ÉCS2
Memento sur les Polynômes.
1 - Polynômes et racines.
• Soitα∈CetP∈C[X].
α racine deP⇐⇒déf. P(α) = 0⇔X−α diviseP⇔ ∃Q∈C[X],P = (X−α)Q.
αracine de P de multipliciték
⇐⇒déf. (X−α)k divise P et(X−α)k+1 ne divise pas P
⇐⇒ ∃Q∈C[X],P = (X−α)kQet Q(α)6= 0
⇐⇒P(α) = P0(α) =· · ·= P(k−1)(α) = 0 etP(k)(α)6= 0.
• (D’Alembert-Gauss) Tout polynôme non constant deC[X]admet au moins une racine complexe.
• Le nombre de racines d’un polynôme non constant comptées avec leur multipli- cité est égale au dégré de ce polynôme.
• Un polynôme de degré nayant au moinsn+ 1racines comptées avec leur mul- tiplicité est le polynôme nul.
• Si un polynôme P à coefficients réels admet une racine complexe α, alors le complexe conjuguéαest aussi racine deP, de même multiplicité queα.
• Pour factoriser un polynôme à coefficients réels lorsqu’il possède des racines complexes, on regroupe deux à deux les racines conjuguées, car
(X−α)(X−α) = X2−2Re(α) +|α|2 est à coefficients réels.
2 - Division euclidienne.
• Pour tous polynômesA etB6= 0, il existe deux polynômes uniquesQetRtels que : A = B.Q + Ret deg(R)<deg(B).
Qet Rsont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de A parB.
• Si R = 0, on dit queAest divisible parBou queAest un mutliple de B.
• Pour déterminer R sans chercher Q, on peut évaluer la relation A(X) = B(X)Q(X) + R(X) pour X racine de B, et éventuellement dériver cette relation si B a des racines multiples.
3 - Un exemple.
SoitP = X3−1.Pest un polynôme de degré3à coefficients réels. Or les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1, donc P est réductible dans C[X] : il peut s’écrire comme le produit de polynômes complexes de degré 1. De même, les polynômes irréductibles deR[X]sont les polynômes de degré1et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif. P est donc réductible : il peut s’écrire comme le produit de deux polynômes réels de degré strictement inférieur à3.
Factorisation deP dansC[X].
• Je détermine les racines deP:z3= 1se résout facilement en posantz=eiα.
z3= 1⇔e3iα=ei0⇔ ∃k∈Z,3α= 2kπ⇔ ∃k∈Z, α= 2kπ 3 .
• En posantj =e 2π
3 i,j=e 4π
3 i, les3racines complexes dePsont1, jet j et : X3−1 = (X−1)(X−j)(X−j).
Factorisation de PdansR[X].
• Première méthode :
J’utilise la factorisation précédente en regroupant les deux racines complexes conju- guées, car
(X−j)(X−j) = X2−2(j+j)X +jj= X2−2Re(j) +|j|2= X2+ X + 1∈R[X].
Alors
X3−1 = (X−1)(X2+ X + 1).
• Seconde méthode (moins générale) :
Je remarque que 1est une racine deP:Pest donc divisible parX−1.
J’effectue la division euclidienne de PparX−1et j’obtiens X3−1 = (X−1)(X2+ X + 1).
4 - Quelques formules...
• Produit (de Cauchy) de deux polynômes :
m
X
k=0
akXk
! n X
j=0
bjXj
!
=
m+n
X
i=0
ciXi
!
avecci= X
k+j=i
akbj=
i
X
k=0
akbi−k.
• Formule de Taylor :
∀a∈C, ∀P∈Cn[X], P =
n
X
k=0
P(k)(a)
k! (X−a)k.
Remarque :Très utile pour passer de la base canonique(Xk)06k6ndeRn[X]à toutes bases du type (X−a)k
06k6n oùaest un réel quelconque fixé.
• Formule de Leibniz :
∀(P,Q)∈C[X], (PQ)(n)=
n
X
k=0
n k
P(k)Q(n−k)=
n
X
k=0
n k
P(n−k)Q(k).
Remarque : Très utile lorsque l’un des deux polynômes est de bas degré. En effet, sideg P =d, alorsP(k)= 0dès quek > det alors :
(PQ)(n)= d X
k=0
n k
P(k)Q(n −k)
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