L L OISNORMALES OISNORMALES 1616

16 16

L OIS NORMALES

L OIS NORMALES

Anormal : ce qui est normal chez les anormaux.

Léo Campion

1 I

Soit Xn une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;p).

Si on xe la valeur de p et que l'on fait augmenter n, l'histogramme représentant les valeurs prises parXnsemble se rapprocher d'une courbe en cloche . Sipvarie, la courbe en cloche change de caractéristiques (hauteur, étalement).

Ces remarques laissent entrevoir la possibilité d'approximer une loi binomiale (discrète) par une loi (continue) à densité.

Pour mettre en évidence plus facilement ce phénomène, il est commode d'eectuer d'abord un changement d'origine de façon à centrer¹ les variables aléatoires X_n : puisque X_n a pour espérance np, alors la variableXn−np a pour espérance 0. Elle est donc centrée.

Xnprend ses valeurs dans {0 ; 1 ; · · · ;n}, doncXn−npprend ses valeurs entre −np etn−np.

1. C'est-à-dire obtenir une variable d'espérance nulle ; il sut pour cela de soustraire de la variable son espé- rance. En eet, rappelons que, de façon générale,E(X+b) =E(X) +b(pourbconstante).

LYCÉEBLAISEPASCAL

1

S.DELOBEL M.LUITAUD

Ensuite, il est intéressant de réduire² les variables aléa- toiresXn−npan d'éviter l'étalement du diagramme.

PuisqueX_n a pour écart-typep

np(1−p), alorsX_n−np a le même écart-type, et donc Zn = Xn−np

pnp(1−p) a pour écart-type 1.

On obtient ainsi de nouvelles variables aléatoires discrètes Zn = Xn−E(Xn)

σ(Xn) = Xn−np

pnp(1−p) qui sont centrées et réduites.

Les valeurs de Z_n ne sont pas entières, mais sont régu- lièrement réparties de −np

pnp(1−p) à n−np

pnp(1−p). L'écart entre deux valeurs consécutives est _σ¹.

Pour chaque valeur prise par Zn, la probabilité est égale à la hauteur du bâton correspondant.

Si on souhaite plutôt travailler avec les aires, on donne de l'épaisseur aux bâtons : ils deviennent des barres (collées les unes aux autres). Ces barres ont pour largeur ¹_σ.

L'aire de chaque barre est donc égale à sa hauteur (la probabilité...) multipliée par sa largeur (_σ¹). Pour que l'aire d'une barre soit égale à la probabilité correspondante, il sut donc de multiplier sa hauteur parσ.

On obtient ainsi un nouveau diagramme en barres³ ré- échelonné .

On s'aperçoit alors, que quelle que soit la valeur depchoi- sie, et lorsquenaugmente, le diagramme en barres obtenu tend à dessiner une courbe xe. Cette courbe a l'allure d'une courbe en cloche .

Ce phénomène illustre une propriété de probabilités : le théorème de Moivre-Laplace que nous énoncerons dans la partie 5.

La courbe en cloche en question est la représentation graphique de la fonctionf dénie surR par f(x) = 1

√

2πe^−x22. Cette fonction dénit-elle une densité de probabilité ? C'est par là que nous commencerons ce chapitre.

2. C'est-à-dire obtenir une variable d'écart-type 1 ; il sut pour cela de diviser la variable aléatoire par son écart-type (puisque, de façon généraleσ(aX+b) =aσ(X)poura >0).

3. où la probabilité d'un événement est l'aire des barres correspondant à cet événement.

2 L

N (0 ; 1)

2.1 Densité de probabilité de LAPLACE-GAUSS

On appelle fonction de Laplace-Gauss la fonc- tionf dénie surR par :

f(x) = 1

√2πe^−x22.

Sa représentation graphique est appelée courbe en cloche ou courbe de Gauss .

Dénition 1.

−3 −2 −1 1 2 3 0.1

0.2 0.3 0.4

0

1. la fonction f est continue, dérivable et strictement positive surR; 2. f est paire et admet en 0 un maximum égal à 1

√ 2π; 3. f a pour limite 0 en +∞ et en −∞;

4. lim

a→−∞

Z 0

a

f(x)dx= 1

2 et lim

b→+∞

Z b 0

f(x)dx= 1 2;

5. l'aire totale du domaine sous la courbe en cloche est égale à 1.

Propriété 2.

Les points1à 3se démontrent facilement, et sont laissés à la plume du lecteur en guise d'exercice (revoir à ce sujet la n du cours sur la fonction exponentielle).

Le point4est admis : sa démonstration dépasse largement le cadre de la classe de Terminale S.

Le point5découle directement du point4.

Preuve

La fonction de Laplace-Gauss est une densité de probabilité sur R.

Corollaire 3.

Si la variable aléatoireZsuit la loi ayant pour densité la fonctionf de Laplace-Gauss, alors son espérance estµ= 0 et sa variance estσ²= 1.

Proposition 4.

1. L'espérance deZ est donnée par :E(Z) = lim

a→−∞

Z 0

a

xf(x)dx+ lim

b→+∞

Z b

0

xf(x)dx.

Faire le calcul et trouverE(Z) = 0.

2. La variance deZ est donnée parV(Z) =E (Z−E(Z))²

. On admet le résultatV(Z) = 1. Preuve

Dire qu'une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite signie que sa densité de probabilité est la fonction de Laplace-Gauss dénie ci-avant.

On note :Z ∼N (0 ; 1). Notation

Dénition 5.

2.2 Calculs de probabilités avec la loi normale centrée réduite D'après la dénition5, siZ suit la loi normaleN (0 ; 1),

pour tous nombres aetb(aveca6b) : P(a6Z 6b) =

Z b a

√1

2πe^−x22 dx.

La probabilité que Z soit compris entreaetbest l'aire du domaine sous la courbe en cloche entre les droites d'équa-

tions x=aetx=b. a ⁰ b

P(a6Z 6b)

Mais ce calcul pose un problème : la fonctionf de Laplace-Gauss ne possède pas de primitive explicite ...

Pour les calculs liés à la loi normale, nous serons donc amenés à utiliser la table ci-dessous :

Π(t) =P(Z ≤t) = Z t

−∞

√1 2π e^−x

2

2 dx et Π(−t) = 1−Π(t).

t 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

etc.

De nos jours, au lieu de la table on peut utiliser⁴ la calculatrice, GeoGebra ou le tableur.

Dans la pratique, pour les calculs de probabilités, on combinera l'utilisation de l'un de ces outils avec des raisonnements sur la symétrie de la courbe en cloche.

Exercice 1

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduiteN (0 ; 1). 1. CalculerP(−16Z 62,14)à l'aide de la table.

2. Retrouver le résultat en utilisant la calculatrice ou l'ordinateur.

Exercice 2

Soit Z une variable aléatoire suivant la loiN (0 ; 1). Donner à10⁻³ près :

1. P(−16Z 61) 2. P(−26Z62) 3. P(−36Z 63)

−1 1 −2 2 −3 3

Exercice 3

On considère une variable aléatoire Z suivant la loi normale centrée réduiteN (0 ; 1).

Dans cet exercice on donnera pour les probabilités demandées des valeurs approchées à 10⁻³ près.

1. a. À l'aide d'une calculatrice, déterminer la probabilité la probabilitéP(Z <0,73). Vé- rier grâce à GeoGebra ou au tableur.

b. À partir de la valeur calculée à la question 1a, et sans recourir aux outils de cal- culs, déterminer les probabilités : P(Z >0,73) ;P(Z 6−0,73) ;P(Z >−0,73)et P(Z >−0,73).

2. a. Déterminer, à l'aide de la calculatrice puis en vériant avec GeoGebra ou le tableur, les probabilitésP(Z 6−0,55)etP(Z 60,77).

b. À partir des résultats de la question 2a, calculer P(−0,556Z 60,77). 3. Soit tun réel strictement positif.

ExprimerP(Z >−t), puis P(Z <−t) en fonction deψ(t) =P(Z 6t).

4. Voir annexe pour davantage d'explications.

3 L

N µ ; σ

3.1 Loi normale d’espérance µet d’écart-typeσ

Soit µun nombre réel, etσ un nombre réel strictement positif.

Dire que la variable X suit la loi normale N µ;σ²

signie que la variable aléatoire Z = X−µ

σ suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1). Dénition 6.

Si une variable aléatoire suit la loi normaleN µ;σ²

, alors son espérance estµet sa variance est σ² (son écart-type estσ).

Propriété 7.

Rappelons d'abord que, pour toute variable aléatoireZ, et tous nombres réelsaetb:E(aZ+b) =aE(Z)+b etV(aZ+b) =a²V(Z).

Considérer alors la variableZ= X−µ

σ et appliquer les propriétés rappelées ci-dessus...

Preuve

Pour calculer des probabilités lorsqueX∼N µ;σ²

, si on souhaite utiliser les tables, on doit d'abord centrer et réduire X pour se ramener à la loiN (0 ; 1).

Cependant, avec les outils actuels (calculatrice, ordinateur, ...) cela est inutile : il est possible d'obtenir directement les probabilités souhaitées (il sut de renseigner correctement les paramètresµetσ).

Une loi normale N µ;σ²

est une loi à densité. Cette densité dont l'expression n'est pas au programme⁵ de Terminale S a pour représentation graphique une courbe en cloche . L'espéranceµdétermine l'axe de symétrie de cette courbe, et l'écart-typeσ agit sur le maximum et l' étalement . L'aire sous la courbe étant égale à 1, plus σ est grand, plus le sommet de la courbe est bas.

Un clic et c'est magique !

5. Pour les curieux :f(x) = 1 σ√

2πexp

−(x−µ)² 2σ²

.

−3 −2 −1 1 2 3 0.1

0.2 0.3 0.4

0

µ=−2. µ= 1

−3 −2 −1 1 2 3 0.2

0.4 0.6 0.8

0

σ= 0.5

σ= 2

Exercice 4

Au pôle Nord, la température en hiver (en C) suit approximativement une loi normale de moyenne −34 et d'écart-type 5.

1. Calculer la probabilité que, en hiver, la température soit comprise entre −40et −30 ; inférieure à −40 ; supérieure à−30.

2. Sur 180 jours d'hiver, pendant combien de jours peut-on s'attendre à ce que la température soit inférieure à−40 ?

3.2 « Un, deux, trois sigmas ! »

SiX est une variable aléatoire qui suit la loi normaleN µ;σ²

, alors : 1. P X ∈

µ−σ;µ+σ

≈0,683. 2. P X ∈

µ−2σ;µ+ 2σ

≈0,954. 3. P X ∈

µ−3σ;µ+ 3σ

≈0,997. Propriété 8.

µ µ−σ µ+σ

0,683

µ−2σ µ µ+ 2σ

0,954

µ−3σ µ µ+ 3σ

0,997

En notantZ =X−µ

σ , justier d'abord queP

X∈h

µ−σ;µ+σ i

=P(−16Z61), puis utiliser les résultats de l'exercice2pour conclure.

Procéder de même pour les deux autres calculs.

Preuve

On remarque que la probabilité d'obtenir une valeur de X distante de plus de 3σ de la moyenneµest presque nulle...

Exercice 5

En reprenant la situation de l'exercice4, déterminer par un simple calcul mental un intervalleI centré autour de la moyenne qui permet d'armer : la probabilité que la température appartient à I est d'environ 95 % .

La propriété 8 permet de trouver rapidement un intervalle centré en µ dont la probabilité est l'un des trois nombres remarquables : 0,683 ; 0,954 ou 0,997. Comment faire s'il s'agit d'un autre nombre ? C'est ce que nous allons voir dans le paragraphe suivant.

4 « I

»

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi N (0 ; 1).

Étant donné un nombre α

dans

0 ; 1

, il existe un unique nombre u_α > 0 tel queP(−u_α 6Z 6u_α) = 1−α.

Théorème 9.

Par symétrie de la courbe def:P(−u6Z6u) = 2×P(06Z6u) = 2× Z u

0

f(x)dx= 2G(u).

oùGest la primitive def surRqui s'annule en 0, etuun nombre réel strictement positif.

1. Justier queGest continue et strictement croissante surh

0 ; +∞h

et calculer lim

u→+∞2G(u).

2. Appliquer le théorème de la bijection à la fonction2Gpour conclure.

Preuve

Dans la pratique, on détermineuα à la calculatrice⁶(ou l'ordinateur) à l'aide du mode Inverse Normale , ou à l'aide des tables.

Méthode 10 (Pour détermineruα).

Exercice 6

Soit Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

Dans chacun des cas suivants, déterminer le nombreu >0(arrondi à10⁻² près) grâce à la table donnée en page 4 puis vérier à l'aide de la calculatrice.

Chaque situation sera illustrée d'un schéma.

1. P(Z 6u) = 0,7881 2. P(Z >u) = 0,305

3. P(−u6Z 6u) = 0,8664 4. P(−u6Z 6u) = 0,3255

Exercice 7

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance7,2et d'écart-type 1,2. 1. CalculerP(6,56X67.9).

2. Déterminer un intervalle I centré en7,2 tel que P(X∈I) = 0,5. 3. Déterminer une valeur approchée à10⁻² près du réel atel que :

a. P(X6a) = 0,4013 b. P(X>a) = 0,96

c. P(66X 6a) = 0,2475 d. P(a6X65,5) = 0,0244

6. Voir annexe.

−u_α u_α

α 2 α

2

1−α

Exercice 8 Quand σ est inconnu...

X est une variable aléatoire qui suit la loi normaleN 70 ;σ²

. On sait queP(X6100) = 0,9. On cherche la valeur de l'écart-type σ.

1. Compléter : P(X6100) =P

X−70 σ 6. . .

=. . . 2. Quelle est la loi suivie par Z= X−70

σ ?

3. Déterminer une valeur approchée à10⁻²près du nombre réelu >0tel queP(Z 6u) = 0,9. 4. En déduire une valeur approchée deσ.

Exercice 9 Fluorescence de la chlorophylle

La valeur X de la uorescence de la chlorophylle en milieu océanique, exprimée en millivolts, suit une loi normale N µ;σ²

On a pu expérimentalement vérier que. P(X <39) = 0,9357etP(X <25,5) = 0,2266.

1. Quelle loi suit la variable X−µ σ ?

2. Déterminer un système vérié parµ etσ. 3. En déduire µetσ.

Deux cas particuliers importants sont à connaître :

Cas oùα= 5%

Le nombreu0,05>0 tel que P(−u_α6Z 6uα) = 0,95 estu0,05≈1,96. Cas oùα= 1%

Le nombreu0,01>0 tel que P(−u_α6Z 6uα) = 0,99 estu0,01≈2,58.

Propriété 11.

−1,96 1,96 0,025 0,025

0,95

−2,58 2,58

0,005 0,005

0,99

5 A

’

:

M

-L

Dans tout ce paragraphe, X_n désigne une variable aléatoire qui suit la loi binomialeB(n;p), Zn = Xn−np

pnp(1−p) désigne la variable aléatoire centrée réduite associée à Xn, et Z désigne une variable aléatoire qui suit la loi normale N (0 ; 1).

Pour tous réelsaetb (aveca6b) on a :

n→+∞lim P(a6Zn6b) =P(a6Z 6b) Théorème 12 (Moivre-Laplace⁷).

Ce théorème exprime que, pourn susamment grand, on peut assimiler la loi discrète deZ_n à la loi continue N (0 ; 1). Plus précisément :

Si les trois conditions n>30,np>5etn(1−p)>5 sont satisfaites, alors :

P a6 Xn−np pnp(1−p) 6b

!

≈P(a6Z 6b) Corollaire 13.

On a aussi, de façon plus générale :

Si les trois conditions n>30,np>5etn(1−p)>5 sont satisfaites, alors : P(a6X_n6b)≈P(a6X 6b)

où X suit la loi normaleN µ;σ²

avec µ=np, espérance deXn, etσ² =np(1−p), variance de X_n.

On peut interpréter cela en disant que, sous les conditions ci-dessus, la loi bino- mialeB(n;p)peut être assimilée à la loi normale de même espérance et de même variance.

Corollaire 14 (Approximation d'une loi binomiale par une loi normale).

En utilisant de telles approximations, une erreur est bien sûr commise par rapport à la valeur réelle. Pour réduire cette erreur, et ainsi améliorer la précision de l'approximation, on peut eectuer une correction de continuité ; mais ceci est hors programme en Terminale.

7. De Moivre a donné la première version de ce théorème en 1733. Laplace prouva plus tard (1812) le même résultat par une méthode diérente en obtenant une évaluation de la vitesse de convergence.

Exercice 10

Une compagnie de taxis possède 100 véhicules. On considère que chacun des véhicules a une probabilité de 0,1 d'être en panne. SoitXle nombre de véhicules en panne dans cette compagnie.

1. a. Quelle est la loi de X? b. CalculerP(06X 65).

2. On souhaite comparer ce résultat avec celui fourni par approximation.

a. Pourquoi peut-on utiliser les corollaires 13 et14?

b. Méthode 1 : donner une approximation de P(06X 65) obtenue à l'aide du corol- laire13.

c. Méthode 2 : donner une approximation de P(06X 65) obtenue à l'aide du corol- laire14.

d. Comparer les résultats obtenus avec le résultat de la question1b.

Exercice 11 Surbooking

Les compagnies aériennes ont très souvent recours au surbooking . Étudions cette pratique sur un exemple.

Une compagnie utilise un avion pouvant transporter 300 passagers. Pour un vol donné, la pro- babilité pour qu'un passager ne se présente pas à l'embarquement⁸ est de 0,1.

Pour optimiser son remplissage, la compagnie accepte plus de 300 réservations, le risque étant que certaines personnes se présentent et ne puissent pas embarquer, auquel cas elle devra indemniser ces personnes.

1. La compagnie accepte 324 réservations. On noteX la variable aléatoire correspondant au nombre de passagers se présentant eectivement.

a. Quelle est la loi deX, si on suppose que les comportements des passagers sont indé- pendants ?

b. Calculer la probabilité que la compagnie ne puisse pas embarquer tous les passagers : en utilisant la loi deX;

en eectuant une approximation de la loi deX par une loi normale.

2. La compagnie décide d'optimiser le surbooking de la façon suivante : elle souhaite limiter à 1%le risque de ne pouvoir embarquer tous les passagers qui se présentent.

Déterminer le nombre maximum de places qu'elle peut proposer à la réservation.

8. Cela arrive pour diverses raisons : empêchements imprévisibles, réservation des places sur plusieurs vols de façon à choisir au dernier moment celui qui convient le mieux...