A note on the complex and real operator norms of real matrices

M2AN. M

- M

M ^ICHEL C ^ROUZEIX

A note on the complex and real operator norms of real matrices

M2AN. Mathematical modelling and numerical analysis - Modéli- sation mathématique et analyse numérique, tome 20, n

3 (1986), p. 427-428

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MATHEMATICALMOOELUNGANDNUMERICALANALYSIS MODÉLISATION MATHÉMATIQUE H ANALYSE NUMÉRIQUE

(Vol 20, n° 3, 1986, p 427 à 428)

A NOTE ON THE COMPLEX AND REAL OPERATOR NORMS OF REAL MATRICES (*)

by Michel CROUZEIX (*)

Abstract — Our purpose in this note is to show that the l operator norm ofany real rectangular matrix is the same ifwe consider it as acting on complex-vaiued or only on real-valued vector s

Résumé — Cette* note montre que la norme L d'une matrice à coefficients réels est la même, qu'on la considère comme opérant sur des vecteurs a coefficients réels ou sur des vecteurs à coefficients complexes

We begin with a lemma.

Let us consider two vectors a and b in R^m with a ^ 0 and è ^ 0, and two vectors u and v in Un, For 1 ^ p < + oo, we use the norm :

l/p

where a = (aX (with the usual modification in the case p = 4- oo).

LEMMA : Let :

\\u + zv\\

II u + xv H

then a = |3.

H

;

Proof: The case when a is obtained as the limit when | z \ -> + oo is obvious.

In the opposite case we set, for p < + oo :

f(x, y)= \\u +zv ||? - OLP || a + zb \\pp where z = x + iy,

(*) Received in November 1985

O Université de Rennes, Mathématiques, IRISA Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex

M2 AN Modélisation mathématique et Analyse numérique 0399-0516/86/03/427/2/$ 2 20 Mathematical Modelhng and Numencal Analysis © AFCET Gauthier-Villars

428 M. CROUZEDC

we have 0 = max f(x, y). By an elementary computation :

x,ye R

and hence :

= O, for

By the maximum prindple, the maximum of/is attained for y = 0. The resuit in p = + oo is obtained by using a limiting argument. •

COROLLARY

: For a matrix AeU

we have :

sup M U p / I I U p = | | ^ | | / I K I I

Proof : For Ç e C" we write Ç = a + ib with a, è e R

; set u = Aa, v = Ab and apply the lemma to obtain :

^ l l p

C l i p

II « II

+

+

IV ib

h

lip

II «

S ii «

+ +

XV

xb h

a+xb

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