30 Couplage inductif
30.1 Avant-propos
Vous avez tous certainement déjà utilisé une carte de paiement sans contact ou un pass électronique (Navigo pour les franciliens). Ces cartes contiennent vos identifiants et les transmettent au récepteur contre lequel vous placez la carte. Mais du coup, comment un circuit électrique sans générateur peut-il envoyer des informations à un terminal ?
C’est une des applications des phénomènes d’induction...
30.2 Qu’est ce que l’induction ?
30.2.1 Notion de flux
Avant de pouvoir détailler les lois de l’induction, il faut introduire une notion très présente en physique des champs vectoriels : la notion de flux.
Flux du champ magnétique
On appelle flux du champ magnétique, la quantité scalaire Φ, exprimée en Weber (Wb) ou plus couramment en T·m2, définie par :
Φ =
¨
M∈S
B(M)#” ·# ” dS où S est un surface quelconque et # ”
dS = dS#”nM est le vecteur surface élémentaire orienté par le vecteur unitaire #”nM normal à dS en M.
Le champ magnétique a une propriété particulière que l’on verra en deuxième année : il est à flux conservatif.
Sans trop creuser ce que cela signifie, on retiendra que le flux de B#” reste toujours le même quelle que soit la forme de la surface utilisée pour le calculer tant qu’elle s’appuie sur le même contour. Autant prendre une surface plane lorsque possible !
Exemple
Sur les schémas ci-dessous, on compare les flux d’un champ #”
Buniforme à travers plusieurs surfaces.
dn# ” S1
dn# ” S2
α dn# ” S3
Fig. 30.1– Champ magnétique uniforme et trois surfaces identiques
Dans la figure ci-dessus, les surfaces S1,S2 etS3 ont la même aire, toutes égales à S.
Pourtant le flux du champ B#” uniforme est très différent de l’une à l’autre. En effet, le produit scalaire #”
B·# ”
dS diffère de l’une à l’autre des surfaces.
On a donc : Φ1 =
¨
S1
B#”·# ”
dS =BS 6= Φ2 =
¨
S2
B#”·# ”
dS= 06= Φ3 =
¨
S3
B#”·# ”
dS =BScosα
dn# ” S1
dn# ” S2
Fig. 30.2– Champ magnétique uniforme et deux surfaces différentes Dans la figure ci-dessus, les surfaces S1 et S2 sont d’aires différentes.
Elles ont pourtant la même valeur du flux de #”
B car elles s’appuient sur le même contour : Φ1=
¨
S1
B#”·# ”
dS= Φ2 =
¨
S2
B#”·# ” dS
30.2.2 Loi de Faraday de l’induction électromagnétique
On a vu un peu plus tôt que la présence d’un courant électrique pouvait générer un champ magné- tique. L’induction est une forme d’action réciproque, où, cette fois, la présence d’un champ magnétique peut donner naissance à une tension, appelée force électromotrice, qui peut alors générer un courant électrique.
Pour y parvenir, en plus d’un champ magnétique, il faut générer un flux de champ magnétique variable.
Le lien entre le champ magnétique existant et la force électromotrice est donné par la loi de Lenz- Faraday:
30. Couplage inductif 30.3. Couplage inductif de circuits
Loi de Lenz-Faraday
La force électromotrice, notée eind, et exprimée en volt (V), induite par un champ magnétique #”
B dans un fil conducteur formant un contour fermé, est donnée par :
eind=−dΦ dt =−d
dt
¨
S
B#”·# ” dS
oùS est n’importe quelle surface délimitée par le fil conducteur fermé. L’orientation choisie de # ” dS donne le sens de circulation du courantiqui peut apparaître dans le fil conducteur.
Cette force électromotrice (souvent désignée par l’abréviation f.e.m.) ne peut exister que si le champ magnétique, ou la surface qui s’appuie sur la boucle, permettent au flux de #”
B de varier au cours du temps.
30.2.3 Circuit électrique équivalent
La présence d’un champ magnétique dont le flux à travers une boucle conductrice est variable dans le temps (dΦdt 6= 0) peut donc se modéliser par un générateur de tensioneind que l’on représente en conven- tion générateur.
Si la boucle conductrice comporte un ensemble de dipôles (résistance, inductance, condensateur, etc...), on peut représenter l’ensemble par un circuit électrique équivalent.
eind
i
r
L
Fig. 30.3 – Circuit électrique induit équivalent
Dans l’exemple ci-dessus, la loi des mailles peut alors s’appliquer simplement : eind=Ri+Ldi
dt https://www.youtube.com/watch?v=vWRqWKhfcrk
30.3 Couplage inductif de circuits
30.3.1 Inductance propre
Prenons un circuit composé d’un générateur de tension idéal, notéeU, et d’un fil, de longueur `fixe et de résistance interner, et arrangeons le fil des deux façons différentes :
– dans un premier cas, le fil est totalement déroulé de façon à obtenir une seule grande boucle ; – dans un second cas, le fil est enroulé de façon à obtenir une bobine deN spires et d’inductanceL.
Les cours d’électrocinétique nous ont appris que dans le premier cas, un courant i = Ur apparaît
« instantanément », alors que dans le second cas le courant s’écriti(t) = Ur 1−e−Lrt. Certes les deux
courants prennent la même valeur lorsquet L
r, mais cette différence de comportement peut paraître étonnante.
L’explication provient de l’induction. Dans le premier cas le champ magnétique crée par la circulation deiest très faible, son flux également, ainsi que la force électromotrice que sa variation génère. Le courant induit est également faible et tout se passe comme si ce phénomène n’existait pas. Avec le fil enroulé en bobine, le champ magnétique est beaucoup plus intense et sa variation est brutale. Le f.e.m. induite s’oppose franchement à celle du générateur et retarde l’apparition du régime permanent.
La notion d’inductance est donc liée au champ magnétique créé par le courant que cherche à imposer le générateur.
Inductance propre
On appelle inductance propre, ou coefficient d’auto-induction, le coefficient de proportionnalité L >0, exprimée en henry (H) qui existe entre le courant qui circule dans une bobine et le flux du champ #”
Bind que ce courant génère à travers cette même bobine : Φp =
¨
S
B#”ind·# ” dS=Li
Une simple boucle de fil conducteur, de résistance r qui court-circuite un générateur idéal de tension U est donc, en principe, équivalente à l’association série d’un générateur idéal, d’une résistance et d’une bobineL0. De même un montage composé deU,r et d’une bobine d’inductance propreL devrait être traité comme composé deU,r etL+L0 (les inductances se somment quand elles sont placées en série).
En réalité, les effets de l’auto-induction de la boucle principale d’un circuit sont généralement négligeables devant ceux des autres composants et l’inductance propre n’est prise en compte que lorsqu’une bobine est utilisée.
30.3.2 Inductance mutuelle
Imaginons maintenant un montage électrique M1 dans lequel un générateur idéal de tension U ali- mente une bobine d’inductance L1, grâce à un fil de résistance r. L’inductance propre de la bobine est grande devantL0, celle de la boucle principale du circuit, de sorte que l’on néglige cette dernière.
On place maintenant une nouvelle bobine d’inductanceL2 sur un autre circuitM2, indépendant du premier, mais placé à faible distance du premier comme le propose le schéma suivant :
U i1
r
L1
circuitM1
L2 Z
circuitM2 B#”1
Fig. 30.4 – Induction mutuelle et lignes de champ
30. Couplage inductif 30.3. Couplage inductif de circuits
La bobine d’inductanceL1, parcourue par iva créer un champ magnétique dont les lignes de champs se développent dans l’espace. Une partie de ces lignes de champs vont traverser la bobineL2. Cette bobine est elle-même une succession de boucles de fils conducteurs à travers lesquelles on peut calculer un flux de #”
B. Si ce flux varie dans le temps alors la bobine L2, en plus de ses propriétés de bobine, se comporte également comme un générateur idéal de tension. La f.e.m. de ce générateur qu’il faut rajouter au circuit M2 est :
eind=−d dt
¨
bobine 2
B#”1·# ” dS où #”
B1 est le champ magnétique de la bobine du circuitM1 et˜
bobine 2 signifie que le flux est calculé à travers la bobine du circuitM2.
Pour modéliser cet effet, on peut remarquer que le flux de # ”
B1 va créer un courant i2 dans le circuit M2 et définir un coefficient d’inductance mutuelleM.
Inductance mutuelle
On appelleinductance mutuelle, oucoefficient de mutuelle induction, le coefficient de proportion- nalité M >0, exprimée en henry (H) qui existe entre le courant i2 qui circule dans une bobine (même si elle est composée d’une seule spire) et le flux du champ #”
Bind, ext généré par un autre circuit à travers cette même bobine :
Φm=
¨
bobine 2
B#”ind, ext·# ”
dS=M i2
Bien sûr l’apparition d’un courant dans la bobine 2 donne à son tour naissance à un champ magnétique B#”2 dont les lignes de champ vont traverser la bobine 1, générant là-aussi un courant induit qui modifiei1.
On admettra que :
Théorème de Neumann
Lorsque deux circuits, M1 et M2, sont couplés par mutuelle induction à travers leurs bobines d’inductances respectivesL1 etL2, le coefficient de mutuelle induction du circuitM1 sur le circuit M2 est identique à celui de mutuelle induction du circuit M2 sur le circuitM1 :
M1→2=M2→1=M
Exemple
On s’intéresse au circuit ci-dessous.
U
r i1
L1
circuitM1
L2 R2
J
i2
circuitM2 M
Fig. 30.5– Couplage inductif de deux circuits
On y reconnaît, tout d’abord, deux circuits classiques de l’électrocinétique, où un couplage doit être pris en compte. Ce couplage est précisé par l’ajout du coefficient de mutuelle induction M, ainsi que le sens de circulation du courant électrique induit dans le circuit 2, symétrique dei1. La loi des mailles s’en trouve modifiée, et on a pour le circuitM1 :
U =ri1+L1di1
dt+Mdi2 dt
et de même la loi des mailles du circuitM2 devient : R2i2+L2
di2
dt +Mdi1
dt = 0
Les parties notées en bleue sont dues à l’induction mutuelle des deux circuits entre eux. Bien sûr si les effets deM sont négligeables, on retrouve les deux équations découplées habituelles.
30.3.3 Le transformateur
Pour bien comprendre ce qu’est un transformateur et le lien avec l’induction, commençons par donner sa définition :
Transformateur
On appelletransformateur tout dispositif permettant de modifier l’amplitude d’un signal alternatif entrant, sans modifier sa fréquence.
Tous les chargeurs d’appareils électroniques nomades sont des transformateurs qui modifie la tension de 220 V du secteur en une tension qui est généralement de 12 V pour les ordinateurs, téléphones, ...
Le principe de fonctionnement d’un transformateur est de maximiser l’inductance mutuelle en canali- sant le champ magnétique issu de la bobine du circuit principal vers celui du circuit secondaire. Le guide de champ magnétique est un corps ferromagnétique qui forme une boucle comme l’illustrent les schémas ci-dessous :
30. Couplage inductif 30.3. Couplage inductif de circuits
circuitM1 circuitM2 circuitM1 circuitM2
Fig. 30.6 – Principe du transformateur Fig. 30.7– Principe du transformateur - Mtodorov69, CC BY-SA 3.0.
Grâce à cette carcasse ferromagnétique, la plupart des lignes de champ issues de la bobine du circuit M1, que nous appelleronsprimairepassent par la bobine du circuitM2que nous appelleronssecondaire.
Transformateur idéal
On appelletransformateur idéal, un transformateur dans lequel :
– toutes les lignes de champs sont canalisées par le matériau ferromagnétique ; – les bobinages sont de résistance nulle ;
– le matériau ferromagnétique et lui-même sans perte.
Sous ces hypothèses, chaque spire présente dans la bobine primaire ou secondaire reçoit donc un flux φsp identique. Le flux total reçu par chaque bobine s’écrit donc Φ1 =N1φsp et Φ2 =N2φsp où Ni est le nombre de spires de la bobinei.
La f.e.m. présente aux bornes de chacune des bobines se déduit de la loi de Faraday, et on peut donc établir : ee1
2 = NN1
2 =m. De même, en l’absence de pertes, le matériau transmet toute la puissance reçue ete1i1=e2i2, dont on déduit que ii1
2 = ee2
1 = m1. La grandeurm est appelée le rapport de transformation.
Rapport de transformation
On appellerapport de transformation la grandeurm, sans dimension, telle que : m= e1
e2 = i2
i1
où e1 (resp. i1) est la tension (resp. courant) de la bobine primaire, et e2 (resp. i2) est la tension (resp. courant) de la bobine secondaire.
