1)], oùf_k:ω→X est définie parf_k(i)=a_i pouri <k; f_k(i)=a_kpouri≥k.

En effet, si on pose φ⁰=(χkφ)(G)ηk, on a :

φ⁰i=φi ||−F[ai,ai+1] pouri<ketφ⁰i=(G)ηk||− ⊥pouri ≥k.

On a doncφ⁰i ||−F[f_k(i),f_k(i+1)] pour touti ∈ω.

Il en résulte que (U)(χkφ)(G)ηk||− ⊥, autrement ditH kφ||− ⊥.

On a ainsi montré que, siH kφ6||− ⊥, alorsηk 6||− ∀y^גX¬F[a_k,y], ce qui donne immédiatement le résultat voulu.

C.Q.F.D.

Soient a0∈X et φ0∈Λtel que H0φ06||− ⊥. En appliquant le lemme 4, on définita_k ∈X et φk∈Λpar récurrence, en posant φk+1=χkφkζ, oùζest fourni par le lemme 4, où l’on fait φ=φk. On montre alors immédiatement, par récurrence surk:

φki ||−F[a_i,a_i+1]pour i <k ; φki=φk+1i pour i≤k ; H kφk6||− ⊥. On peut alors définir :

une fonctionf :ω→X telle quef(i)=a_i pour touti∈ω;

et, au moyen du théorème 1, un termeφ∈Λtel queφi =φkipouri,k∈ωaveci<k.

La fonctionφ:ω→Λest le prolongement commun desφk^k.

On a doncφi ||−F[f(i),f(i+1)] pour touti ∈ω, autrement dit φ||− ∀n^intF[f(n),f(n+1)].

Il en résulte que Uφ||− ⊥. D’après le théorème 1, il existe donc un entierk tel queUφ⁰||− ⊥, pour toutφ⁰∈Λtel queφ⁰i=φi pouri<k.

On a donc, en particulier, (U)(χkφk)ξ||− ⊥quel que soitξ∈Λ.

Or, on a H kφk=(U)(χkφk)(G)ηket donc H kφk||− ⊥, ce qui est une contradiction.

On a ainsi montré que H0φ0||− ⊥quel que soitφ0∈Λ, et donc H0||− ⊥.

C.Q.F.D.

4 Un bon ordre sur R

Dans cette section, on utilise les notations et les résultats de [5] et [6].

SiF est une formule close de ZF_ε, la notation ||−F signifie qu’il existe unλc-terme clos θ tel que θ||−F.

Dans la section 2, on a réalisé l’axiome du choix dénombrable sous la forme (CDen). On considère ici le cas particulierX ={0, 1}. On obtient, en ajoutant un paramètreφ:

||− ∀φ¡

∀n^int∃x^ג2F(n,x,φ)→ ∃f^ג(2ω)∀n^intF(n,f(n),φ)¢ pour toute formuleF(n,x,φ) de ZF_ε.

En particulier, en prenantφε2^ωetF(n,x,φ)≡(x=φ(n)) (c’est-à-dire (n,x)εφ), on trouve :

||−(∀φε2^ω)∃f^ג(2ω)∀n^int(f(n)=φ(n)).

Donc, dans le modèle de réalisabilitéN , toute fonctionφ: ω→ 2, (c’est-à-dire tout réel) est la restriction àωd’une fonction f εג^(2ω) (qui est elle-même une fonction deג^ωdansג^2, d’après [5]).

Dans le modèle de baseM, soientg⊂ωet f ∈2^ωsa fonction caractéristique.

On a évidemment I||−f(n)= 〈n∈g〉, pour toutn∈ω.⁴Il en résulte que : λx xI _{||− ∀}f^ג(2ω)∃g∀n^גω(f(n)= 〈n∈g〉).

On a montré ainsi que :

||−(∀φε2^ω)∃g∀n^int(φ(n)= 〈n∈g〉).

Or, dans [6], on a construit un ultrafiltreD :ג²→2 sur l’algèbre de Booleג2, ayant la pro- priété suivante : le modèleN , muni des deux relations binairesD(〈x∈y〉),D(〈x=y〉), est un modèle de ZF, notéM_D, qui est une extension élémentaire du modèleM de base. De plus,M_D est isomorphe à un sous-modèle transitif deN , qui contient tous les ordinaux deN.

M_Dsatisfait l’axiome du choix, car on suppose queM |=ZFC.

Si on suppose queM |= V = L, alorsM_Dest isomorphe à la classe des constructibles deN. Pour touteφ:ω→2, on a évidemmentD(φ(n))=φ(n). Par suite :

||−(∀φε2^ω)∃g∀n^int(φ(n)=D(〈n∈g〉)).

Cela montre que le sous-ensemble deωdéfini parφest dans le modèleMD: c’est, en effet, l’élémentg de ce modèle.

On a ainsi montré queN etM_Dont les mêmes réels.

DoncRest bien ordonné dansN , et on a : ||−(Rest bien ordonné).

Si le modèleM de base satisfait V = L, on a de plus : ||− (tout réel est constructible).

De plus, commeN etMD ont les mêmes réels, toute formule d’analyse (formule close à quantificateurs restreints à N ouR) a la même valeur de vérité dans M_D,M ouN . Il en résulte que :

Pour toute formule d’analyse F , on a M |=F si et seulement si ||−F . En particulier, on a ||−F ou ||− ¬F.

Références

[1] S. Berardi, M. Bezem and T. Coquand.On the computational content of the axiom of choice.J. Symb. Logic 63, 2 (1998) p. 600-622.

[2] U. Berger and P. Oliva.Modified bar recursion and classical dependent choice.

Proc. Logic Colloquium 2001 - Springer (2005) p. 89-107.

[3] J.-L. Krivine.Realizability algebras : a program to well orderR. Logical Methods in Computer Science vol. 7, 3 :02 (2011) p. 1-47.

[4] J.-L. Krivine.Realizability algebras II : new models of ZF + DC.

Logical Methods in Computer Science, vol. 8, 1 :10 (2012) p. 1-28.

[5] J.-L. Krivine.Realizability algebras III : some examples.To appear (2013)⁵.

[6] J.-L. Krivine.On the structure of classical realizability models of ZF.To appear (2014).

[7] T. Streicher. A classical realizability model arising from a stable model of untyped λ- calculus.To appear (2013).

4. La notation〈F〉, oùFest une formule close de ZF, avec paramètres, est définie dans [6].

5. Les articles [3, 4, 5, 6] se trouvent à www.pps.univ-paris-diderot.fr/˜krivine/