[ Baccalauréat S 2009 \ L’intégrale de septembre 2008 à juin 2009

(1)

L’intégrale de septembre 2008 à juin 2009

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bleus

Antilles–Guyane septembre 2008 . . . 3

France et Réunion septembre 2008 . . . 7

Polynésie obligatoire septembre 2008 . . . 8

Nouvelle-Calédonie novembre 2008 . . . 15

Amérique du Sud novembre 2008 . . . 20

Nouvelle-Calédonie mars 2009 . . . 24

Pondichéry avril 2009 . . . .27

Amérique du Nord mai 2009 . . . .30

Liban mai 2009 . . . 35

Centres étrangers juin 2009 . . . .40

Asie juin 2009 . . . 44

Polynésie juin 2009 . . . 48

Métropole 23 juin 2009 . . . 53

La Réunion juin 2009 . . . 58

Antilles-Guyane juin 2009 . . . 63

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Baccalauréat S : l’intégrale 2009 A. P. M. E. P.

2

(3)

septembre 2008

EXERCICE1 4 points

Commun à tous les candidats

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

PARTIE A : On définit :

– la suite (un) par :u0=13 et, pour tout entier natureln,un+1=1 5un+4

5. – la suite (Sn) par : pour tout entier natureln,Sn=

Xn k=0

uk=u0+u1+u2+···+un. 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln,un=1+12

5ⁿ. En déduire la limite de la suite (u_n).

2. a. Déterminer le sens de variation de la suite (Sn).

b. CalculerSnen fonction den.

c. Déterminer la limite de la suite (Sn).

PARTIE B :

Étant donné une suite (xn), de nombres réels, définie pour tout entier natureln, on considère la suite (Sn) définie parSn=

Xn k=0

xk.

Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.

Justifier dans chaque cas.

Proposition 1 : si la suite (xn) est convergente, alors la suite (Sn) l’est aussi.

Proposition 2 : les suites (xn) et (Sn) ont le même sens de variation.

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct³

O,−→u,−→v´ .

1. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation díinconnue z:

z²−2p

3z+4=0.

2. On considère les points A d’affixezA=p

3−i, B d’affixezB=p

3+i et C le milieu de [OB] d’affixezC.

a. Déterminer la forme exponentielle dezA,zBetzC.

b. Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2 cm pour unité.

c. Montrer que le triangle OAB est équilatéral.

3. Soit D l’image de C par la rotationrde centre O, d’angle−π

2 et E l’image de D par la translationtde vecteur 2−→v.

(4)

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Placer les points D et E sur une figure.

b. Montrer que l’affixez_Edu point E vérifie :z_E=1 2

£1+i¡ 4−p

3¢¤

. c. Montrer que OE = BE=p

5−2p 3.

4. Montrer que les points A, C et E sont alignés.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité PARTIE A :

On considère le système de congruences : (S)

½ n ≡ 2 (modulo 3)

n ≡ 1 (modulo 5) , oùndésigne un entier relatif.

1. Montrer que 11 est solution de (S).

2. Montrer que sinest solution de (S) alorsn−11 est divisible par 3.

3. Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11+15k, où kdésigne un entier relatif.

PARTIE B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³

O,−→u,→−v´ .

On considère l’application f du plan qui à tout pointMd’affixezassocie le point d’affixez^′etgcelle qui à tout pointMd’affixezassocie le point d’affixez^′′définies par :

z^′=1+ip 3

2 z et z^′′=eⁱ^π⁵z.

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applicationsf etg.

2. On considère les pointsA0etB0d’affixes respectivesa0=2e⁻²ⁱ^π³ etb0=4e⁻ⁱ^π⁵. Soient (An) et (Bn) les suites de points définies par les relations de récur- rences :

An+1=f(An) et Bn+1=g(Bn).

On noteanetbnles affixes respectives deAnetBn.

a. Quelle est la nature de chacun des triangles OAnAn+1? b. En déduire la nature du polygoneA0A1A2A3A4A5.

3. a. Montrer que les pointsBnsont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

b. Indiquer une mesure de l’angle³−−−→OBn,−−−−−→OBn+2

´. c. En déduire la nature du polygoneB0B2B4B6B8. 4. a. Exprimera_netb_nen fonction den.

b. Montrer que les entiersnpour lesquels les pointsAnetBnsont simulta- nément sur l’axe des réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.

Antilles-Guyane 4 septembre 2008

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EXERCICE3 7 points Commun à tous les candidats

Soitf la fonction définie surRpar :

f(x)=x+2− 4e^x e^x+3.

On désigne parCsa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→

 ´

d’unité graphique 2 cm.

1. a. Déterminer la limite def en−∞.

b. Démontrer que la droiteD₁d’équationy=x+2 est asymptote à la courbe C.

c. Étudier la position deC par rapport àD₁.

2. a. On notef^′la fonction dérivée de f. Calculer f^′(x) et montrer que, pour tout réelx, on a :

f^′(x)= µe^x−3

e^x+3

¶2

b. Étudier les variations def surRet dresser le tableau de variations de la fonctionf.

3. a. Que peut-on dire de la tangenteD₂à la courbeC au point I d’abscisse ln 3 ?

b. En utilisant les variations de la fonctionf, étudier la position de la courbe C par rapport àD₂.

4. a. Montrer que la tangenteD₃à la courbeC au point d’abscisse 0 a pour équation :y=1

4x+1.

b. Étudier la position de la courbeC par rapport à la tangenteD₃sur l’intervalle ]− ∞; ln 3].

On pourra utiliser la dérivée seconde def notéef^′′définie pour toutx deRpar :

f^′′(x)=12e^x(e^x−3) (e^x+3)³ .

5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbeC.

Tracer la courbeC, les tangentesD₃,D₃et les asymptotes à la courbeC. On rappelle que l’unité graphique choisie est 2 cm.

6. a. Déterminer une primitive de la fonctiongdéfinie surRpar :g(x)= e^x e^x+3. b. Soitλun réel strictement négatif.

On noteA(λ) l’aire, en unités d’aire, du domaine limité parD₁,C et les droites d’équationsx=λetx=0.

Montrer queA(λ)=4ln 4−4ln¡ e^λ+3¢

. c. Calculer lim

λ→−∞

A(λ).

Commun à tous les candidats On dispose de deux urnesU1etU2.

L’urneU1contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

(6)

L’urneU2contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urneU1, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urneU1puis de tirer au hasard une bille de l’urne U2, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urneU2.

À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S’il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.

On note

V1l’évènement : « le joueur tire une boule verte dansU1» V2l’évènement : « le joueur tire une boule verte dansU2».

Les évènementsV₁etV₂sont indépendants.

1. Montrer, à l’aide d’un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 estp=0,06.

2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d’entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.

On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à 10⁻⁴ près.

4. On appellenle nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.

On notepnla probabilité que l’une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.

Déterminer la plus petite valeur denvérifiantpn>0,99.

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[ Baccalauréat S Métropole & La Réunion \ septembre 2008

Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.

La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.

La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.

Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.

La règle du jeu est la suivante :

• Le joueur mise 1(et lance la roue A.

• S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête.

• S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête.

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Soient E et F les évènements :

E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges » ; F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».

Montrer quep(E)=0,02 etp(F)=0,17.

3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10(; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2(; sinon il ne reçoit rien.

X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1().

a. Déterminer la loi de probabilité deX.

b. Calculer l’espérance mathématique deX et en donner une interpréta- tion.

4. Le joueur décide de jouernparties consécutives et indépendantes (ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)

a. Démontrer que la probabilitépnqu’il lance au moins une fois la roue B est telle quepn=1−(0,9)ⁿ.

b. Justifier que la suite de terme généralp_n est convergente et préciser sa limite.

c. Quelle est la plus petite valeur de l’entiernpour laquellep_n>0,9 ?

On se propose de déterminer toutes les fonctionsf définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ;+∞[ vérifiant l’équation différentielle

(E) : x f^′(x)−(2x+1)f(x)=8x².

1. a. Démontrer que sif est solution de (E) alors la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parg(x)= f(x)

x est solution de l’équation différentielle (E^′) : y^′=2y+8.

(8)

b. Démontrer que sih est solution de (E^′) alors la fonction f définie par f(x)=xh(x) est solution de (E).

2. Résoudre (E^′) et en déduire toutes les solutions de (E),

3. Existe-t-il une fonction f solution de l’équation différentielle (E) dont la re- présentation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln2 ; 0) ? Si oui la préciser.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct³³−−→

AB ,−−→

AD´

=π 2

´. On note I son centre et J le milieu de [AI].

1. C est le barycentre des points pondérés (A,m), (B, 1) et (D, 1) lorsque :

a. m= −2 b. m=2 c. m= −1 d. m=3

2. a. B est l’image de C par la rotation de centre I et d’angleπ 2.

b. Le rapport de l’homothétie de centre C qui transforme I en J est2 3. c. Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.

d. J est l’image de I par la translation de vecteur1 2

−−→BA+1 4

−−→DB . 3. L’ensemble des pointsMdu plan tels quek−−→MA+−−→MCk =AB est :

a. la médiatrice de [AC].

b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI].

d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

4. L’ensemble des pointsMdu plan tels que :

³2−−→MA+−−→MB+−−−→MD´

·

³−−→MA−−−→MC´

=0 est :

a. la médiatrice de [AC].

b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI].

d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

On considère la suite numérique (Jn) définie, pour tout entier naturelnnon nul, par Jn=

Z_n

1 e⁻^tp 1+tdt.

1. Démontrer que la suite (Jn) est croissante.

Métropole & La Réunion 8 septembre 2008

(9)

2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas.

On définit la suite (In), pour tout entier naturelnnon nul, par : In=

Z_n

1 (t+1)e⁻^tdt.

a. Justifier que, pour toutt>_{1, on a}^p_t₊₁6_t₊_1.

b. En déduire queJn6In.

c. CalculerInen fonction den. En déduire que la suite (Jn) est majorée par un nombre réel (indépendant den).

d. Que peut-on en conclure pour la suite (Jn) ?

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct³

O,−→u,−→v´ .

On réalisera une figure en prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère les points A, B et I d’affixes respectiveszA=1,zB=5 etzI=3+i.

On note (C) le cercle de centre O et de rayon 1, (∆) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle (C) en A.

À tout pointMd’affixez, différent de A, on associe le pointM^′d’affixez^′telle que : z^′=z−5

z−1. Le pointM^′est appelé l’image deM.

Partie A

1. Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point I^′image de I.

Vérifier que I^′appartient à (C).

2. a. Justifier que pour tout pointMdistinct de A et B, on a : OM^′=MB MA. b. Justifier que pour tout pointMdistinct de A et B, on a :

³−−→OA ,−−−→

OM^′´

=³−−→MA ,−−→MB´ . Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Dans la suite de l’exercice,M désigne un point quelconque de (∆). On cherche à construire géométriquement son imageM^′.

1. Démontrer queM^′appartient à (C).

2. On note (d) la droite symétrique de la droite (AM) par rapport à la tangente (T). (d) recoupe (C) enN.

a. Justifier que les triangles AMB et AONsont isocèles.

Après avoir justifié que³−−→AO ,−−→AN´

=³−−→AM,−−→AB´

démontrer que

³−−→OA ,−−→ON´

=

³−−→MA ,−−→MB´ .

b. En déduire une construction deM^′.

(10)

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct³

O,−→u,−→v´ .

On réalisera une figure en prenant 4 cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère le point A d’affixezA=1.

Partie A

kest un réel strictement positif ;f est la similitude directe de centre O de rapportk et d’angleπ

3.

On note A0= A et pour tout entier natureln, An+1=f(An).

1. a. Étant donné un pointMd’affixez, déterminer en fonction dezl’affixez^′ du pointM^′image deMparf.

b. Construire les points A0, A1, A2et A3dans le cas particulier oùkest égal à1

2.

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entiern, l’affixezndu pointAn

est égale àkⁿe^inπ³ .

b. En déduire les valeurs denpour lesquelles le pointAn appartient à la demi droiteh

O ;−→u´

et, dans ce cas, déterminer en fonction deket den l’abscisse deAn.

Partie B

Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Désormais,kdésigne un entier naturel non nul.

1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.

2. Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l’entier naturelkpour laquellek⁶est un multiple de 2008.

3. Pour quelles valeurs des entiersnetkle pointAnappartient-il à la demi droite hO ;−→

u´

avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?

(11)

[ Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie \ septembre 2008

On rappelle que la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B est réa- lisé se note pB(A).

Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule de l’urne :

• si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires.

• si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoutenboules noires supplémentaires.

On tire ensuite au hasard une seconde boule de l’urne.

On note :

• B1l’évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »

• B₂l’évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage »

• Al’évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

1. Dans cette question, on prendn=10.

a. Calculer la probabilitép(B1∩B2) et montrer quep(B2)=3 4. b. CalculerpB2(B1).

c. Montrer quep(A)= 3 10. 2. On prend toujoursn=10.

Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.

On appelleXla variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisa- tions de l’évènementA.

a. Déterminerp(X=3). (On donnera la réponse à 10⁻²près).

b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX. 3. Dans cette questionnest un entier supérieur ou égal à 1.

Existe-t-il une valeur denpour laquellep(A)=1 4?

On donne la propriété suivante :

« par un point de l’espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée » Sur la figure donnée en annexe, on a représenté le cube ABCDEFGH d’arête 1.

On a placé :

les points I et J tels que−→BI=2 3

−−→BC et−→EJ=2 3

−−→EH . le milieu K de [IJ].

On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).

Partie A

(12)

1. Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F.

En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.

On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.

2. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).

3. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).

4. a. Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.

b. En déduire que les points F, P et K sont alignés.

Partie B

L’espace est rapporté au repère orthonormal³ A ;−−→

AB ,−−→

AD ,−→

AE´ . On appelleNle point d’intersection de la droite (GP) et du plan (ADB).

On note (x;y; 0) les coordonnées du pointN. 1. Donner les coordonnées des points F, G, I et J.

2. a. Montrer que la droite (GN) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).

b. Exprimer les produits scalaires−−→GN ·−FI et→ −−→GN ·−FJ en fonction de→ xety. c. Déterminer les coordonnées du pointN.

3. Placer alors le point P sur la figure en annexe.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l’ensemble (E) des suites (x_n) définies surNet vérifiant la relation suivante :

pour tout entier naturelnnon nul,x_n+1−x_n=0,24x_n−1.

1. On considère un réelλnon nul et on définit surNla suite (tn) partn=λⁿ. Démontrer que la suite (tn) appartient à l’ensemble (E) si et seulement siλest solution de l’équationλ²−λ−0,24=0.

En déduire les suites (tn) appartenant à l’ensemble (E).

On admet que (E) est l’ensemble des suites (un) définies surNpar une relation de la forme :

un=α(1,2)ⁿ+β(−0,2)ⁿ oùαetβsont deux réels.

2. On considère une suite (un) de l’ensemble (E).

Déterminer les valeurs deαetβtelles queu0=6 etu1=6,6.

En déduire que, pour tout entier natureln,u_n=39

7 (1,2)ⁿ+3

7(−0,2)ⁿ. 3. Déterminer lim

n→+∞un. Partie B

On considère la suite (vn) définie surNpar :

v₀=6 et, pour tout entier natureln,v_n+1=1,4v_n−0,05v²_n 1. Soitf la fonction définie surRparf(x)=1,4x−0,05x².

a. Étudier les variations de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 8].

Polynésie 12 septembre 2008

(13)

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 06_v_n_<_v_n₊₁6_8.

2. En déduire que la suite (vn) est convergente et déterminer sa limiteℓ.

On considère la fonctionf définie surRpar f(x)=ln¡

e^x+2e^−x¢ .

La courbe (C) représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal est donnée en annexe.

Partie A - Étude de fonctionf.

1. Montrer que, pour tout réelx, f(x)=x+ln¡

1+2e⁻^2x¢ . On admet que, pour tout réelx,f(x)= −x+ln¡

2+e^2x¢ . 2. Calculer lim

x→+∞f(x) et montrer que la droite (d) d’équationy=xest asymptote à (C).

Étudier la position relative de (C) et de (d).

3. Calculer lim

x→−∞f(x) et montrer que la droite (d^′) d’équation y= −x+ln 2 est asymptote à (C).

4. Étudier les variations de la fonctionf.

Montrer que le minimum de la fonctionf est égal à3 2ln2.

5. Tracer les droites (d) et (d^′) sur la feuille annexe.

Partie B - Encadrement d’une intégrale.

On poseI= Z₃

2 [f(x)−x] dx.

1. Donner une interprétation géométrique deI. 2. Montrer que, pour toutX∈[0 ;+∞[, ln(1+X)6_X_. 3. En déduire que 06I6

Z3

2 2e⁻^2xdxet donner un encadrement deId’ampli- tude 0,02.

(14)

Annexe

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

EXERCICE 2

A

B C

D E

F

G H

I J

K +

EXERCICE 4

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

−

→ı

−

→

(15)

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2008 \

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal³ O,→−

ı ,−→

 ,−→ k´

on considère les points : A(3 ;−2 ; 1) B(5 ; 2 ;−3)

C(6 ;−2 ;−2) D(4 ; 3 ; 2)

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle.

2. a. Montrer que le vecteur−→n(2 ; 1 ; 2) est un vecteur normal au plan (ABC).

b. En déduire une équation du plan (ABC).

c. Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3.

3. Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume.

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal³

O,−→u,−→v´ .

1. On considère les points A, B et C d’affixes respectiveszA=2+2i, zB=2i et zC=2 ainsi que le cercleΓde centre A et de rayon 2.

La droite (OA) coupe le cercleΓen deux points H et K tels que OH<OK. On notezHetzKles affixes respectives des points H et K,

a. Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.

b. Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.

c. Justifier, à l’aide des notions de module et d’argument d’un nombre complexe, que

z_K=

³2p 2+2´

eⁱ^π⁴ z_H=

³2p 2−2´

eⁱ^π⁴.

Dans toute la suite, on considère l’applicationf du plan qui à tout pointM d’affixez6=0 associe le pointM^′d’affixez^′telle que :

z^′=−4 z .

2. a. Déterminer et placer les points images de B et C parf.

b. On dit qu’un point est invariant parf s’il est confondu avec son image.

Déterminer les points invariants parf.

3. a. Montrer que pour tout pointMdistinct de O, on a : OM×OM^′=4.

b. Déterminer arg¡ z^′¢

en fonction de arg(z).

4. Soient K^′et H^′les images respectives de K et H parf. a. Calculer OK^′et OH^′.

(16)

b. Démontrer quez_K′=¡ 2p

2−2¢

eⁱ^3π⁴ etz_H′=¡ 2p

2+2¢ eⁱ^3π⁴ .

c. Expliquer comment construire les points K^′ et H^′ en utilisant unique- ment la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³

O ;−→OI ;−→OJ´

. On consi- dère les points A et B d’affixes respectiveszA=2 etzB=3

2+i.

On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

b

A

b

B

b

P O

b b b

N

M

x y

On notes₁la similitude directe de centre A qui transforme M en B.

On notes2la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformationr=s2◦s1.

Le but de l’exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

1. À l’aide des transformations

a. Donner l’angle et le rapport des1et des2.

b. Déterminer l’image du point M puis celle du point I par la transformationr.

c. Justifier querest une rotation d’angleπ

2 dont on précisera le centre.

d. Quelle est l’image du point O parr?

e. En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

2. En utilisant les nombres complexes

a. Donner les écritures complexes des1ets2. On utilisera les résultats de la question 1. a.

b. En déduire les affixeszMetzNdes points M et N.

c. Donner, sans justification, l’affixezPdu point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2008

(17)

Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l’arbre ci-dessous pour arriver à l’un des points D, E, F et G.

A

B (0 pt) 8 9

D (0 pt) 8 9

E (10 pts) 1 9

C (10 pts) 1 9

F (0 pt) 8 9

G (10 pts) 1 9

On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’emprunte après être passé par un nœud.

Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l’issue d’une partie c’est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G.

1. Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance de X.

c. Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.

2. Le joueur effectue 8 parties et on suppose que ces huit parties sont indépen- dantes. On considère qu’une partie est gagnée si le joueur obtient 20 points à cette partie.

a. Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties. On donnera le résultat arrondi au millième

b. Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

Commun à tous les candidats PARTIE A

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=lnx−2+x.

1. Déterminer les limites de la fonctionf en 0 et en+∞.

2. Étudier le sens de variation de la fonctionf puis dresser son tableau de variations.

3. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une unique solutionαdans l’intervalle ]0 ;+∞[.

Donner un encadrement du nombreαà 10⁻²près.

(18)

PARTIE B

Le plan est muni d’un repère orthonormal³

O,−→ı ,→−

´ .

On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentativeC de la fonction ln, ainsi que la droiteDd’équationy=2−x. On note E le point d’intersection de la courbeC et de la droiteD.

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

E

x y

y=lnx

y=2−x

On considère l’aire en unités d’aire, notéeA, de la partie du plan située au dessus de l’axe des abscisses et au dessous de la courbeC et de la droiteD.

1. Déterminer les coordonnées du point E.

2. SoitI= Zα

1 lnxdx.

a. Donner une interprétation géométrique deI.

b. CalculerI, en fonction deα, à l’aide d’une intégration par parties.

c. Montrer queIpeut aussi s’écrireI= −α²+α+1 sachant quef(α)=0.

3. Calculer l’aireAen fonction deα.

Commun à tous les candidats PARTIE A

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)= x

e^x−1. 1. Restitution organisée de connaissances :

La fonction exponentielle est l’unique fonctiongdérivable surRvérifiant

½ g^′(x) = g(x) pour toutx∈R. g(0) = 1

Démontrer que lim

h→0

e^h−1 h =1.

(19)

2. Déterminer la limite de la fonctionf en 0.

3. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞. PARTIE B

Soit (un) la suite définie pournentier supérieur ou égal à 1 par : un=1

n

h1+e¹ⁿ+eⁿ²+ ··· +eⁿ⁻¹ⁿ i 1. Démontrer que 1+eⁿ¹ +eⁿ²+ ··· +eⁿ⁻¹ⁿ = 1−e

1−eⁿ¹ puis en déduire que un=(e−1)f

µ1 n

¶ .

2. En déduire, en utilisant aussi laPARTIE A, que la suite (un) converge vers e−1.

(20)

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2008 \

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé³

O,→−u,−→v´

, on considère les points A, B, C d’affixes respectivesa= −1+2i,b=1+3i,c=4i.

1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

2. Soit I le milieu de [BC] etz_Ison affixe.

a. Quel est l’ensemble des pointsMdu plan distincts de A dont l’affixezest telle quez−zI

z−a soit un réel ?

b. Déterminer l’unique réelxtel quex−zI

x−a soit un réel.

c. Soitz−→AI l’affixe du vecteur−→AI , donner une forme trigonométrique dez−→AI. 3. a. Soit G le point d’affixe−3. Montrer qu’il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l’axe des réels.

b. Soitr1la rotation de centre G et d’angle de mesure−π 4. Déterminer l’écriture complexe der1.

4. Soit A^′, B^′et C^′ les images respectives de A, B, et C par la rotationr₁; soient a^′,b^′etc^′leurs affixes.

Quelle est l’image parr1de l’axe de symétrie du triangle ABC ? En déduire queb^′=c^′.

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une unité de longueur étant choisie dans l’espace, on considère un pavé droit ABCDEFGH tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1.

On appelle I le milieu de [AD].

A

B C

D E

F G

H

I

L’espace est muni du repère orthonormé³ A ;−−→

AB ;−→

AI ;−→

AE´ .

1. Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

2. a. Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à1 3.

(21)

b. Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.

En exprimant V d’une autre façon, calculer la distanced du point G au plan (FIH).

3. Soit le vecteur−→n de coordonnées (2 ; 1 ;−1).

a. Montrer que le vecteur−→n est normal au plan (FIH).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).

c. Retrouver par une autre méthode la distanceddu point G au plan (FIH).

4. a. La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?

b. Donner un système d’équations paramétriques de cette droite.

c. Déterminer les cordonnées du point d’intersection K de (AG) et de (FIH).

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

SoitΓla sphère de centre G passant par K.

Quelle est la nature de l’intersection deΓet du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité L’espace est muni d’un repère orthonormé³

O,→−ı ,−→

 ,→− k´

.

SoitDla droite passant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 2) et de vecteur directeur

−

→u de coordonnées (1 ; 1 ; 0) et soitD^′la droite dont une représentation paramétrique est :







x = t^′ y = −t^′ z = −2

(t^′∈R)

Le but de l’exercice est d’étudier l’ensembleSdes points de l’espace équidistants de Det deD^′.

1. Une équation deS

a. Montrer queDetD^′sont orthogonales et non coplanaires.

b. Donner une représentation paramétrique de la droiteD.

SoitMun point de l’espace de coordonnées (x ; y ; z) etHle projeté orthogonal deMsurD. Montrer que−−−→M H a pour coordonnées

³−x+y 2 ; x−y

2 ; 2−z´ .

En déduireM H²en fonction dex,yetz.

SoitK le projeté orthogonal deMsurD^′. Un calcul analogue au précé- dent permet d’établir que :MK²=(x+y)²

2 +(2+z)², relation que l’on ne demande pas de vérifier.

c. Montrer qu’un pointMde coordonnées (x; y ;z) appartient àS si et seulement siz= −1

4x y.

2. Étude de la surfaceSd’équationz= −1 4x y

a. On coupeSpar le plan (xOy). Déterminer la section obtenue.

b. On coupeSpar un planPparallèle au plan (xOy).

Quelle est la nature de la section obtenue ?

Amérique du Sud 21 novembre 2008

(22)

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

On coupeSpar le plan d’équationx+y=0. Quelle est la nature de la section obtenue ?

Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche pro- posée, deux résultats de cours.

On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, positive sur [1 ;+∞[, et vérifie :











ln 1=0

Pour tous réels strictement positifsxety, ln(x y)=lnx+lny Pour tout réel strictement positifx, [ln(x)]^′=1

ln(2)≈0,69 à 10⁻²près x

1. On considère la fonctionf définie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=p

x−lnx.

a. Étudier les variations def et en déduire quef admet un minimum sur ]0 ;+∞[.

b. En déduire le signe def puis que, pour toutx>1, 0<lnx x <

px x . c. En déduire que lim

x→+∞

lnx x =0.

2. Soitnun entier naturel non nul.

On considère la fonctionfndéfinie sur ]0 ;+∞[ par : fn(x)=lnx

xⁿ¹ .

En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en+∞de la fonc- tionfn.

1. Résoudre l’équation différentielle :

2y^′+y=0 (E),

dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable surR. 2. On considère l’équation différentielle :

2y^′+y=e⁻^x²(x+1) (E^′)

a. Déterminer deux réelsmetptels que la fonctionf définie surRpar : f(x)=e⁻^x²¡

mx²+px¢

soit solution de (E^′).

b. Soitgune fonction définie et dérivable surR.

Montrer quegest solution de l’équation (E^′) si et seulement sig−f est solution de l’équation (E).

Résoudre l’équation (E^′).

(23)

3. Étudier les variations de la fonctionhdéfinie surRpar :h(x)=1 4e⁻^x²¡

x²+2x¢ . 4. Déterminer les limites en−∞et en+∞de la fonctionh.

5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé³

O,−→ı ,−→

´

, on noteCla courbe représentative dehetΓcelle de la fonction :x7−→e⁻^x².

a. Étudier les positions relatives deC etΓ.

b. Tracer ces deux courbes sur un même graphique.

(24)

[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie mars 2009 \

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct³

O,→−u,−→v´

d’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’ affixes respectiveszA=1 etzB=3+4i.

Soit C et D les points d’affixes respectiveszC=2p

3+i(−2−p 3) et zD= −2p

3+i(−2+p 3).

L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.

1. a. Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle2π est le point D. 3

b. En déduire que les points B et D sont sur un cercleCde centre A dont on déterminera le rayon.

2. Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport3 2. a. Montrer que l’affixezFdu point F est−2i.

b. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].

c. Montrer quezC−zF

z_A−z_F= −ip

3. En déduire la forme exponentielle dezC−zF

z_A−z_F. Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].

3. Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l ’évaluation.

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité L’espace est rapporté au repère orthonormal³

O,→− ı ,−→

 ,−→ k´

. On considère les points : A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3) et E

µ2 3 ;−2

3 ; 1 9

¶

On se propose de déterminer de deux façons la distanceδEdu point E au plan (ABC).

RAPPEL :Soit (P) un plan d’équationax+by+cz+d=0 oùa,b,cetdsont des nombre réels aveca,betcnon tous nuls etMun point de coordonnées

¡x_M;y_M;z_M¢

la distanceδ_Mdu pointMau plan (P) est égale à :

¯

¯axM+byM+czM+d¯

¯ pa²+b²+c²

1. a. Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.

b. Soit−→n le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4).

Montrer que−→n est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Montrer qu’une équation du plan (ABC) est : 3x+6y+4z−12=0.

d. Déduire des questions précédentes la distanceδE.

(25)

2. a. Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique :











x = 1+t

y = 2t

z = 5

9+4 3t

oùt∈R,

est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E.

b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC).

c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distanceδE.

Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.

La probabilité que la première cible soit atteinte est1 2.

Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est3 4.

Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est1 2. On note, pour tout entier naturelnnon nul :

• Anl’évènement : « lan-ième cible est atteinte ».

• Anl’évènement : « lan-ième cible n’est pas atteinte.

• anla probabilité de l’évènementAn

• bnla probabilité de l’évènementAn. 1. Donnera1etb1.

Calculera2etb2. On pourra utiliser un arbre pondéré.

2. Montrer que, pour toutn∈N,n>1 :an+1=3 4an+1

2bn, puis :an+1=1

4an+1 2

3. Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturelnnon nul, parUn=an−2 3. a. Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique.

On précisera la raison et le premier termeU1.

b. En déduire l’expression deUn en fonction den, puis l’expression dean

en fonction den.

c. Déterminer la limite de la suite (an).

d. Déterminer le plus petit entier naturelntel que :an>_0,6665.

Soitf une fonction définie pour tout nombre réelxpar f(x)=(1+x)e⁻^x. Le plan est rapporté à un repère orthonormal³

O,−→ı ,−→

´

d’unité graphique 1 cm.

1. a. Étudier le signe def(x) surR.

b. Déterminer la limite de la fonctionf en−∞.

Déterminer la limite de la fonctionfen+∞.

Nouvelle–Calédonie 25 mars 2009

(26)

c. On notef^′la fonction dérivée de la fonctionf surR. Calculer, pour tout nombre réelx,f^′(x).

En déduire les variations de la fonctionf surR.

d. Tracer la courbe représentative de la fonctionf sur l’intervalle [−2 ; 5].

2. On note (In) la suite définie pour tout entier naturelnpar : In=

Z_n

−1f(x) dx.

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte deIn en fonction den.

a. Montrer que, pour toutn∈N:In>0.

b. Montrer que la suite (In) est croissante.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réelsaet b:

Z_b

a f(x) dx=(−2−b)e⁻^b+(2+a)e⁻^a. b. En déduire l’expression deInen fonction den.

c. Déterminer : lim

n→+∞In.

d. Donner une interprétation graphique de cette limite.

4. Déterminerα∈Rtel que : Z_α

−1f(x) dx=e.

Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?

Nouvelle–Calédonie 26 mars 2009

(27)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par :

f(x)=xe⁻^x².

On désigne par C la courbe re- présentative de la fonction f dans un repère orthonormal³

O,−→ı ,−→

´ du plan. Cette courbe est représentée ci- contre.

1 2

−

→ı

−

→

O 1

Partie A

1. a. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞. (On pourra écrire, pourxdifférent de 0 :f(x)=1

x× x² e^x²).

b. Démontrer quef admet un maximum en p2

2 et calculer ce maximum.

2. Soitaun nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction dea, l’aireF(a) de la partie du plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=0 etx=a.

Quelle est la limite deF(a) quandatend vers+∞? Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar : un=

Z_n₊₁

n f(x) dx.

On ne cherchera pas à expliciterun.

1. a. Démontrer que, pour tout entier naturelndifférent de 0 et de 1 f(n+1)6un6f(n).

b. Quel est le sens de variation de la suite (u_n)n>2? c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?

2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positifn,F(n)=

n−1

X

k=0

u_k. b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini-

tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On donne ci-dessous les valeurs deF(n) obtenues à l’aide d’un tableur, pournentier compris entre 3 et 7.

n 3 4 5 6 7

F(n) 0,499 938 295 1 0,499 999 943 7 0,5 0,5 0,5 Interpréter ces résultats.

(28)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³

O,−→u,→−v´

. On prendra pour unité graphique 2 cm.

Soit A, B et C les points d’affixes respectives :

a=3−i, b=1−3i et c= −1−i.

1. a. Placer ces points sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

b. Quelle est la nature du triangle ABC ?

c. Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercleΓde centre O, dont on calculera le rayon.

2. SoitMun point quelconque du plan d’affixe notéemetN le point d’affixe notéen, image de A dans la rotationrde centreMet d’angle de mesureπ

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotationr.

b. En déduire une expression denen fonction dem.

3. On appelleQle milieu du segment [AN] etqson affixe.

Montrer que :q=(1−i)m 2 +2+i.

4. Dans cette question,Mest un point du cercleΓ.

a. Justifier l’existence d’un réelθtel que :m=p 10e^iθ.

b. Calculer|q−2−i|. Quel est le lieuΓ^′deQlorsqueMdécrit le cercleΓ?

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³

O,−→u,→−v´

. On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit A et B les points d’affixes respectiveszA=i et zB=1+2i.

1. Justifier qu’il existe une unique similitude directeStelle que : S(O)=A et S(A)=B.

2. Montrer que l’écriture complexe deSest : z^′=(1−i)z+i.

Préciser les éléments caractéristiques deS(on noteraΩle centre deS).

On considère la suite de points (An) telle que :

• A0est l’origine du repère et,

• pour tout entier natureln,An+1=S(An).

On notezn, l’affixe deAn. (On a doncA0=O,A1=A etA2=B).

3. a. Démontrer que, pour tout entier natureln,zn=1−(1−i)ⁿ.

b. Déterminer, en fonction den, les affixes des vecteurs−−−→ΩAn et−−−−−−→AnAn+1. Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l’angle

³−−−→

ΩA_n,−−−−−−→A_nA_n+1´ .

c. En déduire une construction du pointAn+1connaissant le pointAn. Construire les pointsA3etA4.

4. Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite (ΩB) ?

Pondichéry 28 16 avril 2009

(29)

Dans un repère orthonormé de l’espace³ O,→−

ı ,−→

 ,−→ k´

on considère les points : A de coordonnées (1 ; 1 ; 0), B de coordonnées (2 ; 0 ; 3), C de coordonnées (0 ;−2 ; 5) et D de coordonnées (1 ;−5 ; 5).

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse :

Proposition 1 :L’ensemble des pointsMde coordonnées (x,y,z) tels quey=2x+4 est une droite.

Proposition 2 :La transformation qui, à tout pointMde l’espace associe le point M^′tel que−−−−→

M M^′ =−−→MA+−−→MB+2−−→MC est l’homothétie de centreG, oùGdésigne le barycentre du système {(A, 1), (B, 1), (C, 2)}, et de rapport 3.

Proposition 3 :A, B, C et D sont quatre points coplanaires.

Proposition 4 :La sphère de centreΩde coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 est tangente au plan d’équation : 2x+2y+z+3=0.

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir 6 lors d’un lancer est égale à1

3. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne parXla variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.

a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoireX? b. Quelle est son espérance ?

c. CalculerP(X=2).

2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.

On considère les évènements D et A suivants :

• D« le dé choisi est le dé bien équilibré » ;

• A: « obtenir exactement deux 6 ».

a. Calculer la probabilité des évènements suivants :

• « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;

• « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».

(On pourra construire un arbre de probabilité).

b. En déduire que :p(A)= 7 48.

c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?

3. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dénfois de suite (ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

On noteBn l’évènement « obtenir au moins un 6 parmi cesnlancers successifs ».

a. Déterminer, en fonction den, la probabilitépnde l’évènementBn. b. Calculer la limite de la suite¡

pn¢

. Commenter ce résultat.

Pondichéry 29 16 avril 2009