1. Choix du corps libre à l’équilibre

1. Choix du corps libre à l’équilibre

2. Diagramme du corps libre + représ. des données géométriques 3. Conditions vectorielles d’équilibre

4. Bilan : nb équations scalaires d’équilibre / nb inconnues 5. Choix d’un trièdre et équations scalaires d’équilibre

(par projection dans ce trièdre)

6. (si nb équations = nb inconnues) Résolution de ce syst. d’équations 7. Interprétation physique des résultats

SCHEMA DE RESOLUTION D’UN PROBLEME D’EQUILIBRE

Equilibre de rotation (1)

Equilibre de rotation (2)

bmg aN

=

AB N

) b a

(

mg − =

CHAPITRE I : STATIQUE DU SOLIDE

4. Bilan de forces

3.2. Forces concentrées forces réparties ⇒ notion de centre de masse 3.3. Forces d’action forces de réaction

3.1. Forces extérieures forces intérieures 2. Conditions d’équilibre d’un solide

1. Définitions : force, solide, corps libre, diagramme du corps libre

3. Isostaticité

3.3. Forces d’action forces de réaction

3.3.1. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’un câble

Si poids du câble négligeable : force de tension dans le câble

//

6

Câbles

• Force tangente au câble

• Tension/ traction

• Norme identique en

tous les points du

câble (absence de

frottement)

7

Câbles

3.3. Forces d’action forces de réaction

3.3.1. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’un câble

Si poids du câble négligeable : force de tension dans le câble

//

BC AC et

câbles

les dans tensions

?

kg

= 400 m

Exemple

A C

B

1m

m

1.5m

1.5m

P

O

N 7 . 2219

; N 6 .

2829 ≈

≈ _BC

AC T

T

A 60°

C

B

D

E

CA = AB = 6m ; BD = 2m

AD : poutre homogène m = 100kg Exemple 2

? réaction du sol polisur la poutre

? tension dansBC

? tension dansAE

α 60°

D

C

B T_BC G

T_AE LA

h mg A

60°

A

D

C

B T_BC G

T_AE LA

mg O x

y ^{LA 3 mg1y 1308N1y}

4 ≈

=

BC BC

BC mg

T 1 654N1

3

2 ≈

=

x x

AE mg

T 1 566N1

3

3 ≈

=

60°

A

D

C

B T_BC G

T_AE LA

mg J

mg L

θ P

3.3.2. Liaison avec le “monde extérieur” par contact direct

a) sans frottement : liaison polie

ne s’oppose pas au déplacement possible du solide L

équilibre impossible si θ ≠ 0

⊥

⇔ L déplacement possible du solide ( surface d’appui)⊥

θ

P

P / plan incliné poli Exemple 1

s’oppose au déplacement possible du solide L

b) avec frottement : liaison dépolie lois de Coulomb

⊥

⇔ L déplacement possible du solide ( surface d’appui)⊥

mg L P θ

mg L P θ θ

P

P / plan incliné rugueux Exemple

équilibre impossible si plan incliné insuffisamment rugueux (ou θ >θ *)

P θ

équilibre possible si plan incliné suffisamment rugueux (ou θ ≤θ *)

P θ

Rappel : les réactions de liaison sont a priori inconnues

nécessité d’introduire des lois empiriques tenant compte des phénomènes de frottement Constatation : elles dépendent de la nature de la liaison entre les corps en contact

• Applications du frottement

• Description physique

• Modélisation mathématique

14

Coin - Cale

Pour positionner…

Coin: Instrument de forme prismatique en bois ou en métal utilisé pour fendre des matériaux, serrer et assujettir certaines choses

Pour fendre…

15

Clavette

Pour bloquer…

Clavette: pièce métallique destinée à rendre deux pièces concentriques solidaires en rotation

16

Disques de friction

Pour poncer, polir…

Frein à disque…

17

Tiges filetées

Câbles et courroies

Frein à bande…

• Applications du frottement

• Description physique

• Modélisation mathématique

20

Classification

• Frottement sec

– Contact immédiat

– Aspérités en contact

• Frottement hydrodynamique

– Couche épaisse de lubrifiant

– Aspérités ne se touchent pas

21

Description du frottement sec (1)

• N, force normale de contact

• A, aire apparente de contact

• A _C , aire réelle de contact

• p, pression de contact apparente

• p _c , pression de contact réelle

22

Description du frottement sec (2)

• Déformation permanente des aspérités sous l’effet de

• Enchevêtrement des aspérités

• Applications du frottement

• Description physique

• Modélisation mathématique

N T L = +

Loi de Coulomb sur le frottement de glissement statique

• Expérience

mg L P

mg

L N

W T

α P

mg N

Wlim

T_lim α_lim

P L

(1) bloc à l’équilibre

W

(2) bloc à l’équilibre

L comp. vect. normale de

Wlim

(3) bloc à l’équilibre,

Wlim

W >

se met à glisser si

= comp. vect. tg de = force de résistance au glissement = force de frottement

L T

(ou ) ne dépend que de la nature des matériaux en contact et non des aires des surfaces en contact, ni des forces d’action _lim

lim W

α

• Constatation

• Loi de Coulomb

fo = coefficient de frottement statique entre le solide et la surface d’appui, dépend uniquement de la nature des matériaux en contact

équilibre de glissement ⇔ T ≤ fo N f_o = tg

α

lim N

= T α

mg N

Wlim

T_lim α_lim

P L

Bois sur bois Glace sur glace

Métal sur métal (lubrifié) Acier sur acier (non lubrifié) Caoutchouc sur ciment sec Caoutchouc sur ciment mouillé Roulement à billes lubrifiées Articulations du corps humain

0.4 0.1 0.15 0.7 1.0 0.7

< 0.01 0.01

Surfaces f_o

A titre indicatif :

(Rem.) Loi de Coulomb sur le frottement de glissement dynamique

0 _W

lim

T

W fN

f0N

(1) (2) (3) (4) zone (1)

loi de Coulomb en statique : Rappel:

mg

L N

W T

α P W

bloc à l’équilibre

équilibre ⇔ T ≤ fo N

zone (3) : T = f N coefficient de frottement dynamique solide- surface d’appui, dépend uniquement de la nature des matériaux en contact ; f < f_o

= f

( zones (2) et (4) : T dépend de la vitesse )

Condition d’équilibre?

Exemple 1

f_o m

θ

fo

arctg θ ≤

F_min

30°

15°

mg N

T

F_max

30°

15°

mg N’

T’

N 28 .

min ≈ 39

F F_max ≈ 417.81N

x y

F

30°

15°

m fo

Exemple 2

? valeurs de F à l’équilibre m = 50 kg ; f_o = 0.5

N 81 . 417 39.28N

≤ ≤

⇒ F

Exemple 3

α a h

f_o

B

A G

XI

I mg

YI

ΓI

bloc homogène

? équilibre

max =

α

O

x y



 



= 

⇒ _max arctg min( _o, ) h f a α

• glissement si tgα > f_o

• basculement si

h

> a α tg

 

 



= Γ

α

=

α

= 0

cos mg Y

sin mg X

I I

I

Loi de Coulomb sur le frottement de roulement statique

moment d’un couple de résistance au roulement

z = ΓI 1

G

(1) disque à l’équilibre

G

M

(2) disque à l’équilibre

G

Mlim

(3) disque à l’équilibre, se met à rouler si M > M_lim

• Expérience

G

mg NI

ΓI

M

I G

mg NI

I

Mlim

G

mg NI

ΓI

I

1_z

• Constatation

[ ]

N.B. : G

mg NI

ΓI

M

I

(ou ) ne dépend que de la nature des matériaux en contact et non des aires des surfaces en contact, ni des forces d’action

lim Mlim

ΓI

Γ_I ≤ k N_I équilibre de roulement ⇔

• Loi de Coulomb

k = coefficient de frottement de roulement statique entre le solide et la surface d’appui, dépend

uniquement de la nature des matériaux en contact

α G

I

mg NI

TI

α G

I

mg NI

TI

ΓI

Exemple

α R

G

k , fo



 



= 

⇒ _max arctg min( _o, ) R f k α

α_max

G

I

NI

TI

ΓI

N.B. k IJ

R

k =

= arctg :

Si α_max

cylindre homogène

• glissement si tgα > f_o

• roulement si

R

> k α tg

? équilibre

max =

α







α

= Γ

α

=

α

=

sin R mg

sin mg T

cos mg N

I I I